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七年级数学下册第四章三角形1认识三角形三角形的认识讲义(无答案)(新版)北师大版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN三角形的认识【基础知识】知识点1 三角形的定义1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
表示：三角形可用符号“△”表示，如右图三角形记作：△ABC2.一个三角形有三条边，三个角、三个顶点如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c 知识点2 三角形的性质1.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。
三角形的内角关系：三角形内角和为1803.三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
其中直角三角形的两个锐角互余知识点3 三角形的中线、角平分线和高线三角形的重要线段概念图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段∵AE是△ABC的AB上的高线.∴CE⊥AB∠AEC=∠BEC=90°.三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段∵ AD是△ABC的BC上的中线.∴ BD=CD= ½BC三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段∵.AE是△ABC的∠ABC的平分线∴∠1=∠2=ABCabc- 2 -结论总结：【典例剖析】例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，(1)再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗为什么(2)如果取一根长度为13cm的木棒呢？(3)聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？例2.若△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足 . ,如果b=4,问这样的三角形有几个?例3.已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。
北师大版七下数学4.1认识三角形（第1课时）说课稿一. 教材分析北师大版七下数学4.1认识三角形是初中学段数学课程的一部分，本节课的主要内容是让学生掌握三角形的概念、特性以及分类。
通过本节课的学习，使学生能够认识三角形，了解三角形的性质，能够运用三角形的知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线的基本知识，对图形的认知有一定的基础。
但是，对于三角形的特性以及分类，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从简单到复杂，逐步引导学生掌握三角形的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解三角形的概念，掌握三角形的特性，了解三角形的分类。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学与生活实际的联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的概念、特性以及分类。
2.教学难点：三角形的高的概念以及计算方法的掌握。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的三角形实例，引导学生回顾已学的线段、射线知识，为新课的学习做好铺垫。
2.探究新知：（1）介绍三角形的概念：让学生观察课件中的三角形实例，引导学生发现三角形的特征，从而总结出三角形的定义。
（2）探讨三角形的高：通过几何画板演示，让学生直观地理解三角形的高的概念，并引导学生掌握计算三角形高的方法。
（3）介绍三角形的分类：让学生观察不同类型的三角形，引导学生根据三角形的特性进行分类。
3.巩固练习：设计一些有关三角形的问题，让学生运用所学知识解决问题，巩固新学的知识。
4.课堂小结：对本节课的内容进行总结，使学生对三角形有更清晰的认识。
七年级数学下册第四章三角形4.1认识三角形4.1.3认识三角形说课稿新版北师大版一. 教材分析七年级数学下册第四章三角形4.1认识三角形4.1.3认识三角形是北师大版初中数学的一个重要内容。
本节课主要让学生了解三角形的定义、性质以及三角形的基本分类。
通过本节课的学习，使学生能够理解三角形的基本概念，掌握三角形的基本性质，为后续学习三角形的相关知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于三角形的定义、性质和分类，学生可能还存在一定的模糊认识。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，引导学生逐步理解和掌握三角形的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形的定义、性质和分类，能够识别各种类型的三角形。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学与生活实际的联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的定义、性质和分类。
2.教学难点：三角形性质的证明和应用，三角形分类的判断。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作交流法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、教具模型等，辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引导学生认识三角形，激发学生的学习兴趣。
2.探究三角形的基本性质：让学生观察、操作、思考，总结出三角形的基本性质。
3.讲解三角形的分类：根据三角形的性质，讲解三角形的分类，引导学生理解各类三角形的特点。
4.实践应用：通过练习题，让学生运用所学的三角形知识解决问题，巩固所学内容。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，使学生形成系统化的知识体系。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出三角形的基本性质和分类。
全等三角形的性质及判定运用知识清单全等三角形的认识与性质 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．考点扫描板块一 全等三角形的认识【例1】 (四川遂宁)已知ABC ∆中，AB BC AC =≠，作与ABC ∆只有一条公共边，且与ABC ∆全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．【例2】 如图所示，ABD CDB ∆∆≌，下面四个结论中，不正确的是（ ）A.ABD ∆和CDB ∆的面积相等B.ABD ∆和CDB ∆的周长相等C.A ABD C CBD ∠+∠=∠+∠D.AD BC ∥，且AD BC =【拓展延伸1】已知ABC DEF ≌△△，DEF △的周长为32cm ，912DE cm EF cm ==，，则AB = ，BC = ，AC = ．板块二、三角形全等的判定与应用DCBA全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASAAAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)． ⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．平移全等模型【例3】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．【例4】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【拓展延伸1】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．对称全等模型【例5】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【拓展延伸1】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【拓展延伸2】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．【例6】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【拓展延伸1】在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．基本旋转全等模型【例7】 （成都市高中阶段教育学校统一招生考试)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．【例8】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：AC BD ∥．【例9】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．F DC BAM EDC BAK 字型模型【例10】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．【拓展延伸】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．课后作业1、判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ．全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ．2、不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A ．三边对应相等B ．两边及其夹角相等C ．两角和任一边对应相等D ．三个角对应相等3、如图，ABC △中，90C AC BC AD ∠=︒=，，平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E 且6AB cm =，则DEB △的周长为（ ）A ．40 cmB ．6 cmC ．8cmD ．10cmPDQCBEAEDCBA4、如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为 （ ） A ．40°B ．35°C ．30°D ．25°5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．6、如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．7、如图所示，C 是AB 的中点，CD CE =，DCA ECB ∠=∠，求证DAE EBD ∠=∠．8、如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．全等三角形与旋转问题知识清单把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ，得到图形G '，这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换，点O 叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G '叫做G 的象；G 叫做G '的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．很明显，旋转变换具有以下基本性质：①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角．旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．考点扫描“拉手”模型【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．【例2】 如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC于M ，N 点．求证：CM CN =．【拓展延伸1】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．【拓展延伸2】如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．C AB ACM ∆CBN ∆D ANE BM CDE ∆等边三角形共顶点模型【例3】 如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．等腰直角三角形共顶点问题【例4】 如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．【拓展延伸1】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．正方形旋转模型【例5】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．ABC ∆DEC ∆C AE BD=ABC 90B =︒∠AB a =O AC EO OF ⊥BE BF+OGHK ABCD O E F AE CF AB +=E F ABCD BC CD 45EAF =︒∠AH EF ⊥H AH AB =【拓展延伸1】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．【例6】 以△ ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE=BG ，且CE ⊥BG ．对角和180°模型【例7】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．ABCD 1F CD AE BAF ∠BC E AF DF BE =+OGFEDCA【例8】 (1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD ．求证：EF ＝BE FD;(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ B+∠ D ＝，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠ EAF=∠ BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．90︒12+FED CBA180︒12FEDB A课后作业1、如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．2、(湖北省黄冈市初中毕业生升学考试)已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．3、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．4、在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化．5、如图，正方形中，．求证：．ABC ∆ADE ∆B C D CE AC CD+E ABCD AB D DF DE ⊥BC F DE DF=C AB ACM ∆CBN ∆CG CH ACN ∆MCB ∆CG CH=ABC ∆90ACB ∠=o AC BC =M AB P B C MQ MP ⊥AC Q MPQ∆ABCD FAD FAE ∠=∠BE DF AE +=6、等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．全等三角形与中点问题知识清单三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．考点扫描倍长中线模型【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【拓展延伸1】已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．ABD ∆CBD ∆E BE AD ⊥A D 、F CD 1AE CF +=E F 、BEF∆【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【拓展延伸1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例3】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB类倍长中线模型【例4】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【拓展延伸1】在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？中位线的运用【例5】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．【例6】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．【例7】 如图，在五边形ABCDE 中，，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．课后作业1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？3、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．全等三角形与角平分线问题知识清单与角平分线相关全等问题 角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，考点扫描角平分线基本性质与全等的关系【例1】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．【例2】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【拓展延伸1】如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．【拓展延伸2】如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．两边作垂线问题【例3】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？【拓展延伸1】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于F EG AC⊥于G ．求证：BF CG =．作角平分线的垂线问题【例4】 如图所示，在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．【例5】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．取线段长度相等【例6】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．【例7】 如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．课后作业1、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=．求:B C ∠∠的值．2、如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥于E ．求证：AD AE =．3、如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．4、如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．全等三角形截长补短及方法总结知识清单常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中点或中线，倍长中线或倍长类中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．考点扫描截长模型【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B ∠的平分线时，有AD BC AB +=．“补短”模型【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．补形法【例5】 如图，在四边形ABCD 中，90A C ︒∠=∠=，AB AD =，若这个四边形的面积为16，则BC CD+=___________.对称法【例6】 如图，ABC △中，由点A 作BC 边上的高线，垂足为D . 如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.旋转法【例7】 正方形ABCD 中，E 为上的一点，F 为CD 上的一点，BE DF EF +=，求EAF ∠的度数.【拓展延伸1】如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP AQ ⊥，交AQ 于R ，交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP OQ ，．求证：OP OQ ⊥．割补面积法【例8】 如图P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的中点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC⊥于点D ，，求证：PE PF AD +=．【拓展延伸1】如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC ⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?【例9】 如图，点P 为正三角形ABC 内任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，PG AB ⊥于点G ，AD ⊥BC 于点D ．PE 、PF 、PG 、AD 之间存在怎样的数量关系?。
三角形的认识【基础知识】知识点1 三角形的定义1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
表示：三角形可用符号“△”表示，如右图三角形记作：△ABC2.一个三角形有三条边，三个角、三个顶点如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c知识点2 三角形的性质1.三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。
三角形的内角关系：三角形内角和为1803.三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
其中直角三角形的两个锐角互余知识点3 三角形的中线、角平分线和高线结论总结：ABCabc【典例剖析】例1.有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，(1)再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？(2)如果取一根长度为13cm的木棒呢？(3)聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？例2.若△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足 . ,如果b=4,问这样的三角形有几个?例3.已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。
例4.判断满足下列条件的ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形；（1）80,25A B∠=∠=（2）30,36A B B C∠-∠=∠-∠=（3）1126A B C∠=∠=∠例5.三角形ABC的一个内角度数为40，且A B∠=∠，求C∠的外角的度数。
变式1：在直角三角形中，两个锐角的差为40°，求这两个锐角的度数。
c ≤≤a b变式2：如右图，已知△ABC 中，∠1=27°，∠2=85°，∠3=38°求∠4的度数例6.1.如图1，三角形ABC 中，D 为BC 上的一点，且S △ABD=S △ADC ，则AD 为（ ）.A.高B.角平分线C.中线D.不能确定如图2，已知∠1＝∠2，则AH 必为三角形ABC 的（ ）.A.角平分线B.中线C.一角的平分线D.角平分线所在射线3.如图3，AE ⊥BC 于E ，试问AE 为哪些三角形的高？变式：如图，（1）共有 个直角三角形（2）高AD.BE.CF 相对应的底分别是 、 、 。
（3）AD=3.BC=6.AB=5.BE=4， 则S △ABC = 、CF = 、 AC =例7.已知非直角三角形ABC 中，45A ∠=，高BD 和CE 所在的直线交于H ，求BHC ∠的度数。
例8.△ABC 中，若∠A=800，I 为三条角平分线交点，则∠BIC= ． 例9.如图，ABC ∆的周长为9，AD 为中线，ABD ∆的周长为8，ACD ∆的周长为7，求AD 的长。
例10. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，DE 平分∠ADC ，且∠A ＝40°，求∠BCD 和∠CED.【随堂练习】AB D C1 3知识点1 三角形的边1.用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm和10cm，第三根小棒可取（）Ａ、2０ｃｍＢ、 3ｃｍＣ、11ｃｍＤ、 2ｃｍ2.下列三条线段，不能组成三角形的是（）A. 3 4 6 B 、 8 9 15 C 、20 18 5 D. 16 30 143.已知等腰三角形一边等于5cm，一边等于10cm，另一边应等于（）Ａ、５ｃｍＢ、 1０ｃｍＣ、５或1０ｃｍＤ、 12ｃｍ4.一个三角形的两边分别是5cm和11cm，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是（）Ａ、2ｃｍＢ、４ｃｍＣ、６ｃｍＤ、８ｃｍ5.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围。
若x是奇数，则x的值是。
这样的三角形有个；若x是偶数，则x的值是，这样的三角形又有个。
6.一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是cm7.一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是cm8.(1)如图，以A.B.C.D.E中的任意3个点为顶点的三角形共有_____个，请在图中画出这些三角形；（2）在第（1）小题所画的图中，以DE为一边的三角形共有_____个，它们是：___________________________.知识点2 三角形的内角1.在⊿ABC，∠A=80°，∠B=60°，则∠C= 。
2.在⊿ABC中，∠A=55°, ∠B=35°，则⊿ABC是三角形。
3.在直角三角形中，一个锐角等于25°，另一个锐角= 。
4.在⊿ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠C= 。
5.有下列三个说法，其中正确的个数是：（）①一个三角形的三个内角中最多有一个钝角②一个三角形的三个内角中至少有一个锐角③一个三角形的三个内角中至少有一个直角A．0 B.1 C.2 D.36.已知三角形的三个内角的度数之比是1：2：6，则这个三角形是三角形。
7.在⊿ABC中，∠B=∠C=21∠A，则∠A= ，∠B= ，∠C= 。
8.在⊿ABC中，∠B-∠A-∠C=30°，则∠B= 。
9.若三角形的一个内角是另外两个内角的差，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定10.直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，求这个锐角的度数。
11.如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 。
40° 2 4ABCE FD知识点3 三角形的高线、中线、角平分线1.如图1，AD 是△ABC 的∠A 的平分线，若∠B=450，∠C=740，则∠ADB= ；2.如图2，∠A=360，∠C=720，BD 平分∠ABC ，则∠ABD 的度数是 ；3.如图3，AD.BE.CF 是△ABC 的三条角平分线，则∠1= ，∠3=21，∠6= ；4.如图4，AD.BE.CF 是△ABC 的三条中线，则AB=2 =2 ，BD= ，AE=21；=∠︒=∠∆CAD BAC BC D ABC AD 那么所在的直线上），在的角平分线（是、,9056.如图AD.BE.CF 分别是△ABC 的高、中线、角平分线，下列表达式中错误的是（ ）A.AE=CEB.∠ADC=90°C.∠CAD=∠CBED.∠ACB=2∠ACF7.下列各组图形中，哪一组图形中AD 是△ABC 的高( )如图，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于E.F 为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H.下列判断正确的有（ ）.（1）AD 是三角形ABE 的角平分线. （2）BE 是三角形ABD 边AD 上的中线. （3）CH 为三角形ACD 边AD 上的高.A.1个B.2个C.3个D.0个如图所示，在△ABC 中，∠B=︒44，∠C=︒72，AD 中△ABC 的角分线，∠BAC= ，∠ADC= ；10.如图，已知在三角形ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC边上的高，求∠DBC 的度数.ADCB ABCD B CD AB C D(A )(B )(C )(D )()C 图1图2D 图4图3ABC D第8题 第9题 第10题11.如图，在ABC ∆中，︒=∠︒=∠45,60B BAC ，AD 是ABC ∆的一条角平分线，求ADB ∠的度数。
【巩固练习】1.三角形的三个内角中最多有 个锐角， 个钝角， 个直角；三角形的三个内角中最少有 个锐角。
2.如果一个三角形三个内角分别是450，450，900，那么这个三角形按角分类叫做 三角形。
3.如图1：△ABC 中，BD ＝CD ，∠1＝∠2 ，那么ED 可以看作是△ 的中线，可以看作是△ABD 的角平分线。
图1 图24.如图2：△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠B ＝400，∠C ＝700，求∠DAE 的度数。
ABDC5.按图中所给的条件，可求出∠1＝、∠2＝、∠3＝ .6.已知△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，那么这个三角形是三角形；已知△ABC中，∠A＝400，∠B＝6∠C，则∠B＝。
7.三角形的两条边的长分别是2和7,第三条边的长x的取值范围是。
8.等腰三角形的两条边长分别为4cm和7cm，那么这个等腰三角形的周长为cm ；等腰三角形的两条边长分别为2cm和9cm，那么这个等腰三角形的周长为cm 。
9.一个三角形的两条边的长分别是2和7 ，而第三边的长为奇数,那么第三边的长是；若三角形的两边长分别是2和5，且这个三角形的周长是偶数,那么第三边的长是。
10.图中三角形的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．1111.下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（）BCEBCBACEBACEA B C D12.如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得15=OA米，10=OB米，A、B间的距离不可能是（）A．5米 B．10米C． 15米 D．20米13.三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．属于哪一类不能确定14.如图，在△ABC中，90C∠=。
，EF//AB,150∠=。
,则B∠的度数为（）A．50。
B. 60。
C.30。
D. 40。
15.如图，在⊿ABC中，AD是中线，则⊿ABD的面积⊿ACD的面积（填“＞”“＜”“＝”）16.如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF ⊥CE，则∠CDF = 度。
D CB AE DCBAF（第15题图）（第16题图）17.如图,已知∠B=38°,∠C=55°,∠DEC=23°,求∠F的度数．B18.如图,D是△ABC的边BC上一点,且∠B=∠1,求证:∠2=∠BAC．【课后练习】一、填空题1.小亮、小丽和小军三位同学同时测量ABC△的三边长．小亮说：“三角形的周长是11”，小丽说：“有一条边长为4”，小军说：“三条边的长度是三个不同的整数”．请你回答，三边的长度应该是______．2.三角形的两边分别为4和5，第三边为，则的取值范围是_________．3.在△ABC中，AB=9，BC=2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长是_______．4.△ABC中，∠A=21∠B=31∠C，则三个内角分别为___________．5.一个三角形最多有__________个直角：有________个锐角；有_________个钝角．6.在△ABC中，∠A－∠B=15°，∠C=75°，则∠A=__________，∠B=__________．7.在ABC△中，A∠是B∠的2倍，C∠比A B+∠∠还大12．则这个三角形是______三角形．8.在ABC△中，2AB=，5BC=，则______AC<<______．9.两根木棒的长分别是2㎝和3㎝，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，且第三根木棒长x（㎝）是一个整数，则x是．10.在ABC∆中，若∠A：∠B：∠C=2：3：5，则此三角形按角分类应为若A∠=B∠＋C∠，则此三角形是_______三角形；若A∠＞B∠＋C∠，则此三角形是_______三角形.11.如左下图所示，在ABE∆中，AE所对的角是______，在A D E∆中，AD 是_____的对边，在ADC ∆中，AD 是_____的对边.12.如右上图，以AB 为一边的三角形共有__________个.13.如左下图，在ABC ∆中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，填空：（1）1________2BE ==；（2）1________2BAD ∠==；（3）____90AFB ∠==︒；（4）_____ABC S ∆=.14. 如右上图，AD BC ⊥，垂足为D ，若42A ∠=︒，34B ∠=︒，则C ∠=____，BFD ∠=____，AEB ∠=______.二、选择题1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．2㎝，2㎝，5㎝B ．3㎝，4㎝，7㎝C ．4㎝，6㎝，8㎝D ．5㎝，6㎝，12㎝ 2.如做下图所示，图中的三角形有（ ）A.6个B.8个C.10个D.12个3. 如右上图所示，图中三角形的个数为（ ）.（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个4.△ABC 中，三边长为a ，b ，c ，且a>b>c ，若b=8，c=3，则a 的取值范围是（ ）A.3<a<8B.5<a<11C.8<a<11D.6<a<105.两根木棒的长分别是5cm 和7cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（ ） Ａ．3种Ｂ．4种Ｃ．5种Ｄ．6中6.已知ABC △的三边长a bc ，，，化简a b c b a c+----的结果是（ ）Ａ．2aＢ．2b -Ｃ．22a b + Ｄ．22b c -7.钝角三角形的高在三角形外的条形是（ ）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．38.已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定9.根据下列条件，能确定三角形形状的是（）（1）最小内角是20°；（2）最大内角是100°；（3）最大内角是89°；（4）三个内角都是60°；（5）有两个内角都是80°．A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5）C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5）10.三角形中最大的内角不能小于（）A.30ºB.45ºC.60ºD.90º11. 如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，•那么这个三角形是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）不能确定12.已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角的度数为（）（A）60（B）75（C）90（D）12013.三角形的角平分线、中线、高线（）A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段14.下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC中BC边上的高（）15.给出下列结论：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段．②直角三角形只有一条高线．③三角形的中线可能在三角形的外部．④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点．其中正确的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16.如图1，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D.E分别在△ABC的AB和BC边上，则下列说法中错误的为（）A．△ABC中，AC是BC边上的高 B．△BCD中，DE是BC边上的高C. △ABE中，DE是BE边上的高 D．△ACD中，AD是CD边上的高三、解答题1.在ABC中，如果1123A B C∠=∠=∠，那么ABC2.等腰三角形的周长为19cm ，其中一边长为4cm ，求其它各边长．3.三角形中有一边比第二条边长3cm ，这条边又比第三条边短4cm ，这个三角形的周长为28cm ，求最短边的长．4.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，化简：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.5. 画出钝角△ABC 的高AD ，角平分线BE ，中线CF.6.将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点．线都在同一平面内，回答下列问题：图中共有多少个三角形？请把它们一一写出来；7.如图1所示，在ABC △中，已知66ABC =∠，54ACB =∠，BE 是AC 边上的高，CF 是AB 边上的高，H 是BE 和CF 的交点．求：ABE ∠，ACF ∠和BHC ∠．8.如图所示，在某海面上，客轮C 突然出现事故，马上向救护船B 发出求救信号，由于救护船A 离客轮C 比救护船B 要近，所以救护船B 立即向救护船A发出信号，A让其救护客轮C.已知救护船A 在救护船B 的北偏东45°方向上，客轮C 在救护船B 的北偏东75°上，经测量得ACB ∠=85°，问救护船A 应沿南偏东多少度的方向驶向客轮C 所用时间最短？9. 一个等腰三角形的周长为28cm ，有一边长为8cm ，则这个三角形的边长是多少？小明说应该这样解：当底边长为8cm 时，设腰长为x cm ，则有2828x +=，解得10x =.所以这个三角形的各边长为10cm ，10cm ，8cm. 小华说应该这样解：当腰长为8cm 时，设底边长为x cm ，则有1628x +=，解得12x =.所以这个三角形的边长为8cm ，8cm ，12cm.你认为他们的解法对吗？如果不对，正确的答案应该是什么？。
