几何中的计数问题(一)

华杯赛计数专题：几何计数基础知识：1.几何计数，从类型上看，可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小，按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点，三角形对应到端点或边，长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法，本质是分类.方法铺垫：1）加法原理，乘法原理；2）容斥原理；3）排列数，组合数；4）对应法.例题：例1.如图，数一数图中有多少条线段？【答案】28（条）【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；……7个单位长的线段有1条；故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.例2.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.例3.如图，数一数，图中有多少个三角形？【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.例4.数一数，图中共有多少个三角形？【答案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.例5.图中有多少个正方形？【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有4×4=16个；包含4个正方形的正方形有3×3=9个；包含9个正方形的正方形有2×2=4个；包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.例6.如图，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？【答案】70（条）; 60个【解答】线段：横线，共有4×条；竖线：5×，故共有线段40＋30=70条；矩形：竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形10矩形原60个.例7.如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？【答案】450（个）；144个【解答】（1）竖线中选出两条，共有条，横线中选出两条，共有，根据乘法原理，共有矩形45×10=450个.（2）竖线中选出两条，共有6竖线中选出条，横线中选出两条，共有2×3=6条，根据乘法原理，共有矩形24×6=144个.例8.如图，数一数，图中共有多少个长方形？【答案】135个【解答】横向看：共有矩形个，竖向看：共有矩形个，这样重复计算了个，所以共有矩形90＋63－18=135个.例9.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200（个）【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个；包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？【答案】70条线段，60个矩形【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定，因此共有条线段.每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成，如下图：因此共有个矩形.例12. 数一数，图中有多少个三角形？【答案】78个【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个，朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个，朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个，朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个.例13. 下图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出多少个矩形？2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？【答案】1）450个；2）80个；3）144个【解答】1）图中共有个矩形；2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个.3）黑点左下方的顶点共有18个，黑点右上方的顶点共有8个，所以包含黑点的矩形共有18×8=144个.例14. 图中一共包含多少个矩形？【答案】135个【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示），其中一共包含矩形个；第（3）部分中的矩形被重复计算了，其中共有矩形个.所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.例15. 图中的木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200个【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示），另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形.例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.【答案】周长总和：1364；面积总和：1800【解答】矩形的10种长的总长是3＋+4＋+2＋+6＋+7＋+6＋+8＋+9＋+12＋+15=72。

几何计数,数线段,直接利用公式几何计数是指利用几何方法解决计数问题的数学分支。

其中一种常见的几何计数问题是计算给定平面上点集中线段的数量。

在这篇文章中，我们将介绍如何利用公式来解决数线段的问题，具体的解题方法如下。

首先，我们考虑如何求解平面上的水平线段。

设给定平面上有n个点，我们需要求解由这n个点确定的水平线段的数量。

我们先来看一种简单的情况，假设给定的n个点中没有两个点具有相同的y坐标。

在这种情况下，由任意两个点所确定的线段都是不同的。

因此，我们只需要计算C(n, 2) = n(n-1)/2即可得到线段的数量，其中C(n, 2)表示从n个点中选择2个点的组合数。

然而，当给定的n个点中存在具有相同y坐标的点时，我们需要单独考虑这些点所确定的线段数量。

假设存在m个具有相同y坐标的点，那么我们首先可以求得这m个点所确定的线段的数量为C(m, 2) = m(m-1)/2。

然后，我们还需要将这些线段与其他n-m个点所确定的线段进行组合，因此，这种情况下线段的总数量为C(n, 2) + m(m-1)/2。

接下来，我们考虑如何求解平面上的任意方向的线段的数量。

事实上，我们可以将任意方向的线段分解为水平线段和竖直线段的组合。

假设给定的n个点中没有两个点具有相同的x坐标，那么我们可以通过先求解水平线段的数目，再求解竖直线段的数目，最后将这两个数目相乘得到线段的总数量。

水平线段的数目可以由之前的计算方法得到，而竖直线段的数目的计算方法与水平线段相同。

然而，当给定的n个点中存在具有相同x坐标的点时，我们需要单独考虑这些点所确定的线段数量。

我们可以将具有相同x 坐标的点与其他点分别进行组合，计算得到水平线段和竖直线段的数量，然后将它们相乘得到线段的总数量。

需要注意的是，在计算过程中，我们需要保证m不为0，否则计算C(m, 2)会出现问题。

此外，还要注意考虑到水平线段和竖直线段交叉的情况，需要进行适当的调整。

综上所述，通过以上公式，我们可以解决给定平面上点集中线段数量的计算问题。

第6讲几何计数【例1】导引拓展篇第1题如图，数一数，图中有多少个三角形？包含1个小三角形的有25个包含4个小三角形的有13个包含9个小三角形的有6个包含16个小三角形的有3个包含25个小三角形的有1个++++=所以共有个251363148按照顺序数出图形个数【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？包含1块的三角形有5个；包含2块的三角形有4个；包含3块的三角形有1个；包含4块的三角形有1个；没有5块和6块的三角形；包含7块的大三角形1个；因此所有三角形一共有++++=5411112【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 共有12个三角形 增加10个三角形 增加10个三角形因此原图中共有个三角形． B C BA DEF12101032++=【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．整个五边形被分成了11块由1块构成的三角形有10个；由2块构成的三角形是10个；由3块构成的三角形共10个；由5块构成的三角形有5个．共有10＋10＋10＋5＝35个三角形。

【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．加上虚线就加上6个三角形变成35个三角形原图共有35－6＝29个三角形【例3】导引拓展篇第3题AB C增加了一条线段AC以AB为边增加三角形有4个，以BC为边增加三角形有2个，以AC为边增加三角形有6个，共增加12个共有35＋12＝47个三角形数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．【例4】导引拓展篇第4题数一数，图中有多少个三角形？两个部分中各有35个三角形第一种有10个第二种有5个原图中共有35×2＋10＋5＝85个三角形【例5】导引拓展篇第5题数一数图中共有多少个长方形？（正方形是特殊长方形）由1块组成的长方形共有7个由2块组成的长方形共有4个由3块组成的长方形共有2个由4块组成的长方形有1个由5块组成的长方形有1个由6块组成的长方形有1个由7块组成的长方形有1个图中共有长方形7＋4＋2＋1＋1＋1＋1＝17个【例6】导引拓展篇第5题如图所示的一个大菱形，那么图中共能数出多少个菱形？设最小的菱形边长为1边长为1的菱形共有4×4=16个边长为2的菱形共有3×3=9个边长为3的菱形共有2×2=4个边长为4的菱形有1×1=1个菱形共有16+9+4+1=30个2212＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅）1-nn＋＋【例7】导引拓展篇第7题这是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）包含黑点的长方形有多少个？(1)从5条横线中取2条横线共有种方法从10条竖线中取2条竖线共有中方法图中共有长方形 22510450C C ⨯=(2)黑点上面有2条横线，下面有3条横线所以有2×3=6种取法左边有6条竖线，右边有4条竖线 所以又4×6=24种取法 共有6×24=144个含黑点的长方形 21n 21m C C ++⨯m ×n 个网格中有 个长方形【例8】导引拓展篇第8题数一数，图中共有多少个长方形？左边阴影一共有长方形个 右方阴影一共有长方形个 被重复计算有个 图中一共包含长方形90+63-18=135个224690C C ⨯=227363C C ⨯=224318C C ⨯=【例9】导引拓展篇第9题图中共有多少个平行四边形？尖朝右、尖朝左和尖朝上三种最小的平行四边形有6个两个小平行四边形拼成的有6个三个小平行四边形拼成的有2个四个小平行四边形拼成的有1个共15个有15×3=45个平行四边形【例10】导引拓展篇第10题18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形．数一数，图中共有多少个梯形？左上右下的斜线、左下右上的斜线和竖线三种左上右下：6×3+4=22个梯形左下右上： 6×3+4=22个梯形竖线梯形：5×2+2=12个所以共有22+22+12=56个梯形【例11】导引拓展篇第11题木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？三角形由不在同一直线的三点组的 从12个点中任意选择3个点有 共线三点组共有12+8=20个 所以共有220-20=200个三角形220C 312【例12】导引拓展篇第12题方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点，可以连出多少正方形？最小方格有9个小正方形小正方形个数有4个小正方形个数有2个小正方形个数有4个小正方形个数有2个一共有9+4+2+4+2=21个【例13】导引拓展篇第13题图中，共有多少个不同的曲边形？中间是1个五角星，边上是5个小块1个小块：5+5=10个曲边型2个小块： 3个小块: 4个小块: 5个小块:1个共有10+10+10+5+1=36个曲边型10C 25=10C 35=5C 45=【例14】导引拓展篇第14题一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．那么以格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？底是2高是1、底是1高是2底是2高是1： 底是1高是2： 底是1高是2又是底是2高是1：直角三角形重复 重复直角三角形为1×2直角三角形1×2的长方形中由4个这样的直角三角形 重复共有4×7=28种面积为1的三角形共有：50+48-28=70种4×2 +4×2×2 +4×2 +9×2 =50种 3×4×2 +2×3×4 =48种本讲知识点汇总一、按照顺序数出图形个数二、m ×n 的方格中长方形的个数为 三、正方形以及菱形的个数为 四、可以通过对称或者图形相似简化计数过程21n 21m C C ++⨯22211-n n ＋＋）＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅下节课见！。

几何图形的计数问题一、数直线或线段规律1、如图，过两点可画出多少条直线？过不共线的三点最多可以作出多少条直线？过无三点共线的四个点最多可作出多少条直线？…，依次类推，经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？（1）1条（2）3条（3）6条经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出12n(n－1)条直线。

2、分别数出下列各图中各有几条线段？（1）1条（2）3条（3）6条（4）10条若一条线段上有n个点，则可以一共可以数出12n(n－1)条线段。

二、数角规律3、分别数出下列各图中各有几个角？（1）1个（2）3个（3）6个（4）10个若由一个点引出n条射线，则一共可数出2n(n－1)个角。

三、数三角形规律4、分别数出下列各图中各有几个三角形？（1）（2）（3）（4）若由一个顶点引出n条射线，则一共可数出2n(n－1)个三角形。

拓展：分别数出下列各图中各有几个三角形？（1）12个提示：分两部分，分别计算（2）21个提示：分4部分，（3）15个提示：分3部分，四、数长方形、正方形规律5、数出下图中有几个长方形？（1）3个（2）9个（3）18个（4）30个6、数出下图中有几个正方形？（1）8个（2）20个（3）40个数长方形的公式：长边上的线段条数×宽边上的线段条数数正方形的公式：一个被划分成m×n的小正方形的长方形中共可以数出的正方形的个数是：（其中m≤n）m×n＋(m－1)×(n－1)＋(m－2)×(n－2)＋…＋1×[n－(m－1)]图中共有几条线段？25图中共有几个角？21图中共有几个三角形？24图中共有几个长方形？几个正方形？225，55练习解答：图中共有几条线段？分两部分：①有6个点，根据规律：（6－1）×6÷2＝15（条）①有5个点，根据规律：（5－1）×5÷2＝10（条）所以一共15＋10＝25（条）图中共有几个角？有7条射线，根据规律：（7－1）×7÷2＝21（个）图中共有几个三角形？分为两部分：①这两部分一样，所以只数一个就行了，底边有5个点，根据规律：（5－1）×5÷2＝10（个）①很明显，4个三角形所以一共10×2＋4＝24（个）图中共有几个长方形？几个正方形？长方形：长边和宽边都有6个点，根据规律算出线段条数：（6－1）×6÷2＝15（段）根据数长方形规律：15×15＝225（个）正方形：分5部分①以1个小正方形为单位数，长边和宽边各能数5个，共5×5＝25（个）②以4个小正方形为单位数，长边和宽边各能数4个，共4×4＝16（个）③以9个小正方形为单位数，长边和宽边各能数3个，共3×3＝9（个）④以16个小正方形为单位数，长边和宽边各能数2个，共2×2＝4（个）⑤以25个小正方形为单位数，长边和宽边各能数1个，共1×1＝1（个）所以总共25＋16＋9＋4＋1＝55（个）正方形。

高考中“立体几何”中的计数问题求解方法在近几年的高考试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起，综合性强，能力要求高，有一定的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。

现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。

1、直接求解例1：从平面上取6个点，从平面上取4个点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？解: 利用三棱锥的形成将问题分成平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有+ + 个三棱锥例2: 在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其它的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有A.40B. 48C. 56D. 62种解: 满足题设的取法可以分成三类（1）在四棱锥的每一个侧面上除P点外取三点有种不同取法；（2）在两个对角面上除点P外任取3点，共有种不同取法；（3）过点P的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有种不同取法,故共有40+8+8=56种评注：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重复、不遗漏。

2、结合“立几”概念求解例3: 空间10个点无三点共线，其中有6个点共面，此外没有任何四个点共面，则这些点可以组成多少个四棱锥？解析:3、结合“立几”图形求解例4.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解：分类：以棱柱的底面为棱锥的底面;以棱柱的侧面为棱锥的底面以棱柱的对角面为棱锥的底面以图中(梯形)为棱锥的底面共+ + + =170个4、构造几何模型求解例5.（05年湖北）以平面六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为A. B. C.D. 选A在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强调的重要观念之一，在复习备考中，要把握好知识间的纵横联系和综合，使所学知识真正融会贯通，运用自如，形成有序的网络化知识体系。

几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。

这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。

几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。

其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。

欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。

该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。

公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。

例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。

另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。

比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。

此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。

该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。

公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。

例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。

此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。

伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。

其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。

因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。

欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。

几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。

将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。

第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

所以是小三角形个数多。

例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

直线n 上有5个点，这5点共可以组成4＋3＋3++2＋1＋1==10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成4×1×100=40（个）三角形。

同理，m 上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n 上的点为顶点可以组成6×5×5==30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，个相同的小正方形，它们一共有它们一共有16个顶点，个顶点，以其中不在一条直线上的以其中不在一条直线上的3点为顶点，点为顶点，可以构成三角形。

可以构成三角形。

可以构成三角形。

在这些在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4×4×4×4==32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2×2==16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2 图5.48中共有_中共有_______个三角形。

几何中的计数问题(一)
一. 数线段
计数线段的方法:一般地,如果一条线段被分成n条”基本线段”,则这条线段上所有线段的总条数是:
1+2+3+4+5+……+n=(1+n)×n÷2
练习题:
1.下列图形中各有多少条线段?
(1) ( )条线段
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
(2) ( )条线段
A1 A2 A3 A4 ……A20 A21
2.线段 AB上除两端外有49个点,问这条线段上共有多少条线段?
3.图中一共有多少条线段?
( )条线段
二. 数角
数角的方法可以采用数线段的方法来数.就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和,这个和里面最大的加数是基本角的个数.
练习题：
1.下图中各有多少个锐角?
( )个锐角 ( )个锐角4. 2.下图中有多少个角?
有（）个角
三. 数三角形
计算三角形的总数等于从1开始的几个连续自然数的和。

其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数。

练习题：下图中各有多少个三角形
（）个三角形（）个三角形
（）个三角形（）个三角形
作业：
1.10个同学下象棋，每2人之间都要比赛一场，一共要比赛多少场？
2.下图中共有多少条线段？
3.一个圆上，在不同位置有7个点，以这7个点为端点，一共可以连成多少条线段？
4.下图中各有多少个三角形。

5.下图中包含“*”号的三角形有多少个？
*。

7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。

几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1、数一数下列图形中各有多少条线段.分析：要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A 为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条.第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.②3＋2＋1＝6（条）.③4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6－1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.二、数角例2、数出右图中总共有多少个角.分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.例3、数一数右图中总共有多少个角？解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2⋯OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+⋯+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形例4、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析：可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形；再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三个三角形；以AE为一条边的三角形共有：△AEF、△AEC二个三角形；最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.例5、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数；算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.例6、如右图中，共有多少个角？分析：本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决.∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3 与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是n×（n－1）+1.课后练习题1、数一数下图中，各有多少条线段？2、数一数下图中各有多少角？3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？课后练习题参考答案1、①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.∴整个图（2）共有线段10+15=25（条）.③在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为：3+2+1=6（条）.在线段EF上有2个分点，它上面线段的条数为6条.所以图（3）上总共有线段10+6+6=22（条）.2、①在∠AOB内有4条角分线，所以共有角：5+4+3+2+1=15（个）；②在∠AOB内有9条角分线，所以共有角：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）；③周角内含有6个基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（个）.3、①（3+2+1）×7=42；②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7=21×4+10×7=84+70=154.4、①有线段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5=30+30=60（条）有三角形：（4+3+2+1）×3=30（个）；②有线段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）=15+10+3=28（条）有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5=15×2+5=35（个）.几何中的计数问题（一）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的.例1、数一数下列图形中各有多少条线段.二、数角例2、数出右图中总共有多少个角.例3、数一数右图中总共有多少个角？三、数三角形例4、如右图中，各个图形内各有多少个三角形？例5、如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？例6、如右图中，共有多少个角？课后练习题1、数一数下图中，各有多少条线段？2、数一数下图中各有多少角？3、数一数下图中，各有多少条线段？4、数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？。

几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。

几何计数知识点几何计数是数学中一个重要的分支，用于解决与几何形状和图形有关的计数问题。

在本文中，我们将介绍一些常见的几何计数知识点，包括排列组合、排列、组合、二项式定理等。

一、排列组合排列组合是几何计数中最基础的概念之一。

它们是用于计算从一组对象中选取若干个对象进行排列或组合的方法。

1.排列排列是指从一组对象中选取若干个对象进行排列的方法。

排列的顺序很重要，即选取的对象的顺序不同，排列的结果也不同。

排列的计算公式为P(n, r) = n! /(n-r)!，其中n表示总的对象数，r表示选取的对象数。

2.组合组合是指从一组对象中选取若干个对象进行组合的方法。

组合的顺序不重要，即选取的对象的顺序不同，组合的结果相同。

组合的计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n表示总的对象数，r表示选取的对象数。

二、二项式定理二项式定理是几何计数中一个重要的定理，它用于展开二项式的幂。

二项式定理的公式为(a + b)^n = C(n, 0)a nb^0 + C(n, 1)a(n-1)b^1 + C(n, 2)a(n-2)b^2 + … + C(n, n)a0b^n，其中C(n, r)表示从n个对象中选取r个对象的组合数。

三、应用示例下面通过一个实际的应用示例来说明几何计数的应用。

假设有一个班级，其中有10个男生和8个女生。

班主任要从班级中选出一组学生参加一个学术竞赛。

要求选出的学生中至少包括2个男生和1个女生。

首先，我们计算选出的学生中包含2个男生和1个女生的情况。

根据排列组合的知识，男生有10个，我们从中选出2个，有C(10, 2)种情况；女生有8个，我们从中选出1个，有C(8, 1)种情况。

根据乘法原理，总共有C(10, 2) * C(8, 1)种情况。

其次，我们计算选出的学生中包含3个男生和1个女生的情况。

男生有10个，我们从中选出3个，有C(10, 3)种情况；女生有8个，我们从中选出1个，有C(8, 1)种情况。

小学奥数几何中的计数问题数长方形例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析：图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）.图（Ⅱ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.图（Ⅲ）中长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.例2 如右图数一数图中长方形的个数.解：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.所以共有长方形：（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.数正方形例3数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形）分析：图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有：2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）；边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）.图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）；所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）.图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有：5×5=25（个）；边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）；边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）；边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）.所有正方形个数为：1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）.例4如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有：6×5=30（个）.②以二条基本线段为边的正方形个数共有：5×4=20（个）.③以三条基本线段为边的正方形个数共有：4×3=12（个）.④以四条基本线段为边的正方形个数共有：3×2=6（个）.⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：2×1=2（个）.所以，正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）.小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1显然例4是结论的特殊情况.例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.例6 如右图，数一数图中三角形的个数.分析这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W①上=1+2+3+4=10（个）.②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：W①下=1+2+3=6（个）.Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W②上=1+2+3=6（个）.②尖朝下的三角形只有一个，记为W②下=1（个）.Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W③上=1+2=3（个）.②尖朝下的三角形零个，记为W③下=0（个）.Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W④上=1（个）.所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数，即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种：W①下=1+2+3+4=10W②上=1+2+3=6W③上=1+2=3W④上=1所以尖朝上的三角形共有：10+6+3+1=20（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种：W①下=1+2+3=6W②下=1W③下=0W④下=0则尖朝下的三角形共有：6+1+0+0=7（个）所以，尖朝上与尖朝下的三角形一共有：20+7=27（个）.小结：尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.（1）W①上=8+7+6+5+4=30（3）W③上=6+5+4=15（4）W④上=5+4=9（5）W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有：30+22+15+9+4=80（个）.Ⅱ.尖朝下的三角形有四种：（1）W①下=3+4+5+6+7=25（2）W②下=2+3+4+5=14（3）W③下=1+2+3=6（4）W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46（个）.所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有80+46=126（个）.。

几何计数知识结构一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步 求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1） 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2） 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3） 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4） 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．重难点（1） 重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2） 难点:复杂正方的计数技巧例题精讲ED CBA【例 1】 数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】 一共有：12345621+++++=（条）。

【题型】应用题【题目】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图19-1,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【答案】630【解析】把大的等边三角形分为20“层”分别计算火柴的根数：最上一“层”只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2＝6根火柴；从上向下数第三层用了3×3＝9根火柴；……从上向下数第20层用了3×20＝60根火柴．所以，总共要用火柴3×(1+2+3+…+20)＝630根．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-2，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【答案】13975【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根，共需1996×4+1997×3＝13975根．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】图19-3是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?【答案】【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔共有81+10×4＝121个．或直接数出有121个．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-4，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？【答案】【解析】如图AB＝6，组成△AOB需要边长为1的正三角形共：1+3+5+7+9+11＝36个，而拼成边长为6的正六边形需要6个△AOB，因此总共需要边长为1的正三角形36×6＝216个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-5，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【答案】100，10664【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，即可．于是横向线段有(1+2+3+4)＝10种选法，竖向线段也有(1+2+3+4)＝10种选法，则共有10×10＝100个长方形．这些长方形的面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)＝124×86＝10664(平方厘米)．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-6，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?【答案】36【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．其中只占有下面一行的有如下12种情况：于是共有12×3＝36个正、长方形包含“*”．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】图19-7是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?【答案】130【解析】每个4×4正方形中有：边长为1的正方形4×4个；边长为2的正方形3×3个；边长为3的正方形2×2个，边长为4的正方形1×1个．总共有4×4+3×3+2×2+1×1＝30个正方形．现在5个4×4的正方形，它们重叠部分是4个2×2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×5－5×4＝130．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】图19-8中共有多少个三角形?【答案】22【解析】边长为1的正三角形，有16个．边长为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也有3个．因此共有16+3+3＝22个．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】图19-9是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?【答案】6【解析】设小正三角形的边长为1，分三类计算计数包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个，边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6个．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】如图19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【答案】20【解析】图中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40个，梯形(1+2+3+4)×(1+2+4)＝60个，梯形比三角形多60－40＝20个．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】在图19-1l中，共有多少个不同的三角形?【答案】85【解析】下图中共有35个三角形，两个叠加成题中图形时，又多出5+5×2＝15个三角形，共计35×2+15＝85个三角形．【难度】难度5【知识点】几何计数【题目】如图19-12，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图19-13．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?【答案】11【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为1，面积为1的正方形有5个，如图a所示；面积为2的正方形有4个，如图b所示；面积为4的正方形有1个，如图c所示；还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；于是，一共可以构成5+4+1+1＝11个不同的正方形．【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如图19-14，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?【答案】32【解析】我们分三种情况来找面积为1平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或2厘米，利用正方形的对称性：(1)等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共计8个，其中以AC，CF，FG，GA为底的各一个，以BF，DH为底的各两个．(2)直角三角形，如图b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共计16个，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个．(3)钝角三角形，如图c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共计8个，其中以AE、CG为边的各四个．于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角形32个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】如图19-15，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?【答案】200【解析】我们先任意选取三个点，那么第1个点有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一个图形．所以有12×11×10÷6＝220种选法，但是如果这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中每行有4种情况，共3×4；每列有1种情况，共1×4；2个边长为2的正方形的4条对角线，共4种情况．所以，可以套出220－3×4－1×4－4＝200个不同的三角形．【难度】难度2【知识点】几何计数【题目】如图19-16，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?【答案】12【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而不考虑先后，那么有4×3×2×1＝24种选法的实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7×6×5×4)÷24＝35．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．对图19-16而言，任取4个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何选取都不能构成四边形．正方形的4条边中有3条都存在这样的情况．而每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种可能．所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择了2条有3点共线的边的情况．那么需要排除的情况有4×3＝12种．所以，满足题意的四边形个数有35－12＝23个．【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】数一数下列图形中各有多少条线段.【答案】15【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两种规律去数.第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）中，线段最左边的端点是A，即以A为左端点的线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一条，所以上图（1）中共有线段2＋1＝3条.同样按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A 为左端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3＋2＋1＝6条. 第二种：按照基本线段多少的顺序去数.所谓基本线段是指一条大线段中若有n 个分点，则这条大线段就被这n个分点分成n＋1条小线段，这每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线段AD上有两个分点B、C，这时分点B、C把AD 分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以线段AD上总共有线段3＋2＋1＝6条，又如上页图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D，这样分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总共有线段是4＋3＋2＋1＝10条.解：①2＋1＝3（条）.② 3＋2＋1＝6（条）.③ 4＋3＋2＋1＝10（条）.小结：上述三例说明：要想不重复、不遗漏地数出所有线段，必须按照一定顺序有规律的去数，这个规律就是：线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.也就是基本线段的条数.例如右图中线段AF 上所有点数（包括两个端点A、F）共有6个，所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是6—1＝5，或者线段AF上的分点有4个（B、C、D、E）.所以从1开始的连续自然数的和中最大的加数是4＋1＝5.也就是线段AF上基本线段（AB、BC、CD、DE、EF）的条数是5.所以线段AF上总共有线段的条数是5＋4＋3＋2＋1＝15（条）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】数出下图中总共有多少个角.【答案】10【解析】在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.解：4＋3＋2＋1＝10（个）.小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】数一数下图中总共有多少个角？【答案】55【解析】因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角. 所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如下图中，各个图形内各有多少个三角形？【答案】（1）6（2）10【解析】可以采用类似例1数线段的两种方法来数，如图（2）：第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四个三角形.再数以AD为一条边的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三个三角形.以AE为一条边的三角形共有：△AEF、△AEC二个三角形.最后以AF为一条边的三角形共有△AFC一个三角形.所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.第二种方法：先数图中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四个三角形.再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三个三角形，以三个小三角形组合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二个三角形，最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.解：①3+2+1=6（个）② 4+3+2+1=10（个）.答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个和10个.小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？【答案】60,30【解析】分析在数的过程中应充分利用上几例总结的规律，明确数什么？怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始的连续几个自然数的和.①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC 中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.解：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.【难度】难度3【知识点】几何计数【题目】如右图中，共有多少个角？【答案】13【解析】分析本题虽然与上几例有区别，但仍可以采用上几例所总结的规律去解决. ∠1、∠2、∠3、∠4我们可视为4个基本角，由2个基本角组成的有：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1，共4个角.由3个基本角组成的角有：∠1、∠2与∠3；∠2、∠3与∠4；∠3、∠4与∠1；∠4、∠1与∠2，共4个角，由4个基本角组成的角只有一个.所以图中总共有角是：4×3+1=13（个）.解：所以图中共有角是：4×3+1=13（个）.小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n 个基本角，那么它上面角的总数是 n （n-1）+1.【难度】难度4【知识点】几何计数【题目】在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?374218125【答案】100,12384【解析】①一共有(4321)(4321)100+++⨯+++=(个)长方形；②所求的和是[][]51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++⨯+++++++++++++++++++ 1448612384=⨯=(平方厘米)。