上海昂立智立方数学高中-高一(秋季班)-高数—10秋—03—命题和充要条件—贾德淼-教师版

高一数学新课（教师版）教师日期学生课程编号课型预习课题命题的形式及等价关系教学目标1、理解命题的概念，准确判断命题的真假；2、理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；3、理解四种命题及其相互关系；4、理解命题的等价关系；教学重点1、熟练掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的转化；2、熟练运用互为逆否命题的真假值相同这一结论；教学安排版块时长1例题解析80 2巩固训练30 3师生总结10 4课后练习30一、知识体系：二、新课讲授：（一）、命题的概念及真假判断1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

在数学中常见的命题由条件与结论两部分组成。

3、举反例是判断假命题的重要方法。

4、复合命题的真值表：“非p ”形式复合命题的真假可以用下表表示：p非p 真 假 假真记忆口诀 p 与非p 你真我假 你假我真“p 且q ”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp 且q真 真 真 真 假 假 假真假命题的形式及等价关系知识梳理命题的形式 及等价关系命题的概念及真假判断推出关系四种命题形式 等价命题假 假 假记忆口诀 p 且q 一假即假“p 或q ”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp 或q真 真 真 真 假 真 假 真 真 假假假记忆口诀 p 或q 一真即真【例1】判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。

（1）能被4整除的数一定能被12整除； （2）对角互补的四边形外接于一个圆； （3）ab 是有理数，则b a ,都是有理数； （4）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （5）人类在2020年登上火星. 【难度】★【答案】（1）是命题，真命题，因为3412⨯=。

（2）是命题，真命题，定理。

（3）不是命题，因为其不能做出真假判断。

（4）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断. （5）是命题.但目前无法判断真假.【例2】判断下列命题的真假： （1）质数都是奇数； 例题解析（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （3）若>0x ，>0y ，则<0xy 。

1、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则 A B ⊆ 与 αβ⇒ 等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 （1）若A B ⊆，则α是β的充分条件； （2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件； （3）若A B ⊇，则α是β的必要条件； （4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件； （4）若A B =，则α是β的充要条件．3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价．设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：集合,A B 之间的关系α与β之间的推出关系 α是β的什么条件 原命题“若α，则β”的真假 逆命题“若β、则α”的真假A ⊂≠B αβ⇒，/βα⇒ 充分非必要条件 真命题 假命题 A ⊃≠Bβα⇒，/αβ⇒必要非充分条件 假命题 真命题 A B =αβ⇔充要条件真命题真命题子集与推出关系知识梳理,A B 不满足以上三种情况/αβ⇒，/βα⇒既非充分又非必要条件假命题 假命题一、子集与推出关系【例1】用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：（1）命题α：我是上海人 ；命题β：我是中国人，A =｛x ︱x 是上海人｝； B =｛x ︱x 是中国人｝．则命题α 命题β； A B ．（2）A =｛x ︱1x >｝；B =｛x ︱3x >｝，命题α：1x >；命题β：3x >．则A B ；命题α 命题β．【例2】试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x ； （2）α：21x =；β：1x =；（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==；（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：B A x I ∈．【例3】试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件．（1）1:=x α，1:2=x β（2）:α正整数n 被5整除, :β正整数n 的个位数是5例题解析【例4】试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系． （1）{}12A x x =是的约数， {}36B x x =是的约数 （2）{}1A x x =>，{}3B x x =>（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形【例5】利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件． （1）写出31x -<<的充分条件； （2）写出31x -<<的必要条件； （3）写出31x -<<的充要条件．【例6】（1）设,x y R ∈，若α：220x y +=，β：0xy =， 则α是β的 条件． （2）设,x y R ∈，若α：,x y 都不为零，β：0xy >，则α是β的 条件． （3）设α：3a b +=，β：1a =且2b =，则α是β的 条件． （4）设α：0≠x 且0≠y ，β：0≠+y x ，则α是β的 条件．【例7】（1）设α：三角形中有一个角是直角，β：三角形的三边满足222AB BC AC +=,则α是β 的 条件．（2）“该平面图形是四边形”是“该平面图形是梯形”的 条件．【巩固训练】1．“2x =”是“2320x x -+=”的 条件．2．“2x ≥”是“2x >”的 条件．3．k 除以4余1，β：k 除以2余1，则α是β的 条件．4．α：是整数的12的数，β：与整数相差12的数，则α是β的 条件．5．设α：x 是奇数，β：x 被4除余1，则α是β的 条件．6．“0xy <”的一个充要条件是（ ）A .0x >B .0y <C .,x y 异号D .0,0x y =>7．设α：实数x 232x x +=，β:4x =-或1x =,则α是β的 条件．8．下列各式中，α是β的必要非充分条件的是（ ） （1）α：()()120x x -+=， β：2x =-（2）α：2b ac =，β：a b b c= （3）α：,a b 不都为偶数， β：a b +不为偶数 （4）α：1x =且2y =-， β：2xy =- A .(1)(2)(3) B .(1)(3)(4) C .(2)(4) D .(1)(3)二、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【例9】若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件．【例10】给定两个命题p ，q .若非p 是q 的必要而不充分条件，则p 是非q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例11】设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围．【例12】设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围．【例13】若1122,,,a b a b R ∈，且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的（ ） A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件 D .既非充分又非必要条件【例14】设2:60a a α+-=，β：10mb +=，若β是α的充分条件，求m 的值．【例15】设,m a R ∈，()()211f x x a x =+-+，()224mg x mx ax =++，若“对一切实数x ，()0f x >”是“对一切实数x ，()0g x >”的充分条件，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1．设α：0(0)x a a <<>，β：102x a ≤-，若α是β的充分条件，求实数a 的取值范围．2．设{}2A x x =≥，{}B x x a =>，求满足B A ≠⊂的一个充分条件．3．设A 、B 、C 三个集合，A ⊂≠B 是A ⊂≠(B ∪C)的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知α：集合{}{}24P x x Q x x a ≠=-<<⊂=>，β：{}2a x x ∈≤-，则α与β的推出关系是（ ）A .αβ⇒B .αβ⇔C .βα⇒D .αβ≠>5．已知命题:14x α-≤≤，命题m x m -≤≤-13:β，且βα是的必要条件，求实数m 的取值范围．6．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．1．在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：方法一：直接用逻辑推理的方法进行推理；方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题．2．本节课，我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，具体如下:(1)A B ⊆ ⇔α是β的充分条件； (2)A B ⊇ ⇔α是β的必要条件； (3)A B ≠⊂ ⇔α是β的充分非必要条件；(4)A B ≠⊃⇔α是β的必要非充分条件；(5)A B =⇔α是β的充要条件．反思总结1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的 条件．2． 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．p 是q 的充要条件的是：（ ）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ． p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件5． （1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ⊆B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件；课后练习命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立8． 判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．9． 已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件． （1）:1x α=且2y = ； :3x y β+= （2）:0a b α+> ； :0,0a b β>> （3）:0xy α> ； :x y x y β+=+11． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．12． 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？13．已知函数2)(bx ax x f -=（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-.。

一、课前引入：1、用“⇔⇐⇒,,”填空①某个数能被4整除________某个数是偶数；②两个角相等________两个角是对顶角；③三角形有两个内角相等________三角形是等腰三角形；④两个平面图形全等________两个图形面积相等；*⑤“xx22<”________“10<<x”；二、新课探知：1、四种命题形式及其相互关系:2、充分条件与必要条件：充分条件：若条件α可以使事件β成立，即βα⇒，称α是β的充分条件，或β的充分条件是α必要条件：若没有条件α则事件β不成立，即αβ⇒，称α是β的必要条件，或β的必要条件是α充要条件：对于事件A和B，若BA⇒，且AB⇒，即BA⇔，则称A是B的充要条件；3、集合与子集的推出关系：记条件p、结论q对应的集合分别为A、B，则：若BA⊆，等价于qp⇒，则p是q的充分条件；若BA⊇，等价于qp⇒，则p是q的必要条件；知识引入命题的充要条件与子集若B A =，则p 是q 的充要条件； 从集合的角度解释充分必要条件： 若集合P,Q 满足Q P ⊆，则p ：x ∈P ⇒q ：x ∈Q ，即x ∈P 是x ∈Q 的充分条件，x ∈Q 是x ∈P 的必要条件，用口诀可以记忆为“小充分大必要”。

一、命题的充要条件【例1】将题1中的题改写成：充分条件，必要条件、充要条件 ①某个数能被4整除是某个数是偶数的 ________； ②两个角相等是两个角是对顶角的________；③三角形有两个内角相等是三角形是等腰三角形的________； ④两个平面图形全等是两个图形面积相等的________； ⑤“x x 22<”是“10<<x ”的________； 【例2】:1、“四边形对角线相等”是“四边形是矩形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、“四边形是矩形”是“四边形的两组对边分别相等”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、“四边形是矩形”是“四边形是正方形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件4、“四边形是正方形”是“四边形是矩形”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件知识讲解及例题分析【例3】1、“整数的个位数是5”是“整数是5的倍数”的( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、“整数是5的倍数”是“整数是25的倍数”( ).A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件【例4】试从①1=x ；②1-=x ；③0)3)(1)(1(=-+-x x x 中，选出适合下列条件者，用代号填空（1）12=x 是__________的充分条件； （2）12=x 是__________的必要条件；【巩固训练】1、对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件2、已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是命题q 成立的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件4、已知a b c d ，，，为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ） .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件5、命题232:x x x p =+是命题232:x x q =+的………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件6、设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7、命题5:≠+y x p 是命题3:≠x q 或2≠y 的……………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件8、给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以作为“若,R a b ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是__________.二、*充要条件的证明：①B A ⇒（充分性）②A B ⇒（必要性）【例5】已知是系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，“042=-ac b ”是“方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？【巩固训练】1、求证：直线l ：0=+-b y ax 经过两直线05:1=-+y x l 和2l ：0153=+-y x 交点的充要条件是“23=+b a ”.2、已知0≠ab ，求证：1=+b a 的充要条件是0))(1(22=+--+b ab a b a3、已知c b a ,,都是实数，证明：0<ac 是关于x 的方程02=++c bx ax 有一个正根和一个负根的充要条件三、*子集的推出关系【例6】、试用子集的推出关系来说明α是β的什么条件 （1）;1:,1:2==x x βα（2）:α正整数n 被5整除，:β正整数n 的个位数是5【例7】;,421:,31:R m m x m x ∈+≤≤+≤≤βαα是β的充分条件，求m 的取值范围.【巩固训练】1、命题“a b >”是命题“33a b >”……………………………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件2、命题12:<<-x p 是命题1:<x q 或2>x ………………………………………………（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件.C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件3、命题1>yx的一个充分不必要条件是……………………………………………………………（ ） .A y x > .B y x < .C 0>>y x .D 0<<x y4、“0x <”是“x a <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是5、2<x 是24x <的……………………… ……………（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件6、若x R ∈，则“1x >”是“11x<”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7、设集合}06|{2=-+=x x x A ，}01|{=+=mx x B ，则B 是A 的真子集的一个必要不充分条件是（ ）.A }31,21{-∈m .B }31,0{∈m.C}31,21,0{-∈m .D }1,31,21,0{-∈m8、已知集合3|{<=x x M 或}5>x ，}8|{≤≤=x a x P（1）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的一个充分但不必要条件； （3）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的一个必要但不充分条件；1、充要条件：对于事件α和β，若βα⇒，且αβ⇒，即βα⇔，则称α是β的充要条件； 充分不必要：对于事件α和β，若βα⇒，且αβ，则称α是β的充分不必要条件； 必要不充分：对于事件α和β，若αβ⇒，且且αβ，则称α是β的必要不充分条件；2、集合与子集的推出关系：记条件p 、结论q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若B A ⊆，等价于q p ⇒，则p 是q 的充分条件； 若B A ⊇，等价于q p ⇒，则p 是q 的必要条件； 若B A =，则p 是q 的充要条件；注意：证明α是β的充要条件：（1）充分性证明：βα⇒，（2）必要性证明：αβ⇒1．若非空集合MN ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的 条件．【难度】★2． 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【难度】★课后练习反思总结3．p 是q 的充要条件的是：（ ）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解 B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ．p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比【难度】★★4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A⊆C ，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【难度】★★5． （1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．【难度】★★6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．【难度】★★7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ⊆B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题⊆：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件； 命题⊆：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( ) A ．命题⊆和命题⊆都成立 B ．命题⊆和命题⊆都不成立 C ．命题⊆成立，命题⊆不成立 D ．命题⊆不成立，命题⊆成立 【难度】★★★8． 判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．【难度】★★9． 已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．【难度】★★10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件． （1）:1x α=且2y = ； :3x y β+=（2）:0a b α+> ； :0,0a b β>>（3）:0xy α> ；:x y x y β+=+【难度】★★11． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．【难度】★★12． 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？【难度】★★11 / 11 专业 引领 共成长高一数学新课课程 命题的充要条件与子集的推出关系 13．已知函数2)(bx ax x f -=（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-. 【难度】★★★。

高一数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题集合的概念与表示、集合间的关系教学目标1．理解集合含义，理解元素与集合“属于”关系，深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；掌握常用数集专用符号；能选择合适的表达方式描述集合；2．深刻理解集合与集合之间的包含以及相等关系；掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念；会写出任意集合的所有子集、真子集。

教学重点会用列举法、描述法表示集合；掌握集合间的关系教学安排版块时长1例题解析502巩固训练403师生总结104课后练习20一、集合的概念（一）、知识精讲 （1）集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。

集合中的各个对象叫做这个集合的元素。

对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。

（2）集合的元素特征确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一。

比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定。

互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现。

例如由元素1,2,1组成的集合中含有两个元素：1,2。

无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集集合的概念与表示、集合间的关系例题解析知识梳理集合定义 特征与元素关系表示与集合关系把能够确切指定的对象看作一个整体确定性、无序性、互异性属于、不属于 描述法、列举法、图示法子集、真子集、相等合是相等的。

（3）集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母C B A 、、…来表示，集合中的元素用c b a 、、…表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”（4）常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包含零的自然数组成的集合，记作*N 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；（5）集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程012=+x 的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集。

命题和充要条件知识梳理 一、命题的概念1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出，记作βα⇒。

相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作αβ。

4、如果，并且αβ⇒，那么就说与等价，记作βα⇔。

二、四种命题形式1、一个数学命题用条件，结论表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果 ，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。

如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。

3、命题、的否定分别记作α、β。

4、如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。

5、四种命题形式及其相互关系:6、常见结论的否定形式：（拓展内容）三、充要条件1、充分条件与必要条件：一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。

叫做的必要条件。

2、充要条件：如果既有，又有，即有βα⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。

例题解析一、有关命题的概念【例1】判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根.（4）5>x（5）人类在2020年登上火星.【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例4】下列判断中正确的是 ( ).A. “12是偶数且是18的约数”是真命题B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题D. “三角形的三个内角的和大于或等于120︒”是假命题【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【巩固训练】1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）2、若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题：①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有②B A A B ⇔⋂=∅不包含于③B A A ⇔不包含于不包含B ④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在，其中真命题的序号是4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{}1,1.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、命题的四种形式及其关系【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【巩固训练】1、有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．43、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题． 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是三、有关等价命题【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数C 、，，中只有一个是负数D 、，，中至少有一个是非负数 【例13】与“一元二次方程有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）A 、B 、C 、D 、【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。