版数学九年级上册第22章二次函数小结与复习(2)教案

第22章二次函数期末复习课
教学目标：
知识与技能：
理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2(a≠0)经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象。

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义，会运用二次函数求实际问题中的最大值或是最小值。

过程与方法：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。

情感态度价值观：
使学生体会数学建模思想，函数思想，数形结合思想等数学思想。

教学的重点：
1.用配方法求二次函数的顶点，对称轴，根据图象概括二次函数的性质。

2.二次函数三种解析式的求法。

3.利用二次函数的知识解决数学问题，并对解决问题的方法进行反思。

教学的难点：1.将实际问题转化为二次函数，并运用二次函数性质将以解决。

2.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，数形结合思想的渗透于应用。

3. 运用二次函数知识解决综合性的问题。

教法方法：自主学习法合作学习法
教学手段：多媒体
教学课时：1课时
教学活动：学生活动及设计意图
；⑤若抛物线顶点坐
教学活动：学生活动及设计意图
=x+b的图象交
教学活动：学生活动及设计意图
7.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象
如图，其中正确的是（）
专题三：二次函数解析式的确定
求下列二次函数解析式：（学生分组完成）
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），。

第22章二次函数一、复习目标1、理解二次函数的概念;2、会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴与开口方向,会用描点法画二次函数的图象;3、会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象,了解特殊与一般相互联系与转化的思想;4、会用待定系数法求二次函数的解析式;5、利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标与函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程与不等式之间的联系。

6、二次函数的综合应用 二、课时安排 2三、复习重难点把握二次函数的性质,利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标与函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程与不等式之间的联系,并能与其它知识点进行综合应用。

四、教学过程 (一)知识梳理 二次函数知识点:1、 二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ，，就是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。

2、 二次函数的基本形式(1)二次函数基本形式:2y ax =的性质:2、 2y ax c =+的性质:3、 ()2y a x h =-的性质: 4、 ()2y a x h k =-+的性质: 3、二次函数图象的平移 1、 平移步骤:(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，;(2)保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位(3) 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.4、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图、一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点)、 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点、 5、二次函数2y ax bx c =++的性质(1) 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.(2) 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.6、二次函数解析式的表示方法(1) 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);(2) 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);(3)两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 就是抛物线与x 轴两交点的横坐标)、 7、二次函数与一元二次方程:1、 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况、图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，就是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点、 7、二次函数的应用: (二)题型、方法归纳 类型一: 二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为( )A 、y=3(x+2)2+3 B 、y=3(x-2)2+3 C 、y=3(x+2)2-3 D 、y=3(x-2)2-3【自主解答】选A 、由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x 2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3、归纳:二次函数平移的两种方法1、确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离、2、利用规律平移:y=a(x+h)2+k 就是由y=ax 2经过适当的平移得到的,其平移规律就是“h 左加右减,k 上加下减”、即自变量加减左右移,函数值加减上下移、类型二:二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)与(-1,0),下列结论:①ab<0;②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0、其中正确结论的个数就是( )A、5个B、4个C、3个D、2个【自主解答】选B、①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能、所以正确的共有4个,选B、归纳:类型三:二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的就是、(填入正确结论的序号)【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①就是正确的、∵抛物线的b－开口方向向上,∴a>0;∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=2ab－=1,∴=1>0,∴a与b异号,则b<0、∴abc>0,②就是正确的、∵抛物线的对称轴x=2ab=-2a,∴2a+b=0,③就是错误的、∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④就是错误的、∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤就是正确的、答案:①②⑤归纳:二次函数与方程、不等式的关系1、二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0、2、二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0、类型四:二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表)、由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y 就是温度x 的函数,且这种函数就是一次函数与二次函数中的一种、(1)请您选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由、(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总与超过250mm,那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?直接写出结果、【自主解答】(1)选择二次函数、设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c, 根据题意,得4a 2b c 49,a 1,4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解得， ∴y 关于x 的函数解析式为y=-x 2-2x+49、不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y 不就是x 的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y 不就是x 的一次函数、(2)由(1)得y=-x 2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50、 ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50、即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大、 (3)-6<x<4、归纳:解决二次函数应用题的两步骤1、建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模、2、应用:利用二次函数的性质解决问题、(三)典例精讲例题1: (2016·浙江省绍兴市·10分)课本中有一个例题:有一个窗户形状如图1,上部就是一个半圆,下部就是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6m,如何设计这个窗户,使透光面积最大？这个例题的答案就是:当窗户半圆的半径约为0.35m时,透光面积最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题:(1)若AB为1m,求此时窗户的透光面积？(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.【分析】(1)根据矩形与正方形的周长进行解答即可;(2)设AB为xcm,利用二次函数的最值解答即可.【解答】解:(1)由已知可得:AD=,则S=1×m2,(2)设AB=xm,则AD=3﹣m,∵,∴,设窗户面积为S,由已知得:,当x=m时,且x=m在的范围内,,∴与课本中的例题比较,现在窗户透光面积的最大值变大.【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识,解题的关键就是求出对称轴与直线BC交点H坐标,学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题,属于中考常考题型.(四)归纳小结1、引导学生整理把握本章知识点并熟练掌握。

22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标【知识与技能】了解二次函数与一元二次方程之间的联系,掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别,了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.【过程与方法】通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系,体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.【情感态度与价值观】进一步增强学生的数形结合思想方法,增强学生的综合解题能力.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系,利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【教学难点】一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2:以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h（单位:m ）与飞行时间t（单位:s）之间具有函数关系h=20t-5t2．（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如能,需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？（二）探索新知探究一二次函数与一元二次方程的关系出示课件5:⑴小球的飞行高度能否达到15m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:15=20t-5t2,t2-4t+3=0,解得t1=1,t2=3.∴当球飞行1s或3s时,它的高度为15m.教师问:你能结合图形,指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？学生独立思考.出示课件6:（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得t1=t2=2.故当球飞行2秒时,它的高度为20米.教师问:你能结合图形,指出为什么只在一个时间球的高度为20m？学生独立思考.出示课件7:（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能,需要多少飞行时间？学生板演:解:20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.教师问:你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?学生独立思考.出示课件8:（4）球从飞出到落地要用多少时间？学生板演:解:小球飞出时和落地时的高度均为0m,0=20t-5t2,t2-4t=0,解得t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时,它的高度为0米.即0秒时球地面飞出,4秒时球落回地面.教师问:从上面发现,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?（出示课件9）学生答:一般地,当y取定值且a≠0时,二次函数为一元二次方程.教师举例说明:二次函数与一元二次方程关系．（出示课件10）例如,已知二次函数y=－x2＋4x的值为3,求自变量x的值,可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来,解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为0,求自变量x的值．出示课件12:例已知二次函数:y=2x2-3x-4的函数值为1,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程.反之,解一元二次方程2x2-3x-5=0,又可以看作已知二次函数的函数值为0时自变量x的值.学生答:2x2-3x-4=1；y=2x2-3x-5解之得:x1=-1,x2=2.5出示课件13:练一练:1.二次函数y=x2-3x+2,当x=1时,y= ;当y=0时,x= .2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标为;与x轴的交点坐标为.学生自主思考后口答:1.0；1或22.(0,-1)；(0.5,0)和（-0.5,0）探究二:利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况教师问:观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有,公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？（出示课件14）（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.学生自主思考后,教师加以指导:先画出函数图象---图象与x轴交点横坐标是多少--对应一元二次方程的根是多少.（出示课件15）教师问:由上述问题,你可以得到什么结论呢？（出示课件16）学生思考后,师生共同总结:方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x 轴公共点的横坐标.当抛物线与x轴没有公共点时,对应的方程无实数根.反过来,由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系.出示课件19:观察图象,完成下表:生观察后,独立完成表格.答案:0个；无；x2-x+1=0无解1个；3；x2-6x+9=0,x1=x2=32个；-2,1；x2+x-2=0,x1=-2,x2=1师生共同总结:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系（出示课件20）出示课件21:例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求证:此抛物线与x轴总有交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点,且它们的横坐标都是整数,求正整数m的值．师生共同解决如下:解:(1)证明:∵m≠0,∴Δ＝[-(m＋2)]2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0,∴Δ≥0,因此抛物线与x轴总有两个交点；（2）令y=0,则（x-1）（mx-2）=0,即x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=2.当mm为正整数1或2时,x2的值为整数,因为当m为2时,Δ=0,抛物线与x轴只有一个交点,所以正整数m的值为1.出示课件22:已知抛物线y=kx2+2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是．学生自主解决.221=0kx x +-函数与轴有两个交点，即有两个不相等的实数根x20024(101)00.k k k k k ∴∆>≠-⨯->≠>-≠且，即且则且，出示课件23-26:例2 如图,丁丁在扔铅球时,铅球沿抛物线268-10105x y x =++运行,其中x 是铅球离初始位置的水平距离,y 是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到2.5m,它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达到3m ？为什么？学生自主思考后,师生共同解决.解:⑴由抛物线的表达式得2682.1-,10105x x =++即2650.x x -+= 解得12=1=5.x x ，即当铅球离地面的高度为2.1m 时,它离初始位置的水平距离是1m 或5m.⑵由抛物线的表达式得2682.5-,10105x x =++即2690x x -+=. 解得x 1=x 2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m 时,它离初始位置的水平距离是3m.⑶由抛物线的表达式得2683-,10105x x =++即26140.x x -+=因为2=-6-41140∆⨯⨯<（），所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.出示课件28:如图设水管AB 的高出地面2.5m,在B 处有一自动旋转的喷水头,喷出的水呈抛物线状,可用二次函数y=-0.5x 2+2x+2.5描述,在所示的直角坐标系中,求水流的落地点D 到A 的距离是多少？教师分析:根据图象可知,水流的落地点D 的纵坐标为0,横坐标即为落地点D 到A 的距离.即y=0 .学生独立解答:根据题意得 -0.5x 2+2x+2.5=0, 解得x 1=5,x 2=-1(不合题意舍去). 答:水流的落地点D 到A 的距离是5m. 探究三:利用二次函数求一元二次方程的近似解出示课件29:求一元二次方程的根的近似值（精确到0.1）.教师分析:一元二次方程x ²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x ²-2x-1 与x 轴的交点的横坐标,因此我们可以先画出这条抛物线,然后从图上找出它与x 轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫做图象法.师生共同解答.0122=--x x出示课件30,31:解:画出函数y=x²-2x-1 的图象（如下图）,由图象可知,方程有两个实数根,一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.先求位于-1到0之间的根,由图象可估计这个根是-0.4或-0.5,利用计算器进行探索,见下表:观察上表可以发现,当x分别取-0.4和-0.5时,对应的y由负变正,可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0,即有y=x2-2x-1的一个根,题目只要求精确到0.1,这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.教师总结归纳:一元二次方程的图象解法（出示课件32）利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象；(2)观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标,由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.出示课件33:根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26学生口答:C（三）课堂练习（出示课件34-41）1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论正确是（）A．abc＞0 B．2a+b＜0C．3a+c＜0 D．ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,则一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的近似根为( )A．x1≈－2.1,x2≈0.1 B．x1≈－2.5,x2≈0.5C．x1≈－2.9,x2≈0.9 D．x1≈－3,x2≈13.若二次函数y=-x 2+2x+k 的部分图象如图所示,且关于x 的一元二次方程-x 2+2x+k=0的一个解x 1=3,则另一个解x 2= .4.一元二次方程3x 2+x －10=0的两个根是x 1=－2,x 2=53,那么二次函数 y= 3x 2+x －10与x 轴的交点坐标是 .5.若一元二次方程20x mx n -+=无实根,则抛物线2y x mx n =-+图象位于（ ）A.x 轴上方B.第一、二、三象限C.x 轴下方D.第二、三、四象限6.二次函数y ＝kx 2－6x ＋3的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( )A ．k<3B ．k<3且k ≠0C ．k ≤3D ．k ≤3且k ≠07.已知函数y ＝(k －3)x ²＋2x ＋1的图象与x 轴有交点,求k 的取值范围．8.某学校初三年级的一场篮球比赛中,如图,队员甲正在投篮,已知球出手时距地面209米,与篮框中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮框距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系,问此球能否准确投中？(2)此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功？参考答案:1.C2.B3.-14.（-2,0）（5,0）35.A6.D7.解:当k＝3时,函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点,∴k＝3；当k≠3时,y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点,∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16,∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述,k的取值范围是k≤4.8.解:(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0,20),B(4,4),C(7,3),其中B是抛物线的顶点．9(x 设二次函数关系式为y＝a(x﹣h)2＋k,将点A、B的坐标代入,可得y＝﹣19﹣4)2+4.(7﹣4)2+4＝3,左边＝右边,即点将点C的坐标代入上式,得左边＝3,右边＝﹣19C在抛物线上．所以此球一定能投中.⑵将x＝1代入函数关系式,得y＝3.因为3.1＞3,所以盖帽能获得成功．（四）课堂小结1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？（五）课前预习预习下节课（22.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材习题22.2第1、2、3、4、6题.2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时教学首先通过具体情况让学生感受用方程思想方法来解决函数问题的思路,然后通过图象来探究一元二次方程的根和二次函数与x轴交点之间的关联.这样整个教学过程充分利用了学生已形成的方程、函数间的关系来类比引导挖掘、探索二次函数与一元二次方程的关系.此外,通过观察图象直观理解、解答练习以及实际观察分析都是必经的途径与方法,重在让学生自主体会.。

二次函数小结与复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的定义、性质和图像；（2）掌握二次函数的求解方法，包括配方法、公式法、图像法；（3）能够运用二次函数解决实际问题。

2. 过程与方法：（2）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力；（3）培养学生合作学习、讨论交流的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其自信心；（2）培养学生勇于探究、积极思考的精神；（3）培养学生团队协作、分享的品质。

二、教学内容1. 复习二次函数的定义：函数式y = ax^2 + bx + c（a ≠0）；2. 复习二次函数的性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性等；3. 复习二次函数的图像：开口向上/向下的抛物线，顶点式、对称轴式等；4. 复习二次函数的求解方法：配方法、公式法、图像法；5. 运用二次函数解决实际问题：长度、面积、最大值、最小值等问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数的定义、性质和图像；（2）二次函数的求解方法；（3）运用二次函数解决实际问题。

2. 教学难点：（1）二次函数的图像分析；（2）运用二次函数解决实际问题。

四、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾二次函数的相关知识，激发学生的学习兴趣；2. 讲解：根据教材，系统讲解二次函数的定义、性质、图像和求解方法，让学生清晰地理解二次函数的基本概念；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决问题，培养学生运用知识的能力；4. 练习：布置课堂练习题，让学生巩固所学知识，并及时给予解答和指导；五、课后作业1. 复习二次函数的定义、性质、图像和求解方法；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用二次函数解决，并将解题过程和答案写在作业本上。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估其对二次函数知识的掌握程度；3. 练习题：分析学生完成的练习题，了解其在二次函数求解方法和实际问题解决方面的能力；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解其合作学习、交流分享的能力。

二次函数章末小结※教学目标※【知识与技能】掌握本章重要的知识点，能用相关函数知识解决实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决实际问题中所涉及的数形结合思想、方程思想、分类思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在这用本章知识解决实际问题的过程中，进一步增强数学应用知识，感受数学的应用 价值，激发学生的学习兴趣.【教学重点】本章知识结构梳理及其应用.【教学难点】灵活运用二次函数性质解决问题.※教学过程※一、整体把握二、加深理解 1.二次函数的定义:一般地，形如2y ax bx c =++(0a ≠，,,a b c 为常数)的式子称为y 关于x 的二次函数.需要注意的是，二次项系数0a ≠是定义中不可缺少的条件.2.抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象和性质：（2）利用抛物线的对称轴通常可以解决两个方面的问题：①结合a 的符号及对称轴所处的位置判别b 的符号；②利用对称轴即开口方向确定函数的增减性.（3）利用抛物线的顶点，可确定函数的最大（小）值，但对自变量x 有限制时，相应的函数值的最大（小）值就应利用函数的性质来确定.（4）抛物线与x 轴的交点及对应的一元二次方程的关系：抛物线与x 轴有两个交点、一个交点、没有交点，可由其对应的一元二次方程的根的判别式来判别，即有两个交点⇔ Δ=24b ac ->0，有一个交点⇔Δ=24b ac -=0，没有交点⇔Δ=24b ac -<0.至于其交点的横坐标，则可由对应的一元二次方程得到.三、复习新知例1 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A.abc ＞0B.24b ac -<0C.93a b c ++＞0D.8c a +＜0分析：根据二次函数的图象求出a ＜0，c ＞0，根据抛物线的对称轴求出2b a =-＞0，即可得出abc ＜0；根据图象与x 轴有两个交点，推出24b ac -＞0；对称轴是直线1x =，与x 轴的一个交点是（-1，0），求出与x 轴另一个交点的坐标是（3，0），把3x =代入二次函数得出930y a b c =++=；把4x =代入得出1688y a a c a c =-+=+，根据图象得出8c a +＜0.答案：D例2 已知：抛物线2y x bx c =-++经过A （-1，0），B （5，0）两点，顶点为P .（1）求此抛物线的解析式；（2）求△ABP 的面积；（3）若点C （1x ，1y ）和点D （2x ，2y ）在抛物线上，则当0＜1x ＜2x ＜1时，请写出1y 与2y 的大小关系. 分析：（1）把A ,B 两点的坐标代入求得b 和c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）先把抛物线的解析式配成顶点式得到P 点坐标为（2，9），然后根据三角形面积公式计算即可；（3）由于抛物线的对称轴为直线2x =，开口向下，则根据二次函数的性质可确定1y 与2y 的大小关系.解：（1）把A (-1,0),B (5,0)分别代入2y x b x c =-++.解得4b =，5c =.∴此抛物线的解析式为245y x x =-++.（2）∵224529y x x x =-++=--+（），∴P 点坐标为（2，9）.∴△ABP 的面积1＜2x ＜1时，1y ＜2y .。

最新人教版九年级数学上册教案：第二十二章二次函数第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.【教学重点】结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.【教学难点】1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x 之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=12n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2.【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.思考函数y=6x2，m=12n2-12n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习.【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项.【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同.教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x 2; (3)y=21x-2x+1; (4)y=1-3x 2.2.若y=(m+1)xm 2+1-2x+3是y 关于x 的二次函数，试确定m 的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x （元）满足一次函数关系m=162-2x ，试写出商场销售这种商品的日销售利润y （元）与每件商品的销售价x （元)之间的函数关系式，y 是x 的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n 个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n 的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与（1）中的n 的函数关系式（不要求写自变量n 的取值范围）.【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x 2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4.（2）y=3x(2-x)+3x 2=6x,该函数不是二次函数.（3）该函数不是二次函数.（4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1.2.解：∵()21123m y m x x +=+-+是y 关于x 的二次函数.∴m+1≠0且m 2+1=2,∴m ≠-1且m 2=1，∴m=1.3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得： y=(162-3x)(x-30)即y=-3x 2+252x-4860由此可知y 是x 的二次函数.4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n 个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n 2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax 2+bx+c 中a ≠0,a 、b 、c 为常数的条件.【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾.1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从具体事物中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式. 【过程与方法】通过画出简单的二次函数y=x2，y=-12x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.一、情境导入，初步认识问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？【教学说明】通过对问题1的思考，可激发学生的求知欲望，想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗？【教学说明】学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导，尤其应关注学生的列表和连线，然后给予讲评，提醒注意的问题，并让学生发表不同的意见，达成共识.二、思考探究，获取新知问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.【教学说明】教师应在学生的交流过程中，听取他们各自的看法，对于通过观察而归纳出的结论叙述较好的给予肯定，对不够完整的或叙述欠佳的学生给予鼓励，并予以诱导.在这一活动过程中，让学生们逐步积累对二次函数y=ax2的图象及其简单性质的感性认识.问题2请在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异.y=12x2与y=2x2.【教学说明】在这一活动过程中，教师可将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.教师巡视，适时点拨，最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.问题3（1）在同一直面坐标系中，画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后回答，可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答，最后教师以课件方式展示结论.【归纳结论】1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.2.二次函数y=ax2的图象及其性质，如下表所示：3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同.【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结，教师应着重强调两点：（1）a 的符号决定着抛物线的开口方向，|a|的大小，影响抛物线的开口大小；（2）对于函数的增减性及最大（小）值，教师应引导学生通过图象进行分析，利用图象的直观性获得结论，切忌死记硬背，让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一，增强他们的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.若抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同，则a= .2.下列关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中，错误的是（）A.它的图象的顶点是原点B.当a<0，在x=0时，y取得最大值C.a 越大，图象开口越小;a 越小，图象开口越大D.当a>0，在x>0时，y 随x 的增大而增大3.请在同一坐标系中画出函数y 1=x 和y 2=-x 2的图象，结合图象，指出当x 取何值时，y 1>y 2；当x 取何值时，y 1<="" bdsfid="233" p="">4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y 轴，且经过点（-1，14）. （1）求这个二次函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）根据图象指出，当x>0时，若x 增大，y 怎样变化？当x<0时，若x 增大，y 怎样变化？（4）当x 取何值时，y 有最大（或最小）值，其值为多少？【教学说明】本环节易采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体，鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说理的能力，同时进一步体现数形结合的思想.【答案】1.42.C 【解析】当a>0时，a 值越大，开口越小，a 值越小，开口越大；当a<0时，a 值越大，开口越大，a 值越小，开口越小.所以C 项说法不对.3.列表如下：如图所示：根据图象可知，当x>0或x<-1时，y1>y2,当-1<xy1.</x4.解：（1）设这个二次函数解析式为y=ax2,将（-1，14）代入得a=14,所以y=14x2.(2)略(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.(4)当x=0时，y有最小值，y最小值=0.四、师生互动，课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心，左右对称选取点，连线时应用光滑曲线连接；问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性；而问题3是想了解学生哪部分没学好，难学，以便教师可以进行针对性辅导.1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.一、情境导入，初步认识问题1请同学们谈谈一次函数y=x与y=x+2的图象之间的关系；问题2同样地，你能猜想出二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间有何关系吗？【教学说明】问题1既是复习旧知识，同时又为解决本节知识起到抛砖引玉的作用.学生的回答也许形式多样，教师适时诱导，并设疑，为后面的解惑作铺垫.二、思考探究，获取新知问题1在同一坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.请观察图象，谈谈它们有哪些相同点和不同点，并指明这两个图象的关系如何？【教学说明】在学生自主操作时，教师应指导它们在画平面直角坐标系时的单位长度要稍大一些，如选取0.8cm或1cm为一个单位长度为好，这样学生们所画出的图形才有可能清晰些.教师应巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.问题2（教材第33页练习）在同一直角坐标中，画出下列二次函数的图象y=12x2，y=12x2+2，y=12x2-2，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y=12x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y=12x2有什么关系？【教学说明】设计问题2，一方面进一步增强学生的画图能力，另一方面加深学生的感性认识，从而形成对二次函数y=ax2+k的图象及其性质的初步认识.同伴间应相互交流，教师巡视指导，然后完成课本第33页练习.【归纳结论】1.二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象通过上、下平移得到.2.y=ax2与y=ax2+k的性质如下：三、运用新知，深化理解1.抛物线y=3x2可以看作是抛物线y=3x2-4向平移得到的.2.已知抛物线y=ax2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，且图象到x轴的最近点的距离为3，求a、k的值，并指出抛物线y=ax2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.【教学说明】针对本节所学内容及学生掌握的情况，设计训练题1，2，目的是加深学生对新知识的理解，能灵活运用所学知识解决简单的问题.教师在这个过程中要予以诱导.【答案】略四、师生互动，课堂小结本环节师生共同回顾所学知识，如y=ax2+k的图象特征，函数的增减性等，并对可能出现的困难、疑问给予整理，进行辨析.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.第2课时二次函数y=a（x-h）2的图象和性质【知识与技能】1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象；2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系；3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质.【过程与方法】通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知.【情感态度】在学生学习活动过程中，使他们进一步体会数形结合的思想方法，培养创造性思维能力和动手实践能力，增强学习兴趣、激发学习欲望.【教学重点】1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质；2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系.【教学难点】利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题.一、情境导入，初步认识我们知道，二次函数y=ax2-2的图象可以由函数y=ax2的图象向下平移得到，那么函数y=12(x-2)2的图象是否可以由函数y=12x2的图象经过平移而得到呢？二、思考探究，获取新知问题在同一坐标系中画出二次函数y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2的图象，指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；并结合图象，说说抛物线y=-12x2, y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2的关系.【教学说明】在教学过程中，学生独立思考后，合作完成.教师巡视指导，针对学生在画图、探究过程中可能出现的错误给予指正，对好的给予表扬，并展示其图象，在合作交流过程中探索出抛物线y=-12(x+1)2,y=-12(x-1)2与y=-12x2的联系.【归纳结论】函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象及其性质如下表：三、运用新知，深化理解【设计说明】针对本节知识，设计了以下几道题，及时了解学生运用新知解决问题的能力，查漏补缺.1.抛物线y=3(x-3)2的开口方向是向，对称轴是，顶点是.2.若抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0），它是由抛物线y=-2x2通过平移而得到的，则a= ,h= .【教学说明】这两道题可采用抢答的形式来处理，可适当让学生说明其解题思路或依据.【答案】1.上x=3 (3,0)2.-2-3四、师生互动，课堂小结1.抛物线y=ax2与y=ax2+c和抛物线y=ax2与y=a(x-h)2有哪些共同点，又有哪些不同点？同伴间可相互交流.2.将抛物线y=ax2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？3.课本第35页练习.【设计及教学说明】对所给两个问题的思考，让学生亲历知识的自主建构，不断完善自己的知识结构.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.本课时教学仍在于着重培养学生的比较和判断能力，通过比较找出异同点，从而进一步归纳性质，并通过练习使学生从“练”中“悟”，形成函数意识.第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质【知识与技能】1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.【过程与方法】通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题.【情感态度】进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系.【教学重点】二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质.【教学难点】1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质.一、情境导入，初步认识问题将抛物线y=-12x2向下平移1个单位，所得到的抛物线表达式是什么？若再将它向左平移1个单位呢？【教学说明】学生通过对前两节课所学习的上、下平移和左、右平移规律的回顾与思考，在尝试解决问题的过程中，可增强他们的学习兴趣，激发求知欲望，也为新知识的学习做好铺垫.学生们可相互交流，教师对其结论可暂不作评价.二、思考探究，获取新知问题1 画出二次函数y=-12(x+1)2-1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.问题2 请在问题1中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-1 2x2，及抛物线y=-12（x+1）2，y=-12x2-1,观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？问题3请依据问题2中你的发现，说说抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2(a ≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【教学说明】教师可给予15~20分钟的时间让学生自主探究，画出图象，并让学生们交流，获得感性认识.教师巡视，鼓励每个学生积极参与进来，针对个别同学，应适时予以点拨.如果条件允许，对学生的成果可通过多媒体展示.【归纳结论】1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同（因为a值相同），而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移，可得到抛物线y=ax2+k(k ＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移-k个单位)，再将抛物线y=ax2+k 左右平移后，可得到抛物线y=a(x-h)2+k（h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移）.2.抛物线y=a(x-h)2+k的性质：（1）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）.【教学说明】1.通过探究，师生共同交流，达成共识后，教师在黑板上与学生一道进行归纳，了解并掌握本课时知识.2.此时教师可对问题情境中的问题1作出评价，让学生体验成功的快乐.3.归纳结论完成后，教师引导学生做第37页练习，可让学生采取举手抢答的形式进行.三、典例精析，掌握新知例（教材第36页例4）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)2+3（0≤x≤3）.由这段抛物线经过点（3，0）可得0=a(3-1)2+3,解得a=-34.因此y=-34(x-1)2+3（0≤x≤3）.当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应长2.25m.【教学说明】教师讲解此例时，可向学生提问：（1）坐标系的原点为什么建立在池中心点？（2）自变量的取值范围为什么是0≤x≤3？（3）设函数解析式有什么诀窍？四、运用新知，深化理解【设计说明】针对本节所学知识，通过几道小题进行演练，巩固所学新知识，并依据学生的完成情况，教师可适时予以查漏补缺.1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是，当x 时，函数值y随x的增大而增大.2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物线与x轴的另一个交点是.3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是.4.已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=-12(x+1)2+3.（1）试确定a,h,k的值；（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.5.将抛物线y=2(x-1)2+3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式.（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；（2）顶点不动，将原抛物线开口方向反向.【教学说明】第1，2题较为简单，可采用抢答形式来处理，第3小题应引导学生设出所求的二次函数表达式为y=a(x-h)2+k的形式，第4、5题为选做题，教师可根据教学实际选择做或不做.五、师生互动，课堂小结1.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些？。

人教版数学九年级上册教案22.1.1《二次函数》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习。

二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考中的热点之一。

本章内容主要包括二次函数的定义、图象与性质，以及二次函数的应用。

在学习本章之前，学生已经掌握了函数、方程等基础知识，为本章的学习打下了基础。

二. 学情分析九年级的学生已具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于二次函数这一复杂的概念，仍需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。

在学习过程中，学生可能对二次函数的图象与性质产生困惑，需要教师进行引导和解释。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义和一般形式；2.掌握二次函数的图象与性质，并能运用其解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般形式；2.二次函数的图象与性质；3.二次函数的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的知识；2.使用多媒体辅助教学，展示二次函数的图象与性质；3.学生进行小组讨论和合作交流，提高学生的动手能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.教学PPT；3.练习题和测试题；4.教学课件。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的概念，如：一个物体从地面抛出，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。

引导学生思考：这个二次函数是什么样子？它的图象是什么样的？呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的一般形式和图象，解释二次函数的定义和性质。

同时，教师可以通过举例来说明二次函数的应用，如：抛物线、顶点坐标的计算等。

操练（10分钟）教师布置一些练习题，让学生动手计算和绘制二次函数的图象。

教师可以学生进行小组讨论，共同解决问题。

巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用二次函数的知识来解决问题。

教师可以引导学生进行思考和讨论，帮助学生巩固所学知识。

拓展（10分钟）教师可以引导学生思考：二次函数的图象和性质与其他函数有什么不同？如何判断一个函数是否为二次函数？教师可以学生进行小组讨论，引导学生进行拓展思考。

，结果精确到0.1 m 2） ax 2的图像，理解抛物线的有关概念的性质，能确定二次函数 y ＝ax 通过画具体的简单二次函数的图像，探索出二次函数 y ＝2图像性质的过程，培养学生观察、思考、归纳（第2题）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次（按x由小到大）连结各点（连线），得到函数y＝x2的图象，如图所示．提问：通过画图和观察图象，你能发现图象有什么特征？像这样的曲线通常叫做抛物线．（二次函数的图象←→抛物线）它有一条对称轴，（对称轴是y轴或直线x=0）抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．（抛物线上最高或最低点←→二次函数的最大值或最小值）做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数 y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．即函数y＝ax2的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x＝0时，函数 y＝ax2取得最小值，最小值y＝0．当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2开口向____．在对称轴的左边，曲线自左向右____；在对称轴的右边，曲线自左向右____．顶点是抛物线上位置的最___点． 当x ＝______时，函数 y ＝ax 2取得最______值，最值y ＝______． 即函数y ＝ax 2的性质：当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而______；当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而______；当x ＝0时，函数 y ＝ax 2 取得最______值，最值y ＝______．练 习1、不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标、开口方向和最值以及取得最值时自变量的值。

第二十二章小结与复习【学习目标】1．掌握二次函数的定义及表达式．2．巩固二次函数的图象和性质．3．强化二次函数的实际应用．【学习重点、难点】二次函数的图象、性质及其运用．【教学建议】建议本课分两课时，依据学情采取其中一种方式．方式一：第一课时自学自研并交流展示知识模块一～三；第二课时自学自研并交流展示知识模块四及练习巩固提升．方式二：第一课时进行自学自研，第二课时进行交流展示、巩固提升．【推荐方式一】第一课时目标导学(5分钟)；自学自研(20分钟)；交流展示(15分钟)；第二课时目标导学(2分钟)；自学自研(15分钟)；交流展示(15分钟)；巩固提升(8分钟) ．情景导入生成问题知识结构我能建：（略）知识梳理我能行：(略)自学互研生成能力知识模块一二次函数的图象与性质【自主探究】典例1：写出抛物线y＝－x2－2x的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时，y的值最小(大)?解：∵－b2a ＝－－22×（－1）＝－1，4ac－b24a＝4×（－1）×0－（－2）24×（－1）＝1.∴抛物线y＝－x2－2x的开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点是(－1，1)．当x＝－1时，y最大值＝1.【合作探究】典例2：已知二次函数y＝x2－4x＋3.(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．典例5易错点：1．将销售价x看成降价．解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1.∴其函数的顶点C的坐标为(2，－1)，∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)．当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)．∴AB＝|1－3|＝2.过点C作CD⊥x轴于D，则△ABC的面积＝12AB·CD＝12×2×1＝1.知识模块二二次函数的图象与字母系数的关系【自主探究】典例3：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴．(1)给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c＝0.其中正确结论的序号是①④．(2)给出四个结论：①abc<0；②2a＋b>0；③a＋c＝1；④a>1.其中正确结论的序号是②③④．知识模块三求二次函数的解析式【合作探究】典例4：已知抛物线y＝x2＋(b－1)x＋c经过点P(－1，－2b)．(1)求b＋c的值；(2)若b＝3，求这条抛物线的顶点坐标；(3)若b>3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP＝2PA.求这条抛物线对应的二次函数关系式．解：(1)∵抛物线过点P(－1，－2b)，∴1－(b－1)＋c＝－2b，∴b＋c＝－2.(2)由(1)中的关系式可知，若b＝3，则c＝－5.∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－5，即y＝(x＋1)2－6，其顶点坐标为(－1，－6)．(3)根据题意画出抛物线的示意图如图所示：∵PB＝2PA，点P(－1，－2b)，∴点B的坐标为(－3，－2b)．∴9－3(b－1)＋c＝－2b，即－b＋c＝－12.∴y＝x2＋4x－7.知识模块四二次函数的实际应用【合作探究】典例5：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．(3)每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)设每箱售价为x元，根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240.(2)因为该批发商平均每天的销售利润等于平均每天销售量×每箱销售利润，所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600.(3)由w＝－3x2＋360x－9600，得a＝－3<0，所以抛物线开口向下．当x＝－b2a＝60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大．所以当x＝55元时，w的最大值为1125元．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数的图象与性质知识模块二 二次函数的图象与字母系数的关系知识模块三 求二次函数的解析式知识模块四 二次函数的实际应用当堂检测 达成目标【当堂检测】1．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝1，x 2＝2．2．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷水最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是y ＝－8⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋3．3．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y ＝ax 2＋bx －75.其图象如图．(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)y ＝ax 2＋bx －75图象过点(5，0)、(7，16)，y ＝－x 2＋20x －75，顶点坐标是(10，25)．当x ＝10时，y 最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．(2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象的对称轴为直线x ＝10，可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．又∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象开口向下，∴当7≤x ≤13时，y ≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

第22章二次函数一、复习目标1.理解二次函数的概念；2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3.会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4.会用待定系数法求二次函数的解析式；5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

6.二次函数的综合应用 二、课时安排 2三、复习重难点把握二次函数的性质，利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，并能和其它知识点进行综合应用。

四、教学过程 （一）知识梳理 二次函数知识点：1. 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。

2. 二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质： 4. ()2y a x h k =-+的性质： 3.二次函数图象的平移 1. 平移步骤：(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； (2)保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（3） 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．4.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与轴的交点()10x ，，()20x ，(若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 5.二次函数2y ax bx c =++的性质（1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，随的增大而减小；当2b x a >-时，随的增大而增大；当2bx a=-时，有最小值244ac b a-． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，随的增大而增大；当2b x a >-时，随的增大而减小；当2bx a=-时，有最大值244ac b a -． 6.二次函数解析式的表示方法（1） 一般式：2y ax bx c =++(，，为常数，0a ≠)； （2） 顶点式：2()y a x h k =-+(，，为常数，0a ≠)；（3）两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，，是抛物线与轴两交点的横坐标).7.二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与轴没有交点. 7.二次函数的应用： （二）题型、方法归纳 类型一：二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x 2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3.归纳：二次函数平移的两种方法1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k 是由y=ax 2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h 左加右减,k 上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.类型二：二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b 2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.其中正确结论的个数是()A.5个B.4个C.3个D.2个【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能.所以正确的共有4个,选B.归纳：类型三：二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是.(填入正确结论的序号)【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的开口方向向上,∴a>0;b－ =1>0,∴a与b异号,则b<0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=2ab－=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,③是错误的.∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x=2a∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.答案:①②⑤归纳：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.类型四：二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).温度x(℃) …-4 -2 0 2 4 4.5 …植物每天高度增长…41 49 49 41 25 19.75 …量y(mm)由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?直接写出结果.【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c, 根据题意,得4a 2b c 49,a 1,4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解得， ∴y 关于x 的函数解析式为y=-x 2-2x+49.不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y 不是x 的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y 不是x 的一次函数.(2)由(1)得y=-x 2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50. ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50.即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大. (3)-6<x<4.归纳：解决二次函数应用题的两步骤1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.2.应用:利用二次函数的性质解决问题.（三）典例精讲例题1： （2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m 2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．【解答】解：（1）由已知可得：AD=，则S=1×m2，（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当x=m时，且x=m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．（四）归纳小结1.引导学生整理把握本章知识点并熟练掌握。

第22章二次函数全章复习教案【学习目标】　1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；　2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；　3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；　4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④， 其中；⑤.（以上式子a≠0） 几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)当时开口向上当时开口向下()2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点. (1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. (2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. (3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： ①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (可以看成的图象平移后所对应的函数.)20()y ax bx c a =++≠,,a b c (3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： （a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； (2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； (3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题2yax bx c =++利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式； (4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式例题1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即，也就是，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则，解得．∴ 抛物线的解析式为，即． 解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)． 把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得，∴ 抛物线的解析式为， 即．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，2(3)2y a x =--2692y ax ax a =-+-2692y ax ax a =-+-12||6x x -==29a =22(3)29y x =--22493y x x =-2(3)2y a x =--29a =22(3)29y x =--22493y x x =-把(3，-2)代入得，解得．∴ 抛物线的解析式为，即．举一反三【变式】已知抛物线（m 是常数）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得，∴，∴抛物线的顶点坐标为．（2）∵抛物线与轴交于整数点，∴的根是整数．∴．∵，∴是完全平方数．∵， ∴，∴取1，4，9，．当时，；当时，；当时，． ∴的值为2或或．∴抛物线的解析式为或或．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号例题2. 如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣其中正确的结论个数有（ ）3(36)2a ⨯⨯-=-29a =2(6)9y x x =-22493y x x =-2442y mx mx m =-+-155m <<x 0≠m 2242=--=-=mm a b x m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=m m m m )2,2(-x 02442=-+-m mx mx 2x ==±0m >2x =2m155m <<22105m <<2m2x ==±21m =2=m 24m =21=m 29m =29m =m 21296822+-=x x y x x y 2212-=22810999y x x =--A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y ＜0，可判断②；由OA=OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac 2﹣bc +c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C ；【解析】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y ＞0，∴9a +3b +c ＞，故②错误；由图象可知OA ＜1，∵OA=OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac ﹣b +1=0，两边同时乘c 可得ac 2﹣bc +c=0，即方程有一个根为x=﹣c ，由②可知﹣c=OA ，而当x=OA 是方程的根，∴x=﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C ．类型三、数形结合例题3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数的图象上，且MO ＝MA ，二次函数的图象经过点A 、M．334y x =+32y x =2y x bx c =++(1)求线段AM 的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．【答案与解析】(1)一次函数，当x ＝0时，y ＝3，所以点A 的坐标为(0，3)，又∵ MO ＝MA ，∴ M 在OA 的中垂线上，即M的纵坐标为，又M 在上，当时，x ＝1，∴ 点M 的坐标为．如图所示，．(2)将点A(0，3)，代入中，得 ∴即这个二次函数的解析式为：．(3)如图所示，设B(0，m)(m ＜3)，，．334y x =+334y x =+3232y x =32y =31,2⎛⎫⎪⎝⎭AM ==31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2y x bx c =++3,31.2c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩5,23.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+25(,3)2C n n n -+3,34D n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则|AB|＝3-m ，，．因为四边形ABCD 是菱形，所以．所以 解得（舍去）将n ＝2代入，得，所以点C 的坐标为（2，2）．类型四、函数与方程例题4.某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≧60）元，销售量为y 套．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案与解析】解：（1）销售单价为x 元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x ≥60）；（2）根据题意可得，x （﹣4x+480）=14000，解得x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元； （3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意得：w=（x ﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x ﹣19200 =﹣4（x ﹣80）2+6400．当x=80时，w 的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．213||4D C DC y y n n =-=-5||4AD n =||||||AB DC AD ==2133,453.4m n n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩113,0;m n =⎧⎨=⎩221,22.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩2532y x x =-+2C y =【答案】由题意得 把②代入①得. ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴方程必有两个相等的实数根， ∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1) (2). (3). (4)方法1：方程的解， 即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出， 当时，直线与抛物线有两个交点，∴． 方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点， ∴ ∴ ∴ ，即， ∴. ∵ 方程有两个不相等的实数根，∴，∴.类型五、分类讨论例题5．若函数，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )．A ．B ．4C ．或4D ．4或【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y ＝8时，求x 的值时，注意分类讨论.【答案】D ；【解析】由题意知，当时，，∴ ．(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．类型六、与二次函数有关的动点问题例题6．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2-（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．22(2)2(2)x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩228x +=x =2>x =x =【思路点拨】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．【答案与解析】（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2-（m+1）x+1∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2-（m+1）p+1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．∴M′点在二次函数y=-m2+（m+1）x-1上．∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，≤m＜0．。