函数解析式求解常用的方法

求函数解析式的六种常用方法

一、换元法

已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式.令g（x）= t ，求f（t）的解析式，再把t换为x即可.

例1 已知f（xx1）= xxx1122，求f（x）的解析式.

解： 设xx1= t ，则 x= 11t （t≠1），

∴f（t）=

111)11(1)11(22ttt= 1+2)1(t +（t－1）= t2－t+1

故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）.

评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.

二、配凑法

例2 已知f（x+1）= x+2x，求f（x）的解析式.

解： f（x+1）= 2)(x+2x+1－1=2)1(x－1，

∴ f（x+1）= 2)1(x－1 （x+1≥1），将x+1视为自变量x，则有

f（x）= x2－1 （x≥1）.

评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.

三、待定系数法

例3 已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.

解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 ①

f（x+1）= a2)1(x+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b ②

由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得

822babba 解得 .7,1ba 故f（x）= x2+7x.

评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式. x≥0，

x＜0. 四、消去法

例4 设函数f（x）满足f（x）+2 f（x1）= x （x≠0），求f（x）函数解析式.

分析：欲求f（x），必须消去已知中的f（x1），若用x1去代替已知中x，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可.

解：∵ f（x）+2 f（x1）= x （x≠0） ①

函数解析式的求解及常用方法

1.直接法：当函数的表达式比较简单时，可以通过观察函数在一些特定点上的值来找到函数的解析式。例如，给定函数的函数值和定义域，通过观察函数的值与自变量之间的关系来确定函数的解析式。

2. 反函数法：对于一些特殊函数，可以通过求解函数的反函数来得到函数的解析式。例如，对于幂函数y=x^n，可以通过求解其反函数y=\sqrt[n]{x}来得到幂函数的解析式。

3.已知条件法：对于一些已知条件，可以通过利用这些条件来求解函数的解析式。例如，已知函数的导函数或者积分表达式，可以利用这些条件来求解函数的解析式。

4.递归法：有些函数可以通过递归的方式来定义，即函数的值依赖于前面的函数值。例如，斐波那契数列就是通过递归来定义的，可以通过递归的方式来求解函数的解析式。

5.求导和积分法：对于一些函数，可以通过求导和积分的方式来求解函数的解析式。特别是对于一些常见的函数，可以通过求导和积分的规则来求解函数的解析式。

以上是常用的函数解析式求解方法，不同函数的特点和已知条件可能需要采用不同的方法来求解函数的解析式。在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来求解函数的解析式。

求函数解析式常用的方法：

1）待定系数法

根据已知条件设出一个含有待定系数的代数式或函数式或方程，然后利用恒等式的性质，或将已知条件带入，建立起方程组，通过方程组而求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，找出原来已知系数间存在的关系，这种方法叫做待定系数法。

2）换元法

换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的基本功能是化难为易、换繁为简，以快速实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的，常见的换元法是多种多样的，诸如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元、平均换元等等，它的应用极为广泛。

3）配凑法

根据具体解析式凑出复合变量的形式，从而求出解析式。

1） 消元法

此法的实质是解函数方程

5）赋值法

此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律。

一、函数解析式的常用求解方法

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

（2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。

（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。

（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

（5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

二、函数解析式的求解九种方式：

1.代入法：

已知f(x)的解析式,求f[g(x)] 的解析式. [例1] 若f(x)=2x＋1,g(x)=x－1, 求f[g(x)],g[f(x)].

2. 换元法

已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式.令g(x)=tx=(t),则f(t)=h[(t)],再将t换成x即可.但要注意换元前后变量的等价性。

[例2] 已知f( +1)= x+2 ,求f(x),f(x+1).

3.配凑法

已知f[g(x)]=h(x), 求f(x)的解析式。若能将h(x)用g(x)表示,

然后用x去代换g(x),则就可以得到f(x)的解析式。

[例3] 已知f(x+ )= x3 + , 求f(x)，f(x+1).