(经典高一)求函数解析式的九种常用方法

高中求函数解析式方法

高中求函数解析式的方法有以下几种：

1. 列方程法：根据已知条件设置等式，然后解方程得到函数解析式。这种方法适用于一些简单的函数问题，如线性函数、二次函数等。

2. 求导法：如果已知函数的导函数和一个点上的函数值，可以通过求导得到函数解析式。这种方法适用于一些需要通过求导来确定函数解析式的问题，如最小值、最大值等。

3. 已知特殊点法：如果已知函数经过某个特殊点，可以通过该特殊点的信息来确定函数解析式。例如，如果已知函数经过原点，则可以确定函数的截距。

4. 已知导函数法：如果已知函数的导函数，可以通过积分来确定函数解析式。这种方法适用于一些需要通过积分来确定函数解析式的问题，如定积分、不定积分等。

总之，求函数解析式的方法取决于已知条件和问题的性质，需要根据具体情况选择合适的方法。

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. 高中数学：函数解析式的十一种方法

一、定义法

二、待定系数法

三、换元（或代换）法

四、配凑法

五、函数方程组法

七、利用给定的特性求解析式. 六、特殊值法

八、累加法

九、归纳法

十、递推法

十一、微积分法

一、定义法：

【例1】设23)1(2xxxf，求)(xf.

2]1)1[(3]1)1[(23)1(22xxxxxf =6)1(5)1(2xx

65)(2xxxf

【例2】设21)]([xxxff，求)(xf.

【解析】设xxxxxxff111111121)]([xxf11)(

【例3】设33221)1(,1)1(xxxxgxxxxf，求)]([xgf.

【解析】2)(2)1(1)1(2222xxfxxxxxxf

又xxxgxxxxxxxxg3)()1(3)1(1)1(3333

故2962)3()]([24623xxxxxxgf

【例4】设)(sin,17cos)(cosxfxxf求.

【解析】)2(17cos)]2[cos()(sinxxfxf .

. xxx17sin)172cos()1728cos(.

二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

【例1】 设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf

【解析】设baxxf)( )0(a，则

babxabbaxabxafxff2)()()]([

342baba 3212baba　或　　

32)(12)(xxfxxf　　或　　

【例2】已知1392)2(2xxxf，求)(xf.

【解析】显然，)(xf是一个一元二次函数。设)0()(2acbxaxxf

学科教学　２０１３年３月１８日　柬　数露薪　曲茗千　文／陈蔼玲　摘要：通过九种求函数解析式的方法来掌握函数解析式的求法，它们是定义法、换元法、配凑法、方程组法、待定系数法、递推法、　归纳法、赋值法、导数法。　关键词：函数；解析式；相互联系　已知函数关系求函数解析式，常常用到一些重要的解题方法　和技巧＿为了更好地帮助学生学习和掌握求函数解析式的方法．现　归纳出九种方法．　一、定义法　根据函数的定义及性质，化对应法则或性质为解析式．　例１．若ｙ　）是奇函数，当ｘ＞０时　）　（１叫），求当ｘ＜Ｏ　时，，（　）的解析式．　解　）是奇函数，则／（　）：　）　设　＜０，则　＞０　．・．　一）：　［１一（　）］＝　）　即　）　（１＋ｘ）　．・．当ｘ＜０时　）　（１＋ｘ）　二、换元法　已知复合函数ｙ　ｇ（　）］＝＾（　），其中ｇ（　）和　（　）的解析式已　给出，求　）．可先换元，令￡－ｇ（　），然后将反函数ｘ＝ｇ一　（　）代入　ｆｉｇ（ｘ）］＝　（　）得ｆ（ｔ）＝ｈ［ｇ－　（ｔ）］．　例２．若　）满足＿尸（１一）一２ｘ￣ｌｎｘ）＋ｘＺｌｎｘ＝Ｏ且　０）＝０，求　）．　解：利用求根公式得　ｌ眦）：　（　±、／　一）　：胜　、／Ｔ＝：　令ｌｎｘ＝ｔ，则　＝ｅ　．・．ｆ（ｆ）＝ｅ　±ｅ　、／Ｔ　，又　０）＝０　．・．ｆ（ｔ）＝ｅ＇－ｅ　，即　）＝　ｅ　～厂１　三、配凑法　复合函数　ｇ（　）］＝　（　），将ｇ（　）看成　（　）的自变量，把　（　）　配凑成关于ｇ（　）形的式子，从而直观地看出函数的对应法则．　例３．已知．　）：　＋Ｌ＋　，求　）．　一　解：，（　）　：　＋　‘　：（　一）２一旦生＋１　即　）　－ｘ＋１　四、方程组法　已知函数关系式　）＋　ｇ（　）］＝　，（　），如果用ｇ（　）替代　可　得　ｇ（　）］＋　）＝　（　）则可将两式构成方程组，通过解方程组的　方法求出，（　）．此法经常结合换元思想．　例４．若函数，（　）满足条件２ｆ（一ｓｉ　）＋　ｓｉ眦）＝４ｓｉ眦ｃｏ　，求　）．　解：令ｔ＝ｓｉｎｘ，则ｃｏｓ　＝ｘ／ｉ－－￣－（一　≤　≤孚）　６０团圆　．・．　一　）＋　ｔ）＝４ｔ、／Ｔ二　①　用一ｔ替代①中的ｔ得　ｆ）＋　一￡）一４ｔ　②　解①②构成的方程组，消去　一ｔ），得Ｊ￣ｔ）＝４ｔ、／ｉ＝　即ｇｘ）＝乱、／　五、待定系数法　根据题设先判断出所求解析式的类型，再设出待定系数，如　设．，（　）＝　。　＋．．…・＋　，然后解出系数ａｏ，ａ　…一，％的值．　例５．已知，　）］｝＝２７ｘ＋１３，求　）．　分析：因为ｆ（ａｘ＋ｂ）不改变厂（　）的次数，所以，复合函数　厂　［，（　）］ｌ不改变　）的次数，则可设ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ．　解：设／（　）＝　＋６，则／　）］　ａｘ＋ｂ）　（　＋６）＋６＝　＋６（ｎ＋１）　几ｒ　）］｝　舶（叶１）］：ｏ［　＋６（０＋１）］＋６＝　＋６（　叶１）　．・．０　＋６（０２＋叶１）＝２７ｘ＋１３　解方程组｛　叶１）：１３得｛瘩　．’　ｘ）＝３ｘ＋ｌ　例６．　ｘ＋１）　一１）＝　２＋　，求　）．　分析：此题与例５一样，厂（ｘ＋１）与　一１）不改变　）的次数，　所以，可设　）＝ａｘ２＋ｂ斛ｃ，然后进行计算．　六、递推法　充分利用递推关系，寻求变量间的内在联系．但解题中许多递　推关系并不那么明显，必须剖析，甚至构造，因此，技巧性比较强．　我们可以从一些求数列通项的技巧性方法中得到启发．　例７．已知定义在Ｎ　上的函数ｆ（ｘ）满足厂（１）＝２，厂（２）＝１４，　ｆ（３）＝２５４，且／（ｎ）亏，（ｎ一１）［，　一１）＋４］＋２，　≥２，求　）．　解：由　ｎ）　ｎ一１）【，（ｎ一１）＋４］＋２　尸（ｎ一１）＋　Ｉ　一１）＋２　＝［　ｎ一１）＋２］２＿２　。　得递推公式　ｎ）＋２＝［　ｎ一１）＋２］　所以　２）＋２＝［，【１）＋２］：＝（２：）：＝２　ｇ３）＋２＝［，（２）＋２］：＝（２　）２＝２　４）＋２＝［　３）＋２］：：（２　）２＝２　于是厂（ｎ）＋２：２　，所以　ｎ）＝２　一２．　例８．已知定义在Ｎ上的函数满足　１）＝２，Ｈ．ｆ（ｘ＋１）－Ｚｆ￣ｘ）一３，　求，（　）．　解　ｘ＋１）＝　）一３可得　＋１）一１＝４　）一１］　所以　２）一１＝４［　１）一１］＝４　３）一１＝４［　２）一１］＝４２　４）一ｌ＝４［　３）一１］＝４ｓ

一、函数解析式的常用求解方法

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。

（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。

（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

二、函数解析式的求解九种方式：

1.代入法：

已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式. [例1] 若f(x)=2x＋1,g(x)=x－1, 求f[g(x)],g[f(x)].

2. 换元法

已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=tx=(t),则f(t)=h[(t)],再将t换成x即可.但要注意换元前后变量的等价性。

[例2] 已知f( +1)= x+2 ,求f(x),f(x+1).

3.配凑法

已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。若能将h(x)用g(x)表示,

然后用x去代换g(x),则就可以得到f(x)的解析式。

[例3] 已知f(x+ )= x3 + , 求f(x)，f(x+1).