【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.1.2 指数函数(二)备考练习 苏教版

3.2.2 函数的和、差、积、商的导数一、基础过关1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0； ②若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3； ③若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1； ④若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x . 2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.4．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________.5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x2.二、能力提升8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．9．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________． 10．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式．12．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l的方程．答案1．④ 2．3x 2＋3x ·ln 3 3．－2 4．－2 5.12 6．0.4 m/s7．解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′ ＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3) ＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1) ＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′ ＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12.(3)∵y ＝x －sin x 2cos x2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .8．4 9．y ＝720x 10．611．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0， 即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 12．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为 12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② 因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

章末检测一、填空题1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________. 2．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 3．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________.4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为5.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝12，则S 15S 5＝________.7．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n＝________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________． 9．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n －1a n －1－a n ＝a n a n ＋1a n －a n ＋1，则此数列的第10项a 10＝________.10．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.11．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.12．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的第________项．14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号) 二、解答题15．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．16．已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.17．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .19．已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1万元． (1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？ 答案1．88 2.8 3.－1或2 4.1 5．15 6.34 7.2n8.20 9.15 10.1 11．－7 12.313．50 14．①②④15．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．16．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ， 则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ， 即a n ＝2n＋1. (2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n <1.17．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.故1b n ＝－2n n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.18．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n＝a n2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n－1， ∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 19．解 当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1 ＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2 ＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)， 整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1. 20．解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，n －1a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙将被甲超市收购，由b n <12a n 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编4：基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）填空题错误！未指定书签。

．(2013安徽高考数学(文))函数1ln(1)y x=+的定义域为_____________. 【答案】(]0,1 解:2110011011x x xx x ⎧+>⇒><-⎪⎨⎪-≥⇒-≤≤⎩或,求交集之后得x 的取值范围(]0,1 错误！未指定书签。

．(2012江苏省高考压轴卷)若函数,0)(210)1,0)(2(log )(2>≠>+=x f a a x x x f a ）内恒有，在区间（则f(x)的单调递增区间是__. 【答案】21,(--∞ 错误！未指定书签。

．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22a b a b+-的最小值等于_________. 【答案】错误！未指定书签。

．不等式22log (21)log (5)x x -<-+的解集为______________.【答案】22121021log (21)log (5)505222152x x x x x x x x x x ⎧>⎪->⎧⎪⎪⎪⎪-<-+⇔-+>⇔<⇔<<⎨⎨⎪⎪-<-+<⎪⎪⎩⎪⎩,故所求的解集为1(,2)2. 错误！未指定书签。

．(2012年高考(上海春))方程1420x x +-=的解为_______.【答案】 1x =错误！未指定书签。

．(山东省枣庄市枣庄十八中2012届高三9月月考(数学))当]0,2[-∈x 时,函数231-=+x y 的值域是___.【答案】 ]1,35[- 错误！未指定书签。

．若幂函数()y f x =的图像过点,则2(2)y f x x =-的单调递减区间为_____________.【答案】设()f x x α=,则由1212222αα-==⇒=-,所以12()f x x -==,该函数是定义在(0,)+∞的单调减函数.而2202u x x x =->⇒>或0x <,且22u x x =-的对称轴为1x =,故所求函数2(2)y f x x =-的减区间为(2,)+∞.错误！未指定书签。

习题课 空间向量的应用一、基础过关 1．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 2．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． (1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 3．如图所示，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小． 二、能力提升 4．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，P A＝AD ＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．5．等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(如图所示)．(1)求证：平面ABC⊥平面ABE；(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．三、探究与拓展6．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面P AC，求二面角P—AC—D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．答案1． (1)证明 由题设知，F A 、AB 、AD 两两互相垂直．以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正方向，以射线AD 为y 轴正方向，以射线AF 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )．所以GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上， 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)解 C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由题设知，F (0,0,2c )，所以EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →.又C ∉EF ，H ∈FD ， 故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)证明 由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a )． 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0， CH →·AD →＝0，即CH ⊥AE ，CH ⊥AD . 又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE . 由CH ⊂平面CDE ， 得平面ADE ⊥平面CDE . 2． (1)证明 ∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥AB .又∵AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面P AD .∴AB ⊥PD . 又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE . 故BE ⊥PD . (2)解 如图所示，以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为(a ，a,0)、(0,2a,0)．∵P A ⊥底面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝30°.于是，在Rt △AED 中，由AD ＝2a ， 得AE ＝a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE ＝a ，∠EAF ＝60°， 得AF ＝12a ，EF ＝32a .∴E ⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a .于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a ，CD →＝(－a ，a,0)．设异面直线AE 与CD 所成角为θ， 则cos θ＝|AE →·CD →||AE →||CD →|＝12a 2a ·2a ＝24.∴AE 与CD所成角的余弦值为24. 3． (1)证明作AP ⊥CD 于点P ，连结OP .如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，22，0， D ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫1－24，24，0.MN →＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，OD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0.即⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，又MN ⊄平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .(2)解 设AB 与MD 所成角为θ. ∵AB →＝(1,0,0)，MD →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，∴cos θ＝|AB →·MD →||AB →|·|MD →|＝12，∴θ＝π3.∴AB 与MD 所成角的大小为π3.4． (1)证明如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)． 易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)解 PC →＝(0,1，－2)， CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)． 可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306.(3)解 设点E 的坐标为(0,0，h )， 其中h ∈[0,2]．由此得BE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h . 由CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h 2，所以310＋20h 2＝cos 30°＝32，解得h ＝1010，即AE ＝1010. 5． (1)证明 取DE 的中点O ，取BC 的中点G ，连结AO ，OG ，则AO ⊥DE ，OG ⊥DE .∵平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ， ∴AO ⊥平面BCDE ，∴AO ⊥OG . 建立如图所示的空间直角坐标系， 设BC ＝4，则DE ＝2，AO ＝OG ＝ 3.所以A (0,0，3)，D (1,0,0)，E (－1,0,0)，B (－2，3，0)，C (2，3，0)． 设平面ABE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵EA →＝(1,0，3)，EB →＝(－1，3，0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥EA →，m ⊥EB→，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(3，1，－1)， 设平面ABC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， ∵BC →＝(4,0,0)，AC →＝(2，3，－3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BC →，n ⊥AC→ 得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，2x 2＋3y 2－3z 2＝0.令y 2＝1，得n ＝(0,1,1)， ∵m·n ＝(3，1，－1)·(0,1,1)＝0， ∴平面ABC ⊥平面ABE .(2)解 由(1)得cos 〈AC →，m 〉＝AC →·m |AC →||m |＝23＋3＋34＋3＋3·3＋1＋1＝265.∴直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值为265.6． (1)证明 连结BD ，设AC 交BD 于点O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ，以O 点为坐标原点，OB →、OC →、OS →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O —xyz 如图所示． 设底面边长为a ，则高SO ＝62a . 于是S (0,0，62a )，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD ， 因此AC ⊥SD .(2)解 由题意知，平面P AC 的一个法向量DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量OS →＝⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，设所求二面角为θ， 则cos θ＝OS →·DS →|OS →||DS →|＝32，故所求二面角P —AC —D 的大小为30°. (3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC .由(2)知DS →是平面P AC 的一个法向量， 且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0，设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at .由BE →·DS →＝0，得t ＝13，即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →. 而BE 不在平面P AC 内， 故BE ∥平面P AC .。

§3.1随机事件及其概率一、基础过关1．下面五个事件：(1)某地明年2月3日将下雪；(2)函数y＝a x(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数的绝对值不小于0；(4)在标准大气压下，水在1℃结冰；(5)a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是________．2．下列事件中，随机事件的个数为________．①在标准大气压下，水在0℃结冰；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④一个三角形的大边对小角，小边对大角．3．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是________．①本市明天将有90%的地区降雨；②本市明天将有90%的时间降雨；③明天出行不带雨具肯定会淋雨；④明天出行不带雨具可能会淋雨．4．给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题是________．5．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8 000件产品中合格品的件数约为________．6．在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2,4,6}，则用语言叙述事件A对应的含义为________．7．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件？(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫；(5)在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾．8． 某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少鱼卵？(精确到整数) 二、能力提升9． 某医院治疗一种疾病的治愈率为15，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人治愈的概率是________．10．将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面与两次均出现反面的概率比为________．11．“从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球”的事件中，一次试验是指________，试验结果是指________．12．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：(1)(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？ 三、探究与拓展13．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：从这100(1)事件A (6.92<d ≤6.94)的频率； (2)事件B (6.90<d ≤6.96)的频率； (3)事件C (d >6.96)的频率； (4)事件D (d ≤6.89)的频率．答案1．(3)(5) 2.1 3.④ 4.①③④ 5．7 840 6.掷出的点数为偶数7． 解 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知(1)是必然事件；(3)、(5)是不可能事件；(2)、(4)是随机事件．8． 解 (1)这种鱼卵的孵化频率为8 51310 000＝0.851 3，它近似的为孵化的概率．(2)设能孵化x 个，则x 30 000＝8 51310 000，∴x ＝25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化25 539尾鱼苗． (3)设需备y 个鱼卵，则5 000y ＝8 51310 000，∴y ≈5 873，即大概需备5 873个鱼卵．9.1510．3∶1 11．取出一球 得到一排球或者一足球 12．解 (1)男婴出生的频率依次是：0.520 0,0.517 3,0.517 3，0.517 3.(2)各个频率稳定在常数0.517 3上． 13．解 (1)事件A 的频率f (A )＝17＋26100＝0.43. (2)事件B 的频率f (B )＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93.(3)事件C 的频率f (C )＝2＋2100＝0.04.(4)事件D 的频率f (D )＝1100＝0.01.。