高二数学 7.5曲线和方程(第四课时)大纲人教版必修

在辨析反例之后，有了关于对象所共有的本质属性 的正确认识，给对象以明确的定义是水到渠成，这里单 独列出作为一个教学步骤，是想突出这个中心环节，并 有意识地训练学生依据知觉中的分散的已知知识给概念 下定义的创造能力。
教材分析 教学目标 重难突破 学情分析 教法分析 学法分析 教学过程分析
4、定义强化阶段——多种表征，深化内涵
教材分析 教学目标 重难突破 学情分析 教法分析 学法分析 教学过程分析
1、感性认识阶段——以旧带新，提出问题
幻灯片2
画出方程x–y = 0表示的直线
幻灯片3
1、直线上的点的坐标都是方程的解； 2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。 即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。 也即：
◆知识目标：了解曲线上的点与方程的解之间的 一一对应关系；初步领会“曲线的方程”与“方程的 曲线”的概念；学会根据已有的情景资料找规律，进 而分析、判断、归纳结论；强化“形”与“数”一致 并相互转化的思想方法。 ◆能力目标：通过直线方程的引入，加强学生对 方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；在形 成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、 讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐 述自己的观点；能用所学知识理解新的概念，并能运 用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法， 提高思维品质，发展应用意识； ◆情感目标：通过概念的引入，让学生感受从特 殊到一般的认知规律；通过反例辨析和问题解决，培 养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于 批判、敢于创新的科学精神。
要启动学生的思维，就要有一个明确的可 供思考的问题，使学生的思维有明确的指向。 这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示 曲线的实事已有了初步的认识为前提，它可以 说是本节课的中心议题，应引导全班学生积极 思维，让多的学生发表意见，形成“高潮”。 在思考题的后面加上了“为什么？” ，是为了 给那些还记着“直线的方程”的定义的学生提 供思考的余地，减小思考的跨度。

高二数学曲线和方程人教版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：曲线和方程二. 本周教学重、难点：1. 重点：曲线的点集与方程的解集之间的对应关系。

2. 难点：求曲线的方程和曲线的交点。

【典型例题】[例1] 作出方程1||22+-=x x y 的曲线。

解：∵ |1|||)1|(|1||222-=-=+-=x x x x y把x 换成x -，方程不变 ∴ 图象关于y 轴对称当0≥x 时，⎩⎨⎧>-≤≤-=-=-=)1(1)10(1|1||1|||x x x x x x y可分段作出方程的图象，如下图-11O xy[例2] 用坐标法证明：平面内任意一点到矩形的一对对角顶点的距离平方和等于这个点到另一对对角顶点的距离平方和。

证明：如图所示，取坐标轴和矩形边平行建立坐标系，设P （y x ,）为任意点，矩形四个顶点为A （11,y x ），C （22,y x ），B （21,y x ），D （12,y x ）则有2222212122)()()()(||||y y x x y y x x PC PA -+-+-+-=+212222122)()()()(||||y y x x y y x x PD PB -+-+-+-=+2∴ 2222||||||||PD PB PC PA +=+[例3] 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

解法一：设点M 的坐标为（y x ,）∵ M 为线段AB 的中点 ∴ A 的坐标为（0,2x ），B 的坐标为（y 2,0） ∵ 21l l ⊥，且1l 、2l 过点P （2，4） ∴ PA ⊥PB ，1-=⋅PB PA k k ，而)1(2204≠--=x x k PA ，0224--=yk PB∴)1(11212≠-=-⋅-x yx 整理，得052=-+y x （1≠x ） ∵ 当1=x 时，A 、B 的坐标分别为（2，0）（0，4） ∴ 线段AB 的中点坐标是（1，2），它满足方程052=-+y x 综上所述，点M 的轨迹方程是052=-+y x解法二：设M 的坐标为（y x ,），则A 、B 两点的坐标分别是（0,2x ）、（0，y 2），连结PM 。

2020年10月2日
y
x-y=0
M(x0, y0)
O x
x y 0
2
函数y=ax2的图象是关 于y轴对称的抛物线,这条抛 物线是所有以方程y=ax2的 解为坐标的点组成的.这就 是说,如果M（x0,y0）是抛 物线上的点,那么（x0,y0） 一定是这个方程的解;反过 来,如果（x0,y0）是方程 y=ax2的解,那么以它为坐 标的点一定在这条抛物线 上.（如右图）
7.5 曲线和方程(1) -----曲线的方程
28.12.2020
2020年10月2日
1
一、曲线与方程关系举例： 位于第一、三象限的角平
分线的方程是x－y=0.即：如果 点M（x0,y0）是这条直线上的 任意一点，它到两坐标轴的距 离一定相等，从而x0=y0，那么 它的坐标（x0,y0）是方程x－ y=0的解；反之，如果（x0,y0 ）是方程x－y=0的解，即x0=y0 ，那么以这个解为坐标的点到 两轴的距离相等，它一定在这 条平分线上.（如右图）
2020年10月2日
y
y ax2
M(x0, y0) x
yax2(a0)
3
二、曲线与方程概念：
一般地，在直角坐标系中，如果某 曲线C（看作适合某种条件的点的轨迹） 上的点与一个二元函数 f(x,y)0的实 数解建立了如下关系：
1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2. 方程的解为坐标的点都是曲线上点。
x2+y2=25,并判断点M(3，－4)、M2(－2 5 ,2)是否在这
个圆上.
证明:(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点,因为点M到原点 的距离等于5,所以 x02 y02 5 ,也就是 x02 y02 25
即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.

7.5.3 曲线和方程（三）●教学目标（一）教学知识点根据所给条件，求较复杂的曲线方程.（二）能力训练要求会根据已知条件，求一些较复杂的曲线方程.（三）德育渗透目标1.提高学生分析问题、解决问题的能力.2.渗透数形结合思想.●教学重点求曲线的方程实质上就是找出所求曲线上任意一点M （x ,y )的横坐标x 与纵坐标y 之间的关系式F (x ,y )=0.●教学难点点随点动型的轨迹方程的求法.●教学方法讲练相结合●教学过程Ⅰ.课题导入通过上节课学习，大家已基本掌握求简单的曲线方程的一般步骤，请大家回顾一下. ［师］（提问）：谁来给大家叙述一下？［生］（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x ,y )=0;（4）化方程f (x ,y )=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.Ⅱ.讲授新课［师］下面结合一些典型的例题进一步巩固一下根据条件求曲线的方程.［例1］已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.分析：这条曲线是到A 点的距离与其到x 轴的距离的差是2的点的集合或轨迹的一部分. 解：设点M （x ,y )是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么点M 属于集合 P ={M ｜｜MA ｜-｜MB ｜=2}. 即：22)2(-+y x -y =2整理得：x 2+(y -2)2=(y +2)2, y =81x 2.因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0，虽然原点O 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是：y =81 x 2(x ≠0), 它的图形是关于y 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点.［例2］已知A （-a ,0）,B (a ,0)(a ∈R ＋），若动点M 与两定点A 、B 构成直角三角形，求直角顶点M 的轨迹方程.分析：先依题意画出草图，帮助分析，然后按求曲线方程的步骤求解.解：设点M 的坐标为M (x ,y )由题意AM ⊥BM ,∴k AM ·k BM =-1 即ax y a x y -⋅+=-1 化简得x 2+y 2=a 2，∵M 、A 、B 三点构成三角形，∴M 、A 、B 三点不共线，点M 的纵坐标y ≠0，从而得x ≠±a∴所求轨迹的方程为x 2+y 2=a 2(x ≠±a )［师］求曲线方程时，一定要注意检验方程的纯粹性和完备性.Ⅲ.课堂练习下面，请同学们打开课本P 72，练习3.在△ABC 中，B 、C 的坐标分别是（0，0）和（4，0），AB 边上中线的长为3，求顶点A 的轨迹方程.分析：依题意画出草图，然后设A 点坐标为(x ,y )，从而可用x ,y 表示出AB 的中点D 的坐标，然后按照求曲线方程的步骤进行求解.解：设A 点的坐标为（x ,y )，则AB 的中点D 的坐标为（2,2y x ). 由题意可得｜CD ｜=3 即3)2()42(22=+-y x 整理得(x -8)2+y 2=36∵A 、B 、C 三点要构成三角形，∴A 、B 、C 三点不共线，即点A 不能落在x 轴上，∴点A 的纵坐标y ≠0.∴所求顶点A 的轨迹方程为：（x -8)2+y 2=36(y ≠0)［师］结合学生所做讲评，并强调要注意检验方程的解与曲线上点的坐标的对应关系，要结合实际意义.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要对求曲线方程的基本思路和基本步骤更加清晰和熟练，而且要注意所求曲线方程的纯粹性和完备性.Ⅴ.课后作业（一）课本P 72习题7.6 6,7.（二）1.预习内容：课本P 72～73.2.预习提纲：（1）如何利用曲线方程讨论曲线的一些性质？（2）如何通过曲线方程求得两曲线的交点？●板书设计。