线面垂直的判定ppt课件

线面垂直的定义与
02
性质
定义
两条直线垂直
如果两条直线在三维空间中互相 垂直，则它们之间的夹角为90度 。
直线与平面垂直
如果一条直线与一个平面内的任 意一条直线都垂直，则这条直线 与该平面垂直。
性质
线面垂直的性质定理
如果一条直线与一个平面垂直，那么 这条直线与平面内的任意一条直线都 垂直。
垂直关系的不变性
无论直线或平面如何旋转或平移，只 要保持它们的相对位置不变，垂直关 系就不会改变。
判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交的 直线都垂直，那么这条直线与该平面 垂直。
如果一条直线与平面内的无数条直线 都垂直，那么这条直线与该平面垂直 。
如果一条直线与平面内的两条平行直 线都垂直，那么这条直线与该平面垂 直。
线线垂直与线面垂
03
直的联系与区别
联系
垂直关系的共通性
无论是线线垂直还是线面垂直，它们都涉及到两条直线或一条直线与一个平面 之间的垂直关系。
判定方法的相似性
在判定线线垂直或线面垂直时，常常需要利用到直线与平面垂直的判定定理， 即线面垂直判定定理。
区别
涉及元素不同
线线垂直只涉及到两条直线，而线面垂直则是一条直线与一个平面。
空间向量具有方向性，而线面垂直可以用来描述向量的方向 ，帮助我们理解向量的几何意义。
向量运算
利用线面垂直的性质，可以进行向量的运算，如向量的加法 、数乘、向量的模等。
在解析几何中的应用
确定直线与平面的位置关 系
通过线面垂直的性质，可以确定直线与平面 的位置关系，从而解决与解析几何相关的问 题。
计算点到平面的距离Βιβλιοθήκη 线线垂直与线面垂04

课前探究学习
课堂讲练互动
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又 AN⊂平面 PAM， 所以 BM⊥AN. 又 AN⊥PM， 且 BM∩PM＝M， 所以 AN⊥平面 PBM.
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直线和平面所成的角
(1).斜线PA:PA∩α =A，但不垂直;交点A叫 做斜足;过斜线上斜足以外的一点P向平面作 垂线PO(PO⊥α)，直线AO叫做斜线PA在平面 α上的射影. (2).直线和平面所成的角:斜线和它在平面上 的射影所成的锐角，即∠PAO.
问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、 大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些 类似的例子吗？
大漠孤烟直
思考？
1.旗杆AB是否与地面内的影子垂直？ 2.旗杆是否与地面内不过B点的直线 垂直？
问题2:
如何定义一条直线与一个平面垂直？
垂线
l
垂面
垂足
P
线面垂直的定义： 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线 垂直．我们就说直线 l 与平面 垂直。 记为 l
课前探究学习
A
O C
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例2:已知PA 平面ABC，AB是 C是圆周上的一点， （ 1 ）求证:BC 平面PAC
O的直径，
（2）若AE PC于E , AF PB于F , 求证：PB 平面AEF
证明： (1) PA 平面ABC PA BC BC 平面ABC AB是 O的直径 BC AC PA AC A BC 平面PAC PA 平面PAC AC 平面PAC
V
P
C
B
3、如图，点P是平行四边形ABCD所在平 面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且 PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD。

学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。

l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直