三角函数图像的平移、变换

三角函数的变换与性质三角函数在数学中起着重要的作用，它们与三角学和几何学密切相关。

本文将探讨三角函数的变换与性质，包括平移、缩放和反射等变换，以及周期性、奇偶性和对称性等性质。

1. 平移变换三角函数的平移变换指的是在横轴或纵轴方向上对函数图像进行平移操作。

对于y = sin(x)来说，平移变换可以表示为y = sin(x - a)或y = sin(x + a)，其中a表示平移的量。

当a大于0时，图像向右平移；当a小于0时，图像向左平移。

同样地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以用相似的方式进行平移变换。

平移变换可以帮助我们理解函数图像的移动规律，对解决实际问题中的几何和物理相关问题具有重要意义。

2. 缩放变换三角函数的缩放变换是指改变函数图像在横轴或纵轴方向上的尺度。

对于y = sin(x)来说，缩放变换可以表示为y = a*sin(x)或y = sin(ax)，其中a表示缩放的比例。

当a大于1时，函数的振幅增大，图像变窄；当a小于1时，函数的振幅减小，图像变宽。

类似地，对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，缩放变换也可以用类似的方式进行。

缩放变换可以帮助我们研究函数图像的形状和变化，对数学建模和图像处理等领域有着广泛应用。

3. 反射变换三角函数的反射变换是指改变函数图像关于横轴或纵轴的对称性。

对于y = sin(x)来说，反射变换可以表示为y = -sin(x)或y = sin(-x)，其中负号表示对称性的改变。

经过纵轴反射后，图像关于纵轴对称；经过横轴反射后，图像关于横轴对称。

对于y = cos(x)和y = tan(x)等函数，也可以通过反射变换来改变图像的对称性。

反射变换有助于我们研究三角函数图像的特征和性质，对对称几何和信号处理等领域有一定的应用价值。

4. 周期性三角函数具有明显的周期性特征，即函数在一定区间内的值重复出现。

对于y = sin(x)来说，它的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值会重复。

三角函数的图像的变换口诀解读变T 数倒系数议，变A 伸压 y 无疑， 变φ 要把系数提，正φ 左进负右移．周期变换是通过改变x 的系数来实现的，即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关．这是因为ωπ2=T，故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍，则须用xm1去代原式中的x (纵坐标不变)，故有“变T 数倒系数议”之说．相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移．当先作周期变换后作相位变换时，须提出系数ω，这是因为周期变化时改变了x 的值，此时其初相位（非0初相）同时也改变相应得到改变，且改变的倍数相同．当先作相位变换后作周期变换，由于此时x 的系数为1，系数提不提无影响，为了统一记忆我们也视为提出系数“1”．因而有“变φ要把系数提”之说．三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容．对此类命题的求解，无论三种变换怎样摆设，先要弄清哪是原函数的图像，哪是新函数的图像，再据本歌诀所述，很快就可得到解决．例1 为了得到 y =)62sin(π-x 的图像，可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( )(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 (D) 向左平移3π个单位长度解法1 ∵ y = cos2x =)4(2sin )22sin(ππ+=+x x , 而 y =]3)4[(2sin )62sin(πππ-+=-x x ，由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3π个单位长度即可．故选(B)．解法2 ∵ y =)62sin(π-x )622cos(ππx +-=，即y )3(2cos π-=x , 而已知的函数为y = cos2x ,由此可得，须将函数y = cos2x 的图像向右平3π个单位即可．故选(B)．点评 由于当ωϕ-=x 时, 相位0=+ϕωx ．因而，我们可称此时的相位为零相位．由此可见，在作相位变换时，其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的．对于本题而言，由于两个0相位对应的x 的值分别为12π与4π-，故所作的平移就是要将已知函数的0相位对应的点)0 ,4(π-移到点)0 12(，π处．易知要平移的数值是：3)4(12πππ=--，方向是向右的．显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法．例2 已知函数 f (x ) =)5sin(2π+x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y =)52sin(π-x (x ∈R ) 的图像为C 1, 为了得到C 1，只需把C 上所有的点先向右平移 ，再将 ． ( )(A)52π个单位，横、纵坐标都缩短到原来的21(B)52π个单位，横、纵坐标都伸长到原来的2倍(C)5π个单位，横、纵坐标都缩短到原来的21 (D)5π个单位，横、纵坐标都伸长到原来的2倍解 ∵ 要求的变换是先作平移变换，后作周期变换，再作振幅变换．故将函数y ＝)5sin(2π+x 的图像向右平移52π个单位, 得到)5sin(2)525sin(2πππ-=-+=x x y的图像．再将此图像的横坐标缩小到原来的一半，得到y =2)52sin(π-x 的图像．最后将其纵坐标缩小到原来的一半，即可得到y =)52sin(π-x 的图像．故选(A)．点评 本题要求先作相位变换，后作周期变换，再作振幅变换，且原函数中x 的系数为“1”,明确这一点是非常重要的．。

三角函数的图像变换三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们在图像上呈现出规律性的波动变化，而通过对这些函数进行图像的平移、缩放、翻转等操作，可以得到各种不同形态的函数图像。

本文将介绍三角函数的图像变换过程，并探讨不同变换对函数图像的影响。

正弦函数的图像变换正弦函数 $y = \\sin(x)$ 是一种周期性函数，其图像在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内呈现出波浪状的变化。

对正弦函数进行图像变换可以通过调整函数中的关键参数来实现。

平移平移是一种简单的图像变换操作，可以沿着横轴和纵轴分别对函数图像进行移动。

对于正弦函数 $y=\\sin(x)$ 来说，平移操作可以表示为 $y = \\sin(x - a)$，其中a为平移距离。

当a>0时，函数图像向右平移；当a<0时，函数图像向左平移。

缩放缩放是改变函数图像振幅的一种常见操作。

对于正弦函数$y=\\sin(x)$，可以通过调整函数中的系数来实现振幅的变化。

例如，当 $y=2\\sin(x)$ 时，函数图像的振幅将变为原来的两倍；当 $y=\\frac{1}{2}\\sin(x)$ 时，函数图像的振幅将缩小为原来的一半。

翻转翻转是改变函数图像对称性的一种操作。

对于正弦函数$y=\\sin(x)$，可以通过在函数中引入负号来实现翻转操作。

例如，当 $y=-\\sin(x)$ 时，函数图像将在a轴进行翻转。

余弦函数的图像变换余弦函数 $y = \\cos(x)$ 也是一种周期性函数，其图像在$[0, 2\\pi]$ 区间内呈现出波浪状的变化。

对余弦函数进行图像变换同样可以通过平移、缩放、翻转等操作来实现。

平移对于余弦函数 $y=\\cos(x)$，平移操作的表达式为 $y =\\cos(x - a)$，其中a为平移距离。

与正弦函数类似，当a> 0时，函数图像向右平移；当a<0时，函数图像向左平移。

三角函数图像的平移、变换一、 引入以简单函数为例，解说“左加右减、上加下减” 。

讲清横移的实质是把全部x 替代为 x+a ；二、三角函数图像的平移之历年高考真题1、为了获得函数y sin(2 x) 的图像，只需把函数 y sin(2 x) 的图像（ A ）向左平移个长度单364位（ B ）向右平移 个长度单位4（ C ）向左平移个长度单位（ D ）向右平移个长度单位22【答案】 B2、将函数 ysin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到本来的102 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是（ A ） ysin(2 x ) （B ） ysin(2 x)sin( 1x10sin( 1x 5 （ C ） y) （ D ） y )2102 20分析：将函数 y sin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 所得函数图象的分析式为 y ＝ sin( x10－)再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是10y sin( 1x) . 【答案】 C 210以本题为例，解说横向变换的实质也是替代。

可发问：上述步骤反演，结果怎样？3、（ 2010 天津文）（ 8）右图是函数 y Asin （ x+ ）（ xR ）在区间 - 5上的图象，为了获得这个函数的图象，只，6 6要将 y sin x （ x R ）的图象上全部的点(A) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原3来的 1倍，纵坐标不变2(B) 向左平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原3来的 2 倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变621【答案】 A【分析】本题主要考察三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。

由图像可知函数的周期为，振幅为1，因此函数的表达式能够是y=sin(2x+ ).代入（ - ， 0）可得的6一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+ )，即 y=sin2(x+ )，因此只需将 y=sinx （ x∈ R）3 3 6 1倍，纵坐标不变。

三角函数的图象变换与性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。

接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。

三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。

平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。

伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。

翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。

通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。

正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。

正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。

余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。

余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。

正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。

正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。

正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。

除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。

它们的图象可以通过适当的变换得到。

例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。

三角函数的图像和变换一、图像对于sinx 、cosx 、tanx 、cotx 、我们都应把它们的图像性质给讨论一遍。

这里以sinx 为例，讨论如下：（1）定义域：x R ∈（2）值域：[]1,1-（3）特殊点：1,221,220,y x k y x k y x k πππππ==+=-=-==（4）周期：2T π=（5）单增：2,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 单减：32,222k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭ （6）为奇函数（7）对称轴：2x k ππ=+（8）对称点：(),0k πcosx ，如下（1）定义域：R（2）值域：[-1,1]（3）特殊点：()1,21,210,2y x k y x k y x k ππππ===-=+==+（4）周期：2T π=（5）单增：()2,2k k πππ-单减：()2,2k k πππ+（6）为偶函数（7）对称轴：x k π=（8）对称点：,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭tanx 如下：（1）定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ （2）值域：R（3）特殊点：0,y x k π==（4）周期：T π=（5）单增：,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ （6）为奇函数（7）对称轴：无（8）对称点：,02k π⎛⎫ ⎪⎝⎭二、三角函数的平移变换1()()w y f x y f wx ==→横()()A y f x y Af x ==→纵例1 -12sin 322sin 32sin 322222x x y x y y πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭横倍右1 2sin 32sin 3x 1)22sin 3-12222x y x y y πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭右1（横倍 例2 将函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭按照向量,16π⎛⎫-- ⎪⎝⎭移动后为（C ） A 3sin 212y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ B 3sin 212y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C 3sin 216y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ D 3sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭解析：如下 ，因此左移6π，下移1 3sin 2166y x ππ⎛⎫⎛⎫⇒=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简后选择C 例3 （天津）函数()sin (0,||)2y A wx w πϕϕ=+><的部分图像如图所示，则函数的表达式为（A ）A 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B 4sin 84y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C 4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 解析：（1）横向看周期：2168T w w ππ==⇒= （2）纵向看A44A A ⇒=⇒=±（3）再看特殊点注意，此时一定看最大值或最小值点，才能一步到位本题中最小值点为（2，-4），代入，则求得A=-4，选择A。

数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。

三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。

三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。

一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。

三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。

三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。

二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。

对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。

这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。

三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。

当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。

当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。

三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。

三角函数图象的平移和伸缩函数s i n ()y A x k ωϕ=++的图象与函数s i n y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x=的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x kωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πs i n24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2s i n 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2s i n 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．练习：1、选择题：已知函数)5sin(3π+=x y 的图象为C 。

三角函数图像的变换一．x y sin =图像的三种变换：①函数x y sin =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 二．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．三．练习1.已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_________；初相ϕ=__________．2.三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3.函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．{2,}3x x k k Z ππ=±∈ )48sin(4π+π-=x y第3题4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位．5.为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______． 6.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度．7.若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =ω=______；ϕ=__________．8.下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____． 9.函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 10.求下列函数的单调减区间： （1）⎪⎭⎫⎝⎛+=62cos 2πx y （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=32sin 2πx y 11. 函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________12. 7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．（1）求θ和ω的值；π6第8题（2）已知点π2A⎛⎫⎪⎝⎭，，点P是该函数图象上一点，点00()Q x y，是PA当y=ππ2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求x的值．13.设函数)(),()2sin()(xfyxxf=<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(xfy=的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(xfy=在区间],0[π上的图像第7题。

三角函数变换公式三角函数是初等数学中的重要概念，在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

在三角函数中，最常见的函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有周期性和较为规律的变化。

然而，在实际应用中，有时我们需要对三角函数进行一些变换，以适应特定的需求。

这些变换包括平移、伸缩和反转等操作，可以使得函数图像更加灵活和有用。

一、平移变换平移变换是指在函数图像中将其整个图像沿横轴或纵轴方向平移一定距离。

平移变换可以改变函数图像的位置，使其整体向左或向右移动，或者向上或向下移动。

1.横向平移：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿横轴方向平移h个单位，得到函数g(x)=f(x-h)。

根据平移的定义，可知g(x)的图像在x轴上的任意点P(x,y)的坐标变为P(x+h,y)。

因此，横向平移后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点向右平移h个单位。

2.纵向平移：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿纵轴方向平移k个单位，得到函数g(x)=f(x)+k。

根据平移的定义，可知g(x)的图像在y轴上的任意点P(x,y)的坐标变为P(x,y+k)。

因此，纵向平移后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点向上平移k个单位。

二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。

伸缩变换可以改变函数图像的形状和走向，使其更加符合实际情况或数学要求。

1.横向伸缩：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿横轴方向进行伸缩，得到函数g(x)=f(kx)。

根据伸缩的定义，可知g(x)的图像在x轴上的任意点P(x, y)的坐标变为P(x/k, y)。

因此，横向伸缩后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点的横坐标缩小k倍。

2.纵向伸缩：设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿纵轴方向进行伸缩，得到函数g(x)=kf(x)。

根据伸缩的定义，可知g(x)的图像在y轴上的任意点P(x, y)的坐标变为P(x, ky)。

《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x）到函数y = A f（）+m，其间经过4种变换：1。

纵向平移——m 变换2。

纵向伸缩——A变换3.横向平移——变换4.横向伸缩-—变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性"也不一样。

以下以y = sin x到y = A sin （）+m为例，讨论4种变换的顺序问题。

【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y = sin x向右平移，得第2步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得第4步:纵向平移：将向上平移1,得【解法2】第1步，横向伸缩：将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2步，横向平移：将y = sin 2x向右平移，得第3步，纵向平移：将向上平移,得第4步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得【说明】解法1的“变换量"（如右移)与参数值（)对应，而解法2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性"大,而解法2的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2)在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当〈0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向)？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反——如｜| > 1时对应着“缩”，而| A ｜>1时，对应着“扩”？【答疑】对于（2)，（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式（y+）= f (），则x、y在形式上就“地位平等"了。

高中三角函数的像变换三角函数是数学中常见的函数形式，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

像变换是对函数图像进行的一种变换操作，可以通过变换操作来改变原始函数图像的形态和位置。

在高中数学中，三角函数的像变换是一个重要的概念，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。

一、平移变换平移变换是一种保持函数形状不变，只改变位置的变换操作。

对于三角函数来说，平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种类型。

1. 水平平移水平平移是将函数图像沿x轴的方向移动，可以使函数图像向左或向右平移。

数学上，水平平移的量可以用常数c表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x + c)的图像向左平移c个单位；- 余弦函数y = cos(x + c)的图像向右平移c个单位；- 正切函数y = tan(x + c)的图像向左平移c个单位。

2. 垂直平移垂直平移是将函数图像沿y轴的方向移动，可以使函数图像向上或向下平移。

数学上，垂直平移的量可以用常数d表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(x) + d的图像向上平移d个单位；- 余弦函数y = cos(x) + d的图像向上平移d个单位；- 正切函数y = tan(x) + d的图像向上平移d个单位。

二、伸缩变换伸缩变换是一种改变函数图像形状和大小的变换操作。

对于三角函数来说，伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种类型。

1. 水平伸缩水平伸缩是通过改变自变量x的取值范围来改变函数图像的形状。

数学上，水平伸缩的量可以用常数a表示。

对于三角函数来说：- 正弦函数y = sin(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 余弦函数y = cos(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压；- 正切函数y = tan(ax)的自变量x的取值范围变为原来的1/a倍，图像被水平挤压。

2. 垂直伸缩垂直伸缩是通过改变因变量y的取值范围来改变函数图像的形状和大小。

第十二节专题:三角函数的图像变换问题▍知识导学▍1.三角函数的图像变换对称变换()()y f x y f x =→=-图像关于x 轴对称()()y f x y f x =→=-图像关于y 轴对称平移变换()()(0)y f x y f x b b =→=±>上下平移b 个单位（上加下减）()()(0)y f x y f x a a =→=±>左右平移a 个单位（左加右减）伸缩变换()()y f x y f ax =→=图像沿x 轴伸缩1a倍.（反着变换）()()y f x y af x =→=图像沿y 轴伸缩a 倍.翻折变换()|()|y f x y f x =→=y 轴上方保持不动,下方图像关于x 轴对称得到.()()y f x y f x =→=||y 轴右侧方保持不动,左方图像是右侧图像关于y 轴对称得到.2.由sin y x =的图像得到()sin y A x ωϕ=+的图像的过程:途径1:先平移后伸缩()()1si s n sin i n y x y x y x ϕωϕωϕ=+=−−−−−→−−−−−−−→−−−−−−−=−+→，横坐标不变，纵坐向左或向右平移横坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短个单位长度到原来的A倍到变原来的标不()sin y A x ωϕ=+途径2:先伸缩再平移()1sin s i in s n y x y x y x ϕωωωωϕ=−−−−−−−→−−−−−→−−−−−−−−=→=+，横坐标不变，纵坐横坐标伸长或缩短向左或向右平移纵坐标伸长或缩短到原来的A倍到原来的个单位标不变长度()sin y A x ωϕ=+▶▷重点题型专练◁◀▶类型1:()s n sin i y A x y x ωϕ=→+=型变换【1】试用两种变换途径说明下列函数的变换方式.（1）πsin 2s 3in y x y x =−⎛⎫=+ ⎪⎝→⎭−;（2）πsin sin 56y x y x ⎛⎫=−−→=- ⎪⎝⎭;（3）1πsin sin 23y x y x ⎛⎫=−−→=- ⎪⎝⎭;（4）23πcos cos 32y x y x ⎛⎫=−−→=+ ⎪⎝⎭;（5）πcos 2cos 214y x y x ⎛⎫=−−→=+- ⎪⎝⎭;（6）11πsin sin 2233y x y x ⎛⎫=−−→=-+ ⎪⎝⎭.▶类型2:()sin sin y A x y xωϕ=+→=型变换【2】说明下列函数的图像变换方式.（1）sin sin 4y x y x π⎛⎫−−→==+ ⎪⎝⎭;（2）sin s 24in y x y x π⎛⎫=+ −−→=⎪⎝⎭;（3）1sin 2s n 6i y x y x π⎛⎫=- −−→=⎪⎝⎭;（4）cos 2cos 314y y x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭−−→=.▶类型3:()(11122sin sin y A x A xωϕω→=+)2ϕ+型变换【3】说明下列函数的图像变换方式.（1）5sin i 212n 2s y x y x π=−⎛⎫=- ⎪⎝−⎭→;（2）π3cos 3co 224s y x y x =−−→⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（3）2sin 26sin 6y x y x ππ⎛⎫=-−−→ ⎪⎝⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎭;（4）sin sin 243x y x y ππ=−−⎛→⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（5）sin sin 426x y x y ππ⎛⎫⎛⎫=-−−→=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（6）2si 2sin 26n 3x y x y ππ⎛⎫=-−−→⎛⎫=- ⎪⎝⎪⎝⎭⎭ .▶类型4:异名函数得图像变换对于异名函数得问题,在变换得过程中要首先进行变名,使异名函数变为同名函数,需要用到诱导公式根据诱导公式sin cos 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭变名.【4】说明下列函数的图像变换方式.（1）cos3sin 3y x y x =−−→=;（2）cos sin 4y x y x π⎛⎫==+−−→ ⎪⎝⎭;（3）2cos 2sin 24y x y x π⎛⎫=−−→=- ⎪⎝⎭;（4）ππsin cos 233y x y x ⎛⎫⎛⎫=-−−→=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（5）co 3in 2s 3s 6y x x y ππ⎛⎫+−−→⎛⎫==- ⎪⎝⎪⎭⎭⎝;（6）2sin 264cos y y x x ππ=-−−⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭→.▶类型5:含负号得图像变换对于()()y f x y f x =→=-或()()y f x y f x =→=-,我们知道是函数中的对称变换,即关于x 轴对称或关于y 轴对称,因为三角函数具有周期性,故得到这类图像除了对称变换外,还可以通过左右平移进行变换,这也是大部分的考察重点.应对这类问题,要通过诱导公式将负号去掉,即保证系数为正,再进行变换.可参考诱导公式为:()()sin sin +ααπ-=;()sin sin ααπ-=+;()cos cos ααπ-=+;()cos cos αα-=.（公式也可通过图像理解,图像关于x 轴对称或关于y 轴对称与图像向左平移π个单位后重合）【5】（2020·高一课时练习）将函数sin 2y x =的图象经过怎样的变换,能得到函数sin 25y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象？（尝试使用单一平移变换和平移+对称变换两种方法）【6】（2022·安徽·高三练习）函数sin 2y x =的图像经过怎样的平移变换得到函数sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（尝试使用单一平移变换和平移+对称变换两种方法）【7】函数sin3y x =的图像经过怎样的平移变换得到函数cos 34y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（尝试使用单一平移变换和平移+对称变换两种方法）【8】函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像经过怎样的平移变换得到函数-cos2y x =的图像（尝试使用单一平移变换和平移+对称变换两种方法）▶类型6:图像平移前后重合问题若同名的两三角函数图像重合,则两图像的相位差一定为周期的倍数,如()11sin x ωϕ+与()22sin x ωϕ+重合,则两图像相位差()()11222x x k ωϕωϕπ+-+=,因两图像重合,故12ωω=,相位差为122k ϕϕπ-=,因此可以通过此等式解出参数满足的条件;若两图像的对称轴重合,则两图像的相位差满足12k ϕϕπ-=.【9】（2022·交大附中）设()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R ,若将函数()y f x =的图像向左平移a 个单位能使其图像与原图像重合,则正实数a 的最小值为.【10】把函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移6π个单位长度后,所得图象与函数()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象重合,则ϕ=．【11】（2022·安徽含山中学校联考三模）若将函数sin (0)4y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后,与函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合,则ω的最小值是________.【12】函数()()()cos 20πf x x ϕϕ=+<<的图象向左平移π6个单位后与函数cos2x y =-的图象重合,则ϕ=．【13】（2022·辽宁大连统考二模测试）将函数()sin 06y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像分别向左､向右各平移6π个单位长度后,所得的两个函数图像的对称轴重合,则ω的最小值为.【14】设函数()cos (02)3f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,若将()f x 图像向左平移45π个单位后,所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合,则ω=．【15】若3sin 212y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与自身重合,且tan y x ω=的一个对称中心为,048π⎛⎫⎪⎝⎭,则ω的最小正值为．【16】（2023·河南南阳高三统考）若将函数()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后,与函数()()2cos 2g x x ϕ=+的图像重合,则ϕ=_______.。