求函数解析式的三种常用方法

高考求函数解析式方法及例题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 函数专题之解析式问题

求函数解析式的方法

把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。

求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知()fx求[()]fgx或已知[()]fgx求()fx：换元法、配凑法；

（3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）()fx满足某个等式，这个等式除()fx外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

一 【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

若已知)(xf的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(xf的表达式。

【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=，f(x-1)=

解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7

【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7

分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=

解：设f(x)=ax+b（a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7

∴xa3+b(2a+a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1

【评注：】

待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

待定系数法()fx22(2)fx(2)fx设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。xy()fx例题： 3 解法一、1222xxa2248baca21()212fxxx1c又1,2,12abc解得2()(0)fxaxbxca设(2)(2)fxfx由40ab得

1 方程组法求函数解析式的三种常见类型

切入点：根据条件关系重新构造一个条件，通过建立方程组，结合消元法进行求解即可.

一、)1()(xfxf与 型解析式

根据xx1,互为倒数关系，令x取x1进行整理即可.

例1.若)(xf满足）（0,3)1()(2xxxfxf，求函数)(xf的解析式.

解：∵）①（0,3)1()(2xxxfxf，

∴将①中的x用x1替换，得xxfxf3)()1(2 ②，

①×2得：xxfxf6)1(2)(4 ③

③-②得xxxf3-6)(3，

得)0(1-2)(xxxxf，.

二、)-()(xfxf与 型解析式

根据xx-,互为相反数关系，令x取x-进行整理即可.

例2.若)(xf满足xxfxf3)()(2，求函数)(xf的解析式.

解：∵xxfxf3)()(2，①

∴将①中的x用x-替换，得xxfxf3)()-(2

②，

①×2得：xxfxf6)-(2)(4 ③

③-②得xxf9)(3，

得xxf3)(.

三、奇偶函数型解析式

例3.已知函数)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，满足2)()(xxgxf，求函数)(xf的解析式. 解：∵2)()(xxgxf，①

∴2)()(xxgxf，

∵函数)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，

∴2)()(xxgxf ，②

①-②得xxf2)(2，则xxf)(.

练习：

1. 函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，则)2(f的值

A. 1 B.1- C. 23- D.23

2.函数)(xf满足xxfxf3)(2)(，则)2(f的值

A. 6 B. -6 C. -2 D.2

3.函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，则)2(f的值

A.23- B.23 C. 25- D.25

4.函数)(xf满足11)1(2)(xxfxf，则)2(f的值

二次函数三种解析式的求法

二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。

第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：

k = a(x-h)²

y₁ = a(x₁-h)² + k

通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。将顶点坐标代入第一个方程，可得：

3 = a(2-(-1))²

解得a = 1/3。然后将a的值代入第二个方程，可得：

5 = (1/3)(2-(-1))² + 3

化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。

第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程： f(x) = a(x-h)² + k

代入|k|，可得：

f(x) = a(x-h)² + |k|

通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。

例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。我们可以代入上述方程进行求解。将顶点坐标代入方程，可得：

5 = a(2-(-1))² + 3

化简后得到a = 1/3。然后将a的值代入方程，可得：

f(x) = (1/3)(x+1)² + 3

这就是二次函数的解析式。

第三种求法是通过已知的三个点坐标来确定二次函数的解析式。假设已知三个点的坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)，我们可以将这些点的坐标代入二次函数的一般形式f(x) = ax² + bx + c，得到三个方程：

求函数解析形式的六种常用方法

函数解析形式是数学中用来描述函数的一种表达方式，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。在数学中，常用的函数解析形式有以下六种方法：

1.代数形式：

函数的代数形式是最常见和常用的一种函数解析形式，它通常由代数表达式来表示。代数形式可以简单地写成一个关系式，其中包含变量、常量和运算符。例如，函数f(x)=x^2就是一个代数形式的函数。

代数形式的函数通常使用常见的代数表达式，如多项式、有理函数、指数函数、对数函数等。代数形式的函数可以通过代数运算和代数性质来进行分析和计算。

2.增长率形式：

增长率形式是描述函数增长速度的一种函数解析形式。它表示函数在自变量不断变大的情况下，函数值的增长趋势。增长率形式可以用线性函数、指数函数、对数函数等方式来表示。

例如，函数 f(x) = kx 就是增长率形式的函数，其中 k 表示增长率。在这种函数中，函数值与自变量成正比例关系，增长率 k 决定了函数的增长速度和趋势。

3.几何形式：

几何形式是用几何图形来描述函数的一种函数解析形式。它通过几何图形或者几何关系来表示函数的性质和特征。 例如，圆的面积函数f(r)=πr^2就是几何形式的函数，其中r表示圆的半径。这个函数表示半径为r的圆的面积，通过几何形式可以直观地理解函数的性质。

几何形式的函数通常使用几何图形、平面几何或者空间几何的相关概念和原理来进行描述。

4.微分形式：

微分形式是用微积分的相关概念和运算来描述函数的一种函数解析形式。它通过求导数来表示函数的变化率、斜率等性质。

例如，函数f(x)=x^2的微分形式可以写成f'(x)=2x，其中f'(x)表示函数f(x)在x的导数。微分形式可以帮助我们研究函数的极值、拐点、切线、凹凸性等性质。

微分形式的函数通常使用导数、极限、微分等微积分概念来进行分析和计算。

5.积分形式：

积分形式是用积分的相关概念和运算来描述函数的一种函数解析形式。它通过求定积分来表示函数的面积、曲线长度等性质。