锐角三角函数运算专题-备战2023年中考数学考点微专题

考向 5.9 三角函数在实际生活中的应用【知识要点】1、在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、如图1，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角3、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做仰角 (或叫做坡比)。

用字母i 表示，即tan h i A l ==4、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

5、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方位角。

如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

7.测量物体高度的方法：（1）.利用全等三角形的知识 ；（2）利用相似三角形的对应边成比例 ；（3）.利用三角函数的知识例1、如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为153米． （1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D 都在同一平面内．参考数据：tan 7523︒=+，tan1523︒=-．计算结果保留根号）图4 图3图2 hi=h:l A BC图1解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ， ∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +153在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()2345x -， 即(()1532345x x +=-，解得：x =30，∴DH = 15330∴此时无人机的高度为()15330米；（2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =15330（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++； ∵1533tan =453BC CAB AB ∠==， ∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°30345tan 30GA GF ==+, ∴=30330DF GF DG -=+,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为30330=6365++（秒）； 所以经过()636+秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．一、单选题1．（2021·广东深圳·二模）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65︒（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A．100sin65︒B．100cos65︒C．100tan65︒D．100 sin65︒2．（2021·浙江温州·一模）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60︒角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6 B．11.6 C．531.63+D．1.653+3．（2021·河北唐山·二模）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．4sinα米B．4sinα米C．4cosα米D．4cosα米4．（2021·广东云浮·一模）如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高60mh=，迎水斜坡100mAB=，斜坡的坡角为a，则tan a的值为（）A．43B．34C．35D．455．（2021·重庆市永川区教育科学研究所一模）鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色．周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A观察到瞰胜楼楼底点C的仰角为12°，楼顶点D的仰角为13°，测得斜坡BC的坡面距离BC=510米，斜坡BC的坡度8:15i=．则瞰胜楼的高度CD是（）米．（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A．30 B．32 C．34 D．36 6．（2021·山东·济宁学院附属中学二模）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（）A．30海里B．203海里C．20海里D．302海里7．（2021·河北唐山·一模）如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA＝α，则拉线AC的长度可以表示为（）A ．sin m αB ．cos m αC ．m cosαD ．tan m α8．（2021·江苏无锡·一模）如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架32米长的梯子BC 斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处，此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（ ）A ．3米B ．3米C ．()32-米D ．()33-米 9．（2021·重庆一中三模）如图，小欢同学为了测量建筑物AB 的高度，从建筑物底端点B 出发，经过一段坡度1:2.4i =的斜坡，到达C 点，测得坡面BC 的长度为15.6米，再沿水平方向行走30米到达点D （A ，B ，C ，D 均在同一平面内）．在点D 处测得建筑物顶端A 的仰角为37︒，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）（ ）A ．27.3米B ．28.4米C ．33.3米D ．38.4米10．（2021·江苏南通·二模）如图，某大楼DE 楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD ，小江从楼底点E 向前行走30米到达点A ，在A 处测得宣传牌下端D 的仰角为60°．小江再沿斜坡AB 行走26米到达点B ，在点B 测得宣传牌的上端C 的仰角为43°，已知斜坡AB 的坡度i ＝1：2.4，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，CD ⊥AE ，宣传牌CD 的高度约为（ ）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，3）A ．8.3米B ．8.5米C ．8.7米D ．8.9米11．（2021·重庆八中二模）如图，一棵松树AB 挺立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为52米，坡度为i ＝12：5，小张从与点C 相距60米的点D 处向上爬12米到达观景台DE 的顶端点E ，在此测得松树顶端点A 的仰角为39°，则松树的高度AB 约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A ．16.8米B ．28.8米C ．40.8米D ．64.2米12．（2021·重庆·字水中学三模）白沙镇有一望夫塔，小明在与塔底中心的D 同一水平线的A 处，测得24AD =米，沿坡度0.75:1i =的斜坡AB 走到B 点，测得塔顶E 仰角为37°，再沿水平方向走22米到C 处，测得塔顶E 的仰角为22°，则塔高DE 为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈，）A ．18.3米B ．19.7米C ．20.7米D ．22.3米二、填空题 13．（2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模）如图，一楼房AB 后有一假山，其斜面坡度为i ＝13E 处有一休息亭，测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC ＝25米，与亭子距离CE ＝20米，小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°，则楼房AB 的高为_____米．14．（2021·广东·广州市第六十五中学一模）小颖家住在甲楼，她所居住的楼房前面有一座乙楼．冬天，阳光入射角是30°，两楼距离20米，小颖家的阳台距地面7米，乙楼高18米，那么影子的顶端距她家阳台还有_________米.（精确到0.1米）15．（2021·山东·郓城县教学研究室一模）如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__km．16．（2021·吉林长春·二模）如图，在A处看建筑物CD的顶端C的仰角为α，且tanα＝0.8，向前行进3米到达B处，从B处看顶端C的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、D三点在同一条直线上，CD⊥AD，则建筑物CD的高度为_____米．17．（2021·广东·佛山市华英学校一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：3，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____．18．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC ＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为________米．19．（2021·山东·庆云县渤海中学一模）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．则大楼AB的高度_____．（结果保留根号）20．（2021·湖北咸宁·模拟预测）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为_____m（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈）︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33三、解答题21．（2021·贵州六盘水·模拟预测）位于我市的北盘江大桥是世界第一高桥，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如图1），桥长1341.4米，桥面至江面垂直距离565.4米．图2是从图1中抽象出的平面图，测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索DE 与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BE 为55米，两拉索底端距离AD 为240米．(1)求DC EC的值；（结果保留根号） (2)求立柱BC 的长．（结果精确到0.1米，3≈1.732）22．（2021·贵州·仁怀市教育研究室一模）如图，两座建筑物AD 与BC ，其地面距离CD 为60m ，从AD 的顶点A 测得BC 顶部B 的仰角30α=︒，测得其底部C 的俯角45β=︒，求建筑物BC 的高（结果保留根号）．23．（2021·河南商丘·三模）在一次实弹演习中，我国参演红军需轰炸蓝军的一个桥梁，如图，红军飞行员驾驶战机飞到A 处时发现桥梁BC 并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知飞机、桥梁BC 与地面在同一水平面上，其桥梁BC 长度为800m ．请求出此时飞机离地面的高度．（结果保留整数．参考数据：sin35°≈712，c os35°≈56，tan35°≈710）一、单选题1．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A 、B两点间的距离为30米，A α∠=，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）A ．30sin α米B ．30sin α米C ．30cos α米D ．30cos α米 2．（2021·福建·中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（ ）A ．2kmB ．3kmC ．23kmD ．4km3．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米4．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（ ）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m5．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 6．（2021·广东深圳·中考真题）如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15米到达点E 即15EF =米，在点E 处看点D 的仰角为64°，则CD 的长用三角函数表示为（ ）A ．15sin32︒B ．15tan64︒C ．15sin64︒D ．15tan32︒ 7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A 的仰角为30，已知斜坡的斜面坡度i 1:3=，且点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是（ ）A ．()320mB ．()310mC ．203mD ．40m8．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ．其中//AD BC ，45ABC ∠=︒，30DCB ∠=︒，斜坡AB 长8m ．则斜坡CD 的长为（ ）A ．62mB ．82mC ．46mD ．3m9．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，小明利用一个锐角是30的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）A ．3153m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．53mC ．153mD ．353m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 10．（2021·湖北随州·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米11．（2021·重庆·中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米12．（2021·山东泰安·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D 处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（）（参考数据：1:2.4≈）3 1.732A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米二、填空题13．（2021·广西百色·中考真题）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．14．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）15．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．16．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）17．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用一块含有60°（∠DAE ＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB 为1.62m ，小明与树之间的水平距离BC 为4m ，则这棵树的高度约为 ___m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3≈1.73）18．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C 测一段水平雪道一端A 处的俯角为50°，另一端B 处的俯角为45°，若无人机镜头C 处的高度CD 为238米，点A ，D ，B 在同一直线上，则通道AB 的长度为_________米．(结果保留整数，参考数据sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈)19．（2021·广西来宾·中考真题）如图，从楼顶A 处看楼下荷塘C 处的俯角为45︒，看楼下荷塘D 处的俯角为60︒，已知楼高AB 为30米，则荷塘的宽CD 为__________米．（结果保留根号）20．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得5BC =米，4CD =米，150BCD ∠=︒，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为45︒，则电线杆AB 的高度约为______米．（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，结果按四舍五入保留一位小数）21．（2021·湖北荆州·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知8cm BC =，16cm AB =．当AB ，BC 转动到60=︒∠BAE ，50ABC ∠=︒时，点C 到AE 的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin700.94︒≈，3 1.73≈）22．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 3 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．三、解答题23．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE 的长是20米，坡角为37︒，斜坡DE 底部D 与大楼底端C 的距离CD 为74米，与地面CD 垂直的路灯AE 的高度是3米，从楼顶B 测得路灯AE 项端A 处的俯角是42.6︒．试求大楼BC 的高度． （参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈，17sin 42.625︒≈，34cos 42.645︒≈，9tan 42.610︒≈）24．（2021·广西河池·中考真题）如图，小明同学在民族广场A 处放风筝，风筝位于B 处，风筝线AB 长为100m ，从A 处看风筝的仰角为30，小明的父母从C 处看风筝的仰角为50︒．（1）风筝离地面多少m ？（2）AC 相距多少m ？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin300.5︒=，cos300.8660︒＝，tan300.5774︒＝，sin500.7760︒＝，cos500.6428︒＝，tan50 1.1918︒＝）25．（2021·四川巴中·中考真题）学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B 的位置如图所示，已知坡长AC ＝12m ，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C 处，且与地面的夹角为60°，A 、B 、C 、D 在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，3 1.73．）（1）求灯杆AB的高度；（2）求CD的长度．1．A【解析】【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可．【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C，在Rt △ABC 中，sin B =AC AB， 则AC =AB •sin B =100sin65°（米），故选：A ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．再利用特殊角的三角函数解直角三角形即可求出AC 长，从而求出AD 长．【详解】根据题意可知 1.6BE CD ==米，60ABC ∠=︒．∵60ABC ∠=︒，∴在Rt ABC 中，tan 6053AC BC =︒=米． ∴(53 1.6)AD AC CD =+=米．故选D ．【点拨】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．3．B【解析】【分析】过点A′作A′C ⊥AB 于点C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：如答图，过点A′作A′C ⊥AB 于点C ．在Rt △OCA′，sinα＝A C A O ''，所以A′C ＝A′O·sinα．由题意得A′O ＝AO ＝4，所以A′C ＝4sinα，因此本题选B ．【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．4．B【解析】【分析】直接利用勾股定理得出BC ，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：过点A 作AC ⊥BD ，垂足为C ，∵坝高h =60m ，迎水斜坡AB =100m ，∴BC 222210060AB AC --=80（m ），则tanα=603804= ． 故选：B ．【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握边角关系是解题关键． 5．D【解析】【分析】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，由勾股定理可知17BC x =，BC =510，求得30x =，据此可知AE 、DE 的长，再根据DC DE CE =-可得答案．【详解】由斜坡BC 的坡度8:15i =，设8CE x =、15BE x =，在Rt BCE 中，2222(8)(15)17BC BE CE x x x =+=+=，由17510BC x ==求得30x =，∴240CE =米、450BE =米，在Rt ACE △中，2401200tan tan12CE AE CAE ===∠︒（米）， 在Rt ADE △中，tan 1200tan13276DE AE DAE =∠=⨯︒=（米），则27624036DC DE CE =-=-=（米）．故选：D ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用能力，注意能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形是解决本题的关键．6．D【解析】【分析】根据时间、速度、距离之间的关系求出AC ，根据等腰直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图：由题意得，AC ＝60×0.5＝30海里，∵CD ∥BF ，∴∠CBF ＝∠DCB ＝60°，又∠ABF ＝15°，∴∠ABC ＝45°，∵AE ∥BF ，∴∠EAB ＝∠FBA ＝15°，又∠EAC ＝75°，∴∠CAB ＝90°，∴2sin 45AC BC ︒=， ∴BC 2＝2故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．7．B【解析】【分析】根据同角的余角相等得∠ACD ＝∠CBD ，由cos ∠ACD ＝CD AC ，即可求出AC 的长度．【详解】解：∵∠ACD +∠BCD ＝90°，∠CBD +∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBD ，在Rt △ACD 中，∵cos ∠ACD ＝CD AC， ∴AC ＝cos cos CD m ACD α=∠． 故选：B ．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出E C 、EB ，根据正切的定义求出DE ，结合图形计算得到答案．【详解】解：在Rt EBC 中，45BCE ∠=︒，3EC EB ∴=（米)， 在Rt BDE △中，tan BE BDE DE ∠=，tan BE DE BDE ∴=∠)，(3CD EC DE ∴=-=米，故选：D ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．A【解析】【分析】延长AB 与DC 相交与点E ，由题意和三角函数可求得EC 的长度，根据37°角的三角函数求得AE 的长度，进而可求出建筑物AB 的高度．【详解】如图，延长AB 与DC 相交于点E ，∵15.6BC =，斜坡BC 的坡度i =1：2.4=512， ∴12cos 13BCE =∠，5sin 13BCE =∠， ∴12cos 15.6=14.413EC BC BCE =•=⨯∠，5sin 15.6613BE BC BCE =•=⨯=∠， ∴==14.430=44.4ED EC CD ++，又∵D ∠=37°，∴=tan37=44.40.75=33.3AE ED •︒⨯，∴33.3627.3AB AE BE =-=-=，故选：A ．【点拨】此题考查了三角函数应用题，仰角和坡度的概念，做出辅助线是解答本题的关键．10．A【解析】【分析】过B 分别作AE 、DE 的垂线，设垂足为F 、G ．分别在Rt △ABF 和Rt △ADE 中，通过解直角三角形求出BF 、AF 、DE 的长，再求出EF 即BG 的长；在Rt △CBG 中求出CG 的长，根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度．【详解】解：过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．Rt△ABF中，i=tan∠BAF=BFAF＝12.4，AB=26米，∴BF=10（米），AF=24（米），∴BG=AF+AE=54（米），Rt△BGC中，∠CBG=43°，∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，∴DE=3AE=303（米），∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-303≈8.3（米）．故选：A．【点拨】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．11．B【解析】【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．【详解】解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，∴设BH＝12x，CH＝5x，由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，解得，x＝4，则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），在Rt△AEF中，tan∠AEF＝AF EF，则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．B【解析】【分析】连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =46+4x （m ），由三角函数定义得出EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），得出0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ），解得27x =，求出DF 、EF ，即可得出答案．【详解】解：连接DE ，作BF ⊥DE 于F ，BG ⊥DA 于G ，如图：则DF =BG ，BF =DG =AD +AG ，∵AB =斜坡AB 的坡度0.75BG i AG==， ∴设BG =3x m ，则AG =4x m ，BF =DG =24+4x （m ），CF =BF +BC =24+4x +22=46+4x （m ）， 由题意得：∠EBF =37°，∠ECF =22°，∵tan ∠BEF =244EF EF BF x =+，tan ∠ECF =464EF EF CF x=+， ∴EF =tan 37°（24+4x ），EF =tan 22°（46+4x ），∴0.75（24+4x ）=0.40（46+4x ）， 解得：27x =，∴DF =BG =3x =67（m ）， EF =0.40（46+4x ）=1327（m ）， ∴DE =DF +EF =613213819.7777+=≈； 故选：B ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角分概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（3【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，解直角三角形即可求解．【详解】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝EFCF3＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝12CE＝10米，CF＝3∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC+CF＝（3在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝（3∴AB＝AH+HB＝（3答：楼房AB的高为（3）米，故答案为：（3【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，涉及俯角及坡度的知识，构造直角三角形是解题的关键．14．0.6【解析】【分析】如图，解直角三角形ABC可以求得AB的长，求出乙楼的影子在甲楼上的高度CD，再求影子的顶端距她家阳台的距离.【详解】解：如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，BC=20米，所以AB=BC•tan∠ACB＝20•tan30°＝20×3（米），CD=18-11.55=6.45（米），∴影子的顶端距她家阳台还有7-6.45≈0.6（米）．故答案为0.6.【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形，根据BC求出AB的值是解题的关键．15．3【解析】【分析】根据题意可证得△ABC为等腰三角形，即可求出BC的长，然后再解直角三角形CBD即可求得．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°，∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=60°-30°=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在Rt△CBD中，3sin6023CD BC=⋅︒==，3【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解决本题的关键是证出△ABC是等腰三角形．16．12【解析】【分析】根据∠DBC =45°可得BD CD =，根据tan α＝0.8，可得3810CD CD =+，进而即可求得CD 的长． 【详解】∵∠DBC =45°，∴BD =CD tan 45⨯︒=CD ， tanα=，3AD AB BD CD =+=+,则3810CD CD =+，解得CD =12．经检验：符合题意 故答案为12．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的意义是解题的关键．17．()633m + 【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC 、CG 的长，根据正切的定义解答即可．【详解】解：如图，延长AD 交BC 的延长线于F ，作DG ⊥BF 于G ，∵∠ADE ＝30°，∴∠AFB ＝30°，∵CD ＝6m ，斜坡CD 的坡度i ＝13∴tan ∠DCG ＝DG CG 33 ∴∠DCG ＝30°，∴DG ＝3m ，CG ＝3，∴∠DFC ＝∠DCF ＝30°，∴DF ＝DC ，∵DG ⊥BF ，∴FG ＝CG ＝3，∴FC ＝3，∴FB ＝FC +BC ＝（）m ，∴AB ＝BF ×tan ∠AFB ＝（）m ． 故答案为：（m ．【点拨】本题主要考查了勾股定理，坡比和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．16【解析】【分析】根据已知条件转化为直角三角形ABC 中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出BC ，根据BD =BC -CD 可得出答案．【详解】解：由题意知，∠ABC =30°，∠ACB =90°，AC =32米，tan tan 30,AC ABC BC ︒∠==tan 30AC BC ︒∴=== ∵CD =16米，∴BD =BC -CD=16米．故答案为：16．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC 中的有关元素．19．（【解析】【分析】在直角三角形DCE 中，利用锐角三角函数定义求出DE 的长，过D 作DF 垂直于AB ，交AB 于点F ，可得出三角形BDF 为等腰直角三角形，设BF =DF =x (米)，表示出BC ，BD ，DC ，由题意得到三角形BCD 为直角三角形，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出AB 的长．【详解】解：在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE 12=DC ＝2(米)， 过D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠FBD ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝（x +2）米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°， ∴)324cos30333x B AB C +====︒（米）， BD 2=2=米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：22(24)2163x x +=+ ， 解得：x ＝3则AB ＝（3故答案为：（3【点拨】此题考查了解直角三角形的实际应用--仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键．20．24.2【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：,8m,53,45AC CD AB ADC BDC ⊥=∠=︒∠=︒，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，。

知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．　锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为　．　．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h 为斜边上的高.要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤两直角边(a ，b)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，两边斜边，一直角边(如c，a)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，锐角、邻边(如∠A ，b)∠B=90°－∠A ，，一直角边和一锐角锐角、对边(如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，Rt △ABC一边一角斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如： 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.　典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为　16　m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：，，，．(4)如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝AB；②点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径R＝AB．(6)如图所示，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．直角三角形的面积：①如图所示，．（h为斜边上的高）②如图所示，．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（ ）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。

2023年中考数学高频考点训练——锐角三角函数一、综合题1．如图， AB 是O 的直径，点C 、G 为圆上的两点，当点C 是弧 BG 的中点时， CD 垂直直线AG ，垂足为D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点P ，弦 CE 平分 ACB ∠ ，交 AB 于点F ，连接BE .（1）求证： DC 与 O 相切；（2）求证： PC PF = ； （3）若 1tan 3E =， 5BE =，求线段 PF 的长. 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，点E 时弧AD 的中点，BE 交AC 于点F ，BC ＝FC.（1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若BF ＝3EF ，求tan⊙ACE 的值.3．如图，ABC 内接于,O D 是O 的直径 AB 的延长线上一点， DCB OAC ∠=∠ .过圆心 O作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E .（1）求证： CD 是 O 的切线；（2）若 4,6CD CE == ，求O 的半径及 tan OCB ∠ 的值；4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 是AC 的中点，连接OD ，交AC 于点E ，作BFCD ，交DO 的延长线于点F.（1）求证：四边形BCDF 是平行四边形. （2）若AC=8，连接BD ，tan⊙DBF=34，求直径AB 的长及四边形ABCD 的周长. 5．如图，已知 AB 是O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点 E ， 42AC =， 2BC = ．（1）求 sin ABC ∠ ； （2）求CD 的长．6．如图，点 O 在 ABC ∆ 的 BC 边上，O 经过点 A 、 C ，且与 BC 相交于点 D .点 E 是下半圆弧的中点，连接 AE 交 BC 于点 F ，已知 AB BF = .（1）求证： AB 是O 的切线；（2）若 3OC = ， 1OF = ，求 cos B 的值.7．如图，在Rt ΔABC 中，9068C AC BC ∠=︒==，，，AD平分ABC 的外角BAM ∠，AD BD ⊥于点D ，过D 点作DE 平行BC 交AM 于点E.点P 在线段AB 上，点Q 在直线AC 上，且22CQ BP t ==，连接PQ ，作P 点关于直线DE 的对称点P '，连接PP P Q ''，.（1）当P 在AB 中点时，t = ；连接DP ，则此时DP 与EC 位置关系为 （2）①求线段AD 的长：②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上，求点A 到对应点A '的距离；（3）如图，当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，求所有满足条件的t 的值.8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A(﹣3，0)，B(1，0)，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，连接AC ，BC.（1）求抛物线的解析式；（2）在直线CD 上是否存在点P ，使⊙PBC ＝⊙BCO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为抛物线对称轴l 上一点，点N 为抛物线上一点，当直线AC 垂直平分线段MN 时，请直接写出点M 和点N 的坐标.9．如图，点F 是正方形ABCD 边AB 上一点，过F 作FG⊙BC ，交CD 于G ，连接FC ，H 是FC 的中点，过H 作EH⊙FC 交BD 于点E ．（1）连接EF ，EA ，求证：EF ＝AE ．（2）若BFk BA= ， ①若CD ＝2， 13k = ，求HE 的长；②连接CE ，求tan⊙DCE 的值．（用含k 的代数式表示）10．如图，在 Rt ABC 中， 90,6,8ACB BC AC ∠=︒== ，D 是边AB 的中点，动点P 在线段BA 上且不与点A ，B ，D 重合，以PD 为边构造 Rt PDQ ，使 PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，且点Q 与点C 在直线AB 同侧，设 BP x = ，PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积为S ．（1）当点Q 在边BC 上时，求BP 的长； （2）当 7x ≤ 时，求S 关于x 的函数关系式.11．如图，在⊙ABC中，⊙ABC ＝90°，过点B 作BD⊙AC 于点D ．（1）尺规作图，作边BC 的垂直平分线，交边AC 于点E ． （2）若AD ：BD ＝3：4，求sinC 的值．（3）已知BC ＝10，BD ＝6．若点P 为平面内任意一动点，且保持⊙BPC ＝90°，求线段AP 的最大值．12．【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.（1）【理解运用】如图1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接AC ，若AC = AB ，则cos⊙ABC= ， sin⊙CAD= .（2）如图2，凸四边形中，AD = BD ，AD⊙BD ，当2CD 2 + CB 2 = CA 2时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形，证明你的结论.（3）【拓展提升】在平面直角坐标中，A （－1，0），B （3，0），C （1，2），四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于⊙ABC 内部，⊙AEC = 90° + ⊙ABC.设AEBE= u ，点D 的纵坐标为t ，请在下方横线上直接写出u 与t 的函数表达，并注明t 的取值范围 .13．如图，在梯形ABCD 中，AD⊙BC ，BC ＝18，DB ＝DC ＝15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE ＝DF＝5．AE 的延长线交边BC 于点G ，AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ．（1）求证：BG ＝CH ；（2）设AD ＝x ，⊙ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FG ，当⊙HFG 与⊙ADN 相似时，求AD 的长．14．（1）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 为AB 延长线上一点，连接EC 并延长，交AD 的延长线于点F ，则BCE DCF ∠+∠的度数为 °；（2）【问题探究】如图2，在Rt⊙ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 、E 在直线BC 上，连接AD 、AE ，若60DAE ∠=︒，6AB =，求⊙ADE 面积的最小值；（3）【问题解决】近日，教育部印发了《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，此次修订中增加的跨学科主题学习活动，突破学科边界，鼓励教师开展跨学科教研，设计出主题鲜明、问题真实的跨学科学习活动.为此，某校欲将校园内一片三角形空地ABC （如图3所示）进行扩建后作为跨学科主题学习活动中心，在AB 的延长线上取一点D ，连接DC 并延长到点E ，连接AE ，已知AE BC ，40AB BC ==米，90ABC ∠=︒，为节约修建成本，需使修建后⊙ADE 的面积尽可能小，问⊙ADE 的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小面积；若不存在，请说明理由.15．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且B （﹣1，0），C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2） 如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，且DD'＝2CD ，点M 是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，连结CN.当5D'N+CN 的值最小时16．在 Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， 3AC = ， 4BC = .将 Rt ABC 绕点B 顺时针旋转()060αα︒<<︒ 得到 Rt DEB ，直线DE ， AC 交于点P.（1）如图1，当 BD BC ⊥ 时，连接BP. ①求BDP 的面积；②求 tan CBP ∠ 的值；（2）如图2，连接AD ，若F 为AD 中点，求证；C ，E ，F 三点共线.17．如图，抛物线与x 轴交于A （5，0），B （ 1- ，0），与y 轴的正半轴交于点C ，连接BC ，AC ，已知2sin 2BAC ∠=.（1）求抛物线的解析式；（2）直线 y kx = （ 0k > ）交线段AC 于点M ，当以A 、O 、M 为顶点的三角形与⊙ABC 相似时，求k 的值，并求出此时点M 的坐标；（3）P 为第一象限内抛物线上一点，连接BP 交AC 于点Q ，请判断： PQQB是否有最大值，如有请求出这个最大值，如没有请说明理由.18．如图1，已知 Rt ABC ∆ 中， 90ACB ∠= ， 2AC = ， 23BC = ，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点 ,A C 在 x 轴的负半轴上（点 C 在点 A 的右侧），顶点 B 在第二象限，将 ABC ∆ 沿AB 所在的直线翻折，点 C 落在点 D 位置（1）若点 C 坐标为 ()1,0- 时，求点 D 的坐标；（2）若点 B 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求点 C 坐标；（3）如图2，将四边形 BCAD 向左平移，平移后的四边形记作四边形 1111B C A D ，过点 1D 的反比例函数 (0)ky k x=≠ 的图象与 CB 的延长线交于点 E ，则在平移过程中，是否存在这样的 k ，使得以点 1,,E B D 为顶点的三角形是直角三角形且点 11,,D BE 在同一条直线上？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由答案解析部分1．【答案】（1）证明：CD AD ⊥，90D ∴∠=︒ ，∴⊙DAC+⊙DCA=90°， 点c 是弧 BG 的中点， ∴CG BC =DAC BAC ∴∠=∠ ， OA OC = ， OCA BAC ∴∠=∠ ， OCA DAC ∴∠=∠ ， //AD OC ∴ ，∴⊙D=⊙OCP=90°，OC 是圆O 的半径， DC ∴ 与O 相切，（2）证明：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒ ，90PCB ACD ∴∠+∠=︒ ，由（1）得： 90DAC DCA ∠+∠=︒ ，PCB DAC ∴∠=∠ ， DAC BAC ∠=∠ ， PCB BAC ∴∠=∠ ， CE 平分 ACB ∠ ， ACF BCF ∴∠=∠ ，∵⊙PFC=⊙BAC+⊙ACF ，⊙PCF=⊙PCB+⊙BCF ，PFC PCF ∴∠=∠ ， PC PF ∴= ；（3）解：连接 AE ，CE 平分 ACB ∠ ，∴ AE BE = ，AE BE ∴= ， AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒ ，AEB ∴∆ 为等腰直角三角形，∵AB=210BE = ，∴OB=OC= 10∵1tan 3E =∴1tan 3BC CAB AC ∠== ， ∵⊙PCB=⊙BAC ，⊙P=⊙P ， ∴⊙PCB⊙⊙PAC ， ∴13BC PB AC PC == ， ∴ 设 PB x = ， 3PC x = ，在 Rt OCP ∆ 中， 222OC PC OP += ， ∴2221010(3))22x x +=+ ， ∴10x =或x=0(舍去)， ∴PC=310，∴PF=310.2．【答案】（1）证明：连接AE ，如图，∵AB 是⊙O 的直径， ∴⊙AEB ＝90°.∴⊙EAF+⊙AFE ＝⊙EAB+⊙ABE ＝90°. ∵点E 是弧AD 的中点， ∴AE DE = . ∴⊙EAD ＝⊙ABE. ∴⊙AFE+⊙ABE ＝90°. ∵⊙AFE ＝⊙BFC ，∴⊙ABE+⊙CFB ＝90°. ∵BC ＝FC ， ∴⊙CFB ＝⊙CBF. ∴⊙CBF+⊙ABE ＝90°. ∴⊙ABC ＝90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线. （2）解：连接OE ，BD ，∵点E 是弧AD 的中点，∴OH⊙AD ，AH ＝HD ＝ 12AD . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴BD⊙AD.∴BD⊙OE. ∴EH EFBD BF = . ∵BF ＝3EF ，∴13EH BD = . 设EH ＝2a ，则BD ＝6a. ∵OE⊙BD ，OA ＝OB ， ∴OF ＝12BD ＝3a. ∴OA ＝OE ＝OH+HE ＝5a. ∴AB ＝2OA ＝10a. ∴AD ＝228AB BD a -= .∴HD ＝12AD ＝4a. ∵⊙ABC ＝90°，BD⊙AC ， ∴⊙ABD⊙⊙BCD. ∴AD BDBD CD= . ∴CD ＝ 292BD a AD = .∴CH ＝HD+CD ＝172a . 在Rt⊙EHC 中，tan⊙ACE ＝ 2417172EH a CH a ==.3．【答案】（1）证明：如图，,OA OC =OAC OCA ∴∠=∠ ，DCB OAC ∠=∠ ， OCA DCB ∴∠=∠ ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒ ，90OCA OCB ∴∠+∠=︒ ，90DCB OCB ∴∠+∠=︒ ，即 90OCD ∠=︒ ， OC DC ∴⊥ ，又OC 是 O 的半径，CD ∴ 是O 的切线.（2）解：,BC OEBD CD OB CE ∴= ，即 4263BD OB == ， ∴设 2BD x = ，则 3,5OB OC x OD OB BD x ===+= ，,OC DC ⊥222OC CD OD ∴+=222(3)4(5)x x ∴+= ，解得， 1x = ，33OC x ∴== .即O 的半径为3，,BC OEOCB EOC ∴∠=∠ ，在 Rt OCE 中， 6tan 23EC EOC OC ∠=== ， tan tan 2OCB EOC ∴∠=∠=4．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙C=90°，∵点D 是AC 的中点，∴DO 垂直平分AC ，且AD=DC ， ∴CA⊙DF ，AE=EC ， ∴⊙AEO=90°，∴BC DF ， ∵BF CD ，∴四边形BCDE 是平行四边形； （2）∵BC DF ， ∴⊙DBF=⊙CDB ，又∵根据圆周角定理有⊙CDB=⊙BAC ， ∴⊙DBF=⊙BAC ， 即tan⊙BAC=34， ∵AC=8， ∴CB=6，则在Rt⊙ACB 中，利用勾股定理可得AB=10，即AO=5=OD ， ∵AE=EC=12AC ， ∴AE=EC=4，在Rt⊙AEO 中，利用勾股定理得OE=3，∴DE=OD-OE=5-3=2，在Rt⊙AED 中，利用勾股定理，得55 ∴四边形ABCD 的周长5555．【答案】（1）解：∵AB 是O 的直径， 42AC =， 2BC = ，∴90ACB ∠=︒ ， 22236AB AC BC =+= ， ∴6AB = ， 2sin 3ABC ∠=（2）解：∵CD AB ⊥ ，∴CE DE = ， 由三角形的面积公式得:1122AC BC AB CE ⨯⨯=⨯⨯ , ∴423CE =， ∴822CD CE ==． 6．【答案】（1）证明：连接 OA 、 OE ，∵点 E 是下半圆弧的中点， OE 过 O ， ∴OE DC ⊥ ， ∴90FOE ∠=︒ ， ∴90E OFE ∠+∠=︒ ， ∵OA OE = ， AB BF = ，∴BAF BFA ∠=∠ ， E OAE ∠=∠ ， ∵AFB OFE ∠=∠ ， ∴90OAE BAF ∠+∠=︒ ， 即 OA AB ⊥ ， ∵OA 为半径， ∴AB 是O 的切线（2）解：设 AB x = ，则 BF x = ， 1OB x =+ ， ∵3OA OC == ，由勾股定理得： 222OB AB OA =+ ， ∴()22213x x +=+ ， 解得： 4x = ，∴4cos 5AB B OB == 7．【答案】（1）5；平行（2）解：①P 在AB 中点时，连接DP 并延长交BC 于点F ，由（1）：DP CE ，∴1BF BPFC AP==， ∴142BF FC BC ===，∴132PF AC ==，11822DF DP PF AB AC =+=+=，∵90DEA BCE PDE ∠=∠=∠=︒， ∴四边形DECF 是矩形， ∴84CE DF DE CF ====，， ∴2AE CE AC =-=， ∴22222425AD AE DE =+=+=②将线段AD 绕着平面上某个点旋转180︒后，使AD 的两个对应点A '、D '落在Rt ABC 的边上， ∴AA '与DD '垂直平分，两条线段的交点O 即为旋转中心，如图所示：则：OD AB ⊥，∵902510ADB AD AB ∠=︒==，，， ∴()2222102545BD AB AD =-=-=∵1122ABD S AD BD AB DO ∆=⋅=⋅， ∴254510DO =， ∴4OD =， ∴222AO AD OD =-=，∴24AA OA '==；（3）解：当P Q AD '时；如图：延长P P '交BC 于点G ，过点P P '，分别作PH AC P T CQ '⊥⊥，，垂足为：H T ，，则：四边形CGP T '为矩形，∵3455AC BC sin ABC cos ABC AB AB ∠==∠==，， ∴3455PG BP sin ABC t BG BP cos ABC t =⋅∠==⋅∠=，，∴34855CH PG t P T CG BC BG t ====-=-'，，∴385HE CE CH t =-=-，∵P ，P '关于直线DE 对称 ∴385ET EH t ==-，∴3138821655t QT CT CQ CE ET CQ t t =-=+-=+--=-，∵P Q AD '， ∴P QT DAE ∠=∠'，∴2DEtan P QT tan DAE AE∠='∠==， ∴2P T TQ '=，即：413821655t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 解得：6011t =； 当PQ BD 时，延长BD 交CQ 于点K ，∵PQ BD ，∴APQ ABD AQP AKB ∠=∠∠=∠，，∵90ADB ADK DAB KAD ∠=∠=︒∠=∠，（角平分线）， ∴ABD AKB ∠=∠， ∴APQ AQP ∠=∠， ∴AP AQ =，∵1026AP AB BP t AQ CQ AC t =-=-=-=-，， ∴1026t t -=-， 解得：163t =； 当P Q BD '时，如图：延长P P '交BC 于点G ，过点P P '，分别作PO AC P R CQ '⊥⊥，，垂足为：OR，，延长BD ，交CM 于点S ，则：四边形CNP R '为矩形，∵3455AC BC sin ABC cos ABC AB AB ∠==∠==，， ∴3455PN BP sin ABC t BN BP cos ABC t =⋅∠==⋅∠=，，∴34855CO PN t P R CN BC BN t ====-=-'，，∴385OE CE CO t =-=-，∵P ，P '关于直线DE 对称 ∴385ER OE t ==-，∴3132881655t QR CQ CR CQ CE ER t t =-=-+=--+=-； ∵AD BD ⊥，90AED ∠=︒，∴90ADE EDS ADE DAE ∠+∠=∠+∠=︒ ∴EDS DAE ∠=∠， ∵P Q BD '，∴QP R EDS DAE ∠=∠=∠'， ∴2DEtan QP R tan DAE AE∠='∠==， ∴2QR P R ='， 即：413281655t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：8011t =； 综上：当PP Q '的一边与ABD 的AD 或BD 边平行时，6011t =或163t =或8011t =. 8．【答案】（1）解：根据二次函数交点式为 ()()()120y a x x x x a =--≠ ，抛物线过A(﹣3，0)，B(1，0)两点，∴设 ()()2331y ax bx a x x =+-=+- ，∵x=0时，y ＝ax 2+bx ﹣3=-3，∴将 ()0,3- 代入 ()()31y a x x =+- ∴﹣3a ＝﹣3， ∴a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3.（2）解：由抛物线的表达式知，点C 、D 的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C 、D 的坐标知，直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3①，1tan 3BCO ∠= ，则 cos 10BCO ∠= ，当点P （P′）在点C 的右侧时，如图所示：∵⊙P'BC ＝⊙BCO ，故P′B⊙y 轴，则点P′（1，﹣2）， 当点P 在点C 的左侧时，设直线PB 交y 轴于点H ，过点H 作HN⊙BC 于点N ， ∵⊙P'BC ＝⊙BCO ， ∴⊙BCH 为等腰三角形，则 222cos 23110BC CH BCO CH =⋅∠=⨯=+， 解得： 53CH =，则 433OH CH =-= ，故点 4(0,)3H = ， 由点B 、H 的坐标得，直线BH的表达式为： 4433y x =-②，联立①②并解得：58xy=-⎧⎨=-⎩，故点P的坐标为（﹣5，﹣8），综上所述，满足条件的点P坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）.（3）M(﹣1，2﹣2)，N(﹣1﹣2，﹣2)或M'(﹣1，﹣2﹣2)，N'(﹣1+ 2，﹣2) 9．【答案】（1）证明：如图，连接EF，EA，EC，∵ EH⊙FC，H是FC的中点，∴EF=EC，∵AD=CD，⊙ADE=⊙CDE=45°，DE=DE，∴⊙ADE⊙⊙CDE，∴AE=EC，∴EF＝AE；（2）解：如图，①∵CD=2，13 BFBA=，∴BF=23，AF=43，∴FC=22210 3BC BF+=，过点E作EM⊙AB于点M，∵EF=AE，∴EM垂直平分FA，∴FM=AM=23，∴BM=ME=43，∴2253FM ME+=，∵H是FC的中点，∴10，∴2210EF FH-=②设AB=2a，∵BFkBA=，∴BF=2ak，∴FM=MA=a-ka，BM=a+ak=ME，∵⊙ADE⊙⊙CDE，∴⊙DCE=⊙DAE=⊙FEM，∴tan⊙DCE=tan⊙FEM=11FM kME k-=+. 10．【答案】（1）解：在Rt ABC中，90,6,8 ACB BC AC∠=︒==，22226810 AB AC BC∴+=+=．4tan3ACBBC==，3tan4BCAAC==, ∵D是边AB的中点，∴5BD=如图，当点Q落在BC上时，BP x = ，4tan 3PQ BP B x ==， ∵PDQ A ∠=∠ ， 90DPQ ∠=︒ ，16tan 9QP PD x A == ， 5BD PD BP =+= ，1659xx += ， 解得， 95x = ，95BP ∴= ；（2）解：如图，当 905x < 时，设PQ 、DQ 与BC 交于点M 、N ，∵D 是边AB 的中点，∴5BD = ， 4ND = ， 3BN = ，4tan 3PM BP B x == ， 211423462233BNDPBMS SSx x x =-=⨯⨯-⨯=- ； 当955x << 时， 5PD x =- ， 3tan (5)4PQ DP A x ==- ， 21331575(5)(5)24848PDQS Sx x x x ==⨯--=-+ ； 当 57x <≤ 时， 5PD x =- ， 3tan (5)4PQ DP A x ==- ， 21331575(5)(5)24848PDQS Sx x x x ==⨯--=-+ ； 故 PDQ 与 ABC 重叠部分图形的面积关系式为： 2222960353157595848531575(57)848x x S x x x x x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+<⎪⎩ ． 11．【答案】（1）解：作图如下：（2）解：∵⊙ABC=⊙BDC=90°， ∴⊙ABD ＋⊙CBD=90°，⊙CBD ＋⊙C=90°，∴⊙ABD=⊙C ，在Rt⊙ABD 中，AD ：BD ＝3：4， ∴AB⊙AD=3⊙5，∴sinC=sin⊙ABD=35AD AB =． （3）解：如图，点P 在BC 为直径的圆上，O 为圆心，当A 、P 、O 三点共线时，AP 最大，∵BC ＝10，BD ＝6，∴CD=8，∵⊙ABD⊙⊙BCD ，∴2BD AD CD =⋅，26=8AD ，解得9=2AD ， 在Rt⊙ABD 中，AB=152，∵BC=10， ∴BO=OP=5， 在Rt⊙ABO 中，22513AO AB OB =+=， ∴AP=AO ＋513， 故答案为：5132．． 12．【答案】（1）35；1225（2）解：如图②中，结论：四边形ABCD 是对余四边形.理由：过点D 作DM⊙DC ，使得DM ＝DC ，连接CM. ∵四边形ABCD 中，AD ＝BD ，AD⊙BD ，∴⊙DAB ＝⊙DBA ＝45°， ∵⊙DCM ＝⊙DMC ＝45°， ∴⊙CDM ＝⊙ADB ＝90°， ∴⊙ADC ＝⊙BDM ， ∵AD ＝DB ，CD ＝DM ， ∴⊙ADC⊙⊙BDM （SAS ）， ∴AC ＝BM ，∵2CD 2+CB 2＝CA 2，CM 2＝DM 2+CD 2＝2CD 2，∴CM 2+CB 2＝BM 2， ∴⊙BCM ＝90°，∴⊙DCB ＝45°， ∴⊙DAB+⊙DCB ＝90°， ∴四边形ABCD 是对余四边形. （3）4)2tu t =<< 13．【答案】（1）解：∵AD⊙BC ，∴AD DE BG EB = ， AD DFCH FC= ． ∵DB ＝DC ＝15，DE ＝DF ＝5，∴12DE DF EB FC == ， ∴AD ADBG CH= ． ∴BG ＝CH ．（2）解：过点D 作DP⊙BC ，过点N 作NQ⊙AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB ＝DC ＝15，BC ＝18，∴BP ＝CP ＝9，DP ＝12．∵12AD DE BG EB == ， ∴BG ＝CH ＝2x ， ∴BH ＝18+2x ． ∵AD⊙BC ，∴AD DNBH NB = ， ∴182x DNx NB=+ ， ∴18215xDN DNx x NB DN ==+++ ，∴56xDNx=+．∵AD⊙BC，∴⊙ADN＝⊙DBC，∴sin⊙ADN＝sin⊙DBC，∴NQ PD DN BD=，∴46xNQx=+．∴211422266x xy AD NQ xx x=⋅=⋅=++（0<x≤9）．（3）解：∵AD⊙BC，∴⊙DAN＝⊙FHG．（i）当⊙ADN＝⊙FGH时，∵⊙ADN＝⊙DBC，∴⊙DBC＝⊙FGH，∴BD⊙FG，∴BG DF BC DC=，∴5 1815 BG=，∴BG＝6，∴AD＝3．（ii）当⊙ADN＝⊙GFH时，∵⊙ADN＝⊙DBC＝⊙DCB，又∵⊙AND＝⊙FGH，∴⊙ADN⊙⊙FCG．∴AD FC DN CG=，∴5(182)106xx xx⋅-=⨯+，整理得x2﹣3x﹣29＝0，解得3552x+=，或3552x-=（舍去）．综上所述，当⊙HFG与⊙ADN相似时，AD的长为3或3552x+=．14．【答案】（1）60（2）解：S⊙ADE=12DE·AB=3DE，∴当DE取最小值时，⊙ADE面积取最小值.作⊙ADE的外接圆，圆心为O，连接OD、OE、OA，过O作OH⊙DE于H，则⊙DOE=2⊙DAE=120°，由OD=OE知，⊙ODH=30°，∴OD=2OH，∵OA+OH≥AB，∴OA+12OA≥6，即OA≥4，OH≥2，由垂径定理得：3OH≥3此时，A、O、H共线，AD=AE，∴⊙ADE面积的最小值为：3×433（3）解：过C作CH⊙AE于H，如图所示，设BD=x，EF=y，∵⊙ABC=90°，AE⊙BC，∴四边形ABCF 为矩形， ∵AB=BC=40∴四边形ABCF 为正方形， 由tan⊙E=tan⊙BCD 知，CF BDEF BC=， 即4040x y =， ∴y=1600x， 即xy=1600， ∵22220x x y y x y-+=≥，∴2x y xy +≥，当x=y 时取等号，即x+y 的最小值为80，又⊙ADE 的面积=正方形ABCF 面积+三角形BCD 面积+三角形CEF 面积， 即⊙ADE 的面积=1600+20（x+y ）≥1600+20×80=3200， 综上所述，⊙ADE 的面积的最小值为3200 m 2.15．【答案】（1）解：∵y ＝﹣x 2+bx+c 经过B （﹣1，6），3），∴340c b c =⎧⎨-++=⎩ ， 解得 25b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+7（2）解：如图1中，过点B 作BT⊙y 轴交AC 于T.设P(m ，﹣m 2+2m+3)，对于抛物线y ＝﹣x 2+5x+3，令y ＝0，∴A(2，0)， ∵C(0，8)，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+3， ∵B(﹣1，2)， ∴T(﹣1，4)， ∴BT ＝3， ∵PQ⊙OC ， ∴Q(m ，﹣m+3)，∴PQ ＝﹣m 2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m 3+3m ， ∵PQ⊙BT ， ∴PQ BT ＝ PE BC ＝ 15， ∴﹣m 2+3m ＝4，解得m ＝1或2，∴P(4，4)或2.（3）解：如图8中，连接AD ，过点C 作CT⊙AD 于T.∵抛物线y＝﹣x2+2x+6＝﹣(x﹣1)2+3，∴顶点D(1，4)，∵C(8，3)，∴直线CD的解析式为y＝x+3，CD＝7，∵DD′＝2CD，∵DD′＝2 4，CD′＝3 2，∴D′(4，6)，∵A(3，2)，∴AD′⊙x轴，∴OD′＝22OA D A+'＝2256+＝3 5，∴sin⊙OD′A＝OAOD'＝45，∵CT⊙AD′，∴CT＝3，∵NJ⊙AD′，∴NJ＝ND′•sin⊙OD′A＝7D′N，5D'N+CN＝CN+NJ，∵CN+NJ≥CT，∴55D'N+CN≥7，5D'N+CN的最小值为8.16．【答案】（1）解：①过点P作PH BD⊥于H.BD BC⊥，PH BD⊥，90CBH PHB C∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BCPH 是矩形，4PH BC∴==，在Rt ACB中，2222345AB AC BC++=，由旋转的旋转可知，5BD BA==，11541022PBDS BD PH∆∴=⋅⋅=⨯⨯=.②由旋转的性质可知，4BE BC==，12PBDS PD BE∆=⋅⋅，2054PD∴==，90PHD∠=︒，2222543DH PD PH∴=-=-=，2PC BH∴==，90C∠=︒，21tan42PCPBCBC∴∠===.（2）证明：如图2中，连接BF，取BD的中点T，连接FT，ET.BC BE = ， BA BD = ，BCE BEC ∴∠=∠ ， BAD BDA ∠=∠ ，BDE ∆ 是由 BAC ∆ 旋转得到， BCE ABD ∴∠=∠ ， BEC ADB ∴∠=∠ ，BA BD = ， AF DF = ， BF AD ∴⊥ ， 90AFD ∴∠=︒ ，90BED AFD ∠=∠=︒ ， DT TB = ，12ET BD ∴=， 12FT BD = ， ET FT DT TB ∴=== ， E ∴ ，F ，D ，B 四点共圆， 1DBF ∴∠=∠ ，90DBF BDF ∠+∠=︒ ， 190BEC ∴∠+∠=︒ ，1180BEC BED ∴∠+∠+∠=︒ ， C ∴ 、E 、F 三点共线.17．【答案】（1）解：由 ()50A ，可知 5OA = ， 在Rt⊙AOC 中， 2sin 2BAC ∠= ， ∴45BAC ∠=︒ ，∴5OA OC == ，即点C （0，5），由题意可设 ()()51y a x x =-+ ，把点C 代入得： 55a -= ， 解得： 1a =- ，∴抛物线解析式为 ()()25145y x x x x =--+=-++ ；（2）解：由（1）可得：C （0，5）， ()50A ，，设直线AC 的解析式为 1y k x b =+ ，把点A 、C 坐标代入得：{b =55k 1+b =0 ，解得： {b =5k 1=−1， ∴直线AC 的解析式为 5y x =-+ ，∵直线 y kx = （ 0k > ）交线段AC 于点M ，则设 ()5M m m -+，， ∴5m k m-+=， 由（1）可知 5OA OC == ， 1OB = ， ∴()()22055052AC =-+-=， 6AB = ，由题意可分：①当 AOM ABC ∽ 时，∴56AO AM AB AC == ， ∴525266AM AC ==， ∴由两点距离公式可得： ()()226255518m m -+-= ， 解得： 1255566m m ==， ， ∵05m ≤≤ ， ∴56m =， ∴55525655666M k -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，， ； ②当 AOM ACB ∽ 时，∴2252AO AM AC AB ===，∴232AM AB ==，∴由两点距离公式可得： ()()225518m m -+-= ， 解得： 1228m m ==， （不符合题意，舍去），∴()2532322M k -+==，， ； （3）解：过点B 作BF⊙x 轴，交AC 的延长线于点F ，过点P 作PD⊙x 轴于点D ，交AC 于点H ，如图所示：∴BF⊙PH ，∴BQF PQH ∽ ，∴PQ PHBQ BF= ， 由（2）知，直线AC 的解析式为 5y x =-+ ，点 ()10B -， ， ∴点 ()16F -， ，即 6BF = ， 设点 ()245P a a a -++，，则有 ()5H a a -+， ， ∴()224555PH a a a a a =-++--+=-+ ，∴225152566224PQ a a a BQ -+⎛⎫==--+⎪⎝⎭ ， ∵106-< ， ∴当 52a =时， PQ BQ 的值最大，最大值为 2524.18．【答案】（1）解：如图，过点 D 作 DM x ⊥ 轴于点 M∵90ACB ∠=︒ ， ∴3tan 32BC CAB AC ∠===∴60CAB ∠=由题意可知 2DA AC == ， 60DAB CAB ∠=∠=︒ . ∴180180606060DAM DAB CAB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ . ∴906030ADM ∠=︒-︒=︒ 在 Rt ADM ∆ 中， 2DA = ， ∴1AM = ， 3DM =.∵点 C 坐标为 (10)-，， ∴1214OM OC AC AM =++=++= . ∴点 D 的坐标是 (3)-（2）解：设点 C 坐标为 (,0)a （ 0a < ），则点 B 的坐标是 (,3)a ， 由（1）可知：点 D 的坐标是 (3)a - ∵点 B 和点 D 在同一个反比例函数的图象上， ∴33(3)a a =- .解得 3a =- . ∴点 C 坐标为 (3,0)-（3）解：存在这样的 k ，使得以点 E， 1B ， D 为顶点的三角形是直角三角形①当 190EDB ∠= 时.如图所示，连接 ED ， 1B B ， 1B D ， 1B B 与 ED 相交于点 N .则 190EBN NDB ∠=∠=︒ ， 1BNE DNB ∠=∠ ， 130DBN NB E ∠=∠= .∴BNE ∆ ⊙ 1DNB ∆∴1BN ENDN B N= ∴1BN DNEN B N= 又∵1BND ENB ∠=∠ ， ∴BND ∆ ⊙ 1ENB ∆ .∴130NEB NBD ∠=∠= ， 130NDB NB E ∠=∠= ， ∴30BED BDE ∠=∠=︒ . ∴23BE BD == ， 16tan 30BEBB ==设 (43)E m ， （ 0m < ），则 1(3)D m - ， ∵E ， 1D 在同一反比例函数图象上， ∴433(9)m m =- .解得： 3m =- . ∴(343)E -，∴343123k =-⨯=-②当 190EB D ∠= 时.如图所示，连接 ED ， 1B B ， 1B D ，∵1//BD ED ，∴1118090BDB EB D ∠=︒-∠=︒ .在 1Rt BDB ∆ 中，∵130DBB ∠=︒ ， 3BD =， ∴14cos30BDBB == .在 1Rt EBB ∆ 中， ∵130BB E ∠=︒ ，∴143tan 30EB BB =︒=. ∴1033EC BC EB =+=设 3(,)3E m （ 0m < ），则 1(13)D m - ∵E ， 1D 在同一反比例函数图象上，1033(7)m=-.解得：3m=-，∴103 (3,3 E-∴3333k=-⨯=-21/ 21。

专题22锐角三角函数及其应用（30题）一、单选题1．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒，看这栋楼底部C 的俯角β为60︒，无人机与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（）A ．1403mB ．1603mC ．1803mD ．2003m2．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有三点()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，则sin BAC ∠=（）A ．12B ．135C ．22D ．323．（2023·山东日照·统考中考真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯塔最高点A 的仰角45ABD ∠=︒，再沿BD 方向前进至C 处测得最高点A 的仰角60ACD ∠=︒，15.3m BC =，则灯塔的高度AD 大约是（）（结果精确到1m ，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）A ．31mB ．36mC ．42mD ．53mA．32sin25二、解答题5．（2023·辽宁盘锦两点时，一架无人机从空中的6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）某商店窗前计划安装如图面图中，墙面BC垂直于地面CE∠=∠所在墙面BC垂直，即ABC∠线恰好照射在地面点D处，则ADE7．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，小颖家所在居民楼高AB 为46m ，从楼顶A 处测得另一座大厦顶部C 的仰角α是45︒，而大厦底部D 的俯角β是37︒．(1)求两楼之间的距离BD ．(2)求大厦的高度CD ．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan 370.75︒≈）8．（2023·陕西·统考中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高AB ．如图所示，当小明爸爸站在点D 处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF ，测得2.4m DF =；当小明站在爸爸影子的顶端F 处时，测得点A 的仰角α为266︒.．已知爸爸的身高 1.8m CD =，小明眼睛到地面的距离 1.6m EF =，点F 、D 、B 在同一条直线上，EF FB ⊥，CD FB ⊥，AB FB ⊥．求该景观灯的高AB ．（参考数据：sin 26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan 26.60.50)︒≈10．（2023·山东济南·统考中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，BC=，1230.6mAO=．如图2，打开后备箱，车后盖ABC∠=︒，该车的高度 1.7m(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．位于码头A北偏东60︒方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30︒方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15︒方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）12．（2023·浙江·统考中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能OA=，识别的最远水平距被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15︒，摄像头高度160cm OB=．离150cm(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20︒（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈）sin150.26,cos150.97,tan150.27,sin200.34,cos200.94,tan200.3613．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）动至1E处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端到广告牌的底端A，测出2DE告牌AG的高度．【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶（即8tan15ADG∠=）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔14．（2023·辽宁·统考中考真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度大厦底部的俯角是30︒，测得大厦顶部的仰角是37︒，已知他家楼顶B 处距地面的高度BA 为40米（图中点A ，B ，C ，D 均在同一平面内）．(1)求两楼之间的距离AC （结果保留根号）；(2)求大厦的高度CD （结果取整数）．（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73≈）15．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635︒'．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45'︒≈，cos 26350.89'︒≈，tan 26350.50'︒≈，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）16．（2023·湖南娄底·统考中考真题）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发17．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点AB=米，达山顶P，其中400与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度︒≈）tan150.26818．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为成30︒角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转19．（2023·湖北恩施·统考中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A ，B 处测出点D 的仰角度数，可以求出信号塔DE 的高．如图，AB 的长为5m ，高BC 为3m ．他在点A 处测得点D 的仰角为45︒，在点B 处测得点D 的仰角为38.7︒，A B C D E ，，，，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE 的高吗？若能，请求出信号塔DE 的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin 38.70.625︒≈，cos38.70.780︒≈，tan 38.70.80︒≈，结果保留整数）20．（2023·辽宁营口·统考中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A 和科技智能馆B 参观学习，学生从学校出发，走到C 处时，发现A 位于C 的北偏西25︒方向上，B 位于C 的北偏西55︒方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A 地，乙组前往B 地，已知B 在A 的南偏西20︒方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：2 1.41≈，6 2.45≈）21．（2023·山东·统考中考真题）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽 6.5AB =米，该地区一(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）24．（2023·贵州·统考中考真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A 为起点，沿途修建AB 、CD 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D 处，中途设计了一段与AF 平行的观光平台BC 为50m ．索道AB 与AF 的夹角为15︒，CD 与水平线夹角为45︒，A B 、两处的水平距离AE 为576m ，DF AF ⊥，垂足为点F ．（图中所有点都在同一平面内，点A E F 、、在同一水平线上）(1)求索道AB 的长（结果精确到1m ）；(2)求水平距离AF 的长（结果精确到1m ）．（参考数据：sin150.25︒≈，cos150.96︒≈，tan150.26︒≈，2 1.41≈）25．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）鄂州市莲花山是国家4A 级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G 处挂一条大型竖直条幅到点E 处，挂好后，小明进行实地测(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）甘肃兰州·统考中考真题）如图127．（2023·内蒙古·统考中考真题）为了增强学生体质、图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为的南偏东25︒方向32km处，C点在A点的北偏东45︒．的度数；(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角BCA(2)求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．28．（2023·吉林·统考中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用α=________．AB=．1.54mBD=．10m三、填空题m ．（精确到1m ．参考数据：tan 50 1.2tan 26.60.5︒≈︒≈，）30．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A 地和B 地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A 地去往B 地需要绕行到C 地的路线，改造成可以直线通行的公路AB ．如图，经勘测，6AC =千米，60CAB ∠=︒，37CBA ∠=︒，则改造后公路AB 的长是千米（精确到0.1千米；参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73≈）．。

2023年数学中考复习重难点突破——锐角三角函数一、单选题1．如图，已知在 Rt C ∆AB 中， C 90∠= ， 5AB = ， C 3B = ，则 cos B 的值是（ ）A ．35B ．45C ．34D ．432．在Rt△ABC 中，△C=90°，AB=4，AC=1，则cosB 的值为（ ）A ．154B ．14C ．1515D ．17173．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）A ．35B ．34C ．45D ．434．如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则△O 的半径为（ ）A ．3B ．3C ．4D ．35．计算：（12）﹣1+tan30°•sin60°=（ ）A ．﹣32B ．2C ．52D ．726．如图，A ，B 是反比例函数 (0,0)ky k x x=>> 图象上的两点，过点A ，B 分别作x 轴的平行线交y 轴于点C ，D ，直线AB 交y 轴正半轴于点E.若点B 的横坐标为5，3CD AC = ， 3cos 5BED ∠=，则k 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1547．在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 地出发，要到距离A 点10千米的C 地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B 地，然后再从B 地走了6千米到达目的地C ，此时小霞在B 地的（ ） A ．北偏东20°方向上 B ．北偏西20°方向上 C ．北偏西30°方向上D ．北偏西40°方向上8．如图，A 过点 ()00O ，， )3C ， ， ()01D ， ，点 B 是 x 轴下方A上的一点，连接 BO ， BD ，则 OBD ∠ 的度数是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．609．如图，点 P 是以 AB 为直径的半圆上的动点， CA AB PD AC ⊥⊥， 于点D ，连接 AP ，设 AP x PAPD y ＝，﹣＝ ，则下列函数图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．10． 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，225y t =；③直线NH 的解析式为5272y t =-+；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒。

考点29锐角三角函数考点总结1．锐角三角函数的意义：如图，在Rt △ABC 中，设∠C ＝90°，∠α为Rt △ABC 的一个锐角，则： ∠α的正弦sin α＝∠α的对边斜边；∠α的余弦cos α＝∠α的邻边斜边；∠α的正切tan α＝∠α的对边∠α的邻边2．同角三角函数之间的关系： sin 2A ＋cos 2A ＝ 1 ，tan A ＝s inA cos A ．3．互余两角三角函数之间的关系：(1)sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)． (2)tan α·tan (90°－α)＝1.(3)锐角的正弦值或正切值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小．(4)对于锐角A 有0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0. 4．特殊的三角函数值：5．如图，直角三角形的三条边与三个角这六个元素中，有如下的关系：(1)三边的关系(勾股定理)：a 2＋b 2＝c 2． (2)两锐角间的关系：∠A ＋∠B ＝90°． (3)边与角的关系：sin A ＝cos B ＝a c， cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b ，tan B ＝b a．6．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意理解其中的含义才能正确解题． (1)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角，如图．(2)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角， (3)坡角：坡面与水平面的夹角．(4)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h 表示坡的铅直高度，用l 表示坡的水平宽度，用i 表示坡度，即i ＝hl＝tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡，如图．(5)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角，如图32­4．真题演练一、单选题1．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）A ．（36-cm 2B ．（36-cm 2C ．24 cm 2D ．36 cm 2【答案】A 【分析】过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，根据折叠的性质求出60PAC α∠=∠=︒，30EAB PAB ∠=∠=︒，分别解直角三角形求出AB 和AC 的长度，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CF MN ⊥，过点B 作BE MN ⊥，∵长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ， ∵60PAC α∠=∠=︒， ∵30EAB PAB ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，6cm sin BE AB EAB ==∠，sin CFAC α==，∵12ABCSAB AC =⋅=∵(212336cm ABCS S S=-=⨯-=-阴矩形，故选：A ．2．（2021·浙江金华·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥， ∵BD DC =， ∵DCco ACα=， ∵cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∵24cos BC DC α==， 故选：A ．3．（2021·浙江温州·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+ B ．2sin 1α+ C ．211cos α+ D ．2cos 1α+【答案】A 【分析】根据勾股定理和三角函数求解． 【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB = ∵1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+C D ．2π【答案】B 【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则∵BQC =90°，∵当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动， 延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ， ∵C 、C 1关于PB 对称， ∵∵EC 1C =∵BQC =90°，∵点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动， 当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合， 当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ∵∵PBC =30°，∵∵FBP =∵PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，∵∵FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCFSππ⨯+=故选：B ．5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin CODSm α=⋅【答案】B 【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答． 【详解】解：∵AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ∵12DE CD =在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ∵tan =DEOEα ∵=tan 2tan DE CDOE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DEODα=∵sin DE OD α=∵22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OEODα=∵cos cos OE OD m αα== ∵AO DO m ==∵cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意； ∵2sin CD m α=，cos OE m α=∵2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意； 故选B ．6．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D 【答案】C 【分析】根据条件可知∵ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∵ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC。

考点26.锐角三角函数（精讲）【命题趋势】锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型，分值为12分左右。

预计2024年各地中考还将以选填题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键。

【知识清单】1：锐角三角函数（☆☆）1）锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sin A=∠的对边=斜边A ac；余弦：cos A=∠的邻边=斜边A bc；正切：tan A=∠的对边=邻边A ab．3）特殊角的三角函数值【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.4）锐角三角函数的性质当0°＜∠A ＜90°时，sin A 随∠A 的增大而增大；cos A 随∠A 的增大而减小；tan A 随∠A 的增大而增大。

2：解直角三角形（☆☆）1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2）在解直角三角形的过程中，常用关系：在Rt △ABC 中，∠C =90°，则：（1）三边关系：a 2+b 2=c 2；（2）两锐角关系：∠A +∠B =90°；（3）边与角关系：sin A =cos B =a c ，cos A =sin B =b c ，tan A =a b；4）sin 2A +cos 2A =1．3：解直角三角形的应用（☆☆☆）1）解直角三角形的相关的名词、术语：（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。

考点20 锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括①正弦、余弦、正切三函数、②特殊角的三角函数值、③解直角三角形与其应用等。

而且，因为锐角三角函数的性质的特点，出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察。

特别是三角函数的应用，是近几年中考填空压轴题常考题型。

学生在复习这块考点时，需要付出更多的努力，已达到熟练掌握这块考点的要求。

一、锐角三角函数的定义及其性质二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形四、解直角三角形的应用考向一：锐角三角函数的定义及其性质一．锐角三角函数的定义：在Rt △AABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b则：∠A 正弦：；ACBabc∠A余弦：；∠A正切：；二．锐角三角函数的函数关系当∠A＋∠B=90°时，有以下两种关系：（1）.同角三角函数的关系：；（2）互余两角的三角函数的关系：;1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cos B的值为（ ）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出BC，再根据三角函数的定义，即可得解．【解答】解：根据勾股定理可得，则cos B＝＝．故选：B．2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，tan A的值为（ ）A．B．C．D．2【分析】根据勾股定理求出AB的值，代入正切公式即可得到答案；【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴．故选：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AC＝（ ）A．10B．8C．5D．4【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，再根据勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，∴sin A＝＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8．故选：B．4．已知0°＜θ＜45°，则下列各式中正确的是（ ）A．cosθ＜B．tanθ＞1C．sinθ＞cosθD．sinθ＜tanθ【分析】根据逐项进行判断即可．【解答】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而0°＜θ＜45°，所以cosθ＞cos60°，即cosθ＞，因此选项A不符合题意；B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以tanθ＜tan45°，即tanθ＜1，因此选项B不符合题意；C．由于cosθ＝sin（90°﹣θ），而0°＜θ＜45°，即45°＜90°﹣θ＜90°，所以sinθ＜sin（90°﹣θ），即sinθ＜cosθ，因此选项C不符合题意；D．由于sinθ＝，tanθ＝，而锐角的邻边小于斜边，所以sinθ＜tanθ，因此选项D符合题意．故选：D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（ ）A．a2+b2＝c2B．sin B＝cos A C．tan A＝D．sin B＝【分析】根据直角三角形的边角关系逐项进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由勾股定理可得a2+b2＝c2，因此选项A不符合题意；由锐角三角函数的定义可得sin B＝＝cos A，因此选项B不符合题意；由锐角三角函数的定义可知，tan A＝，因此选项C符合题意；由于sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝＝1，因此选项D不符合题意；故选：C．考向二：特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°1．下列三角函数中，值为的是（ ）A．cos45°B．tan30°C．sin5°D．cos60°【分析】根据特殊锐角三角函数值逐项进行判断即可．【解答】解：A．由于cos45°＝，因此选项A不符合题意；B．由于tan30°＝，因此选项B不符合题意；C．sin5°＜sin30°，即sin5°＜，因此选项C不符合题意；D．由于cos60°＝sin30°＝，因此选项D符合题意；故选：D．2．计算tan45°+tan30°cos30°的值为（ ）A．B．1C．D．2【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝1+×＝1+＝，故选：C．3．4sin260°的值为（ ）A．3B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案．【解答】解：．故选：A．4．若sin（x+15°）＝，则锐角x＝　45　°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：∵sin（x+15°）＝，∴x+15°＝60°，解得：x＝45°，故答案为：45．5．计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝ ．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案．【解答】解：原式＝﹣（）2+1﹣2×＝﹣+1﹣＝．故答案为：．6．在△ABC中，，则△ABC的形状是　等边三角形　．【分析】非负数的和为0，则每个加数都等于0，求得相应的三角函数，进而求得∠A，∠B的度数．根据三角形的内角和定理求得∠C的度数．【解答】解：由题意得：2cos A﹣1＝0，﹣tan B＝0，解得cos A＝，tan B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．7．计算：．【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可．【解答】解：＝＝＝＝＝．考向三：解直角三角形解直角三角形相关：三边关系：在Rt△ABC中，∠C=90°两锐角关系：AB=c，BC=a，AC=b边与角关系：，，，锐角α是a、b的夹角面积：1．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P．则tan∠APD的值是（ ）A．2B．1C．0.5D．2.5【分析】连接格点AE，BE．根据题图和勾股定理先判断△ABE的形状，再求出∠APD的正切，利用平行线的性质可得结论．【解答】解：如图，连接格点AE，BE．由网格和勾股定理可求得；，，，∴BE2+AE2＝AB2，∴△ABE是直角三角形．在Rt△ABE中，．∵BE∥CD，∴∠APD＝∠ABE，∴tan∠APD＝2，故选：A．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若tan∠BDC ＝，则BC的长是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm【分析】设CD为xcm，则有AD为（8﹣x）cm，根据垂直平分线得到AD＝BD，根据得到BC，最后根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：设CD为xcm，则有AD为（8﹣x）cm，∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD＝BD＝8﹣x，∵，∴，∴，∵∠C＝90°，∴，解得：x1＝3，x2＝﹣12（不符合题意舍去），∴，故答案为：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sin C＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：（1）线段AB的长；（2）tan∠DBA的值．【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sin C＝＝，设出AB＝3k，则BC＝5k，由BC2﹣AB2＝AC2，得出方程（5k）2﹣（3k）2＝82，解方程求出k的值，进而得到AB；（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．根据角平分线的性质得出DE＝AD＝x，利用HL 证明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE＝BA＝6，那么CE＝BC﹣BE＝4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2＝CD2，即x2+42＝（8﹣x）2，解方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的定义即可求解．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∴sin C＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，∴可设AB＝3k，则BC＝5k，∵AC＝8，∴（5k）2﹣（3k）2＝82，∴k＝2（负值舍去），∴AB＝3×2＝6；（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB＝90°，∴DE＝AD＝x．在Rt△BDE与Rt△BDA中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA＝＝＝．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sin B＝，BC＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，根据圆周角定理可得，由已知∠CAD＝∠B，可得∠AOC＝2∠CAD，根据三角形内角和定理可得∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，等量代换可得∠CAO+∠CAD＝90°，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAC＝∠DAC，由已知可得∠BAC＝∠B，根据垂径定理可得，OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，根据正弦定理可得sin B＝＝＝，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE＝的长度，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，代入计算即可得出答案．【解答】证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵，∴，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sin B＝＝＝，∴CE＝，∴BE＝＝＝，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r﹣）2+，解得：r＝．5．如图，△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿线段BC以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．（1）sin B＝ ；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，利用等腰三角形的三线合一性质求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长即可解答；（2）分两种情况，当0＜t≤1时，当1＜t＜2时．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6cm，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4cm，在Rt△ABD中，AB＝6cm，BD＝4cm，∴AD＝＝2，∴sin B＝＝；故答案为：．（2）过点Q作QE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴sin B＝sin C＝，分两种情况：当0＜t≤1时，由题意得：CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2t，在Rt△CQE中，QE＝CQ sin C＝3t•＝t，∴S＝CP•QE＝•（8﹣2t）•t＝4t﹣t2＝﹣t2+4t，当1＜t＜2时，由题意得：CA+AQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2t，BQ＝AB+AC﹣（CA+AQ）＝12﹣3t，在Rt△BQE中，QE＝BQ sin B＝（12﹣3t）•＝4﹣t，∴S＝CP•QE＝•（8﹣2t）•（4﹣t）＝，∴S＝．考向四：解直角三角形的应用解直角三角形的应用：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡度和坡角坡度越大，坡角越大，坡面越陡1. 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③2. 常用结论：1．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为27°，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）A．3sin27°B．3cos27°C．D．3tan27°【分析】根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可．【解答】解：如图，过点A作AB⊥BC于B，∴∠ABC＝90°，cos∠BAC＝，∵AC＝3，∠BAC＝27°，∴AB＝AC cos∠BAC＝3cos27°；故选：B．2．如图，在天定山滑雪场滑雪，需从山脚下A处乘缆车上山顶B处，缆车索道与水平线所成的∠BAC＝α，若山的高度BC＝800米，则缆车索道AB的长为（ ）A．800sinα米B．800cosα米C．米D．米【分析】利用直角三角形的边角关系定理列出关系式即可得出结论．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，sin BAC＝，∴AB＝．∵∠BAC＝α，BC＝800米，∴AB＝（米）．故选：C．3．如图，为了估算某河流的宽度，在该河流的对岸选取一点A，在近岸取点D，C，使得A、D、C在一条直线上，且与河流的边沿垂直，测得CD＝15m，然后又在垂直AC的直线上取点B，并量得BC＝30m，若cos B＝，则该河流的宽AD为　25　m．【分析】根据三角形函数的定义可得AB的长，利用勾股定理可得AC的长，由线段的和差关系可得答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝30m，cos B＝＝，∴AB＝50m，∴AC＝＝40（m），∵CD＝15m，∴AD＝AC﹣CD＝25（m），故答案为：25．4．某古村落为方便游客泊车，准备利用长方形晒谷场长60m一侧，规划一个停车场，已知每个停车位需确保有如长5.5m，宽2.5m的长方形AEDF供停车，如图平行四边形ABCD是其中一个停车位，所有停车位都平行排列，∠ABD为60°，则每个体车位的面积大约为　17　m2（结果保留整数），这个晒谷场按规划最多可容纳　20　个停车位．（）【分析】由题意，在Rt△ABF中，由直角三角形的边角关系得出AB，BF的长，讲而可以解决问题．【解答】解：由题意，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝60°，AF＝2.5m，∴AB＝＝＝≈2.94（m），∴BF＝AB≈1.47（m），∴BD＝DF+BF≈5.5+1.47＝6.97（m），∵CD＝AB≈2.94m，∴S平行四边形ABDC＝BD•AF≈6.97×2.5≈17 （m2），∴每个停车位的面积大约为17m2；∵60÷2.94≈20.4，∴这个晒谷场按规划最多可容纳20个停车位．故答案为：17；20．5．夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处（EF⊥BF），使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB 于点O，支杆AB与树干EF的横向距离BF＝2.2m．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）天晴时打开“天幕”，若∠CAE＝140°，求遮阳宽度CD．（2）下雨时收拢“天幕”，∠CAE由140°减小到90°，求点E下降的高度．【分析】（1）根据在Rt△AOD中，，先算出OD的长，再根据AD＝2OD即可得到答案；（2）过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AHE中，，得，当∠CAE＝140°时和当∠CAE＝90°时，分别求出AH的值，作差即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠CAE＝140°，AC＝AD，AO⊥CD，∴，CD＝2DO，在Rt△AOD中，，即，解得：OD≈1.88m，∴CD＝2OD≈3.76m，答：遮阳宽度CD约为3.76m；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝2.2m，在Rt△AHE中，，∴，当∠CAE＝140°时，∠EAO＝70°，m，当∠CAE＝90°时，∠EAO＝45°，AH＝2.2m，2.2﹣0.8＝1.4m，答：点E下降的高度为1.4m．6．近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝31cm，灯罩DE＝24cm，BC⊥AB，CD、DE分别可以绕点C、D上下调节一定的角度．经使用发现：当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．（精确到0.1cm，参考数值：cos50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FG＝CB，即可求得DG的长，从而可以解答本题．【解答】解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如右图所示，∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG，∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，∴四边形BCFG为矩形，∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝18cm，又∵∠DCB＝140°，∴∠DCF＝50°，∵CD＝31cm，∠DFC＝90°，∴DF＝CD•sin50°≈31×0.77＝23.87（cm），∴DG≈23.87+18≈41.9（cm），答：点D到桌面AB的距离约为41.9cm．1．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为　．　．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．2．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）A．B．C．D．3【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．3．（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．4．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝　﹣1　．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．5．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．6．（2022•贵港）如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】延长AC到D，连接BD，由网格可得AD2+BD2＝AB2，即得∠ADB＝90°，可求出答案．【解答】解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，故选：C．7．（2022•广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC 是（ ）A．12sinα米B．12cosα米C．米D．米【分析】直接根据∠A的正弦可得结论．【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12米，∴BC＝12sinα（米）．故选：A．8．（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE 交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用矩形和折叠的性质可得BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos∠ADF．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故选：C．9．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB 与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）A．B．C．D．【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故选：B．10．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为（ ）A．3B．3C．3D．6【分析】利用三角函数求出AD＝6，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB的长．【解答】解：∵2CD＝6，∴CD＝3，∵tan C＝2，∴＝2，∴AD＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得，AB＝，故选：D．11．（2022•常州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝ ．【分析】过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ADB＝∠CDB，则可得CD＝CB＝3，根据矩形的性质可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根据勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根据勾股定理可得，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案为：．12．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝　3+3或3﹣3　．【分析】利用分类讨论的思想方法，画出图形，过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理解答即可．【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD+CD＝3+3；②当△ABC为钝角三角形时，过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，∵AB＝3，∠B＝45°，∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，∴CD＝＝3，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；综上，BC的长为3+3或3﹣3．13．（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A＝ ．【分析】先构造直角三角形，然后即可求出sin A的值．【解答】解：设每个小正方形的边长为a，作CD⊥AB于点D，由图可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案为：．14．（2022•长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC ＝α，下列关系式正确的是（ ）A．sinα＝B．sinα＝C．sinα＝D．sinα＝【分析】根据直角三角形的边角关系进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，由锐角三角函数的定义可知，sinα＝sin∠ABC＝，故选：D．15．（2022•沈阳）如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（ ）A．m sinαB．m cosαC．m tanαD．【分析】根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ•tanα＝m tanα（米），∴河宽PT的长度是m tanα米，故选：C．16．（2022•福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【分析】根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故选：B．17．（2022•六盘水）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E 处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）【分析】（1）根据对称性得出AD＝2m，再根据锐角三角函数求出OD，即可求出答案；（2）过点E作EH⊥AB于H，得出EH＝BF＝3m，再分别求出∠α＝65°和45°时，AH的值，即可求出答案．【解答】解：（1）由对称知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，∴sinα＝，∴OD＝AD•sinα＝2×sin65°≈2×0.90＝1.80m，∴CD＝2OD＝3.6m，答：遮阳宽度CD约为3.6米；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝3m，在Rt△AHE中，tan a＝，∴AH＝，当∠α＝65°时，AH＝≈≈1.40m，当∠α＝45°时，AH＝＝3，∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3﹣1.40＝1.6m．18．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC ＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5m，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．1．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 ．【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，∴sin A＝．故答案为：．2．（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．【分析】根据勾股定理求AC的长，根据正弦的定义求sin A的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，sin A＝＝．答：AC的长为4，sin A的值为．3．（2022•广东）sin30°＝ ．【分析】熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．【解答】解：sin30°＝．故答案为：．4．（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为 ．【分析】把15°看成是45°与30°的差，再代入公式计算得结论．【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案为：．5．（2022•张家界）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【分析】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝＝．6．（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0＝3﹣2×1+1﹣1＝3﹣2+1﹣1＝1．7．（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵点A，B，C都在格点上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故选：B．8．（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（ ）A．2B．3C．D．2【分析】过D点作DE⊥AB于E，由锐角三角函数的定义可得5DE＝AB，再解直角三角形可求得AC的长，利用勾股定理可求解AB的长，进而求解AD的长．【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，∴，解得AC＝，∴AB＝，∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝，故选：C．9．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）A．y＝3x B．y＝﹣x+C．y＝﹣2x+11D．y＝﹣2x+12【分析】分别求出矩形OABC和菱形ABEF的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得出结论．【解答】解：连接OB，AC，它们交于点M，连接AE，BF，它们交于点N，则直线MN为符合条件的直线l，如图，∵四边形OABC是矩形，∴OM＝BM．∵B的坐标为（10，4），∴M（5，2），AB＝10，BC＝4．∵四边形ABEF为菱形，BE＝AB＝10．过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG中，∵tan∠ABE＝，∴，设EG＝4k，则BG＝3k，∴BE＝＝5k，∴5k＝10，∴k＝2，∴EG＝8，BG＝6，∴AG＝4．∴E（4，12）．∵B的坐标为（10，4），AB∥x轴，∴A（0，4）．∵点N为AE的中点，∴N（2，8）．设直线l的解析式为y＝ax+b，∴，解得：，∴直线l的解析式为y＝﹣2x+12，故选：D．10．（2022•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝ ．【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B＝sin A＝．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵sin A＝＝，∴cos B＝＝．故答案为：．11．（2022•西宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则cos A＝ ．【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出cos A即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝，所以cos A＝＝＝，故答案为：．12．（2022•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝　﹣1　．【分析】用含有AB的代数式表示AD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，设AB＝a，则AE＝a，BE＝＝a＝ED，∴AD＝AE+DE＝（+1）a，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，故答案为：﹣1．13．（2022•张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝ ．【分析】根据两个正方形的面积可得AD＝10，DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解方程可得x的值，从而解决问题．【解答】解：∵大正方形ABCD的面积是100，∴AD＝10，∵小正方形EFGH的面积是4，∴小正方形EFGH的边长为2，∴DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解得x＝6或﹣8（负值舍去），∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF＝，故答案为：．14．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A 离地面EF的高度为（ ）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用直角三角形的边角关系定理求得AD，．用AD+BE即可表示出房顶A离地面EF的高度．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC＝，∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故选：B．15．（2022•枣庄）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．【分析】由正六边形的性质得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，则∠ABE＝∠ABC＝30°，即可得出结论．【解答】解：如图，连接AB、BC、AC、BE，∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∴tan∠ABE＝tan30°＝，故答案为：．16．（2022•绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A 处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B 点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝　（5﹣5）　海里（计算结果不取近似值）．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AB＝10海里，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝45°，从而可得∠DAC＝30°，∠CAB＝45°，进而利用三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，设DE＝x海里，再在Rt△ADE 中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义求出EC，DC的长，最后根据AC＝5海里，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得：AB＝20×＝10（海里），∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAC＝∠FAC﹣∠FAD＝30°，∠CAB＝∠FAB﹣∠FAC＝45°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，在Rt△ACB中，AC＝AB•sin45°＝10×＝5（海里），设DE＝x海里，在Rt△ADE中，AE＝＝＝x（海里），∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°，在Rt△DEC中，CE＝＝x（海里），DC＝＝＝x（海里），∵AE+EC＝AC，∴x+x＝5，∴x＝，∴DC＝x＝（5﹣5）海里，故答案为：（5﹣5）．17．（2022•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝　（1+）　小时．【分析】根据题意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间＝路程÷速度，进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小时，故答案为：（1+）．18．（2022•桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是　20　米．【分析】先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20m，故答案为：20．19．（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，则DE＝（x+60）米，先利用平角定义求出∠ACE ＝45°，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，先利用平角定义求出∠BCF ＝60°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，。

2023中考数学高频考点专项突破——锐角三角函数一、解答题1．在Rt△ABC中，△C＝90°，AB＝8，△A＝60°，解这个直角三角形. 2．如图，在Rt ABC中，△C=90°，BC=1，3AC=tanA与tanB的值.3．先化简，再求代数式的值：（21a-﹣221aa+-）÷1aa-，其中sin230°＜a＜tan260°，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值．4．如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0.5的迎水坡AB，已知5(即求AC的长)5．小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，△MAB＝22°，△MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125．6．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）7．如图，AB是△O的直径，弦CD△AB于点E，△CDB＝30°，△O的半径3cm，则弦CD的长为多少？8．已知电视发射塔BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线(如图线段AB)，若AB＝60m，并且AB与地面成45°角，欲升高发射塔的高度到CB′，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60°角，求电视发射塔升高了多少米？(即BB′的高度)9．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B 两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）10．东北师大附中为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为该测温门截面示意图，已知测温门顶部A 距地面高 2.2AD m = ，为了解自己的有效测温区间，身高 1.6m 的小明做了如下实验：当他在地面N 处时， 测温门开始显示额头温度， 此时测得A 的仰角 18 ；在地面M 处时， 测温门停止显示额头温度， 此时测得A 的仰角 60ACE ∠= 求小明在地面的有效测温区间 MN 的长度．（额头到地面的距离以身高计算，结果精确到 0.1 米）（参考数据： sin180.31≈ ，cos180.95≈ ， tan180.32≈ ， 3 1.73≈ ， 2 1.41≈ ）11．钓鱼岛自古就是中国的领土，我国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．M 、N 为钓鱼岛上东西海岸线上的两点，MN 之间的距离约为3km ，某日，我国一艘海监船从A 点沿正北方向巡航，在A 点测得岛屿的西端点N 在点A 的北偏东35°方向；海监船继续航行4km 后到达B 点，测得岛屿的东端点M 在点B 的北偏东59°方向，求N 点距离海监船航线的最短距离（结果用含非特殊角的三角函数表示即可）．12．如图，已知ABC 中，12AB =，30B ∠=︒，24tan 7C =，边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ．求线段CE 的长．13．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB 的高度，在大厦前的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端A 的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.12≈1.4143≈1.732）14．如图1，已知 O 为正方形 ABCD 的中心，分别延长 OA 到点 F ， OD到点 E ，使 2OF OA = ， 2OE OD = ，连结 EF ，将△ FOE 绕点 O 逆时针旋转 α 角得到△ ''F OE （如图2）．连结 'AE 、 'BF ．（△）探究 'AE 与 'BF 的数量关系，并给予证明； （△）当 30α=︒ ， 2AB = 时，求： ①'AE O ∠ 的度数； ②'BF 的长度．15．如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西45°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏东32°方向．已知AC ＝60 m ，CD ＝46 m ，求栈道AB 的长（结果保留整数）．参考数据：sin32° ≈ 0.53，cos32° ≈ 0.85，tan32° ≈ 0.62，2 ≈ 1.414.答案解析部分1．【答案】解：如图，∵在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△A ＝60°， ∴△B ＝90°﹣△A ＝30°， ∵AB ＝8， ∴AC ＝12AB ＝4， 由勾股定理得：BC ＝22AB AC -＝ 2284-＝4 3 .2．【答案】解：∵在Rt ABC 中，△C=90°，BC=1，3AC =∴333BC tanA AC ===， 331AC tanB BC ===. 3．【答案】解：原式=()()()()21211a a a a +-++- • 1a a - = ()()11aa a +- •1a a- =1aa - ， ∵sin30°=12，tan60°= 3 ，∴14＜a ＜3， ∵a≠1， ∴整数a 为2， 当a=2时，原式=121+ = 134．【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2，x2+（2x）2=（52，x=4．答：河床面的宽减少了4米．5．【答案】解：过点M作MN△AB，根据题意可得：2225MNtan MAN tanAN∠=︒=≈，∴AN≈52MN12675MNtan MBN tanBN∠=︒=≈，∴BN≈512MN∵AN+BN=AB=50，∴5550 212MN MN+=，解得：MN=121.77≈m，∴河流的宽度约为1.7米．6．【答案】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．在Rt△ABC中，∵△ACB=90°，∴BC=AB•sin△BAC=12×0.515≈6.2（米）．即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．7．【答案】解：由圆周角定理知：△COE=2△CDB=60°．已知半径的长，即可在Rt△COE中，通过解直角三角形求得CE的长，进而可根据垂径定理得到CD的值。

2023年中考数学专题汇编：锐角三角函数应用、解直角三角形一．解答题（共60小题）1．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：＝1.73，＝1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．2．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．3．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．4．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）5．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）6．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）7．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．8．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）9．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）10．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？11．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）12．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠F AE＝30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）13．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）14．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．15．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．16．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE 的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．17．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．18．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值．20．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）21．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．22．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C 的仰角为60°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）23．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）24．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）25．我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）26．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；（2）确定点C相对于点A的方向．（参考数据：≈1.414，≈1.732）27．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：）28．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．29．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD 上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）30．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）31．阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，＝＝，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b．解：在△ABC中，∵＝∴b＝＝＝＝3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？32．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．33．如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°．若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）34．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）35．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．36．我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B＝30米，∠B1＝22°，∠ABC＝30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC＝30°，B1B＝AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）37．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．38．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠P AB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）39．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长AB＝10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）40．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）41．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．42．如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．43．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）44．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．45．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．46．如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）47．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）48．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）49．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．50．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）51．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB 的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）52．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）53．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA ＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）54．已知如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为60°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）．55．如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m 的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）56．求下列各式的值：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．57．计算：．58．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）59．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．60．计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°。

人教版备考2023中考数学二轮复习专题16 锐角三角函数一、单选题1．（2021九上·潍城期中）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=√32，tanB=√3，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定2．（2021九上·乳山期中）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=√32，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形3．（2022九上·舟山月考）在ΔABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则tanB的值是（）A．45B．35C．43D．344．（2022九上·潞城月考）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（）A．a2+b2=c2B．sinB=cosAC．tanA=ac D．sin2A+cos2A=15．（2022九上·蚌埠月考）若锐角A满足sinA=cos35°，则∠A的度数是（）A．65°B．55°C．45°D．35°6．（2022九上·宝山期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，3)与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α(0°<α<90°)，那么cosα的值是（）A．3B．13C．3√1010D．√10107．（2022九上·淳安期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（）A．√3B．√32C．12D．2√38．（2022八上·温州期中）如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作AB的垂线交BC于点E，作EF⊥DE交AC于点F，作FG⊥AC交BC于点G，FG，DE相交于点M.若DM=ME，GE=3，则AB的长为（）A．7B．7.5C．8D．8.5 9．（2022·镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，BC= 6√3，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α(0°<α≤360°)，B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（）A．1B．2C．3D．410．（2022八下·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数y=k x（k>0，x>0）的图象经过点B，则k的值为（）A．8√3B．8C．6D．6√3二、填空题11．（2022九上·闵行期中）如图，在平面直角坐标系内有一点P（6，8），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余切值．12．（2022九上·杨浦期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D，若AC=2，AB=3，那么cos∠BCD的值为．13．（2022九上·淳安期中）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，BD⌢＝2CD⌢，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为.14．（2022九上·闵行期中）已知在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AC=6，那么cosA的值是．15．（2022九上·奉贤期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=3，则tan A=. 16．（2022九上·龙港期中）如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2√5，点C是半圆弧上的任意点，点F是AC⌢的中点，连结BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝度；当DB＝DF时，BC的长为.三、计算题17．（2022九上·舟山月考）计算：2sin30°-2cos45°-tan30°．四、解答题18．（2022九上·南岗月考）先化简，再求代数式x−4x2−9÷(1−1x−3)的值，其中x=2sin45°−√3tan60°．19．（2021九上·槐荫期中）如图，△ABC的三个顶点都在平面直角坐标系的坐标轴上，BC＝6，边AB 所在直线的表达式为y＝x＋2，求sin∠ACB．答案解析部分1．【答案】C【知识点】特殊角的三角函数值；三角形相关概念【解析】【解答】解：∵sinA=√32，tanB=√3，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形故答案为：C【分析】利用特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，再利用三角形的内角和求出∠C的度数，即可得到答案。

专题26 锐角三角函数一、锐角三角函数概念【高频考点精讲】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°1、正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝＝2、余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝3、正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝4、三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。

【热点题型精练】1．（2022•天津中考）tan45°的值等于（ ）A ．2B ．1C ．√22D ．√332．（2022•淮南模拟）如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是（ ）A ．√55B ．√105C ．2D ．12 3．（2022•荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，OC ：BC ＝1：2，连接AC ，过点O 作OP ∥AB 交AC 的延长线于P ．若P （1，1），则tan ∠OAP 的值是（ ）A ．√33B ．√22C ．13D ．34．（2022•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 在坐标轴上，若点A 的坐标为（0，3），tan∠ABO=√3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．6√3C．12√3D．8√35．（2022•滨州中考）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为．6．（2022•扬州中考）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为．7．（2022•绥化中考）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）=√22×√32+√22×12=√6+√24，则sin15°的值为．8．（2022•湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sin A的值．二、解直角三角形【高频考点精讲】1、解直角三角形常用关系（1）锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；（2）三边之间的关系：a2+b2＝c2；（3）边角之间的关系sin A＝，cos A＝，tan A＝（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；【热点题型精练】9．（2022•乐山中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=√5，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A=1 2，tan ∠ABD =13，则CD 的长为（ ）A ．2√5B ．3C ．√5D ．210．（2022•通辽中考）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．2√1313B ．3√1313C ．23D ．√5311．（2022•宜宾中考）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将△BCD 沿BD 折叠到△BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ∠ADF 的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．81512．（2022•济宁中考）如图，点A ，C ，D ，B 在⊙O 上，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°．若CD ＝a ，tan ∠CBD =13，则AD 的长是 ．13．（2022•河池中考）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH =25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝ ．14．（2022•张家界中考）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝．三、解直角三角形的应用【高频考点精讲】1、坡度坡角问题（1）坡度是坡面的垂直高度h和水平宽度l的比，常用i表示。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交∠O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为∠O切线；（2）若sin∠BAC＝35，求tan∠AFO的值.2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= 3 4．（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在∠ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与∠ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．4．如图，以∠ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE⌢的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若∠O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且∠DAM和∠BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC∠OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD∠OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，∠AMC和∠BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断∠AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S∠AMC=S∠BOC时，求AC的长．7．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A 重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22变，求线段AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在∠ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∠BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG∠DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在∠ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∠BD交AD于点G，EF∠EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角∠ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将∠ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到∠DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若∠ABD的面积为4，求∠CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在∠ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当∠DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C ＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．12．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是∠O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为∠O的直径，C是BA延长线上一点，CP切∠O于P，弦PD∠AB于E，过点B作BQ∠CP于Q，交∠O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3√3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。

知识回顾专题09锐角三角函数综合---2023年中考数学必考考点总结1.锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°．①正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ．即sin A ＝∠A 的对边除以斜边＝ca 。

②余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ．即cos A ＝∠A 的邻边除以斜边＝cb 。

③正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．即tan A ＝∠A 的对边除以∠A 的邻边＝b a 。

2.特殊角的锐角三角函数值计算3.直角三角形的性质①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。

⑤直角三角形的勾股定理。

4.解直角三角形：特殊角利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。

5.解直角三角形的坡度文问题：坡角：坡面与水平面的夹角 。

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比。

一般用i表示，常写成i=1：m的形式。

等于坡角的正切值。

在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。

应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等。

6.解直角三角形的仰角俯角问题：仰角：向上看的视线与水平线的夹角。

俯角：向下看的视线与水平线的夹角。

解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。

7.解直角三角形的方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。

2023年中考数学高频考点突破——锐角三角函数1．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．（1）求BC；（2）求sin∠A．2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6，tan C＝，BC＝12．（1）求DC边的长；（2）求cos B的值．3．如图，在Rt△EAC中，∠EAC＝90°，∠E＝45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC＝∠EAB，BF＝5，tan∠AFB＝．求：（1）AD的长；（2）cot∠DCF的值．4．动感单车是一种新型的运动器械，是经过科学地实验设计，它不仅不劳损腰部，还能使得健身达到最大的效果．图①是一辆动感单车的实物图，图②是它的侧面示意图，△DEB为主车架，AB为调节管，点A，B，E在一条直线上，其中AC∥DE，AC∥PQ，点G在线段PQ上，GQ的延长线与BD交于点H，GF∥AE．（1）求证：△BED∽△FGH．（2）已知BE的长为90cm，∠FGH＝70°，当AB的长度调节至30cm时，求点A到DE的距离（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．5．如图是某学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平天台DE构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度BC为9.6米，与地面垂直的平台立柱MN的高度为6米，整个楼梯的水平跨度AC为16米．（1）求楼梯AD的长度；（2）水平天台DE的长度约为m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，且tan∠CAD＝．（1）求cos∠CAD的值；（2）若BD＝2CD，求sin B的值．7．许多露营爱好者利用周末去郊区露营，为遮阳和防雨他们会搭建一种“天幕”．如图，“天幕”的截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD 后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD；（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减小到45°，求点E下降的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）8．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．；求：（1）S△ABC（2）∠B的余弦值．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．（1）求BC的长；（2）求tan A的值．10．计算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α为锐角，sin（α+15°）＝，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．11．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．12．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求∠ACB的度数．13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．＝9，求△ABC的周长．（2）tan A＝2，S△ABC14．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB＝50cm，点B、F 在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm．（1）若EC＝36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，BD⊥AC于点D．（1）求tan∠ABC的值；（2）求BD的长．16．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝13米，坡比DE：EC＝1：，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼项B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度．（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）17．如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，）18．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E 是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正切值．19．如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．（1）求OA的长；（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，过点B作BD⊥AC，垂足为点D．（1）求cot∠ACB的值；（2）点E是BD延长线上一点，连接CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝4，AC＝，∴BC＝＝＝3，即BC＝3；（2）由（1）知：BC＝3，∵∠A＝90°，AB＝4，∴sin A＝＝，即sin A＝．2．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．在Rt△ADC中，∵tan C＝＝，AD＝6，∴CD＝4．（2）∵BC＝12，CD＝4，∴BD＝8．在Rt△ADB中，AB＝＝10．∴cos B＝＝＝．3．【解答】解：（1）∵∠EAC＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝90°，∵∠FAC＝∠EAB，∴∠FAC+∠BAC＝90°，∴∠BAF＝90°，∵tan∠AFB＝＝，令AB＝3x，则AF＝4x，∵BF2＝AB2+AF2，∴BF2＝（3x）2+（4x）2，∴BF＝5x＝5，∵x＝1，∴AB＝3x＝3，AF＝4x＝4，，∵BF•AD＝AB•AF＝2S△ABF∴5AD＝3×4＝12，∴AD＝，（2）在Rt△ABF中，AD⊥BF，∴AB2＝BD•BF，∴32＝5BD，∴BD＝，∴DF＝BF﹣BD＝，∵∠EAC＝90°，∠E＝45°，∴∠BCD＝45°，∴∠DBC＝45°，∴DC＝BD＝，∴cot∠DCF＝＝．4．【解答】（1）证明：∵AC∥DE，AC∥PQ，∴PQ∥DE，∴∠GHF＝∠EDB，又∵GF∥AE，∴∠GFH＝∠DBE，∴△BED∽△FGH；（2）解：如图，过点A作AM⊥DE于点M．∵△GFH∽△EBD，∴∠E＝∠FGH＝70°．在Rt△EAM中，sin E＝，即sin70°＝，∴AM≈120×0.94＝112.8cm，答：点A到DE的距离约为112.8cm．5．【解答】解：（1）如图，过点D作DF⊥AC于F，则DF＝MN＝6米，在Rt△ADF中，∠A＝37°，DF＝6米，∵sin A＝，∴AD＝≈＝10（米），答：楼梯AD的长度约为10米；（2）如图，延长DE交BC于G，则CG＝6米，∴BG＝BC﹣CG＝9.6﹣6＝3.6在Rt△BEG中，∠BEG＝37°，则EG＝≈＝4.8（米），在Rt△ADF中，∠A＝37°，DF＝6米，则AF＝≈＝8（米），∴DE＝16﹣8﹣4.8＝3.2（米），所以水平天台DE的长度约为3.2米，故答案为：3.2．6．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，AC＝3，∴CD＝AC•tan∠CAD＝3×＝2，∴AD＝＝＝，∴cos∠CAD＝＝＝，∴cos∠CAD的值为；（2）∵BD＝2CD，CD＝2，∴BC＝3CD＝6，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝3，∴sin B＝＝＝，∴sin B的值为．7．【解答】解：（1）由对称知，CD＝2OD，AD＝AC＝2m，∠AOD＝90°，在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，∴sinα＝，∴OD＝AD•sinα＝2×sin65°≈2×0.90＝1.80m，∴CD＝2OD＝3.6m，答：遮阳宽度CD约为3.6米；（2）如图，过点E作EH⊥AB于H，∴∠BHE＝90°，∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，∴EH＝BF＝3m，在Rt△AHE中，tan a＝，∴AH＝，当∠α＝65°时，AH＝≈≈1.40m，当∠α＝45°时，AH＝＝3，∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为3﹣1.40＝1.6m．8．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，＝AB•CD∴S△ABC＝×15×12＝90，＝90；∴S△ABC（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．9．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝，∴BC＝；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝，∴tan A＝．10．【解答】解：（1）原式＝|1﹣|﹣4×+1＝﹣1﹣2+1＝﹣；（2）∵sin60°＝，sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1＝2﹣4×+1+3＝4．11．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．12．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，BD＝9，BC＝15，∴CD＝＝＝12；（2）在Rt△ACD中，CD＝12，AC＝20，∴AD＝＝＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，在△ABC中，∵AC2+BC2＝400+225＝625，AB2＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．13．【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5，∵sin A＝＝＝，∴∠A＝30°；（2）∵tan A＝＝2，∴a＝2b，＝9，∵S△ABC∴＝9，∴＝9，解得：b＝3（负数舍去），即a＝6，由勾股定理得：c＝＝＝3，∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+3＝9+3．14．【解答】解：（1）BD⊥DE，理由：连接BD，∵EC＝36cm，DE＝50cm，∴CD＝DE﹣EC＝14cm，∵BC＝50cm，BD＝48cm，∴CD2+BD2＝142+482＝2500，BC2＝502＝2500，∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥DE；（2）过点F作FH⊥CD，垂足为H，∵BC＝AB＝50cm，∴AC＝AB+BC＝100（cm），∵CF＝AC，∴CF＝×100＝20（cm），在Rt△CFH中，∠DCF＝45°，∴FH＝CF•sin45°＝20×＝10（cm），CH＝CF•cos45°＝20×＝10（cm），∵DF＝30cm，∴DH＝＝＝10（cm），∴CD＝CH+DH＝（10+10）cm，∴CD的长为（10+10）cm．15．【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴，∠AEB＝90°，∵BC＝4，∴，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∴AE2＝AB2﹣BE2，∵AB＝AC＝5，BE＝2，∴AE2＝52﹣22＝21，∴．在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，，BE＝2，∴．（2）如图，同（1），过点A作AE⊥BC交BC于点E，∵AE⊥BC，∴，又∵BD⊥AC，∴，∴，∵AC＝5，BC＝4，又∵由（1）求得，∴．16．【解答】解：（1）∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝13米，坡度为5：12，∴＝，设DE＝5x米，则EC＝12x米，∴（5x）2+（12x）2＝132，解得，x＝1，∴5x＝5，12x＝12，即DE＝5米，EC＝12米，故斜坡CD的高度DE是5米；（2）∵tan64°＝，tan45°＝，DE＝5米，CE＝12米，∴2＝，5＝，解得，AB＝34米，AC＝17米，即大楼AB的高度是34米．17．【解答】解：（1）∵斜坡DE的坡度，EF＝10m，∴，∴DF＝20．即斜坡DE的水平宽度DF长为20米．（2）过点E作EH⊥AC于点H，则四边形EFCH为矩形，∴HC＝EF＝10m，CF＝EH，设EH＝CF＝xm，在Rt△AEH中，AH＝EH•tan∠AEH＝EH•tan58°≈1.60x（m），∴AC＝AH+HC＝（1.60x+10）m，BC＝BD+DF+CF＝（40+x）m，在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，∴AC＝BC，即1.60x+10＝40+x，解得x＝50，∴AH＝1.60x＝1.60×50＝80（m），∴AC＝AH+HC＝80+10＝90（m）．即山体AC的高度为90米．18．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴tan B＝＝，∵BD＝6，∴CD＝4，∴AC＝＝＝2；（2）过点E作EH⊥AB于点H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∵EC＝EB，∴DH＝BH＝3，∴EH＝CD＝2，∴AH＝AD+DH＝2+3＝5，∴tan∠EAB＝＝．19．【解答】解：（1）∵AO'：O'C＝5：3，∴设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，∵O'C⊥OA，∴∠ACO′＝90°，∵AO′＝＝4x，∴4x＝40，解得x＝10，∴AO′＝50cm，O′C＝30cm，∴AO＝AO′＝50cm；答：OA的长为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，∴∠AOB＝150°，∴∠BOH＝30°，∵BH＝OB＝25cm，∵CB′＝O′B′+CO′＝50+30＝80（cm）∴B′C′﹣BH＝80﹣25＝55（cm），∴显示屏的顶部B′比原来升高了55cm．20．【解答】解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，如图，∵AB＝AC＝．∴BF＝FC＝BC＝1，在Rt△ACF中，∵AF＝＝2，∴cot∠ACB＝＝；（2）∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，在Rt△ACF中，sin∠ACD＝＝＝，在Rt△BDC中，∵sin∠BCD＝＝，∴BD＝BC＝，∴CD＝＝＝，又∵∠BAD＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，即＝，∴EC＝．即EC的长为．。

第四部分 三角形专题16 锐角三角函数及其应用（5大考点）核心考点一 特殊角的三角函数值及其计算核心考点二 由三角函数值求锐角核心考点三 锐角三角函数的增减性核心考点四 解直角三角形及其应用核心考点核心考点五 三角函数的综合新题速递核心考点一 特殊角的三角函数值及其运算例1 （2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，若将AB 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点的位置，连接B，过点D 作DE ⊥，交的延长线于点E ，则的长为（ ）A ．B ．C ．D ．例2 ．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______．例3 （2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①；②；③；____________________________________________________________________________．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：，其中x 是方程的根．知识点：特殊角的三角函数值1.图表记忆三角函数30°45°60°图形记忆12.规律记忆30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，；30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。

【变式1】（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AB＞BC，以点A为圆心、AB 长为半径的弧BE与DC相交于点E，点E为DC的中点，则由BC、CE和弧BE围成的阴影部分图形的面积是（）A．B．C．D．【变式2】（2022·河南洛阳·统考二模）如图1，在中，，点D是边上的中点，点P 从的顶点A出发，沿的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D．线段的长度y 随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则的面积为（）A．4B．C．8D．【变式3】（2020·四川自贡·校考一模）在中，若，，都是锐角，则是______三角形．【变式4】（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E．将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′．当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．【变式5】．（2021·新疆乌鲁木齐·校考三模）计算：核心考点二由三角函数值求锐角例1（2021·山东泰安·统考中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（）A．50°B．48°C．45°D．36°例2．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留）例3（2021·山东菏泽·统考中考真题）在矩形中，，点，分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处．（1）如图1，当与线段交于点时，求证：；（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，求证：点在线段的垂直平分线上；（3）当时，在点由点移动到中点的过程中，计算出点运动的路线长．【变式1】（2022·山东滨州·统考一模）如图，在半径为6的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，sin D=,则BC的长为（）A．B．C．D．【变式2】（2022·山东·统考二模）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（）A．B．C．D．【变式3】（2021·贵州遵义·统考一模）在综合实践课上，某学习小组要测量塔的高度，在测量过程中，结合图形进行了操作（如图所示）．在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B 走80m到达D点，测出塔顶的仰角为45°，那么塔AB的高为____________m（计算结果精确到0.1m，参考数据：，）．【变式4】．（2022·吉林长春·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，连结，过点作轴于点，，，把绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为______．【变式5】（2022·重庆·重庆八中校考模拟预测）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛千米的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．(1)渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？(2)渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．（结果精确到1千米，参考数据）核心考点三锐角三角函数的增减性例1（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定例2（2022·陕西西安·交大附中分校校考三模）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，E为AD上一点，若，则AB的最大值为__________．例3（2021·浙江宁波·统考一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高；（2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？1. 三角函数值的变化规律①当角度A在0°—90°间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）②当角度A在0°—90°间变化时，余弦值和余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。