新人教版必修4高中数学2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》word练习题

课时作业17向量数乘运算及其几何意义基础巩固类一、选择题1(30+3+C)—(2G+*—C)等于(A )A. a—，+2cB. 5a—^0+2cC. a2cD. 5a~\~~^b解析：(3a+9+c)—(2a+jz>—c) = (3a—2a)+G方一，6)+ (c+c)=a—§Z>+2c,故选 A.2.若5疝+3反)=0,且\AD\ = \BC\，则四边形43。

£>是(D )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形解析：由5AB+3Cb=。

知，AB//CD^AB\^\CD\, .L此四边形为梯形.5C|AD| = |BC|, 梯形ABCD为等腰梯形.3.在八ABC中，AB=c, AC=b.若点D 满足BD=2DC,则及)=(A )A.|z>+|-cB.|-c—2 1 1 2C^b—^c D^b+^c_2 _2 ―> ―> 2 2 1 解析：如图，AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^(AC—AB) = c+^b—c)=^b+-jc.4.已知向量a与》不共线，且疝=如+殆16R), AC=a+^b(/i^R),则A、B、C三点共线应满足(D )A. 2+/z=2B. A——/< = 1C. A/z = — 1D. A/z = 1解析：若A, B, C三点共线，则AB=MC(A-GR),即Aa+b=k[a+iub'),所以2a+b=ka+wkb,\A = k,所以< 消去R得初=1,故选D.11= A5.设D ^jAABC所在平面内一点，BC=3CD,贝M A )A.AD= —^AB+|A CB.AD=|A B—^ACC.AD=^AB+^ACD.AD=^AB—^4C解析：AD=AB+Bb=AB+|BC=AB+|(AC-AB)=—■|A B+|A C,选 A.6.点尸是八ABC所在平面内一点，若CB=XPA+RB，其中2GR,则点F一定在（B ）A. △ABC内部B. AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D. BC边所在的直线上解析：VCB=2B4+PB, :.CB~PB=XPA.:.&=XPA.：.P, A、C三点共线.点F一定在AC边所在的直线上.二、填空题2 1 ?7 ・化简手。

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课后篇巩固探究基础巩固1.下列说法正确的个数为( )①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0. A.1B.2C.3D.4,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.2.13[12(2a +8b )-(4a -2b )]等于( )A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b=16(2a+8b)-13(4a-2b)=13a+43b-43a+23b=-a+2b=2b-a.3.在△ABC 中,D 是线段BC 的中点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+5b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),则 ( )A.A,C,D 三点共线B.B,C,D 三点共线C.A,B,C 三点共线D.A,B,D 三点共线BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B, 所以A,B,D 三点共线.5.已知向量a 与b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =na+b(m,n ∈R),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的条件是( ) A.m+n=0 B.m-n=0 C.mn+1=0D.mn-1=0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =na+b(m,n ∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a 与b 不共线,∴{1=λn ,m =λ,即mn-1=0,故选D.6.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-7e,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 的形状是 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-57CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,又知|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.7.在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB=3DC,E 为BC 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .128.在△ABC 中,点M 为边AB 的中点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ==12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴存在实数λ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=y=λ2,∴yx=1.9.如图,已知D,E 分别为△ABC 的边AB,AC 的中点,延长CD 到M 使DM=CD,延长BE 至N 使BE=EN,求证:M,A,N 三点共线.D 为MC 的中点,且D 为AB 的中点,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可证明AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AN ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A. ∴M,A,N 三点共线.10.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求(13a -b)−(a -23b)+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.原式=13a-b-a+23b+2b-a=(13-1-1)a+(-1+23+2)b=-53a+53b.∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=(-5+103)i+(-103-53)j=-53i-5j.(2)将3x-y=b 两边同乘2,得6x-2y=2b. 与5x+2y=a 相加,得11x=a+2b, ∴x=111a+211b.∴y=3x-b=3(111a +211b)-b=311a-511b.能力提升1.如图,AB 是☉O 的直径,点C,D 是半圆弧AB 的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+bAODC 为菱形,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b.2.已知点P 是△ABC 内的一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则△ABC 的面积与△PBC 的面积之比为( ) A.2B.3C.32D.6BC 的中点为D,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图,过点A 作AE ⊥BC,交BC 于点E,过点P 作PF ⊥BC,交BC 于点F,则|PF ||AE |=|PD ||AD |=13.∴S △ABC S △PBC=12|BC |·|AE |12|BC |·|PF |=3.3.已知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,故λ=13.4.在平行四边形ABCD 中,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗ ,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .,有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ )=λ(AD⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即{λ3+μ=1,λ+μ2=1,解得{λ=35,μ=45,故λ+μ=75.5.在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴3CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2AP⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A),如图所示.∵A,M,Q 三点共线,∴设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2CB⃗⃗⃗⃗⃗ +(x-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴{x 2=t3,x2-1=-t ,解得t=34.6.已知△OBC 中,点A 是线段BC 的中点,点D 是线段OB 的一个三等分点(靠近点B),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b. (1)用向量a 与b 表示向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,判断C,D,E 是否共线,并说明理由.∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,点A 是BC 的中点,∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a. ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a-b. (2)假设存在实数λ,使CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+35(-b)=a+25b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BO⃗⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2a+13(-a+b)=53a+13b,∴a+25b=λ(53a +13b), ∴{53λ=1,13λ=25,此方程组无解, ∴不存在实数λ,满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴C,D,E 三点不共线.。

课后训练1．已知a ＝4d ，b ＝5d ，c ＝－3d ，则2a －3b ＋c 等于( )A ．10dB ．－10dC ．20dD ．－20d2．下面四种说法：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ；③对于实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b ；④对于实数m ，n 和向量a ，若m a ＝n a ，则m ＝n ．其中正确说法的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，则下列表达式中正确的是( )A ．=ae a B ．a ＝|a |eC ．a ＝－|a |eD ．a ＝±|a |e4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB ＝λPA ＋PB ，λ∈R ，则点P 一定在() A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上5．如图，已知AP ＝43AB ，用OA ，OB 表示OP ，则OP 等于( )A ．13OA 43OB - B ．13OA 43OB +C ．13OA -43OB + D ．13OA -43OB -6．化简2(a－3b)＋3(2b－a)＝__________．7．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量k a＋2b与8a＋k b的方向相反，则k＝__________．8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝13CA＋λCB，则λ＝__________．9．计算：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(2)11(28)(42)32⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦a b a b；(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．10．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13 BD，求证：M、N、C三点共线．参考答案1答案：B 解析：2a －3b ＋c ＝2×4d －3×5d －3d ＝8d －15d －3d ＝－10d ．2答案：C 解析：由向量的数乘运算律，得①②均正确．对于③，若m ＝0，由m a ＝m b ，未必一定有a ＝b ，错误．对于④，若a ＝0，由m a ＝n a ，未必一定有m ＝n ，错误．3答案：D 解析：对于A ，当a ＝0时，||a a 没有意义，错误．对于B ，C ，D ，当a ＝0时，选项B ，C ，D 都对；当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或反向，且|a ||e |＝|a |，故B ，C 不全面，选D ．4答案：B 解析：易得CB －PB ＝λPA ，即CP ＝λPA ，从而CP ∥PA ．又CP ，PA 有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线．又λ∈R ，所以点P 在直线AC 上．5答案：C 解析：OP ＝OA ＋AP ＝OA ＋43AB ＝OA ＋43(OB －OA )＝1433OA OB -+，选C ． 6答案：－a 解析：2(a －3b )＋3(2b －a )＝2a －6b ＋6b －3a ＝－a ．7答案：－4 解析：∵向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，∴k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k ＜0)．8答案：23解析：由图知CD =CA +AD ，①CD ＝CB ＋BD ，②由题知AD ＋2BD ＝0．①＋②×2得：3CD ＝CA ＋2CB ，∴CD ＝13CA ＋23CB ，∴λ＝23． 9答案：解：(1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c＝6a ＋4b ．(2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )] ＝13(－3a ＋6b )＝2b －a ． (3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b ．10答案：证明：∵MN ＝BN －BM ，∵BM ＝12BA ，BN ＝13BD ＝13(BA ＋BC )， ∴MN ＝13BA ＋13BC －12BA ＝13BC －16BA ，①MC＝BC－BM＝BC－12BA，②由①、②可知MC＝3MN，即MC∥MN，又∵MC、MN有公共点M，∴M、N、C三点共线．。

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义姓名:___________班级:______________________1.设1e ,2e 是两个不共线的向量,若向量()12k k =-+∈R m e e 与向量212=-n e e 共线,则( )A.0k =B.1k =C.2k =D.12k =2.设a 是任一向量,e 是单位向量,且a e ,则下列表达式中正确的是( ) A.=a e a B.=a a e C.=-a a e D.=±a a e3.已知向量3AB a b =+,53BC a b =+,33CD a b =-+,则( )A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线4.设a 是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是( )A.a 的方向a λ的方向相反B.a a -λ≥C.a 与2a λ方向相同D.a a λ=λ5.已知关于x 的方程()3+a x x =,则x =( ) A.32a B.32a - C.23a D.无解 6.如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP mAB AC =+,则实数m 的值为( ) A. 19 B. 13C.1D.37.已知△ABC 的三个顶点A ,B ,C 及平面内一点P ,且PA PB PC AB ++=,则( )A.P 在△ABC 内部B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上等,0OA =a ,201OA =b ,用a ,b 表示012201...OA OA OA OA ++++,其结果为( )A.()100+a b B.()101+a b C.()201+a b D.()202+a b9.若向量34=-a i j ,54=+b i j ,则()123332⎛⎫-⎛⎫- ++-= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭a b a b b a ________. 10.已知平面内O ,A ,B ,C 四点,其中A ,B ,C 三点共线,且OC xOA yOB =+,则x y +=__________.11.已知点M 是线段AB 上的一点,点P 是任意一点,3255PM PA PB =+, 若AM MB =λ,则λ等于 .12.计算:(1)()()()826222-+-+--+a b c a b c a c ; (2)()()11284232⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦a b a b ; (3)()()()()+--+⋅⋅+m n a b m n a b . 13.已知△OAB 中,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量OC ,CD ;(2)若45OE OA =,求证:C 、D 、E 三点共线. 14.设P ,Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点.(1)试用向量法证明:PQ AB ; (2)若3AB CD ,求PQ AB的值.参考答案1.D 【解析】当12k =时,1212+=-m e e ,又122=-+n e e ,∴2=n m ,此时m 、n 共线, 故选D.考点:共线定理及其应用.2.D【解析】对于A,当=0a 时,a a没有意义,错误.对于B,C,D,当=0a 时,选项B,C,D 都正确;当≠0a 时,由a e 可知,a 与e 同向或反向,且=a e a ,故B,C 不全面,选D.考点:向量数乘运算的定义.3.B【解析】∵()26232BD BC CD a b a b AB =+=+=+=,∴A 、B 、D 三点共线.故选B. 考点:共线定理及其应用.4.C【解析】对于A,a 与a λ方向相同或相反,因此不正确;对于B,1λ<时,a a -λ<,因此不正确;对于C,因为20λ>,所以a 与2a λ同向,正确;对于D,a λ是实数,a λ是向量,不可能相等.故选C.考点:向量数乘运算的定义.5.B【解析】∵()3+a x x =,∴33a x x +=,∴23x a =-,∴x ＝32a -. 考点:向量数乘运算的定义.6.A【解析】∵点P 在BN 上,则存在实数λ使BP BN λ=.∴()()1AP AB BP AB BN AB AN AB AB AN λλλλ=+=+=+-=-+.∵13AN NC =,∴4AC AN =,∴2899AP mAB AC mAB AN =+=+, ∴1,8,9m λλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩解得19m =,故A 正确. 考点:向量的加减法法则,向量数乘运算.7.D【解析】∵PA PB PC AB PB PA ++==-,∴2PC PA =-,∴P 在AC 边上,故选D.考点:共线定理及其应用.8.B【解析】设0201A A 的中点为A ,则A 也是1200100101,A A A A ⋯，的中点, 由向量的中点公式可得02012OA OA OA ++==a b ,同理可得,12002100119019OA OA OA OA OA OA +=++=⋯=+=a b ,故()01220110121...01OA OA OA OA OA =+=+++⨯+a b ,故选B.考点:向量的数乘运算. 9.21633-+i j 【解析】()12111333322233⎛⎫-++-=-⎛--+-=-- ⎪⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a a b a b b a a b ()()4432 345451111163343=--=---+=-++-i j i j i j i j i j . 考点:向量数乘的运算律.10.1【解析】∵A ,B ,C 三点共线,∴存在λ∈R 使AC AB =λ.∴()OC OA OB OA λ-=-,∴()1OC OA OB λλ=-+,∴1x λ=-,y λ=,∴1x y +=.考点:共线定理及其应用. 11.23【解析】∵AM MB =λ,∴()PM PA PB PM PB PM -=λ-=λ-λ,即()1PM PB PA +λ=λ+,∴111PM PB PA λ=++λ+λ, ∵3255PM PA PB =+,∴2,1513,15λ⎧=⎪⎪+λ⎨⎪=⎪+λ⎩解得23λ=. 考点:共线定理及其应用.12.略【解析】(1)原式1688612642=-+-+---a b c a b c a c()()()1664812862--+-++--=a b c64=+a b .(2)原式()()()4113342362-==⎡⎤=+--+-⎣⎦a b a b a b b a . (3)原式()()()()()2=+⋅-+⋅-+⋅-+⋅=-+⋅m n a m n b m n a m n b m n b .考点:向量数乘的运算律.13.见解析【解析】(1)∵,,AB a AO b ==∴OC OA AC a b =+=--,()()11151233333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+. (2)证明:∵()413.555CE OE OC b a b a b CD =-=-++=+= ∴CE 与CD 平行,又∵CE 与CD 有公共点C ,∴C 、D 、E 三点共线.考点:向量的共线定理.14.(1)见解析(2)13【解析】(1)证明:∵Q 为BD 的中点,∴2CB CD CQ +=,又P 为AC 的中点,∴2CA CP =.∴()222PQ CQ CP CB CD CA CB CD AC AB CD =-=+-=++=+,又向量CD 与AB 共线,∴可设向量CD AB λ=,则()21PQ AB λ=+, ∴12PQ AB λ+=①,又梯形ABCD 中,AB CD ≠,∴1λ≠-, ∴PQ AB ,即PQ AB .(2)∵向量AB 与CD 反向,且3AB CD =,所以3AB CD =-,即13λ=-,代入①式得111323PQ AB AB -==,∴13PQ AB =. 考点:向量的共线定理.。