高中函数解析式的七种求法

2021.03.09 欧阳法创编

2021.03.09

2021.03.09 欧阳法创编

2021.03.09 求函数解析式的九种常用方法

时间：2021.03.09 创作：欧阳法

一、换元法

已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式， 把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。

例1 已知f（xx1）=

xxx1122，求f（x）的解析式.

解： 设xx1= t

，则 x=

11t （t≠1），

∴f（t）= 111)11(1)11(22ttt= 1+2)1(t+（t－1）= t2－t+1

故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）.

评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.

二、配凑法

例2 已知f（x+1）= x+2x，求f（x）的解析2021.03.09 欧阳法创编

2021.03.09

2021.03.09 欧阳法创编

2021.03.09 式.

解： f（x+1）= 2)(x+2x+1－1=2)1(x－1，

∴ f（x+1）= 2)1(x－1 （x+1≥1），将x+1视为自变量x，则有

f（x）= x2－1 （x≥1）.

评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.

三、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日 求函数的解析式之老阳三干创作

时间：二O二一年七月二十九日

一、解析式的表达形式——解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等.

1、一般式是大部分函数的表达形式,例

一次函数：bkxy)0(k

；二次函数：cbxaxy2)0(a

正比例函数：xky)0(k ；正比例函数：kxy)0(k

2、分段式：函数在定义域的不合子集上对应法例不合,可用n个式子来暗示函数,这种形式的函数叫做分段函数.

例1、设函数,1,log1,,2)(81xxxxfx,则满足41)(xf的x的值为.

3、复合式：若y是u的函数,u又是x的函数,即),(),(),(baxxguufy,那么y关于x的函数baxxgfy,,)(叫做f和g的复合函数.

例2、已知3)(,12)(2xxgxxf,则)(xgf,)(xfg.

二、解析式的求法—按照已知条件求函数的解析式,经常使用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等.

1待定系数法——若已知函数为某种基本函数,可设出解析式的表达形式的一般式,再利用已知条件求出系数.

例3、已知二次函数)(xfy满足),2()2(xfxf且图象在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为22,求函数)(xfy的解析时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日 式.

阐发：二次函数的解析式有三种形式：

① 一般式：)0()(2acbxaxxf

② 顶点式：为函数的顶点点其中khakhxaxf,,0)()(2

③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121xfxxaxxxxaxf

2、换元法——例4、已知：11)11(2xxf,求)(xf.

注意：使用换元法要注意t的规模限制,这是一个极易忽略的地方.

ＺＸＬＫＴＸ　函数解析式七　口冶文荣　求函鼓的解析式．就是求两十变量之间的函数关系。它包　括球出两十变量之间的对应法则和函鼓的定义域。　下面介绍几种求函数解析式的常用方法　一　代　法　倒ｌ设ｆ（ｘ）＝—　．＿：，Ｌ（ｘ）＝ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）】Ｉ，求　√１　ｘ　ｆ．（ｘ）的解析式。　解：．’ｆ（ｘ）＝—　＝，则　√１＋　ｆ　（　）：ｆ［ｆ（　）］＝—　：：—　：　√ｌ＋ｆ　（ｘ）　√１＋２ｘ　Ｌ（ｘ）＝ｆ｛ｆ［ｆ（ｘ）】Ｉ：ｆ［ｆ　（ｘ）］＝—　－＿　√ｌ＋３ｘ　假设ｆ　（ｘ）＝—：　＝：－．那么　、／ｌ＋ｋｘ　（ｘ】＝ｆ【　（ｘ】］＝—＝＝＝三　＝＝＝－　、／１＋（ｋ＋ｉ）ｘ　．Ｌ（ｘ）＝—＝　＝＝＿　√ｌ　ｎｘ　此法一般甩于求复台函数的解析式。若Ｙ＝ｆ（ｕ），ｕ＝ｇ　（ｖ）．ｖ＝中（ｘ），隶以Ｘ为白变量的函数Ｙ的解析式．其方法是　把ｖ＝　（ｘ）代八ｕ＝ｇ（ｖ），｛寻ｕ＝ｇ［中（ｘ）】，再把Ｕ＝ｇ［甲（ｘ）］　代八Ｙ＝ｆｌｕ）中．即得Ｙ＝ｆ｛ｇ［　（ｘ）］Ｉ．　＝　换元法　倒２髁ｆ（÷）　奇琊　（ｘ）＝——。　解：设　：ｔ，别　：　Ｘ　ｔ　ｆ（ｔ）＝———　１一ｆ　ｆｉｘ）　了ｘ—ｉ　已知ｆ［ｇ（ｘ】］＝乎（ｘ），要求ｆｉｘ）的表达式时．—般先考虑　ｇ（ｘ）有投有反函鼓．当ｇ（ｘ）有反函数时．夸ｔ＝ｇ（ｘ），得：Ｘ＝　ｇ－Ｌ（ｔ）．代　抛得＝　（ｘ）：　［ｇ　（ｔ）】，．ｆｉｘ）＝牛［ｇ　）］　这件方法称为直接换元法。当ｇ（ｘ　投有反函数时，一般用直接　换元法根难求出ｆ（ｘ）的解析式，而采用先凑台（配方）后换元的　方法．不妨称这种方法为间接换元法　例３．Ｂ知ｆ（ｘ一÷）：ｘ　＋｛　．求ｆ（ｘ】。　Ｘ　Ｘ　解：夸Ｘ一二＝ｔ，则ｆ（ｔ）＝（Ｘ一　）　＋２＝ｔ　＋２　Ｘ　Ｘ　．　ｆｉｘ）＝ｘ　＋２　三、特定系救法　倒４已知ｆ（ｘ）是图像过原点的二次函数且｝青足ｆ（ｘ＋１）＝　ｆｉｘ｝＋Ｘ＋１．试求函数ｆｉｘ）的解析式　解：依题意设ｆ（ｘ）：ａ　ｘ｜＋ｂｘ．则　ｆ（ｘ＋１）＝ａＸ　＋（２ａ＋ｂ）ｘ　ａ＋ｂ　ｆ（ｘ）　Ｘ＋ｌ：ａｘ　＋（ｂ＋１）Ｘ＋ｌ　比较系数得：｛。２ａ＋＋ｂ　ｂ　得ａ＝÷，ｂ＝÷　．＿．ｆｉｘ）＝丁１　ｘｚ　丁１　四、■口羁簦腑　倒５设２ｆ（ｘ）＋３ｆ（　）：ｘ．求ｆ（ｘ）　解：以　代替原式中的ｘ，再与原式联立得：　ｆ２Ｉ（÷）＋３ｆ（ｘ）：　＠　Ｊ　ｘ　Ｘ　１　２ｆ（ｘ）＋３ｆ（　）：ｘ②　由①②消去ｆ（—ｌ＿】得：ｆ（ｘ）：立；　（ｘ≠ｏ）　五　数学归纳法　例６．设ｆｉｎ）＝２ｎ＋１　ｇ（ｎ卜｛｝【ｇ　］　其中ｒｘ∈Ｎ．求函数ｇ（ｎ）的解析式。　解：（１）．ｇ（１）＝３＝２　一ｌ　ｇ（２）＝２ｇ（１）＋ｌ：２×３＋ｌ＝７＝２　一ｌ　ｇ（３）＝２ｇ（２）＋ｌ：２×７＋１＝１５＝２　一ｌ　（２）假设ｎ＝ｋ　Ｂｅｇ（ｋ）＝２…一１．　么　ｇ（ｋ＋１）：２ｇ（ｋ】＋ｌ＝２（２　“一１）＋１　２　一１　由（１）、（２）知对于所有的自然数ｎ都有ｇ（ｎ）＝２”　一ｌ　六　ｌ滢推法　倒７．已知ｆｉｎ）＝Ｐ（ｎ一１），ｆ（１）＝３，ｎ∈Ｎ．求ｆ（ｎ）的解　二：！！！！．塑！！！！＝＝　胃ｊ母教膏枷

欢迎共阅 第一讲 函数的解析式的求法

淮南一中 高一年级 许晨

求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.

一． 换元法

题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.

练习1．若xxxf1)1(,求)(xf.

二．配变量法

题2．已知221)1(xxxxf, 求)(xf的解析式.

练习2．若xxxf2)1(,求)(xf.

三．待定系数法

题3．设)(xf是一元二次函数, )(2)(xfxgx,且212)()1(xxgxgx,

求)(xf与)(xg.

练习3．设二次函数)(xf满足)2()2(xfxf,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求)(xf的表达式.

四．解方程组法

题4．设函数)(xf是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式xxfxf4)1(2)(3,求)(xf的解析式.

练习4．若xxxfxf1)1()(,求)(xf.

五．特殊值代入法

题5．若)()()(yfxfyxf,且2)1(f，

求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(ffffffff.

练习5．设)(xf是定义在N上的函数,且2)1(f,21)()1(xfxf，求)(xf的解析式.

六．利用给定的特性求解析式.

题6．设)(xf是偶函数,当x＞0时, xexexf2)(,求当x＜0时，)(xf的表达式.

练习6．对x∈R, )(xf满足)1()(xfxf,且当x∈[－1,0]时, xxxf2)(2求当x∈[9,10]时)(xf的表达式.

七．归纳递推法

题7．设11)(xxxf,记)]([)(xfffxfn,求)(2004xf.

欢迎共阅 八．相关点法

题8．已知函数12)(xxf,当点P(x,y)在y=)(xf的图象上运动时,点Q(3,2xy)在y=g(x)的图象上,求函数g(x).