2021届北京市八一学校高三上学期10月月考数学试卷及答案

2023北京八一学校高三10月月考数 学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}3A x x =<，{}2N2B x x =∈<∣，则A B =（ ）A. {0,1}B. {1,2}C. {1,1}−D. {1,0,1}−2. 已知角α终边经过点(2,1)P ，则sin α=（ ） A. 12D. 23. 已知命题(0,)x ∃∈+∞，1ln 1x x≥−，则p ⌝为（ ） A. (0,)∀∈+∞x ，1ln 1x x≥−B. (0,)x ∃∈+∞，1ln 1x x≤− C. (0,)∀∈+∞x ，1ln 1x x<− D. (0,)x ∀∉+∞，1ln 1x x≥−4. 已知1ln 2a =，121log 3b =，122c −=，则（ ） A. b c a >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>5.已知sin cos αα+=，则cos 2=α（ ）A. 0B. 1C. 1−D.6. 若0a b +<，且0b >，则（ ） A. 22ab a b <<B. 22a b ab <<−C. 22b ab a <−<D. 22a ab b <−<7. 已知函数()tan f x x =和直线:l y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =的图象关于原点对称，则t 的最小值（ ）A.π12B.π6C.π4D.π39. 某批救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长360km ，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于2km 900v （车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则=v （ ） A. 70B. 80C. 90D. 10010. 已知奇函数f (x )的定义域为(,),22ππ−且()f x '是f (x )的导函数.若对任意(,0),2x π∈−都有()cos ()sin 0,f x x f x x '+<则满足()2cos ()3f f πθθ<⋅的θ的取值范围是（ ）A. (,)23ππ− B. (,)(,)2332ππππ−−⋃ C.(,)33ππ−D. (,)32ππ第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11. 在复平面内，复数12z i =−对应的点到原点的距离是_______．12. 函数1,Q()0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩，则f=______.13. 若函数()2cos()1f x x ωϕ=++，其中0ω>对任意的x 都有()(2)f x f x =−，写出一组符合条件的ω，ϕ的值______.14. 设函数()()1xf x xe a x =−−，其中1a <，若存在唯一整数0x ，使得()0f x a <，则a 的取值范围是__________．15. 已知函数(()ln f x ax =，则下列说法正确的是______.①函数()f x 的定义域为R . ②R a ∃∈，函数()f x 为奇函数.③[0)a ∀∈+∞,，函数()f x 在(0,)+∞为增函数. ④R a ∃∈，函数()f x 有极小值点.三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数()cos cos 2(R)f x x x x x =−∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 的最小正周期，对称轴，对称中心； （3）设π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()())sin sin sin b a B A c B C −+=−（1）求角A 的大小；（2）已知①2a =，②π4B =，③c =在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解玦该问题.已知____________，____________，若ABC 存在，求ABC 的面积；若不存在，说明理由. 18. 已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，其中，点P 的坐标为(6,0)−，点Q 是()f x 图象上的最低点且坐标为(2,3)−−，点R 是()f x 图象上的最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记RPO α∠=，QPO β∠=（α，β均为锐角），求()tan 2αβ+的值.19. 已知函数()21exax x f x +−=. （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）若函数()f x 的极大值点为2，求a 的取值范围； （3）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥20. 已知函数()cos f x x x ax a =−+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(0)a ≠.（1）当1a ≥时，求()f x 的单调区间； （2）求证：()f x 有且仅有一个零点.21. 已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.21=，[]1.22−=−，[]11=.对于函数()f x ，若存在m R ∈且m Z ∉，使得()[]()f m fm =，则称函数()f x 是“和谐”函数.（1）判断函数()213f x x x =−，()sin g x x π=是否是“和谐”函数；（只需写出结论） （2）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小周期为T ，若()f x 不是“和谐”函数，求T 的最小值.（3）若函数()af x x x=+是“和谐”函数，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合A ，根据一元二次不等式的解法及自然数集化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为集合{}{}333A x x x x =<=−<<，{}{}2N20,1B x x =∈<=∣， 所以A B ={0,1}.故选：A. 2. 【答案】B【分析】由三角函数的定义即可求解.【详解】由三角函数的定义可知，角α终边经过点(2,1)P，故sin 5α==. 故选：B 3. 【答案】C【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题(0,)x ∃∈+∞，1ln 1x x≥−， 则p ⌝为：(0,)∀∈+∞x ，1ln 1x <. 故选：C . 4. 【答案】A【分析】根据对数函数的单调性得1,0b a ><，由指数函数的性质得01c <<，即可比较. 【详解】1lnln102a =<=，12221log log 3log 213b ==>=，又1020221c −<=<=，所以10b c a >>>>，即b c a >>. 故选：A. 5. 【答案】A【分析】根据辅助角公式化简sin cos αα+=α，进而可得cos 2α.【详解】sin cos αα+=π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 14α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()ππ2π,Z 42k k α+=+∈，()π2π,Z 4k k α=+∈.故()Z c πos π402cos ,2k k α⎛⎫=⎪= ⎭+∈⎝. 故选：A 6. 【答案】C【分析】根据不等式的性质可得22a b <，排除ABD ，再根据不等式性质判断C 即可.【详解】对ABD ，因为0a b +<，故b a <−，又0b >，故0b a <<−，故()2220b a a <<−=，即22b a <，故ABD 错误；对C ，()20b ab b a b +=+<，故2b ab <−，又()2a ab a a b +=+，因为0a b +<，且0b >，故a<0，故()0a a b +>，即2ab a −<，则22b ab a <−<，故C 正确； 故选：C 7. 【答案】B【分析】根据导数的几何意义求解a ，再根据充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】设直线:l y x a =+与曲线()tan f x x =相切于点00(,)x y ，由()tan f x x =可得()()22cos cos sin sin 1cos cos x x x x f x x x ⋅−⋅−='=，于是有：20000011cos tan xy x a y x⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩， 所以20000cos 1tan 0x a x y x ⎧=⎪=−⎨⎪==⎩，所以0π,Z π,Z x k k a k k =∈⎧⎨=−∈⎩，当0k =时，0a =，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切， 但是直线l 与曲线()y f x =相切时，a 不一定为0，即“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的必要不充分条件. 故选：B 8. 【答案】B【分析】结合函数图像求出函数()sin y A x ωϕ=+的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定t 的值 【详解】解：如图设函数()sin y A x ωϕ=+的部分图像与x 轴的交点为,,A B C ，由图可知,62f a f a ππ⎛⎫⎛⎫−==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以62f f ππ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以点,6a π⎛⎫−⎪⎝⎭与点,2a π⎛⎫− ⎪⎝⎭关于点A 对称， 设(,0)A A x ，则262A x ππ−+=，解得6A x π=，因为将函数()sin y A x ωϕ=+函数的图像向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数()y f x =的图像，且图像关于原点对称，所以平移后的函数()y f x =为奇函数，即(0)0f =相当于把()sin y A x ωϕ=+的图像与x 轴最近的交点平移到坐标原点即，由图可知此点为,06A π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以6t π=，故选：B 9. 【答案】C【分析】根据题意列式后由基本不等式求解 【详解】第一辆汽车到达灾区所用的时间为360h v， 由题意，知最短每隔2900h 900v v v =到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为36040h 900v v ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭， 要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短.又360360240890045v v v v +⨯=+≥=，当且仅当360245v v =，即90v =时等号成立. 故选：C 10. 【答案】D 【分析】令()()cos f x g x x =，先判断函数()g x 为奇函数，再判断函数()g x 在区间(2π−，)2π上单调递减，由()2cos ()3f f πθθ<⋅，得()()3g g πθ<，即可求出．【详解】令()()cos f x g x x=，(2x π∈−，)2π，()f x 为奇函数，cos y x =为偶函数，()g x ∴为奇函数．(2x π∀∈−，0)，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<，2()cos ()sin ()0f x x f x xg x cos x'+∴'=<，()g x ∴在区间(2π−，0)上单调递减，又()g x 为奇函数，()g x ∴在区间(2π−，)2π上单调递减， 当(2x π∈−，)2π，cos 0x >，()2cos ()3f f πθθ<⋅，∴()()3cos cos 3f f πθπθ<， ()()3g g πθ∴<，∴32ππθ<<故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.【详解】因为复数12z i =−，所以z ==12z i =−12. 【答案】0【分析】根据分段函数解析式求值即可.Q ，所以0f =.故答案为：013. 【答案】1,-1（答案不唯一）【分析】根据余弦函数的对称性建立方程，然后赋值即可求解. 【详解】由()(2)f x f x =−得直线1x =是()f x 的一个对称轴， 令π,Z x k k ωϕ+=∈得π,Z k x k ϕωω=−∈，当0k =时，x ϕω=−，不妨取1ϕω−=，即ϕω=−， 则符合题意的一组ω，ϕ的值为1,-1（答案不唯一）. 故答案为：1,-1（答案不唯一）. 14. 【答案】211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】令()xg x xe =，h （x ）＝ax ，求出()g x '后画出()g x 、()h x 的图象，数形结合建立不等式组，即可得解.【详解】存在唯一整数0x ，使得()0f x a <，即存在唯一整数0x ，使得000xx e ax <令()xg x xe =，()h x ax =，则()(1)x x x g x xe e x e '=+=+，∴当1x <−时，()0g x '<，则函数()g x 在(),1−∞−上单调递减； 当1x >−时，()0g x '>，则函数()g x 在()1,−+∞上单调递增； 而21(1),(0)0,(2)2g g g e e−−=−=−=−；当x →−∞时，0x e →，所以0x xe →且当0x <时，0x xe < 因为存在唯一的整数x 0使得000x x eax <．当直线()h x ax =与()x g x xe =相切时， 设切点为000(,)xx x e ，则切线的斜率为()001x kx e =+，又直线()h x ax =过原点，所以此时()00()1xh x x e x += 由切点再切线上，可得()000001x x x ex e x +=，解得00x =所以()0011ak e ==+=所以当直线()h x ax =与()x g x xe =相切时，1a = 因为0x ≥时，1x e ≥，0x <时，1x e < 所以()10xx xex x e −=−≥，则()()h x g x ≤，此时不满足条件.所以结合图形知：当0a ≤时，有无数多个整数x 0使得()0f x a <，故不满足题意. 又1a <，由图可知当直线()h x ax =在1l 与2l 之间时，满足条件的整数x 0只有1−11110l e k e−−==−− ，22220120l e k e −−==−− 所以满足条件的a 的范围是：211a e e≤< 故答案为：211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 15. 【答案】②③④【分析】举反例判断①，根据奇函数的性质和对数运算法则判断②，利用导数法判断函数单调性判断③，举例说明判断存在量词命题的正确性判断④. 【详解】对于①，当2a =−时，(()ln 2f x x =−，令20x −+>，解得x <，其定义域为⎛−∞ ⎝⎭，不是R .，错误；对于②，因为函数(()ln f x ax =+是奇函数，所以()()((ln ln 0f x f x ax ax +−=++−+=，即()222ln 10a x x −++=，所以22210a x x −++=，即()2210ax−=，所以210a −=，解得1a =±，经检验符合题意，即R a ∃∈，函数()f x 为奇函数，正确；对于③，(()ln f x ax =+，则()f x '=，因为0a ≥，0x >，所以()0f x '>，所以[0)a ∀∈+∞,，函数()f x 在(0,)+∞为增函数，（利用增函数的性质判断增函数也可以），正确； 对于④，当0a =时，()21()lnln 12f x x ==+，则2()1x f x x =+'， 令()0f x '=，得0x =，令0f x ，得0x >，令()0f x '<，得0x <，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)−∞上单调递减，所以函数()f x 有极小值点0，故R a ∃∈，函数()f x 有极小值点，正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：利用导数判断函数的单调性是解题的关键点，另外举反例判定全称量词命题为假命题，利用特例法判断存在量词命题为真命题也是解决难题的方法之一.三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）πππ,π63k k ，Z k ∈ （2）()f x 的最小正周期为π；()f x 的对称轴为ππ23k x =+，Z k ∈ .()f x 的对称中心为()ππ,0Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. （3）[]1,2−【分析】（1）利用二倍角公式及和（差）角公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. （2）根据三角函数基本性质求得最小正周期、对称轴和对称中心.（3）根据正弦函数图象性质求得区间内的值域.【小问1详解】π()cos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=−=−=− ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k −≤−≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k −≤≤+，Z k ∈， 所以函数的单调递增区间为πππ,π63k k ，Z k ∈. 【小问2详解】()f x 的最小正周期为2ππ2=.令ππ2π62x k −=+，Z k ∈得ππ23k x =+，Z k ∈，故()f x 的对称轴为ππ23k x =+，Z k ∈. 令π2π6x k −=，Z k ∈得ππ212k x =+，Z k ∈，故()f x 的对称中心为()ππ,0Z 212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 【小问3详解】 因为π03x ≤≤，所以πππ2662x −≤−≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫−≤−≤ ⎪⎝⎭， 所以π12sin 226x ⎛⎫−≤−≤ ⎪⎝⎭，即()12f x −≤≤，所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2−. 17. 【答案】（1）π6A =（2）答案见解析【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可；（2）若选择①②：根据正弦定理、两角和正弦公式、三角形面积公式进行求解即可；若选择②③：根据正弦定理进行求解判断即可；若选择①③：根据余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理由()())()())sin sin sin b a B A c B C b a b a c c −+=−⇒−+=−222222b a c a b c ⇒−=−⇒=+，由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+−，因此2cos cos 2A A =⇒=， 因为()0,πA ∈，所以π6A =； 【小问2详解】选择①②：①2a =，②π4B =，由正弦定理可得222ππ1sin sin 642b b ⨯=⇒==ππππππππsin sin πsin sin cos cos sin 46464646C ⎛⎫⎛⎫=−−=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ABC 的面积为1212⨯⨯=； 选择②③：②π4B =，③c =，由（1）知π6A =，所以ππππππππsin sin πsin sin cos cos sin 46464646C ⎛⎫⎛⎫=−−=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为sin sin 2c C b B ===≠ 所以不存在ABC ；选择①③：①2a =，③c =，由（1）知π6A =，由余弦定理定理可知：222222cos 412227a b c bc A b b b b =+−⇒=+−⋅⋅⇒=，即7c ==， 所以ABC的面积为1127727⨯⨯⨯=. 18. 【答案】（1）()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭ （2）7736【分析】（1）由图象可得A ()y f x =的最小正周期求得ω的值，利用正弦函数的对称中心结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）利用函数周期求得(6,3)R ，由两点式斜率公式及诱导公式求得1tan 4α=，3tan 4β=，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.【小问1详解】由图象及(6,0)P −，(2,3)Q −−可知，3A =，又函数()f x 的最小正周期()42616T ⎡⎤=−−−=⎣⎦，所以2ππ8T ω==， 因为点(6,0)P −为函数()f x 的一个对称中心，所以()π6π,Z 8k k ϕ⨯−+=∈，即3ππ,Z 4k k ϕ=+∈， 又π2ϕ≤，所以π0,4k ϕ==−，所以()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 【小问2详解】由（1）函数周期及最值知(6,3)R ，因为RPO α∠=，QPO β∠=，(6,0)P −，(2,3)Q −−，所以()301tan 664PR k α−===−−，()()303tan πtan 264PQ k ββ−−−=−===−−−−，即3tan 4β=， 所以22122tan 84tan 21tan 15114ααα⨯===−⎛⎫− ⎪⎝⎭， 所以()83tan 2tan 77154tan 2831tan 2tan 361154αβαβαβ+++===−⋅−⋅. 19. 【答案】（1）210x y −−=（2）1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【分析】（1）对函数求导，根据导函数的函数值等于原函数的图象在该点处的切线的斜率得到该点切线斜率，进而得到切线方程；（2）求导可得()()()21e xx ax f x −−−'=，再分情况讨论导数的根与函数单调性，进而分析是否满足极大值点为2即可； （3）分析可得()2211e e x xax x x x f x +−+−=≥，再利用导数研究函数的单调性、最值，从而证明21e 0ex x x +−+≥即可. 【小问1详解】由题意得()()2212e x ax a xf x −+−+'=，则()02f '=，因此曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程是21y x =−，即210x y −−=；【小问2详解】由题意()()()()221221e e x xax a x x ax f x −+−+−−−'==，设()()()21g x x ax =−−−， ①当0a =时，()2g x x =−，令()0g x >有2x <，令()0g x <有2x >，故()f x 在(),2−∞上单调递增，在()2,+∞上单调递减，满足()f x 的极大值点为2；②当0a >时，令()()()210g x x ax =−−−=有12x =，21x a =−，()g x 开口向下； 令()0g x >有12x a −<<，令()0g x <有1x a<−或2x >，故()f x 在1,a ⎛⎫−∞−⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在()2,+∞上单调递减，满足()f x 的极大值点为2； ③当a<0时，令()()()210g x x ax =−−−=有12x =，21x a =−，()g x 开口向上； i. 当12a −=，即12a =−时，()()()210g x x ax =−−−≥，()f x 在R 上单调递增，无极大值点； ii. 当12a −>，即102a −<<时，令()0g x <有12x a <<−，令()0g x >有1x a >−或2x <， 故()f x 在(),2−∞上单调递增，在12,a ⎛⎫−⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫−+ ⎪⎝⎭上单调递增，满足()f x 的极大值点为2；iii. 当12a −<，即12a <−时，令()0g x <有12x a −<<，令()0g x >有1x a <−或2x >， 故()f x 在1,a ⎛⎫−∞−⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递减，在()2,+∞上单调递增，不满足()f x 的极大值点为2； 综上有当()f x 的极大值点为2时，a 的取值范围为1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭【小问3详解】证明：当1a ≥时，()2211ex ax x x x f x +−+−=≥， 则()()21e 1e e x x f x x x +−+≥+−+，令()211e x g x x x +=+−+， 则()121e x g x x +=++'，易得()g x '在R 上单调递增，且()00121e g '−=−+=+，故当1x <−时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >−时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()g x 在=1x −处取到极小值，也即最小值，所以()()10g x g ≥−=，因此()e 0f x +≥.20. 【答案】（1）()f x 的单调递减区间是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，没有单调递增区间. （2）见解析【分析】（1）根据题意，求出函数()f x 的导数，设其导数为()g x ，求出()g x '，分析可得()g x 的最值，分子可得()0g x ≤，即()0f x '≤，即可求出答案；（2）分类讨论a 的范围，讨论()0f ，π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，由函数的零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】因为函数()cos f x x x ax a =−+，()cos sin f x x x x a −'=−，令()cos sin g x x x x a =−−，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()2sin cos 0g x x x x −−'=≤，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1a ≥时，()010g a =−≤，所以()0g x ≤，即()0f x '≤，所以()f x 的单调递减区间是π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，没有单调递增区间. 【小问2详解】由（1）知，()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()01g a =−，ππ22g a ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭， 当1a ≥时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 因为()00f a =>，ππ1022f a ⎛⎫⎛⎫=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 有且仅有一个零点. 当π02a −−≥，即π2a ≤−时，()0g x ≥，即()0f x '≥，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 因为()00f a =<，ππ1022f a ⎛⎫⎛⎫=−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 有且仅有一个零点. 当π12a −<<，()010=−>g a ，ππ022g a ⎛⎫=−−< ⎪⎝⎭， 所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，当00x x <<时，()0f x '>；当0π2x x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在()00,x 上单调递增，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，因为()0f a =，ππ122f a ⎛⎫⎛⎫=−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0a ≠， 所以()2ππ01022f f a ⎛⎫⎛⎫⋅=−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 有且仅有一个零点. 综上所述，()f x 有且仅有一个零点.【点睛】方法点睛：函数的零点问题的求解，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（画出函数()f x 的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令()0f x =得到()()g x h x =，再分析(),()g x h x 的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.21. 【答案】（1）()213f x x x =−是“和谐”函数，()sing x x π=不是“和谐”函数.（2）最小值为1.（3）0a >且*k N ∀∈，2a k ≠且()1a k k ≠+【分析】（1）根据“和谐”函数的定义即可判断()213f x x x =−，()sing x x π=是否是“和谐”函数. （2）根据周期函数的定义，结合“和谐”函数的条件，进行判断和证明即可.（3）根据“和谐”函数的定义，分别讨论0a =，a<0和0a >时，满足的条件即可.【详解】（1）由题知：()213f x x x =−是“和谐”函数， ()sing x x π=不是“和谐”函数.（2）T 的最小值为1.因为()f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以()()0f T f =.假设1T <，则[]0T =，所以[]()()0fT f =，矛盾. 所以必有1T ≥，而函数()[]l x x x =−的周期为1，且显然不是“和谐”函数，综上，T 的最小值为1.（3）当函数()a f x x x=+是“和谐”函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是“和谐”函数，矛盾.若a<0，则()2'10a f x x=−>， 所以()f x 在(),0∞−，()0,∞+上单调递增，此时不存在(),0m ∈−∞，使得()[]()f m f m =，同理不存在()0,m ∈+∞，使得()[]()f m f m =，又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，所以此时()a f x x x=+不是“和谐”函数. 当0a >时，设()[]()f m fm =， 所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，因为[][]1m m m <<+，所以[][][][]()21m m m m m <<+， 所以[][][]()21m a m m <<+.当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以[][][][]()21m m m m m >>+， 所以[][][]()21m a m m >>+.记[]k m =，综上，我们可以得到“0a >且*k N ∀∈，2a k ≠且()1a k k ≠+”.【点睛】本题主要考查函数的新定义和函数的周期性，同时考查了学生的运算和推理能了，综合性较强，属于难题.。

2021届北京市八一学校高三十月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}24A x x =∈<Z ，{}1,2B =-，则AB =（ ）A ．{}1-B ．{}1,2-C ．1,0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--【答案】C【解析】先求出集合A ，再利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为{}{}241,0,1A x x =∈<=-Z ，{}1,2B =-，所以A B =1,0,1,2.故选：C. 【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2．已知向量(),1a t =，()1,2b =.若//a b ，则实数t 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D【解析】由向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】//a b ，210t ∴-=，解得12t =故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数的值，属于基础题. 3．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．||y x x =D ．ln ||y x =【答案】B【解析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，结合定义域，即可得出答案. 【详解】对A 项，令()sin f x x =，定义域为R ，()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，则函数sin y x =为奇函数，故A 错误；对B 项，令()cos f x x =，定义域为R ，()cos()cos ()f x x x f x -=-==，则函数cos y x =为偶函数，故B 正确；对C 项，令()||f x x x =，(1)1(1)1f f -=-≠=，则函数||y x x =不是偶函数，故C 错误；对D 项，ln ||y x =的定义域为{|0}x x ≠，故D 错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断函数的定义域和奇偶性，属于中档题. 4．设{}n a 是公比为的等比数列，则“”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.【考点】等比数列5．为得到sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位；故选D ．【考点】三角函数的图像变换．6．在ABC 中，5AB =，sin 2sin A C =，cos 45B =，则ABC 的面积为（ ） A ．10 B ．15C ．20D ．30【答案】B【解析】先求出10a =，再求出3sin 5B =，最后求ABC 的面积即可. 【详解】解：在ABC 中，sin 2sin A C =，由正弦定理：2a c =，因为5AB c ==，所以10a =，因为cos 45B =，0B π<<，3sin 5B ==， 所以113sin 51015225S ac B ==⨯⨯⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数关系、是中档题.7．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),3∞-- B ．[]24,3--C ．()24,3--D ．()24,-+∞【答案】C【解析】求导，分别对0m ≥，0m <分类讨论，确定()f x 的单调性，根据题意，列出不等式，即可得出答案. 【详解】323()3m x mf x x x x+'=+=当0m ≥时，()0f x '>，即函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，不符合题意当0m <时，()0f x x '>⇒>()00f x x '<⇒<<则函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增要使得函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则12<解得243m -<<- 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.8．已知函数()21f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞【答案】B【解析】先利用函数的零点转化成方程的根、函数图像的交点问题，再数形结合即得结果. 【详解】由函数()21f x x kx =--+有两个零点，即方程21x kx -+=有两个根，即函数()21g x x =-+与()h x kx =有两个交点，作图如下：()h x kx =恒过()0,0，旋转过程中，在直线12y x =和y x =之间时有两个交点， 故1,12k ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根、函数图像的交点之间的等价转化，考查了数形结合思想，属于中档题.9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】以BC 的中点为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求解. 【详解】以BC 的中点为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，BC 为x 轴， 建立平面直角坐标系，如图：则()1,0B -，()1,0， 设(),0Px ，(),A a b ，1x ≤，1OA =，221a b +=，则由()1AP AB AC ⋅+=，得()()1,,2x a b a b --⋅--=， 化简12ax =， 所以()22222222AP x a b x ax a b x =-+=-++=， 由221a b +=，因为1a ≠±，所以1a <， 所以1122x a =>， 所以AP x =的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．已知集合,A B 满足：（ⅰ）AB =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数；③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】根据并集和交集的结果可知Q A C B =；由条件（ⅱ）（ⅲ）可知两集合的元素以1x 为分界，可确定集合,A B 的构成；当集合A 有最大数时，根据有理数的特点可知大于1x 的有理数无最小数，知③正确；当集合A 无最大数时，若1x a →中的a 为有理数或无理数，此时集合B 可能最小数为a 或无最小数，知②正确. 【详解】 若AB =Q ，AB =∅ Q AC B ∴=则集合A 为所有小于等于1x 的有理数的集合，集合B 为所有大于等于1y 的有理数的集合Q A C B = 1y ∴无限接近1x ，即集合B 为所有大于1x 的有理数的集合当集合A 有最大数，即1x 有最大值时，大于1x 的有理数无最小数，可知③正确； 当集合A 无最大数，即1x a →时，a 为集合B 中的最小数；也可能a 为无理数，则1y a →，集合B 中无最小数，可知②正确故选B 【点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求.二、填空题11．已知复数2z i =-，则z =______.【解析】根据复数的模长的定义直接进行计算即可. 【详解】∵复数2z i =-，∴z ==【点睛】本题考查复数的模的概念及求法，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi12．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =-【解析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.13．已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则2a b +=___________.【答案】【解析】利用平面向量数量积计算得出22a b +的值，进而可求得2a b +的值. 【详解】()222222224444cos 60a b a ba b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅144421122=++⨯⨯⨯=， 因此，223a b +=.故答案为：【点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.三、双空题14．已知函数()21,,x ax x af x x x ae-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（a 为常数）．若()112f -=，则a =________；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是________． 【答案】12(,0]-∞ 【解析】（1）分别在1a >-和1a ≤-两种情况下求得()1f -，利用()112f -=求得a ； （2）当x a ≥时，求导得()11x xf x e--'=；当1a ≥时，可知x a <时，()f x →+∞不存在最大值，不符合题意；当1a <时，可得()f x 在[),a +∞上的单调性，得到()()max 11f x f ==；分别在01a <<、0a =和0a <三种情况下验证x a <时函数的最大值，可得(],0a ∈-∞时，()()max 11f x f ==，从而得到结果. 【详解】（1）当1a >-时，()112f a -==，满足题意； 当1a ≤-时，()21112f e ---=≠，不合题意； 12a ∴=（2）当x a ≥时，()1x xf x e -= ()112211x x x x e xe xf x e e------'∴==①若1a ≥，则10x -≤ ()0f x '∴≤ ()f x ∴在[),a +∞上单调递减()()1max a a f x f a e -∴==此时，当x a <时，()2f x ax =，当x →-∞时，()f x →+∞，不合题意 ②若1a <，则1<<a x 时，()0f x '>；1x >时，()0f x '<()f x ∴在(),1a 上单调递增，在()1,+∞上单调递减 ()()max 11f x f ∴==此时，当x a <时，()2f x ax =若01a <<，则当x →-∞时，()f x →+∞，不合题意 若0a =，()()01f x f =<，此时()max 1f x =，满足题意若0a <，则()()()3max 01f x f a a f ==<<，此时()max 1f x =，满足题意综上所述：(],0a ∈-∞时，()f x 存在最大值 故答案为12；(],0-∞ 【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题；本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】124011 【解析】（1）根据衰变规律，令5730t =，代入求得012N N =； （2）令035N N =，解方程求得t 即可. 【详解】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 0.757304011t ∴=⨯= ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间故答案为12；4011 【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.四、解答题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）答案见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的d ，根据求和公式可得5101020S d =+=，又12a =，即可得解；（2）根据{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则：11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++，分组求和即可得解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+， 且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =， 所以1n a n =+；（2）由（1）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =. 若选择条件①2q，可得11312b b q ==， 11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++111()(1)(3)1=22122n n n n a a b q n n q -+-+-=-+-；若选择条件②12q =，可得41332b b q ==， 11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++6-11()(1)(3)=264212n nn n a a b q n n q +-+-=---；若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-， 11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++11()(1)(3)=+2(1(1))212n n n n a a b q n n q +-+-=---.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算，考查了数列的分组求和法，有一定的计算量，属于中档题. 17．在ABC 中，1cos 7A =，8BC =，7AC =. （1）求B 的大小；（2）若D 是BC 的中点，求AD 的长. 【答案】（1）3B π=；（2【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin A =，再利用正弦定理即可求解.（2）利用余弦定理可得5AB =，由()12AD AB AC =+，再利用向量模的求解即可求解. 【详解】解：（1）∵在ABC 中，1cos 7A =，8BC =，7AC =，∴sin A ==， ∵由正弦定理sin sin BC ACA B=，可得7sin 7sin 8AC A B BC⋅===， 又AC BC <，可得B 为锐角， ∴3B π=.（2）∵在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，可得222187277AB AB =+-⨯⨯⨯，可得：22150AB AB --=，∴解得5AB =或3-(舍去)，∵D 是BC 的中点， ∴()12AD AB AC =+，两边平方可得：()2222211125725721447AD AB AC AB AC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ∴21AD =，即AD 的长为21.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 18．已知函数2()322cos ()f x x x m m R =++∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）π；（2）[,]()36k k k Z ππππ-++∈；（3）(,3)-∞-.【解析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ；（2）利用整体代入法求得函数()f x 的单调递增区间；（3）原问题等价于()f x 的最大值小于零，根据()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】（1）因为()23sin22cos f x x x m =++3sin2cos21x x m =+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2π2T π==.（2）由（1）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. 又函数sin y x =的单调递增区间为ππ2,222k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z).由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤. 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-. 所以m 的取值范围是(),3-∞-. 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间、最值的求法，属于中档题.19．设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围． （3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为1． 【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1a ≤-（3）见解析【解析】试题分析：（1）当1a =时，求出函数的导函数()()()211x x f x x-+'=，分别令()0f x '>和()0f x '<，解出不等式得单调区间；（2）函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，即()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（3）设切点为()(),M t f t ，对函数进行求导，根据导数的几何意义得12k t a t=+-，根据切线过原点，可得斜率为()f t k t=，两者相等化简可得21ln 0t t -+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性.试题解析：（1）当1a =时，()2ln (0)f x x x x x =+->，()()()211121x x f x x x x='-+=+-，令()0f x '>，则12x >，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）()12f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即12a x x≤-对任意(]0,1x ∈恒成立，令()12g x x x=-，则()min a g x ≤，易知()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()min 11g x f ==-，∴1a ≤-．（3）设切点为()(),M t f t ，()12f x x a x '=+-，∴切线的斜率12k t a t=+-， 又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a tt=+-，即22ln 21t at t t at +-=+-，∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=， 所以1t =是方程21ln 0t t -+=的根唯一性， 设()21ln t t t ϕ=-+，则()120t t tϕ'-+>，∴()t ϕ在()0,+∞上单调递增，且()10ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =，综上，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，则切点的横坐标为1．点睛：本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；函数单调递减等价于()0f x '≤恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.20．已知函数()()ln 0xf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：()12x f x -≤； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】（Ⅰ）(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由见解析【解析】根据解析式可确定函数定义域并求得()f x '（Ⅰ）求得()1f 和()1f '，根据导数几何意义可知切线斜率为()1f '，从而得到切线方程；（Ⅱ）将所证不等式转化为22ln 10≤x x -+；令()22ln 1h x x x =-+，通过导数求得函数单调性，可得()max 0h x =，即()0h x ≤，从而证得结论； （Ⅲ）令()ln 1ag x x x=-++，通过导数可知()g x 单调递减；利用零点存在定理可知()g x 在()11,a e -内存在零点m ，从而得到()f x '的符号，进而得到()f x 单调性，说明()f x 不是单调函数. 【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2ln 1a x x f x x a -++'=+ （Ⅰ）()10f =，()111f a '=+ ()y f x ∴=在点()()1,1f 处的切线方程为：()1011y x a -=-+ 即()110x a y -+-= （Ⅱ）当1a =时，()ln 1xf x x =+ 欲证()12x f x -≤，即证ln 112≤x x x -+，即证22ln 10≤x x -+令()22ln 1h x x x =-+，则()()()21122x x h x x x x--+'=-=．当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：∴函数()h x 的最大值为()10h =，故()0≤h x()12x f x -∴≤（Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()ln 1ag x x x =-++， ()2210a x ag x x x x+'=--=-< ()g x ∴在()0,∞+上单调递减()110g a =+>，()11111ln 110a a a a a g e e a e e ++++⎛⎫=-++=-< ⎪⎝⎭∴存在()11,a m e +∈，使得()0g m =当()0,x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在()0,m 上单调递增； 当(),x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(),m +∞上单调递减故函数()f x 在定义域内不是单调函数 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间. 21．已知无穷数列{}{}{},,n n n a b c 满足：*n N ∀∈，1n n n a b c +=-，1n n n b c a +=-，1n n n c a b +=-．记{}max ,,n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设111,,a b c 是非零整数，且111,,a b c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}{}{},,n n n a b c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．【答案】（Ⅰ）1183b c =⎧⎨=⎩或1183b c =⎧⎨=-⎩或1183b c =-⎧⎨=⎩或1183b c =-⎧⎨=-⎩；（Ⅱ）所有取值是2,1,1,2--；（Ⅲ）证明见解析【解析】（Ⅰ）依次代入2n =，3n =即可求得12,c a ，根据2133a b =-≥-可确定2a 和1b 的取值，从而得到结果；（Ⅱ）记1c x =，可表示出2d ，进而得到333,,a b c ，分别在01x ≤<、12x ≤<和2x ≥三种情况下利用32d d =求得x 的取值即可得到结果；（Ⅲ）假设对任意正整数3k ≥，,,k k k a b c 都不为0，由111,,k k k a b c +++可证得{}1111max ,,k k k k k d a b c d ++++=<，得到{}k d 严格单调递减；可知必存在正整数3m ≥，使得0≤m d ，与k d *∈N 矛盾，从而,,k k k a b c 中至少有一个为0；设0k a =，可知111k k k b c a ---=≠，则10k a +=，1k k b c +=，1k k k c b c +=-=-，依次类推可得对n k ∀≥，0n a =，1n k b c +=，1n k c c +=-且0k c ≠，从而证得结论. 【详解】（Ⅰ）由211b c a =-得：112c -= 13c ∴=± 由322c a b =-得：223a -= 25a ∴=± 又211133a b c b =-=-≥-，故25a =，18b =±11,b c ∴的所有可能值为1183b c =⎧⎨=⎩或1183b c =⎧⎨=-⎩或1183b c =-⎧⎨=⎩或1183b c =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）若11a =，12b =，记1c x =，则22a x =-，21b x =-，21c =-22,011,1||21,2x x d x x x ⎧-≤<⎪∴=≤<⎨⎪-≥⎩311a x =--，312b x =--，321c x x =---当01x ≤<时，3a x =-，31b x =-，31c =，31d =由32d d =得：1x =，不符合；当12x ≤<时，32a x =-，31b x =-，332c x =- 32,1 1.51,1.52x x d x x ⎧-≤<⎪∴=⎨-≤<⎪⎩由32d d =得：1x =，符合；当2x ≥时，32a x =-，33b x =-，31c =- 31,232,3x d x x ⎧≤<⎪∴=⎨-≥⎪⎩由32d d =得：2x =，符合； 综上所述：1c 的所有取值是2,1,1,2--.（Ⅲ）先证明“存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0” 假设对任意正整数3k ≥，,,k k k a b c 都不为0由111,,a b c 是非零整数，且111,,a b c 互不相等得：1d *∈N ，2d *∈N 若对任意3k ≥，,,k k k a b c 都不为0，则k d *∈N即对任意1k ，k d *∈N当1k时，{}1max ,k k k k k k a b c b c d +=-<≤，1k k k k b c a d +=-<，1k k k k c a b d +=-<{}1111max ,,k k k k k d a b c d ++++∴=< {}k d ∴严格单调递减2d 为有限正整数 ∴必存在正整数3m ≥，使得0≤m d ，矛盾 ∴存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，……，10k a -≠ 则11k k b c --=，且111k k k b c a ---=≠，否则，111k k k b c a ---==，由1110k k k a b c ---++=，必有1110k k k a b c ---===，矛盾∴110k k k b c a --=-≠，110k k k c a b --=-≠，且k k b c =- ∴10k a +=，1k k b c +=，1k k k c b c +=-=-依次递推，即有：对n k ∀≥，0n a =，1n k b c +=，1n k c c +=-且0k c ≠ 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0综上，结论成立【点睛】本题考查数列中的新定义运算问题的求解，涉及到根据递推关系求解数列中的项、数列证明问题中的存在性与唯一性问题的证明；证明有且仅有一个数列满足题意的关键是能够首先证明存在性，即存在数列数列满足题意，再证明唯一性，即满足题意的数列有唯一的一个；本题对学生分析和推理能力有较高的要求，属于难题.。

北京市八一学校2021届高三年级十月月考试卷一、选择题1．已知集合{}24A x x =∈<Z ，{}1,2B =-，则A B ⋃=（ ） A ．{}1-B ．{}1,2-C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--2．已知向量(),1a t =，()1,2b =．若//a b ，则实数t 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．123．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ） A ．sin y x =B ．cos y x =C ．y x x =D ．ln y x =4．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位6．在ABC △中，5AB =，sin 2sin A C =，4cos 5B =，则ABC △的面积为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．307．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞-B ．[]24,3--C ．()24,3--D ．()24,-+∞8．已知函数()21f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,+∞9．在ABC △中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．⎤⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎤⎥⎣⎦10．已知集合A ，B 满足：（i ）A B ⋃=Q ，A B ⋂=∅； （ii ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（iii ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．③④ D ．②③二、填空题11．已知复数2z i =-，则z =______．12．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为______． 13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=______．14．已知函数()21,,x ax x af x x x a e -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（a 为常数）．若()112f -=，则a =______；若函数()f x 存在最大值，则a的取值范围是______．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的______；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3≈） 三、解答题16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T ． 17．在ABC △中，1cos 7A =，8BC =，7AC =．（I ）求B 的大小；（II ）若D 是BC 的中点，求AD 的长．18．已知函数()222cos f x x x m =++（m ∈R ）． （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 的单调递增区间；（III ）对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围．19．设函数()2ln f x x ax x =+-（a ∈R ）． （I ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围． （III ）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，求证：切点的横坐标为1． 20．已知函数()ln xf x x a=+（0a >）． （I ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （II ）当1a =时，证明：()12x f x -≤； （III ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．21．已知无究数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n ∀∈N ，1n n n a b c +=-，1n n n b c a +=-，1n n n c a b +=-．记{}max ,,n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．（I ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （II ）若11a =，1b =2，求满足23d d =的1c 的所有值；（III ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．答案 1．C 2．D 3．B 4．D 5．D6．B7．C8．B9．A10．D1112．63n - 13．14．12；(],0-∞ 15．12；4011 16．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为()112n n n S na d -=+，且12a =， 所以5101020S d =+=，故1d =． 所以1n a n =+．（II ）由（I ）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =． 若选择条件①2q =，可得41312b b q ==， ()()()1122n n n T a b a b a b =-+-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()11121nn b q n a a q-+=--()131222n n n -+=-+， 若选择条件②12q =，可得41332b b q ==．()()()1122n n n T a b a b a b =-+-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()11121nn b q n a a q-+=--()632642n n n -+=+-． 若选择条件③1q =-，可得4134b b q ==-， ()()()1122n n n T a b a b a b =-+-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()11121nn b q n a a q-+=--()()()32112nn n +=+--． 17．解：（I ）∵在ABC △中，1cos 7A =，8BC =，7AC =，∴sin A ， ∵由正弦定理sin sin BC ACA B=，可得7sin 7sin 8AC A B BC ⋅===又AC BC <，可得B 为锐角， ∴3B π=．（II ）∵在ABC △中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，可得222187277AB AB =+-⨯⨯⨯，可得：22150AB AB --=，∴解得5AB =，或3-（舍去）， ∵D 是BC 的中点， ∴()12AD AB AC =+，两边平方可得：()2222211125725721447AD AB AC AB AC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,∴21AD =AD18．（I ）因为()222cos f x x x m =++2cos21x x m =+++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期22T ππ==． （II ）由（I ）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．又函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得36k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ．所以()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．（III ）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤．所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭．所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭．当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-．所以m 的取值范围是(),3-∞-．19．解：（I ）1a =时，()2ln f x x ax x =+-（0x >）， ∴()()()211121x x f x x x x-+'=+-=， 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '<，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>，（列表）， ()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（II ）()12f x x a x '=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立， 即120x a x+-≤对任意(]0,1x ∈恒成立， ∴12a x x≤-对任意(]0,1x ∈恒成立， 令()12g x x x=-，∴()min a g x ≤，易知()g x 在(]0,1单调递减， ∴()()min 11g x g ==-．∴1a ≤-．（III ）设切点为()(),M t f t ，()12f x x a x '=+-，切线的斜率12k t a t=+-， 又切线过原点()f t k t =，()12f t t a t t=+-， 即22ln 21t at t t at +-=+-， 所以2ln 10t t +-=，存在性：1t =满足方程21ln 0t t -+=，所以1t =是方程21ln 0t t -+=的解．唯一性：令()21ln g t t t =-+（0t >），此时()120g t t t'=+>，即()g t 在()0,+∞上单增，所以1t =是方程21ln 0t t -+=的唯一解．即切点的横坐标为1．20．解：函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()2ln 1a x x f x x a -++'=+． （I ）因为()10f =，()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1011y x a -=-+， 即()110x a y -+-=． （II ）当1a =时，()ln 1xf x x =+．欲证()12x f x -≤，即证ln 112x x x -≤+， 即证22ln 10x x -+≤．令()22ln 1h x x x =-+， 则()()()21122x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，()h x '，()h x 变化情况如下表：所以函数()h x 的最大值为()10h =，故()0h x ≤． 所以()12x f x -≤． （III ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()ln 1ag x x x=-++， 因为()2210a x ag x x x x +'=--=-<，所以()g x 在()0,+∞上单调递减． 注意到()110g a =+>． 且()11111ln 110a a a a a g e e a e e ++++⎛⎫=-++=-< ⎪⎝⎭．所以存在()11,a m e +∈，使得()0g m =．当()0,x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在()0,m 上单调递增； 当(),x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(),m +∞上单调递减． 故函数()f x 在定义域内不是单调函数．21．（I ）由211b c a =-，得112c -=，所以13c =±； 由322c a b =-，得223a -=，所以25a =±，又211133a b c b =-=-≥-，故25a =，18b =，18b =±． 所以1b ，1c 的所有可能值为18b =，13c =； 18b =，13c =-； 18b =-，13c =； 18b =-，13c =-．（II ）若11a =，12b =，记1c x =，则22a x =-，21b x =-，21c =-，22,011,121,2x x d x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，311a x =--，312b x =--，321c x x =---，当01x ≤<时，3a x =-，31b x =-，31c =，31d =，由32d d =，得1x =，不符合； 当12x ≤<时，32a x =-，31b x =-，332c x =-，32,1 1.51,1.52x x d x x -≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，由32d d =，得1x =，符合；当2x ≥时，32a x =-，33b x =-，31c =-，31,232,3x d x x ≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，由32d d =，得2x =，符合；综上，1c 的所有取值是2-，1，1，2．（III ）先证明“存在正整数3k ≥，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0”． 假设对任意正整数3k ≥，k a ，k b ，k c 都不为0，由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，得*1d ∈N ，*2d ∈N ． 若对任意3k ≥，k a ，k b ，k c 都不为0，则*k d ∈N ， 即对任意1k ≥，*k d ∈N ．当1k ≥时，{}1max ,k k k k k k a b c b c d +=-<≤， 1k k k k b c a d +=-<，1k k k k c a b d +=-<，所以，{}1111max ,,k k k k k d a b c d ++++=<． 所以，{}k d 严格单调递减， 由2d 为有限正整数，所以，必存在正整数3m ≥，使得0m d ≤，矛盾．所以，存在正整数3k ≥，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为0． 不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，，10k a -≠，则11k k b c --=，且111k k k b c a ---=≠， 否则，若111k k k b c a ---==，因为1110k k k a b c ---++=，则必有1110k k k a b c ---===，矛盾． 于是，110k k k b c a --=-≠，110k k k c a b --=-≠，且k k b c =-， 所以，10k a +=，1k k b c +=，1k k k c b c +=-=-，依次递推，即有：对n k ∀≥，0n a =，1n k b c +=，1n k c c +=-，且0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0． 综上，结论成立．。

北京八一学校 2020-2021 学年度第一学期十月月考试卷一、 选择题（本大题共 10 小题，共 40 分） 11、复数 1 在复平面上对应点的坐标是（ ）iA.（1,1）B .（-1,1）C.（-1，-1）D.（1，-1）2、已知复数 z (i a)i 且 z z ，那么实数 的值为（ ）a A.-1B.0C.1D.23、已知三条不同的直线 l ,m ,n 和两个不同的平面 , ，下列四个命题中正确的是（）l / / ,l则 则B. 若l / /m,m, l / / A.若, 则若l / / ,l / / ,/ /则 C.D.若m / / ,n / / , m / /n是 4、已知非零向量a,b ，则“ a / /b ” a+b=0 的（）A.充分而不必要条件 C.充分且必要条件B. 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件5、已知复数 z a i a R 其中（ ）,则下面结论正确的是（）A. B. z 1z z a iC. 一定不是纯虚数D.在复平面上 z 对应的点可能在第三象限6、在空间直角坐标系中，已知 A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), D(1,1, 2) ,若 S , S , S 分别123D ABC xoy , yoz , z ox 表示三棱锥 在 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A.S S S B.且 S S S S C.且S S S SD.且 SS S S12 3 1 2 3113 2 3 23 1 3 7、已知平行六面体 ， 60 AB C D A B C D 中，向量 AB AD, AA 两两的夹角均为 ，且 11 1 1 1A B =1，A D =2, A A =3 A C =1 ，则 等于（）1 1 A.5B .6C.4D.88、已知 ， z z C ,且 z +z =0 ，则必有（）2 2 1212A. B. C. D.z =z iz =z =02z =z1z = z1122129、已知向量 ， ， ，b c,c a 中最小的值是（a b c 满足a+b+c=0 ，且a b c ，则a b > > 2）2 2 A.a bB.b cC.c aD.不能确定10、已知正方体 、 AB C D A B C D 中的棱长为 2，M , N 分别是棱 BCC D 的中点，点 1 1 1 11 1P 在平面 A B C D 内，点 Q 在线段 A N 上，若PM1 1 1 11）3 55121 A.2 B.C. D.5二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）2i11、复数 ____________________ 1ib i (a ,b R) 12、在复平面上，若复数a 对应的点恰好落在实轴上，则 b =___________ 13、正方体D C AP AB C D A B C D 中的棱长为 1，若动点 P 在线段 B D 上运动，则 的，1 1 1 11取值范围是________________________________AB C D的一条棱长为 ，其余棱长均为 2，记四面体 AB C D 的表面积为 F(x)x14、四面体 则函数 F(x) 的定义域为__________________;最大值为________________________AB C A B C 中，点 M 是侧棱 AA 的中点，点 P ，Q15、如图，在棱长均为 2 的正三棱柱 1 1 11平面BC M B C C B 、底面 AB C 内的动点，且 A P / / 平面 BC M ，P Q 分别是侧面 ,则点1 11Q 的轨迹的长度为_______________________三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分）16、（本小题 8 分）如图， 矩形 、 PA ABC D 所在的平面，M N 分别是 AB 和 PC 的 中点.（I ）求证：M N 平面 / / PA D；CD（I I ）求证: M N 证明：(I )取 PD 的中点 E ，连结 EN,AE 在△PCD 中，因为 E ，N 分别为所在边的中点 所以___________①_____________1 1E N C D A B A M又 2 2所以四边形 A M N E 是平行四边形 所以_________③_________________ 平面PA D,M N 平面PA D 又 AE M N / /平面PA D 所以 (I I )要证 M NC D，由（I ）可知 CD只需证明 AE 只需证明C D平 面PA D只需证明___________④_________________, _____________⑤_______________,而由矩形 ，得________⑥_________________AB C D 平面AB C D,CD 平面AB C D 又 PA ,所以________⑦______________ 所以M N C D成立17、（本小题 9 分）c os x(2 3 s in x cos x) sin x 已知函数 f (x) 2 f (x ) （I ）求函数 的单调递增区间和最小正周期；（I I ）当 x 0, 时，若关于 的不等式恒成立，求实数m f (x) m x 2 的取值范围.18、（本小题 11 分） 已 知 四 棱 锥P AB C D , 底 面 AB C D 为 矩 形 ， 侧 棱 PA底面AB C D ， 其 中B C=2AB 2PA 6, M , N 为侧棱 PC 上的两个三等分点，如图所示：A N / /平面MB D （I ）求证： ；（I I ） 求异面直线 与 P D 所成角的余弦值； A N （I I I ）求二面角 的余弦值M B D C 19、（本小题 12 分）如图，平面 平面 AB C F F C D E ，四边形 AB C F F C D E 是全等的等腰梯形，其中 和 1BC FC 2 AB AB / /FC / /ED ， AB ,点O 为中点，点G 是 的中点.2（I ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面EG O 垂直，并 给出证明.（I I ） 求直线 E O 与平面 E G F 的正弦值;HB H / /平面E G O ？如果存在，求出 D H 的长度，如果不存在，请说明理由.三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分）16、（本小题 8 分）如图， 矩形 、 PA ABC D 所在的平面，M N 分别是 AB 和 PC 的 中点.（I ）求证：M N 平面 / / PA D；CD（I I ）求证: M N 证明：(I )取 PD 的中点 E ，连结 EN,AE 在△PCD 中，因为 E ，N 分别为所在边的中点 所以___________①_____________1 1E N C D A B A M又 2 2所以四边形 A M N E 是平行四边形 所以_________③_________________ 平面PA D,M N 平面PA D 又 AE M N / /平面PA D 所以 (I I )要证 M NC D，由（I ）可知 CD只需证明 AE 只需证明C D平 面PA D只需证明___________④_________________, _____________⑤_______________,而由矩形 ，得________⑥_________________AB C D 平面AB C D,CD 平面AB C D 又 PA ,所以________⑦______________ 所以M N C D成立17、（本小题 9 分）c os x(2 3 s in x cos x) sin x 已知函数 f (x) 2 f (x ) （I ）求函数 的单调递增区间和最小正周期；（I I ）当 x 0, 时，若关于 的不等式恒成立，求实数m f (x) m x 2 的取值范围.18、（本小题 11 分） 已 知 四 棱 锥P AB C D , 底 面 AB C D 为 矩 形 ， 侧 棱 PA底面AB C D ， 其 中B C=2AB 2PA 6, M , N 为侧棱 PC 上的两个三等分点，如图所示：A N / /平面MB D （I ）求证： ；（I I ） 求异面直线 与 P D 所成角的余弦值； A N （I I I ）求二面角 的余弦值M B D C 19、（本小题 12 分）如图，平面 平面 AB C F F C D E ，四边形 AB C F F C D E 是全等的等腰梯形，其中 和 1BC FC 2 AB AB / /FC / /ED ， AB ,点O 为中点，点G 是 的中点.2（I ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两个点所在直线与平面EG O 垂直，并 给出证明.（I I ） 求直线 E O 与平面 E G F 的正弦值;HB H / /平面E G O ？如果存在，求出 D H 的长度，如果不存在，请说明理由.。

2021-2022学年北京市八一学校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=()A. {−1,0,1}B. {0,1}C. {−1,1}D. {0,1,2}2.已知复数z满足z(1−i)=2i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≥1−1x，则￢p为()A. ∃x0∈(0,+∞),lnx0<1−1x0B. ∀x∈(0,+∞),lnx<1−1xC. ∃x0∈(0,+∞),lnx0≥1−1x0D. ∀x∉(0,+∞),lnx≥1−1x4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是()A. y=x3B. y=ln|x|C. y=2−xD. y=x2−2x5.已知a=ln3，b=log0.32，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为()A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b6.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点(√33,−√63)，则cos(π+α)=()A. −√33B. √33C. −√63D. √637.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)单调递增．若f(1)=1，则不等式−1<f(x−1)<1的解集为()A. (−1,1)B. (−2,2)C. (0,1)D. (0,2)8.已知函数f(x)=sinx和直线l：y=x+a，那么“a=0”是“直线l与曲线y=f(x)相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.先将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，若方程f(x)=g(x)有实根，则ω的值可以为()A. 12B. 1C. 2D. 410. 已知函数f(x)={2x −a,x >0,−x,x <0.若y =f(x)的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−1,+∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）11. 已知函数f(x)=log 2(x +a)，若f(2)=2，则a =______． 12. 函数y =x +4x−1(x >1)的最小值是______．13. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)满足f′(π4)=0,f(π−x)+f(x)=0，且f(x)在(π4,π2)内不存在零点，则函数f(x)的零点为______． 三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）14. 在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y = ； ②BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ．15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H(单位：m)，轮子旋转时间为t(单位：s).当t =0时，点P 在轮子的最高点处． ①当点P 第一次入水时，t = ；②当t =t 0时，函数H(t)的瞬时变化率取得最大值，则t 0的最小值是 ．四、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 已知函数f(x)=cosx(sinx +√3cosx)−√32，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)设α>0，若函数g(x)=f(x +α)为奇函数，求α的最小值．17.如图，△ABC中，已知点D在BC边上，满足AD⊥AC，cos∠BAC=−1，AB=3√2，3 BD=√3．(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．18.已知函数f(x)=e x(2x2−3x)．(Ⅰ)求不等式f(x)>0的解集；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值．19. 已知f(x)=sinx+cosxe x．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)求证曲线y =f(x)在(0,π2)上不存在斜率为−2的切线．20. 已知函数f(x)=lnxx+a (a >0)．(Ⅰ)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)当a =1时，证明：f(x)≤x−12；(Ⅲ)判断f(x)在定义域内是否为单调函数，并说明理由．21. 对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M.对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ={x|f M (x)⋅f N (x)=−1}.已知A ={2,4,6,8,10}，B ={1,2,4,8,16}． (Ⅰ)写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(P,Q)，满足P ，Q ⊆A ∪B ，且(P △A)△(Q △B)=A △B ？答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了两个集合的交集和一元二次不等式的解法，属基础题．求出B中的不等式，找出A与B的交集即可．【解答】解：因为A={−1,0,1,2}，B={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，所以A∩B={−1,0,1}，故选：A．2.【答案】B【解析】解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,1)，所在象限为第二象限．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：全称命题的否定是特称命题，命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≥1−1x，则￢p为：∃x0∈(0,+∞)，lnx0<1−1x．故选：A．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，注意量词的变换．【解析】解：y=x3为奇函数，不符合题意；由y=f(x)=ln|x|可得f(−x)=ln|−x|=f(x)，且x>0时f(x)=lnx单调递增，符合题意；y=2−x为非奇非偶函数，不符合题意；y=x2−2x为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．结合奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．5.【答案】C【解析】解：a=ln3>1，b=log0.32<0，c=0.30.2∈(0,1)，则a>c>b故选：C．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：∵平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点(√33,−√63)，∴cosα=√33，∴cos(π+α)=−cosα=−√33．故选：A．由已知利用任意角的三角函数的定义可求cosα的值，进而运用诱导公式化简求值即可得解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．【解析】解：因为定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)单调递增且f(1)=1，所以f(−1)=−1，则不等式−1<f(x−1)<1可转化为f(−1)<f(x−1)<f(1)，所以−1<x−1<1，解可得0<x<2，故选：D．由已知可把原不等式转化为f(−1)<f(x−1)<f(1)，结合单调性可求．本题主要考查函数单调性在求解不等式中的应用，属于基础试题．8.【答案】A【解析】解：a=0时，直线l与曲线y=f(x)相切；a=−2π时，直线l与曲线y=f(x)相切．因此“a=0”是“直线l与曲线y=f(x)相切”的充分不必要条件．故选：A．a=0时，直线l与曲线y=f(x)相切；a=−2π时，直线l与曲线y=f(x)相切．即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、直线与曲线相切的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：先将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度，可得y=sin(ωx+ωπ2)的图象；再向上平移2个单位长度后得到函数g(x)=sin(ωx +ωπ2)+2的图象，若方程f(x)=g(x)有实根，即sinωx =sin(ωx +ωπ2)+2能成立．当ω=12时，方程即sin x2=sin(x2+π4)+2， 即，即，因为，故方程无解，A 错误；当ω=1时，方程即sinx =sin(x +π2)+2=cosx +2， 即，该方程无解，B 错误；当ω=2时，方程即sin2x =sin(2x +π)+2=−sin2x +2，即sin2x =1， 当时，满足sin2x =1，C 正确；当ω=4时，方程即sin4x =sin(4x +2π)+2=sin4x +2，方程无解； 故选：C ．10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x −a,x >0,−x,x <0.当x <0时，f(x)=−x ，关于原点对称的函数为g(x)=−x ，(x >0)，若y =f(x)的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则函数f(x)=2x −a 与g(x)=−x 在区间(0,+∞)上有交点，即方程2x −a =−x 在区间(0,+∞)上有解， 对于2x −a =−x ，变形可得a =2x +x ，设ℎ(x)=2x +x ，x ∈(0,+∞)，其导数ℎ′(x)=2x ln2+1>0，ℎ(x)在区间(0,+∞)为增函数，则ℎ(x)>20+0=1，若方程2x −a =−x 在区间(0,+∞)上有解，必有a >1，即a 的取值范围为(1,+∞)， 故选：D ．根据题意，求出与f(x)=−x ，(x <0)关于原点对称函数解析式，分析可得函数f(x)=2x −a 与g(x)=−x 在区间(0,+∞)上有交点，方程2x −a =−x 在区间(0,+∞)上有解，设ℎ(x)=2x +x ，分析其值域，即可得a 的取值范围．本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．11.【答案】2【解析】解：∵函数f(x)=log2(x+a)，f(2)=2，∴f(2)=log2(2+a)=2，∴2+a=4，解得a=2．故答案为：2．推导出f(2)=log2(2+a)=2，从而2+a=4，由此能求出a．本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】5【解析】解：∵x>1，∴x−1>0．∴函数y=x+4x−1=(x−1)+4x−1+1≥2√(x−1)⋅4x−1+1=5，当且仅当x−1=2，即x=3时取等号．故答案为：5．变形利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．13.【答案】nπ2,n∈Z【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)满足f′(π4)=0，则x=π4为函数f(x)的极值点，即x=π4为函数f(x)的对称轴方程，又f(π−x)+f(x)=0，则(π2,0)为函数f(x)的对称中心，又f(x)在(π4,π2)内不存在零点，所以T4=π2−π4=π4，故函数f(x)的周期为π，则ω=2ππ=2，所以f(x)=sin(2x +φ)，则2×π4+φ=kπ,k ∈Z ，解得φ=kπ，k ∈Z ， 所以f(x)=sin(2x +kπ)，k ∈Z ， 令f(x)=0，则2x +kπ=k′π，解得x =(k′−k)2π，k′，k ∈Z ，所以函数f(x)的零点为nπ2,n ∈Z ． 故答案为：nπ2,n ∈Z ．利用极值点得到函数f(x)的对称轴，由已知的恒等式得到f(x)的对称中心，结合题意求出函数的周期，得到ω的值，利用对称轴方程求出φ的值，从而得到函数f(x)的解析式，再令f(x)=0，求解即可．本题考查了三角函数的周期性与对称性，函数零点的求解，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解)，属于中档题．14.【答案】341【解析】解：①∵M 是BC 的中点，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵D 是AM 的中点，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =12，y =14，故x +y =34．②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM =1，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⋅BM ⋅cos∠DBM =BM 2=1． 故答案为：34；1．①用BA⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出x ，y 的值即可求出x +y ； ②根据平面向量数量积的定义计算．本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于基础题．15.【答案】2π33π2【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示；由题意可得，点P的运动轨迹方程为：y=3sin(ωt+π2)=3cosωt=3cost；令3cost=−1.5，解得cost=−12，所以t=2π3+2kπ，k∈Z；当k=0时，t=2π3；所以点P第一次入水时，t=2π3．点P到船底的距离为：H(t)=3cost+4，求导数为H′(t)=−3sint，函数H(t)的瞬时变化率取得最大值时，t=3π2+2kπ，k∈Z，t0的最小值是3π2．故答案为：2π3，3π2．建立平面直角坐标系，写出点P的运动轨迹方程，由此求出点P第一次入水时t的值．写出点P到船底的距离关系式H(t)，利用导数H′(t)求出函数H(t)的瞬时变化率取得最大值时t0的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数模型应用问题，是中档题．16.【答案】(Ⅰ)解：f(x)=cosx(sinx+√3cosx)−√32=sinxcosx+√32(2cos2x−1)=1 2sin2x+√32cos2x=sin(2x+π3)，所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．(Ⅱ)解：由题意，得g(x)=f(x+α)=sin(2x+2α+π3)，因为函数g(x)为奇函数，且x∈R，所以g(0)=0，即sin(2α+π3)=0，所以2α+π3=kπ，k∈Z，解得α=kπ2−π6，k∈Z，验证知其符合题意．又因为α>0，所以α的最小值为π3．【解析】(Ⅰ)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f(x)的单调递增区间．(Ⅱ)由题意可得g(0)=0，即sin(2α+π3)=0，由此求得α的最小正值．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵AD⊥AC，∴cos∠BAC=cos(π2+∠BAD)=−sin∠BAD=−13，∵sin∠BAC=13，∴cos∠BAD=2√23，在△ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠BAD，可得3=18+AD2−2×3√2×AD×2√23，即AD2−8AD+15=0，解之得AD=5或AD=3，由于AB>AD，∴AD=3．(2)∵△ABD中，AB=3√2，BD=√3，AD=3，∴cosB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD =2×3√2×√3=√63，可得sinB=√1−cos2B=√33，∴cos∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD =2×3×√3=−√33=cos(∠C+π2)=−sinC，∴sinC=√33，∵由正弦定理ABsinC =BCsin∠BAC，可得√2√33=2√23，解得BC=4√3，∴S△ABC=12AB⋅BC⋅sinB=12×3√2×4√3×√33=6√2．【解析】(1)由已知可求sin∠BAC=13，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理可知AD2−8AD+15=0，即可解得AD的值．(2)由已知利用余弦定理可求cosB=√63，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据余弦定理可求sinC的值，由正弦定理解得BC的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由于e x>0恒成立，故题中的不等式即2x2−3x>0，即x(2x−3)>0，据此可得不等式的解集为：{x|x<0或x>32}.(Ⅱ)由函数的解析式可得：f′(x)=e x(2x2+x−3)，当x∈[0,1]时，f’(x)<0，f(x)单调递减，当x∈[1,2]时，f’(x)>0，f(x)单调递增，且：f(0)=e0×0=0，f(1)=e1×(−1)=−e，f(2)=e2×2=2e2，故函数的最大值为2e2，最小值为−e．【解析】(Ⅰ)由题意结合指数函数的性质将原问题转化为求解二次不等式的问题，然后求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先利用导函数研究函数的单调性，然后结合函数的单调性和区间端点处的函数值即可求得函数的最大值和函数的最小值．本题主要考查不等式的解法，利用导数求函数最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sinx+cosxe x 的导数为cosx−sinx−(sinx+cosx)e x=−2sinxe x，令f′(x)>0，即sinx<0，可得2kπ+π<x<2kπ+2π，k∈Z；令f′(x)<0，即sinx>0，可得2kπ<x<2kπ+π，k∈Z；所以f(x)的单调递增区间为(2kπ+π,2kπ+2π)，k∈Z；单调递减区间为(2kπ,2kπ+π)，k∈Z；(Ⅱ)证明：原命题等价为在区间(0,π2)上方程−2sinxe x=−2无解．令g(x)=sinxe x ，则g′(x)=cosx−sinxe x=√2cos(x+π4)e x，当x∈(0,π4)时，g′(x)>0，g(x)递增；当x∈(π4,π2)时，g′(x)<0，g(x)递减．所以g(x)的单调递增区间为(0,π4)，单调递减区间为(π4,π2).则g(x)的最大值为g(π4)=√22e−π4<1，所以曲线y=f(x)在(0,π2)上不存在斜率为−2的切线．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，结合正弦函数的图象，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(Ⅱ)原命题等价为在区间(0,π2)上方程−2sinxe x=−2无解．设g(x)=sinxe x，求得导数和单调性，可得最值，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=−lnx+ax+1(x+a)2，(Ⅰ)因为f(1)=0，f′(1)=1a+1，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−0=1a+1(x−1)，即x−(a+1)y−1=0；(Ⅱ)证明：当a=1时，f(x)=lnxx+1．欲证f(x)≤x−12，即证lnxx+1≤x−12，即证2lnx−x2+1≤0．令ℎ(x)=2lnx−x2+1，则ℎ′(x)=2x −2x=−2(x−1)(x+1)x．当x变化时，ℎ′(x)，ℎ(x)变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的最大值为ℎ(1)=0，故ℎ(x)≤0．所以f(x)≤x−12；(Ⅲ)函数f(x)在定义域内不是单调函数．理由如下：令g(x)=−lnx+ax+1，因为g′(x)=−1x −ax2=−x+ax2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．注意到g(1)=a+1>0．且g(e a+1)=−lne a+1+ae a+1+1=a(1e a+1−1)<0．所以存在m∈(1,e a+1)，使得g(m)=0．当x∈(0,m)时，g(x)>0，从而f′(x)>0，所以函数f(x)在(0,m)上单调递增；当x∈(m,+∞)时，g(x)<0，从而f′(x)<0，所以函数f(x)在(m,+∞)上单调递减．故函数f(x)在定义域内不是单调函数．【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)代入a的值，问题转化为证明2lnx−x2+1≤0.令ℎ(x)=2lnx−x2+1，根据函数的单调性证明即可；(Ⅲ)令g(x)=−lnx+ax+1，求出函数的导数，判断函数是否单调即可．21.【答案】解：(Ⅰ)结合所给定义知，f A(1)=1，f B(1)=−1，A△B={1,6,10,16}．(Ⅱ)根据题意可知：对于集合C，X，①若a∈C且a∉X，则Card(C△(X∪{a})=Card(C△X)−1；②若a∉C且a∉X，则Card(C△(X∪{a})=Card(C△X)+1．所以要使Card(X△A)+Card(X△B)的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响Card(X△A)+Card(X△B)的值，但集合X不能含有A∪B 之外的元素．所以当X为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．所以Card(X△A)+Card(X△B)的最小值(Ⅲ)因为A△B={x|f A(x)⋅f B(x)=−1}，所以A△B=B△A．由定义可知：f A△B(x)=f A(x)⋅f B(x)．所以对任意元素x，f(A△B)△C(x)=f A△B(x)⋅f C(x)=f A(x)⋅f B(x)⋅f C(x)，f A△(B△C)(x)=f A(x)⋅f B△C(x)=f A(x)⋅f B(x)⋅f C(x)．所以f(A△B)△C(x)=f A△(B△C)(x)．所以(A△B)△C=A△(B△C)．由(P△A)△(Q△B)=A△B知：(P△Q)△(A△B)=A△B．所以(P△Q)△(A△B)△(A△B)=(A△B)△(A△B)．所以P△Q△⌀=⌀．所以P△Q=⌀，即P=Q．因为P，Q⊆A∪B，所以满足题意的集合对(P,Q)的个数为27=128．【解析】(Ⅰ)根据定义直接得答案；(Ⅱ)对于已知集合E、F，①若a∈E且a∉F，则Card(E△(F∪{a})=Card(E△F)−1；②若a∉E且a∉F，则Card(E△(F∪{a})=Card(E△F)+1，据此结论找出满足条件的集合，从而求出Card(X△A)+Card(X△B)的最小值．(Ⅲ)由P，Q⊆A∪B，且(P△A)△(Q△B)=A△B求出集合P，Q所满足的条件，进而确定集合对(P,Q)的个数．该题是一道与集合相关的信息题，难度较大，高考中很少出现．。

2023届高三10月测试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|22}A x x =-<，{|11}B x x =-< ，则（）A.A B A= B.B ⊆R Að C.R A B =∅ð D.R A B ⋃=Rð2.若复数()i 1i z =+，则2z =（）A.2- B.2C.2i- D.2i3.在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A.15B.15- C.30D.30-4.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（）A.等腰梯形B.非矩形的平行四边形C.正五边形D.正六边形5.已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为（）A.9B.10C.11D.126.已知函数()()πsin 0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，π6x =是()f x 的一个极值点，π6x =-是与其相邻的一个零点，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A.0B.1C.1-D.227.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x >的解集是（）A.()0,1 B.()()1,22,⋃+∞ C.()1,2 D.()2,+∞8.过抛物线C ：26y x =的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E ：()22210xy a a-=>所截得线段长度为，则双曲线的离心率为（）A.B.512+ C.72D.9.已知数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则λ的取值范围是（）A.()1,2 B.51,4⎛⎫⎪⎝⎭ C.51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭10.如图，已知1OA OB == ，OC = 4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB =+，则mn等于A.57 B.75C.37D.73第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.12.若函数()()cos sin f x x x ϕ=++的最大值为2，则ϕ的一个可能的取值为___________.13.若直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b -=__________．14.若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N，则2021a的值为__________．15.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛，至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中x ，y ，z 是三个互不相等的正整数．在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分．（1）甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为________；（用x ，y ，z 表示）；（2）若在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则下列正确的序号为________．①甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛②x ，y ，z 这三个数中的最大值可以取到21③在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二④在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，1cos 7C =，8c =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）b 的值；（2）角A 的大小和ABC 的面积.条件①：7a =；条件②：11cos 14B =.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面,1ABCD PO =．在底面ABCD 中，//,,1,2BC AD CD AD BC CD AD ⊥===．（1）求证：//AB 平面POC ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(，且离心率为12．设A ，B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP ，BP 分别与直线:4l x =相交于M ，N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值；（3）判断三点A ，H ，N 是否共线：并证明你的结论．20.已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.21.设m 为正整数，若无穷数列{}n a 满足(1,2,,;1,2,)ik i ik a a i i m k +=+== ，则称{}n a 为m P 数列.（1）数列{}n 是否为1P 数列？说明理由；（2）已知,,,,n s n a t n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中,s t 为常数.若数列{}n a 为2P 数列，求,s t ；（3）已知3P 数列{}n a 满足10a <，82a =，666(1,2,)k k a a k +<= ，求n a .2023届高三10月测试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|22}A x x =-<，{|11}B x x =-< ，则（）A.A B A =B.B ⊆R A ðC.R A B =∅ð D.R A B ⋃=RðD【分析】根据集合的运算法则判断各选项．【详解】由题意1{|1}A B x x =-<≤ ，A 错；{|2R A x x =≤-ð或2}x >，B 错；{|1B x x =≤-R ð或1}x >，{|21R A B x x =-<≤- ð或12}x <≤，C 错；R A B R ⋃=ð，D 正确．故选：D ．2.若复数()i 1i z =+，则2z =（）A.2-B.2C.2i- D.2iC【分析】结合复数乘法公式直接求解.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，所以22i z =-.故选：C3.在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A.15B.15- C.30D.30-A【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.【详解】()663166211rr rr r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，得2r =，所以常数项是()2236115T C =-=.故选：A4.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（）A.等腰梯形B.非矩形的平行四边形C.正五边形D.正六边形C【分析】在正方体中依次分析，经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，其他情况都可构造例子.【详解】画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A 正确；在正方体1111ABCD A B C D 中，作截面EFGH （如图所示）交11C D ，11AB ，AB ，CD 分别于点E ，F ，G ，H ，根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH 中，//EF HG ，且//EH FG ，故四边形EFGH 是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B 正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C 错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D 正确．故选：C5.已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为（）A.9 B.10C.11D.12C【分析】根据圆的性质，求得轨迹方程，由点与圆的位置关系，可得答案.【详解】由题意，圆心的轨迹方程为()()22341x x -+-=，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为111=.故选：C.6.已知函数()()πsin 0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，π6x =是()f x 的一个极值点，π6x =-是与其相邻的一个零点，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A.0B.1C.1-D.22D【分析】根据题中条件求出ω的值，结合θ的取值范围可求得θ的值，可得出函数()f x 的解析式，然后代值计算可得π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期为π4π4263T =⨯⨯=，2π32T ω∴==，()3sin 2x f x θ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，因为π6x =是()f x 的一个极值点，则()3πππZ 262k k θ⨯+=+∈，则()ππZ 4k k θ=+∈，因为π2θ<，π4θ∴=，则()3πsin 24x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此，ππππsin cos 32442f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.7.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x >的解集是（）A.()0,1B.()()1,22,⋃+∞C.()1,2 D.()2,+∞C【分析】利用导数可求得()f x 单调性，结合()()120f f ==可得不等式的解集.【详解】()f x 定义域为()0,∞+，()11ln 21ln 2ln 2x f x x x -'=-=，∴当10,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当1,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x \在10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；又()()120f f ==，且112ln 2<<，()0f x ∴>的解集为()1,2.故选：C8.过抛物线C ：26y x =的焦点且垂直于x 轴的直线被双曲线E ：()22210xy a a-=>所截得线段长度为，则双曲线的离心率为（）A.B.512+C.2D.213D【分析】根据题意，代入32x =，求得弦长=即可求得a ，再由基本量的计算即可得解.【详解】抛物线C ：26y x =的焦点为3(,0)2，令32x =，可得y =所以=，32a =，由1b =，所以2c ==，所以7212332c e a ===.故选：D9.已知数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则λ的取值范围是（）A.()1,2 B.51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D【分析】根据数列{}n a 是递增数列，列出符合条件的不等式组，求出λ的取值范围即可.【详解】数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则5410314(1)5(3)5λλλλ-->⎧⎪->⎨⎪-+≤-+⎩，解得715λ<<，故λ的取值范围是71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D10.如图，已知1OA OB ==，OC = 4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB =+，则mn等于A.57 B.75C.37D.73A【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C 的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB == ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A（1，0），B（3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tanθ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cosθ=210，sin θ=7210,又OC =，∴C（1755，），∵OC mOA nOB =+ ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ）即15=m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =，故选A ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.12.若函数()()cos sin f x x x ϕ=++的最大值为2，则ϕ的一个可能的取值为___________.2π-（答案不唯一）【分析】化简可得出()()cos cos 1sin sin f x x x ϕϕ=+-，可得出()max2f x ==，求出sin ϕ的值，即可得解.【详解】因为()()cos cos sin sin sin cos cos 1sin sin f x x x x x x ϕϕϕϕ=-+=+-，故()max 2f x ===，可得sin 1ϕ=-.故()2Z 2k k πϕπ=-∈.故答案为：2π-（答案不唯一）.13.若直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b -=__________．2【分析】由条件可得直线y x a =+和直线y x b =+间的距离为，由此可求a b -的值.【详解】设直线y x a =+和圆()()22111x y -+-=相交与点,A B ，直线y x b =+与圆()()22111x y -+-=相交于点,M N ，圆心为C ，因为直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，且2ACB MCN π∠=∠=,所以ACB △为等腰直角三角形，所以圆心为C 到直线y x a =+的距离为22，同理可得圆心为C 到直线y x b =+的距离为2，故直线y x a =+和直线y x b =+间的距离为，=，所以2a b -=，故答案为：2.14.若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．3-【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a .【详解】解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-，354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴数列{}n a 为周期数列，且周期6T =，又202163365=⨯+，∴202153a a ==-．故答案为：-3.15.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛，至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中x ，y ，z 是三个互不相等的正整数．在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分．（1）甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为________；（用x ，y ，z 表示）；（2）若在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则下列正确的序号为________．①甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛②x ，y ，z 这三个数中的最大值可以取到21③在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二④在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二①.87x y z ++②.④【分析】（1）甲乙丙三人总分为87，即可求得甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数；（2）不妨设x y z >>，由472416293x y z ++++==，利用排除法即可判断①；再由甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，依次判断②③④.【详解】（1）甲乙丙三人总分为47241687++=，又每科竞赛中，甲乙丙三人中都有学生的分数为x ，y ，z ，故甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为87x y z++（2）不妨设x y z >>，由题意可得472416293x y z ++++==，对于①，假设甲乙丙只参加了三门竞赛，当20,7,2x y z ===时，若甲：2020747++=，乙：202224++=，丙：77216++=，此时符合题意，故①错误；对于②，若21x =，有8y z +=，丙的分数无法满足；因为2116>，且x ，y ，z 是正整数，16不能整除3，必有216y z +=，但由于8y z +=，则2()16y z +=与216y z +=矛盾，故②错误；对于③④，当20,7,2x y z ===时，对于甲有2020747++=，对于乙有202224++=，对于丙有77216++=，由于甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，所以甲乙丙的数学成绩分为7,20,2，物理成绩分别为20,2,7，所以甲学生的物理竞赛成绩是第一，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二，故③错误，④正确；故答案为：87x y z++，④【点睛】关键点点睛：本题考查了合情推理的应用，主要考查了逻辑推理能力，正确理解题意是解题的关键，属于较难题.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，1cos 7C =，8c =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）b 的值；（2）角A 的大小和ABC 的面积.条件①：7a =；条件②：11cos 14B =.（1）5b =（2）3A π=，ABC S = 【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得b ，若选②，先由同角三角函数的关系求出sin ,sin B C ，然后由正弦定理可求出b ，（2）若选①，先求出sin C ，再利用正弦定理可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于cos cos()A B C =-+，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，【小问1详解】选择条件①因为1cos 7C =，8c =，7a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得216449147b b =+-⨯，化简得22150b b --=，解得5b =或3b =-（舍）.所以5b =；选择条件②因为11cos 14B =，0B π<<，所以53sin 14B ==，因为1cos 7C =，0C π<<，所以43sin 7C ===，由正弦定理得sin sin b c B C =5343147=解得5b =；【小问2详解】选择条件①因为1cos 7C =，0C π<<，所以43sin 7C ===.由正弦定理sin sin a c A C =，得7sin 437A =，所以3sin 2A =，因为c a >，所以C A >，所以A 为锐角，所以3A π=，所以1143sin 75227ABC S ab C ==⨯⨯⨯= ，选择条件②由（1）知53sin 14B =，43sin 7C =，又因为11cos 14B =，1cos 7C =，在ABC 中，()A B C π=-+，所以cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C=-+=-+111534311471472=-⨯+⨯=因为0A π<<所以3A π=，所以113sin 58222ABC S bc A ==�△17.如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面,1ABCD PO =．在底面ABCD 中，//,,1,2BC AD CD AD BC CD AD ⊥===．（1）求证：//AB 平面POC ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．（1）证明见解析；（2）33．【分析】（1）证明//AB OC 后可证线面平行；（2）以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）由题意BC OA =，又//BC OA ，所以BCOA 是平行四边形，所以//AB OC ，又AB ⊄平面POC ，OC ⊂平面POC ，所以//AB 平面POC ；（2）,//BC OD BC OD =，所以BCDO 是平行四边形，所以//OB DC ，OB CD =，而CD AD ⊥，所以OB AD ⊥，以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)B ，(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，(1,1,0)AB = ，(0,1,1)= AP ，设平面ABP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则00n AB x y n AP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩ ，取1x =，则1,1y z =-=，即(1,1,1)n =- ，易知平面APD 的一个法向量是(1,0,0)m = ，所以13cos ,313m n m n m n ⋅<>===⨯ ，所以二面角B AP D --的余弦值为33．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）（1）0.4（2）75（3）丙【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A 1,乙获得优秀为事件A 2，丙获得优秀为事件A 31233(0)()0.60.50.520P X P A A A ===⨯⨯=，123123123(1)()()()P X P A A A P A A A P A A ==++80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，123123123(2)()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1232(3)()0.40.50.520P X P A A A ===⨯⨯=.∴X 的分布列为X0123P 320820720220∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(，且离心率为12．设A ，B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP ，BP 分别与直线:4l x =相交于M ，N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值；（3）判断三点A ，H ，N 是否共线：并证明你的结论．（1）22143x y +=（2）定值为34-，证明见解析.（3）三点A ，H ，N 共线，证明见解析.【分析】（1）首先根据题意得到22212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.（2）设00(,)P x y ，()2,0A -，()2,0B ，再计算AP BP k k ⋅即可.（3）分别计算AH k 和AN k ，根据AN AH k k =，A 为公共点，即可证明A ，H ，N 三点共线.【小问1详解】由题知：2222121b a c b a c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，所以椭圆C ：22143x y +=.【小问2详解】由题知：AP k ，BP k 存在，且不为零，设00(,)P x y ，()2,0A -，()2,0B ，则2200143x y +=，即()200344x y -=.()202000220000343422444AP BP x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---.所以直线AP 与BP 的斜率之积为定值34-.【小问3详解】A ，H ，N 三点共线，证明如下：设直线AP ：()2y k x =+，则直线BP ：()324=--y x k，将4x =代入直线AP ，BP 得：()4,6M k ，34,2N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，6342BM k k k ==-，设直线HM ：()32y k x =-，联立()()22222211124848404332x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩，设()11,H x y ，则2124842121k x k -=+，解得212242121k x k -=+，所以()1121232121k y k x k -=-=+，即22224212,121121k k H k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以31264AN k k k-==-，22212112124242121AH kk k k k k -+==--++，所以AN AH k k =，A 为公共点，所以A ，H ，N 三点共线.20.已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.（1）()f x 有极小值(0)0f =，无极大值；（2）(],e 2-∞-【分析】（1）求出函数的导数，判断出函数的单调性，即可求出极值；（2）由题可得2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，易得0x =时满足，当0x >时，e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成立，构造函数e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出导数，判断()g x 的单调性，得出min ()e 2g x =-，即可求出a 的取值范围．【详解】（1）当1a =时，()e 1x f x x =--，所以()e 1x f x '=-，当0x <时()0f x '<；当0x >时()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以当0x =时函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值.（2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，当0x =时00≥恒成立，此时R a ∈，当0x >时e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成，令e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则2222(1)e (1)e (1)1()xx x x x x g x x x x ⎡⎤--+⎛⎫--⎣⎦'=-= ⎪⎝⎭，由（1）知0x >时()(0)0f x f >=，即e (1)0x x -+>，当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '>，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min ()e 2g x =-，所以e 2a ≤-，综上可知，实数a 的取值范围是(],e 2-∞-.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.21.设m 为正整数，若无穷数列{}n a 满足(1,2,,;1,2,)ik i ik a a i i m k +=+== ，则称{}n a 为m P 数列.（1）数列{}n 是否为1P 数列？说明理由；（2）已知,,,,n s n a t n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中,s t 为常数.若数列{}n a 为2P 数列，求,s t ；（3）已知3P 数列{}n a 满足10a <，82a =，666(1,2,)k k a a k +<= ，求n a .（1）是1P 数列，理由见解析；（2）1,0t s =-=；（3）6n a n =-.【分析】(1)根据1P 数列的性质判断即可；(2)根据2P 数列的性质，求出123,,a a a 即可；(3)根据3P 数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可.【小问1详解】∵()()11111(1)11n n n a a n a ⨯-+⨯-==-+=+()2n ≥，∴()()111111n n a a ⨯-+⨯-=+，符合1P 的定义，故数列n a n =是1P 数列；【小问2详解】依题意，2a t =，13a a s ==，因为n a 是2P 数列，2111111a a a t t ⨯+==+=+=，1t ∴=-，3121211a a a t s ⨯+==+=+=，0s ∴=；【小问3详解】∵n a 是3P 数列，817171a a a ⨯+∴==+，823262a a a ⨯+==+，76122a a ∴+=+=…①，9181813a a a ⨯+==+=，9323633a a a ⨯+==+=…②由①②得670,1a a ==，∴猜想n a 是首项为-5，公差为1的等差数列，即6n a n =-，检验：111611k k k a a k a ⨯++==-+=+，∴是1P 数列；222222262622k k k a a k k a ⨯++==+-=-+=+，∴是2P 数列；3333363633k k a k k a +=+-=-+=+，∴是3P 数列，并且66666,6666k k a k a k k +=-=+-=，（1,2,3,k = ），∴666k k a a +＜，150a =-＜符合题意，故6n a n =-，综上，n a n =是1P 数列，1t =-，0s =，6n a n =-.。

北京市八一学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =I A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 2．已知命题p ：(0,)x ∀∈+∞，1ln 1x x ≥-，则p ⌝为（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，001ln 1x x <-B ．(0,)x ∀∈+∞，1ln 1x x <-C ．0(0,)x ∃∈+∞，001ln 1x x ≥-D ．(0,)x ∀∉+∞，1ln 1x x≥- 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．ln ||y x =C ．2x y -=D ．22y x x =-4．已知ln3a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则()cos πα+=（ ）A．BC． D6．已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞单调递增．若(1)1f =，则不等式1(1)1f x -<-<的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(2,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)7．已知函数()sin f x x =和直线:l y x a =+，那么“0a =”是“直线l 与曲线()y f x = 相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617）发明的对数及对数表（部分对数表如下表所示），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．因为)10342102410,10⎡=∈⎣，所以102的位数为4（一个自然数数位的个数，叫做位数），已知30M 是24位数，则正整数M 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．89．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．410．已知函数2,0,(),0.x a x f x x x ⎧->=⎨-<⎩若()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞二、填空题11．已知函数2()log ()f x x a =+，若(2)2f =，则a =．12．函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为． 13．曲线e x y =在0x =处的切线恰好是曲线()ln y x a =+的切线，则实数a =.14．已知函数()()sin f x x ωϕ=+满足π04f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()()0πf x f x -+=，且f (x )在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内不存在零点，则函数f (x )的零点为．15．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P ， 点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）. 当0t =时，点P 在轮子的最高点处.①当点P 第一次入水时，t =；②当t t =0时，函数()H t 的瞬时变化率取得最大值，则0t 的最小值是.三、解答题16．已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值．17．已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()()6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知函数()()23ln 132f x ax x a x =-+-，其中a ∈R ．(1)若12x =是函数()f x 的极值点，求a 的值； (2)若0a <，讨论函数()f x 的单调性．19．已知函数()sin cos f x x x a x x =++，a ∈R ．(1)若曲线()y f x =在点ππ,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与1y x =-+平行，求a 的值； (2)当2a =时，求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； (3)当2a >时，若方程()30f x -=在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一解，求a 的取值范围． 20．已知函数()()()22ln 1f x x x x ax ⎡⎤=+++⎣⎦．(1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)当0a ≥时，求证：函数()f x 存在极小值；(3)请直接写出函数()f x 的零点个数.21．对于集合M ，定义函数()1,,1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合,M N ，定义集合 (1)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；(2)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()ΔΔCard X A Card X B +的最小值；(3)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B 腿，且()()ΔΔΔΔP A Q B A B =？。

2021-2022学年北京市八一学校高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共18小题，共82.0分）1.已知m，n是互不垂直的异面直线，平面α，β分别经过直线m，n，则下列关系中不可能成立的是()A. m//βB. α//βC. m⊥βD. α⊥β2.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是()A. 直线B1C与直线AC所成的角为60°B. 直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C. 直线B1C与直线AD1所成的角为90°D. 直线B1C与直线AB所成的角为90°3.已知直线l1：ax+4y−2=0与直线l2：2x−5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值为()A. −4B. 20C. 0D. 244.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A−BCD，则四面体A−BCD的外接球的表面积为()A. 25πB. 50πC. 5πD. 10π5.如图，已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A. √32B. √52C. √105D. √10106.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为()A. √22B. √55C. 2√55D. 3√557.已知点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等，且l过点(3,−1)，则直线l的方程为()A. x+4y+1=0或x=3B. x+4y−1=0或x=3C. x+4y+1=0D. x+4y−1=08.若直线l：y=kx−√3与直线x+y−3=0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是()A. {θ|0<θ<60°}B. {θ|30°<θ<60°}C. {θ|30°<θ<90°}D. {θ|60°<θ<90°}9.若直线l1：y=kx−k+1与直线l2关于点(3,3)对称，则直线l2一定过定点()A. (3,1)B. (2,1)C. (5,5)D. (0,1)10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，A1C1与B1D1相交于点N，P是底面ABCD内(含边界)的动点，总有A1P⊥MN，则动点P的轨迹的长度为()A. 2B. √5C. 2√2D. 311.已知全集U={1,2，3，4，5}，集合A={1,3，5}，则∁U A=()A. {2,4}B. {1,3，5}C. {1,2，3，4，5}D. ⌀12.命题“∀x∈R，x2+x+1>0”的否定为()A. ∀x∈R，x2+x+1≤0B. ∃x∈R，x2+x+1≤0C. ∃x∈R，x2+x+1<0D. ∃x∈R，x2+x+1>013.设集合A={x∈Z|x2≤4}，B={1,2，a}，且A⊇B，则实数a的取值集合为()A. {−2,−1,0}B. {−2,−1}C. {−1,0}D. {−2,−1,1}14.对于实数x，“x<0”是“x<1”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15.如果一元二次方程2x2+px+q=0的解集为{−1,2}，那么二次三项式2x2+px+q可分解为()A. (x+1)(x−2)B. (2x+1)(x−2)C. (x−1)(x+2)D. 2(x+1)(x−2)16.2019年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为()A. 7B. 8C. 10D. 1217.设集合M={x|x=k2+14,k∈Z}，N={x|x=k4+12,k∈Z}，则()A. M=NB. M⫋NC. N⫋MD. M∩N=⌀18.用d(A)表示集合A中的元素个数，若集合A={x|(x2−ax)(x2−ax+1)=0}，B={0,1}，且|d(A)−d(B)|=1.设实数a的所有可能取值构成集合M，则d(M)=()A. 3B. 2C. 1D. 4二、单空题（本大题共9小题，共44.0分）19.m变化时，两平行线3x−4y+m−1=0和3x−4y+m2=0之间距离的最小值等于______．20.若直线ax−y+2=0与以点A(1,−2)，B(4,1)为端点的线段相交，则a的取值范围是______．21.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．______(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．______(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．______(4)两异面直线夹角的范围是(0,π2]，直线与平面所成角的范围是[0,π2]，二面角的范围是[0,π]．______(5)若二面角α−a−β的两个半平面α，β的法向量n1⃗⃗⃗⃗ ，n2⃗⃗⃗⃗ 所成角为θ，则二面角α−a−β的大小是π−θ．______22.如图，二面角α−l−β的大小是60°，线段AB⊂α.B∈l，AB与l所成的角为30°.则AB与平面β所成的角的正弦值是______．23.设U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，(∁U A)∩B={2,3，7}，(∁U B)∩A={1,8}，(∁U A)∩(∁U B)={4,6}，则集合A=______，B=______．24.若集合A={x|ax2−3x+1=0}中只含有一个元素，则a值为______；若A的真子集个数是3个，则a的范围是______．25.二元二次方程x2−2xy−8y2=0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是______，______．26.已知一元二次方程x2+3x−1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2______；|x1−x2|______．27.已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程12x2+√bx+c−12a=0的解集中只有一个元素，方程3cx+2b=2a的根为x=0，则△ABC的形状为______；若a，b 为关于x2+mx−3m=0的两个实数根，则实数m的值______．三、多空题（本大题共1小题，共6.0分）28.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2−4k+m=0的两根，若l1⊥l2，则m=(1)；若l1//l2，则m=(2)．四、解答题（本大题共8小题，共84.0分）29.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,2)，B(4,3)，C(−1,−2)．(1)在△ABC中，求BC边上的高线所在的直线方程；(2)求△ABC的面积．30.已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点．(1)证明：平面PED⊥平面PAB；(2)求二面角P−AB−F的平面角的余弦值．31.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点P为侧棱CC1上的一点，且AA1=3AB=3．(Ⅰ)若点P为CC1的中点，求证：AC1//平面PBD；(Ⅱ)若PCCC1=13，求直线A1P与平面PBD所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角B−PD−C的余弦值为23，求PC的长．32.已知U=R，且A={x|−4<x<4}，B={x|x≤1或x≥3}.求：(Ⅰ)A∩B；(Ⅱ)A∪B；(Ⅲ)(∁U A)∩B．33.设集合A={x|x2−3x+2=0}，B={x|x2+(a−1)x+a2−5=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．34.已知p：−2≤x≤10，q：1−m≤x≤1+m，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．35.已知命题p：∃x∈R，使mx2−4x+2=0为假命题．(Ⅰ)求实数m的取值集合B；(Ⅱ)设A={x|3a<x<a+2}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．36.以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质：(1)P中的元素有正整数，也有负整数；(2)x，y∈P，则x+y∈P．(Ⅰ)若x∈P，求证：3x∈P；(Ⅱ)求证：0∈P；(Ⅲ)判断集合P是有限集还是无限集？请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：若m⊥β，则m垂直于面β内的任意一条直线，则m⊥n，与已知条件矛盾故选：C．结合点线面位置关系的判定定理和性质定理，和必要的空间模型，可得答案本题考察直线、平面的位置关系，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理与性质定理，有较好的空间想象力2.【答案】B【解析】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1=60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1=B1C=CD1=AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC=√63BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ=OCB1C =√63BC√2BC=√33≠12，故选项B错误；连接BC1，∵AD1//BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ=OC B1C可判断选项B；利用平移法找出选项C 和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．本题考查异面直线夹角、线面角的求法，利用平移法找出异面直线夹角，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解；∵直线l1：ax+4y−2=0与直线l2：2x−5y+b=0互相垂直∴−a4×25=−1解得：a=10∴直线l1：5x+2y−1=0∵(1,c)在直线5x+2y−1=0上∴5+2c−1=0解得：c=−2又∵(1,−2)也在直线l2：2x−5y+b=0上∴2×1+5×2+b=0解得：b=−12∴a+b+c=10−12−2=−4故选：A．首先根据垂直得出−a4×25=−1从而求出a的值，再由(1,c)在直线5x+2y−1=0和2x−5y+b=0上求出c和b的值，即可得出结果．本题考查两直线垂直的性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A−BCD，则四面体A−BCD的外接球的半径，是12AC=52所求球的表面积为：4×π(52)2=25π故选：A．折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．5.【答案】C【解析】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O∵长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4∴C1O⊥B1D1∴C1O⊥平面DBB1D1，所以∠OBC1为直线BC1和平面DBB1D1所成角，在Rt△BOC1中，OC1=2√2，BC1=2√5∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为√105，故选：C．要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面角，关键是寻找线面角，通常寻找斜线在平面上的射影．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二面角的平面角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．根据题意可知，∠D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，然后在Rt△D1ED中，求出cos∠D1ED即可．【解答】解：根据题意，易得EF⊥平面ADD1A1，∴ED1⊥EF，ED⊥EF，∴∠D1ED是平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的平面角，在Rt△D1ED中，ED=12,ED1=√1+14=√52，∴cos∠D1ED=12√52=√55．故选：B．【解析】解：∵点A(1,3)和点B(5,2)，∴k AB =2−35−1=−14，∵点A(1,3)和点B(5,2)到直线l 的距离相等，且l 过点(3,−1)，∴直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,−1)，或直线l 的方程为x =3，∴直线l 的方程为：y +1=−14(x −3)，或x =3，整理得：x +4y +1=0或x =3．故选：A ．先求出直线AB 的斜率，由点A(1,3)和点B(5,2)到直线l 的距离相等，且l 过点(3,−1)，得到直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,−1)，或直线l 的方程为x =3，由此能求出直线l 的方程．本题考查直线方程的求法，考查直线的斜率公式、直线的点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意可知，k ≠−1，联立方程{y =kx −√3x +y −3=0，解得{x =3+√31+k y =3k−√31+k ， ∴两直线的交点坐标为(3+√31+k ,3k−√31+k )，∵两直线的交点在第一象限，∴{3+√31+k>03k−√31+k >0，解得k >√33， ∴tanθ>√33， ∴30°<θ<90°，故选：C ．由题意可知k ≠−1，联立两直线方程求出交点坐标，再由交点在第一象限列出不等式组，解出k 的取值范围，再利用直线倾斜角与斜率关系求出倾斜角的范围即可． 本题主要考查了直线的交点坐标，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．【解析】【分析】本题考查直线过定点问题，考查对称问题，属于基础题．先找出直线l 1恒过定点(1,1)，进而求出其关于点(3,3)的对称点，可得直线l 2恒过定点．【解答】解：由于直线l 1：y =k(x −1)+1恒过定点P(1,1)，设点P 关于点(3,3)的对称点为Q(a,b)，则{1+a 2=31+b2=3，解得a =5，b =5．∴直线l 2恒过定点(5,5)．故选：C ．10.【答案】C【解析】解：如图∵MN//AC 1，AC 1⊥面A 1DB ，∴MN ⊥面A 1DB ，即可得MN 垂直面A 1BD 内任意直线，当P 在底面ABCD 内(含边界)时，总有A 1P ⊥MN ，则P 的运动轨迹就是线段BD ，则动点P 的轨迹的长度为2√2．故选：C ．由MN//AC 1，AC 1⊥面A 1DB ，可得MN ⊥面A 1DB ，即可得当P 在底面ABCD 内(含边界)时，总有A 1P ⊥MN ，则P 的运动轨迹就是线段BD ，求得DB 的长度即可． 本题考查了空间线线、线面位置关系，考查了空间动点轨迹问题，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：∵全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，5}∴∁U A ={2,4}故选A数一下不属于集合A 的元素即可得解本题考查集合运算，当集合是用列举法表示的且元素个数比较少时，可数一下元素，用观察法做题．属简单题12.【答案】B【解析】解：由题意∀x∈R，x2+x+1>0，否定是∃x∈R，x2+x+1≤0故选：B．根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．13.【答案】A【解析】解：集合A={x∈Z|x2≤4}={−2,−1,0，1，2}，B={1,2，a}，且A⊇B，可得实数a的取值集合为{−2,−1,0}．故选：A．求出集合A，利用集合的包含关系，转化求解a即可．本题考查集合的包含关系，集合中元素的性质，是基础题．14.【答案】A【解析】解：由x<0，可知x<1，反之不成立，∴“x<0是“x<1”的充分不必要条件．故选：A．解出不等式x2<1，即可判断出关系．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】D【解析】解：因为一元二次方程2x2+px+q=0的两个根为−1和2，所以2(x+1)(x−2)=0，所以2x2+px+q=0可分解为2(x+1)(x−2)．根据一元二次方程2x2+px+q=0的两个根为−1和2，可得2x2+px+q=0可分解为2(x+1)(x−2)．本题考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．16.【答案】B【解析】解：设田赛和径赛都参加的学生人数为x因为62名学生中有一半的学生没有参加比赛，所以参加比赛的学生有31人；故16−x+x+23−x=31⇒x=8，故田赛和径赛都参加的学生人数为8，故选：B．根据题意画出对应的Venn图，进而求出结论．本题考查集合中元素个数的求法，考查集合的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】B【解析】解：∵若x∈M，则x=k2+14=12+2k−14，k∈Z，2k−1∈Z，即M中元素都是N中元素；所以，M⊆N．而当k=−2时，0∈N，0∉M ∴M⫋N故选：B．由已知中集合M={x|x=k2+14,k∈Z}，N={x|x=k4+12,k∈Z}，我们可得满足集合M性质的元素，均满足集合N的性质，进而得到∀x∈m，都有x∈N，然后在集合N中存在元素0，使得0∉M，根据集合子集和真子集的定义，易得到答案．本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．【解析】解：由题意，d(B)=2，∵|d(A)−d(B)|=1，∴d(A)=1或3， 方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0可化为x 2−ax =0或x 2−ax +1=0，即x =0或x =a 或x 2−ax +1=0，①若d(A)=1，则方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0有且只有一个解，故a =0，此时方程x 2(x 2+1)=0有且只有一个解；②若d(A)=3，则方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0有三个不同的解，则{ a ≠0a 2−4=0，解得，a =±2， 经检验，a =±2时，方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0有三个不同的解，综上所述，M ={0,−2,2}，故d(M)=3，故选：A ．由题意得d(B)=2，从而解得d(A)=1或3，而方程(x 2−ax)(x 2−ax +1)=0的解可化为x =0或x =a 或x 2−ax +1=0，从而分类讨论求解．本题考查了集合中的元素的个数问题，同时考查了二次方程的解的个数问题，考查了分类讨论的思想与转化思想应用，属于中档题．19.【答案】320【解析】解：由于两平行线3x −4y +m −1=0和3x 一4y +m 2=0之间距离为d =2√9+16=|(m−12)2+34|5， 故当m =12时，d 取得最小值为320，故答案为：320．由条件利用两平行线间的距离公式，二次函数的性质，求得两平行线3x −4y +m −1=0和3x 一4y +m 2=0之间距离的最小值．本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x 、y 的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，二次函数的性质，属于基础题． 20.【答案】[−4,−14]【解析】解：∵直线ax−y+2=0与以点A(1,−2)，B(4,1)为端点的线段相交，∴A，B在直线的两侧或其中一点在直线上，则[a×1−(−2)+2]⋅(a×4−1×1+2)≤0，即(a+4)(4a+1)≤0，解得−4≤a≤−14．∴a的取值范围是[−4,−14].故答案为：[−4,−14].由题意可得A，B在直线的两侧或其中一点在直线上，由此列关于a的不等式求解．本题考查平面内两直线的位置关系，考查线性规划的应用，属于基础题．21.【答案】×××√×【解析】解：(1)两条异面直线的夹角等于它们的方向向量所成的角或其补角，故(1)错误；(2)若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为β，则直线与该平面的夹角为β−90°或90°−β，故(2)错误；(3)两个平面所成的角等于这两个平面的法向量所成的角或其补角，故(3)错误；(4)两异面直线夹角的范围是(0,π2]，直线与平面所成角的范围是[0,π2]，二面角的范围是[0,π]，故(4)正确；(5)若二面角α−a−β的两个半平面α，β的法向量n1⃗⃗⃗⃗ ，n2⃗⃗⃗⃗ 所成角为θ，则二面角α−a−β的大小是θ或π−θ，故(5)错误．故答案为：(1)×；(2)×；(3)×；(4)√；(5)×．利用异面直线所成的角与两条直线方向向量夹角之间的关系，二面角与两个平面的法向量的夹角之间的关系分析判断即可．本题考查了空间角的理解与应用，考查了异面直线所成的角与两条直线方向向量夹角之间的关系，二面角与两个平面的法向量的夹角之间的关系，属于中档题．22.【答案】√34【解析】【分析】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α−l−β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α−l−β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=√3，CD=1AB=ADsin300=4∴sin∠ABC=ACAB =√34；故答案为√34．23.【答案】{1,5，8，9}{2,3，5，7，9}【解析】解：因为U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，(∁U A)∩B={2,3，7}，所以B集合中含有2，3，7这几个元素且A集合中不含有2，3，7这几个元素，因为(∁U B)∩A={1,8}，则集合A中含有1，8这两个元素，集合B中不含1，8这两个元素，因为(∁U A)∩(∁U B)={4,6}，则集合A，集合B都不含有4，6两个元素，所以A={1,5，8，9}，B={2,3，5，7，9}．故答案为：{1,5，8，9}；{2,3，5，7，9}．利用补集与交集的定义，分别判断集合A，B中含有的元素以及不含的元素，即可得到答案．本题考查了集合的运算，主要考查了集合的补集与交集定义的理解与应用，元素与集合关系的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．24.【答案】0或94 (−∞,0)∪(0,94)【解析】解：∵集合A ={x|ax 2−3x +1=0}中只含有一个元素，∴a =0或{a ≠0△=9−4a =0， 解得a =0或a =94．故a 值为0或94；∵A 的真子集个数是3个，∴ax 2−3x +1=0有两个实数根，∴{a ≠0△=9−4a >0，解得a <0或0<a <94， ∴a 的范围是(−∞,0)∪(0,94).故答案为：0或94；(−∞,0)∪(0,94).由集合A ={x|ax 2−3x +1=0}中只含有一个元素，得到a =0或{a ≠0△=9−4a =0，由此能求出a 值；由A 的真子集个数是3个，得到ax 2−3x +1=0有两个实数根，由此能求出a 的范围．本题考查实数值、实数的取值范围的求法，考查子集、集合中元素个数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25.【答案】x +4y =0 x −2y =0【解析】解：x 2−2xy −8y 2=0可化为(x +4y)(x −2y)=0，即x +4y =0或x −2y =0，故答案为：x +4y =0，x −2y =0．利用因式分解x 2−2xy −8y 2=0可化为(x +4y)(x −2y)=0，即可求出答案． 本题考查了利用因式分解解二元二次方程，属于基础题．26.【答案】1 √13【解析】解：因为一元二次方程x2+3x−1=0的两根分别是x1，x2，所以x1+x2=−3，x1x2=−1所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−3)2+4=√13，故答案为：1，√13．由韦达定理可得x1+x2，x1x2，|x1−x2|，即可得出答案．本题考查一元二次方程的根与系数关系，属于基础题．27.【答案】等边三角形−12【解析】解：(1)∵方程12x2+√bx+c−12a=0的解只有一个元素，∴△=0，∴(√b)2−4⋅12⋅(c−12a)=0，∴a+b=2c，∵3cx+2b=2a的根为0，∴代入可得a=b∴a=b=c，故为△ABC的形状为等边三角形．(2)∵a，b为方程x2+mx−3m=0的两根，∵由(1)知a=b，∴△=0，∴m2−4⋅(−3m)=0解得m1=0，m2=−12，∵a，b是△ABC的边长，∴a>0，故m1=0不符合题意，∴m=−12，故答案为：等边三角形，−12．(1)由方程12x2+√bx+c−12a=0的解只有一个元素，根据判别式可得(√b)2−4⋅12⋅(c−12a)=0可求得a+b=2c.又由方程3cx+2b=2a的根为0，可得a=b.则可求得a=b=c即可得△ABC为等边三角形；(2)由a=b可得判别式m2−4⋅(−3m)=0即可求得m的值．此题考查了根的判别式，方程的解，等边三角形的判定及一元二次方程的求解方法，属于中档题．28.【答案】−22【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直及平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2−4k+.再利用根据相互垂直、m=0的两根，利用根与系数的关系可得：k1+k2=2，k1k2=m2平行与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2−4k+m=0的两根，∴k1+k2=2，k1k2=m，2=−1，解得m=−2；①若l1⊥l2，则k1k2=m2②若l1//l2，则k1=k2，，又k1+k2=2，k1k2=m2联立解得m=2．故答案为：−2，2．=1．29.【答案】解：(1)直线BC的斜率k BC=3+24+1∴BC边上的高线斜率k=−1，∴BC边上的高线方程为：y−2=−(x+3)，∴BC边上的高线所在的直线方程为x+y+1=0．(2)∵B(4,3)，C(−1,−2)，∴|BC|=√(−2−3)2+(−1−4)2=5√2，由B(4,3)，C(−1,−2)得直线BC的方程为：x−y−1=0．=3√2，∴A到直线BC的距离d=√2×5√2×3√2=15．∴△ABC的面积S=12【解析】(1)求出直线BC的斜率，从而得到BC边上的高线斜率，由此能求出BC边上的高线所在的直线方程．(2)求出|BC|和直线BC的方程，再求出A到直线BC的距离，由此能求出△ABC的面积．本题考查直线方程、三角形面积的求法，考查直线的斜率、直线垂直、直线方程、两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，是基础题．30.【答案】(1)证明：连接BD.∵AB=AD，∠DAB=60°，∴△ADB为等边三角形．∵E是AB中点，∴AB⊥DE.(2分)∵PD⊥面ABCD，AB⊂面ABCD，∴AB⊥PD．∵DE⊂面PED，PD⊂面PED，DE∩PD=D，∴AB⊥面PED.(4分)∵AB⊂面PAB，∴面PED⊥面PAB.(6分)(2)解：∵AB⊥平面PED，PE⊂面PED，∴AB⊥PE．连接EF，∵EF⊂PED，∴AB⊥EF.∴∠PEF为二面角P−AB−F的平面角．(9分)设AD=2，那么PF=FD=1，DE=√3．在△PEF中，PE=√7,EF=2,PF=1，∴cos∠PEF=(√7)2+22−12×2√7=5√714，即二面角P−AB−F的平面角的余弦值为5√714.(12分)【解析】(1)先由已知条件证明∴△ADB为等边三角形，AB⊥DE，易证AB⊥PD，得到AB⊥面PED，进而证明面PED⊥面PAB．(2)先由二面角的定义找出二面角的平面角，把二面角的平面角放在一个三角形中，求出此角的余弦值．本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力．31.【答案】解：(Ⅰ)证明：连接AC，交BD于O，连接OP，∵底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点，∵点P 为CC 1的中点，∴OP//AC 1，∵AC 1⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，∴AC 1//平面PBD ．(Ⅱ)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AA 1=3AB =3，PC CC 1=13， ∴A 1(1,0，3)，P(0,1，2)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，设平面PBD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取x =2，得n ⃗ =(2,−2,1)， 设直线A 1P 与平面PBD 所成角为θ，则直线A 1P 与平面PBD 所成角的正弦值为：sinθ=|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√9=5√39．(Ⅲ)设PC =t ，则P(0,1，t)，DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，t)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， 平面PDC 的法向量p⃗ =(1,0，0)， 设平面PBD 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +tc =0m ⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =0，取a =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−1,1t )， ∵二面角B −PD −C 的余弦值为23，∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,p ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|p ⃗ |=√2+1t 2=23， 解得t =2，或t =−2(舍)，∴PC 的长为2．【解析】(Ⅰ)连接AC ，交BD 于O ，连接OP ，推导出OP//AC 1，由此能证明AC 1//平面PBD ．(Ⅱ)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1P 与平面PBD 所成角的正弦值．(Ⅲ)设PC =t ，求出平面PDC 的法向量和平面PBD 的法向量，由二面角B −PD −C 的余弦值为23，利用向量法能求出PC 的长．本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值、满足条件的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．32.【答案】解：(Ⅰ)因为U=R，且A={x|−4<x<4}，B={x|x≤1或x≥3}，则A∩B={x|−4<x≤1或3≤x<4}；(Ⅱ)A∪B=R；(Ⅲ)∁U A={x|x≤−4或x≥4}，则(∁U A)∩B={x|x≤−4或x≥4}．【解析】(Ⅰ)利用集合交集的定义求解即可；(Ⅱ)利用集合并集的定义求解即可；(Ⅲ)利用集合补集与交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合并集、补集与交集的定义，属于基础题．33.【答案】解：(1)集合A={x|x2−3x+2=0}={1,2}，若A∩B={2}，则x=2是方程x2+(a−1)x+a2−5=0的实数根，可得：a2+2a−3=0，解得a=−3或a=1，经检验，a=−3或a=1均符合题意，故a=−3或a=1；(2)∵A∪B=A，∴B⊆A，当B=⌀时，方程x2+(a−1)x+a2−5=0无实数根，即(a−1)2−4(a2−5)<0；解得a<−3或a>73当B≠⌀时，方程x2+(a−1)x+a2−5=0有实数根，若有两个相等实根，则Δ=(a−1)2−4(a2−5)=0，；解得a=−3或a=73经检验仅当a=−3时符合题意；若有两个不相等的实数根，即x=1或x=2，则(a−1)=−3且a2−5=2，故无解；}.综上可得实数a的取值范围是{a|a≤−3或a>73【解析】本题考查了并，交集及其运算，考查分类讨论思想，属于中档题．(1)根据A ∩B ={2}，可知B 中有元素2，带入求解a 即可；(2)根据A ∪B =A ，得B ⊆A ，建立关系即可求解实数a 的取值范围．34.【答案】解：因为q 是p 的必要不充分条件，即p 对应的集合是q 对应集合的真子集，所以{1+m ≥101−m ≤−2，可得{m ≥9m ≥3， 所以m ≥9，实数m 的取值范围：[9,+∞)．【解析】p 对应的集合是q 对应集合的真子集，列出不等式组，求解即可． 本题考查充要条件的应用，不等式的解法，是基础题．35.【答案】解：(Ⅰ)∃x ∈R ，使mx 2−4x +2=0为假命题，则∀x ∈R ，mx 2−4x +2≠0为真命题，即关于x 的方程mx 2−4x +2=0无解， 当m =0时，方程有解x =12，故不成立，当m ≠0，△=16−8m <0，解得：m >2，m 的取值集合B ={m|m >2}；(Ⅱ)A ={x|3a <x <a +2}为非空集合，则a +2>3a ，解得：a <1，因为x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则{a <13a >2，解得：23≤a <1， 故a 的取值范围为{a|23≤a <1}．【解析】(Ⅰ)通过讨论m 的范围，结合二次函数的性质求出B 即可；(Ⅱ)根据充分必要条件的定义得到关于a 的不等式组，解出即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质，是基础题．36.【答案】(Ⅰ)证明：由(2)若x ，y ∈P ，则x +y ∈P ，可得若x ∈P ，则x +x =2x ∈P ，x +2x =3x ∈P ．(Ⅱ)证明：由(1)，可设x ，y ∈P 且x >0，y <0，即x 为正整数，−y 为正整数， 由(2)可知，x 个y 相加属于集合P ，即xy ∈P ，同理，−y个x相加属于集合P，即−yx∈P，所以0=−yx+xy∈P．(Ⅲ)集合P为无限集，证明如下：假设集合P为有限集，则集合P中必最大值，且最大值为正数，不妨设最大值为m，由(2)若x，y∈P，则x+y∈P，可得2m∈P与集合P的最大值为m矛盾，所以集合P为无限集．【解析】(Ⅰ)由性质(1)即可证明3x∈P；(Ⅱ)由性质(1)可设x，y∈P且x>0，y<0，即x为正整数，−y为正整数，由性质(2)可得xy∈P，−yx∈P，从而证得0∈P；(Ⅲ)集合P为无限集，利用反证法假设集合P为有限集，则集合P中必最大值m，且最大值为正数，由性质(2)可得2m∈P，与假设矛盾，从而得证．本题考查了元素与集合的关系，需要反复推理运算，属于中档题．。

北京市八一学校2021届高三年级十月月考试卷一､选择题1. 已知集合{}24A x x =∈<Z ，{}1,2B =-，则AB =（ ）A. {}1-B. {}1,2-C.1,0,1,2D.{}2,1,0,1,2--【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】因为{}{}241,0,1A x x =∈<=-Z ，{}1,2B =-，所以A B =1,0,1,2.故选：C.【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2. 已知向量(),1a t =，()1,2b =.若//a b ，则实数t 的值为（ ） A. 2- B. 2C. 12-D.12【答案】D 【解析】 分析】由向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】//a b ，210t ∴-=，解得12t =故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数的值，属于基础题. 3. 在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ）A. sin y x =B. cos y x =C. ||y x x =D.ln ||y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，结合定义域，即可得出答案.【详解】对A 项，令()sin f x x =，定义域为R ，()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，则函数sin y x =为奇函数，故A 错误；对B 项，令()cos f x x =，定义域为R ，()cos()cos ()f x x x f x -=-==，则函数cos y x =为偶函数，故B 正确；对C 项，令()||f x x x =，(1)1(1)1f f -=-≠=，则函数||y x x =不是偶函数，故C 错误； 对D 项，ln ||y x =的定义域为{|0}x x ≠，故D 错误；故选：B【点睛】本题主要考查了判断函数的定义域和奇偶性，属于中档题. 4. 设{}n a 是公比为的等比数列，则“”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列5. 为得到sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ） A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位D. 向右平移6π个单位【答案】D 【解析】试题分析：因为，所以为得到sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位；故选D ． 考点：三角函数的图像变换．6. 在ABC 中，5AB =，sin 2sin A C =，cos 45B =，则ABC 的面积为（ ） A. 10 B. 15C. 20D. 30【答案】B 【解析】 【分析】先求出10a =，再求出3sin 5B =，最后求ABC 的面积即可. 【详解】解：在ABC 中，sin 2sin A C =，由正弦定理：2a c =，因为5AB c ==，所以10a =，因为cos 45B =，0B π<<，23sin 1cos 5B B =-=， 所以113sin 51015225S ac B ==⨯⨯⨯=，故选：B.【点睛】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数关系、是中档题.7. 已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ）A. (),3∞--B. []24,3--C. ()24,3--D.()24,-+∞【答案】C 【解析】 【分析】求导，分别对0m ≥，0m <分类讨论，确定()f x 的单调性，根据题意，列出不等式，即可得出答案.【详解】323()3m x mf x x x x+'=+=当0m ≥时，()0f x '>，即函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，不符合题意 当0m <时，3()03m f x x '>⇒>-，3()003m f x x '<⇒<<- 则函数()f x 在区间30,3m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间3,3m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增要使得函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则3123m<-< 解得243m -<<- 故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.8. 已知函数()21f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. ()2,+∞【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数的零点转化成方程的根、函数图像的交点问题，再数形结合即得结果.【详解】由函数()21f x x kx =--+有两个零点，即方程21x kx -+=有两个根，即函数()21g x x =-+与()h x kx =有两个交点，作图如下：()h x kx =恒过()0,0，旋转过程中，在直线12y x =和y x =之间时有两个交点， 故1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根、函数图像的交点之间的等价转化，考查了数形结合思想，属于中档题.9. 在ABC 中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是（ ） A. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦B. 2,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】以BC 的中点为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求解.【详解】以BC 的中点为原点，过O 垂直于BC 的直线为y 轴，BC 为x 轴， 建立平面直角坐标系，如图：则()1,0B -，()1,0， 设(),0Px ，(),A a b ，1x ≤，1OA =，221a b +=，则由()1AP AB AC ⋅+=，得()()1,,2x a b a b --⋅--=， 化简12ax =， 所以()22222222AP x a b x ax a b x =-+=-++=， 由221a b +=，因为1a ≠±，所以1a <，所以1122x a =>， 所以AP x =的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：A【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10. 已知集合,A B 满足：（ⅰ）AB =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①③ B. ②③C. ③④D. ①④【答案】B 【解析】 【分析】根据并集和交集的结果可知Q A C B =；由条件（ⅱ）（ⅲ）可知两集合的元素以1x 为分界，可确定集合,A B 的构成；当集合A 有最大数时，根据有理数的特点可知大于1x 的有理数无最小数，知③正确；当集合A 无最大数时，若1x a →中的a 为有理数或无理数，此时集合B 可能最小数为a 或无最小数，知②正确. 【详解】若AB =Q ，AB =∅ Q AC B ∴=则集合A 为所有小于等于1x 的有理数的集合，集合B 为所有大于等于1y 的有理数的集合Q A C B = 1y ∴无限接近1x ，即集合B 为所有大于1x 的有理数的集合当集合A 有最大数，即1x 有最大值时，大于1x 的有理数无最小数，可知③正确；当集合A 无最大数，即1x a →时，a 为集合B 中的最小数；也可能a 为无理数，则1y a →，集合B 中无最小数，可知②正确 故选B【点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求.二､填空题11. 已知复数2z i =-，则z =______.【解析】 【分析】根据复数的模长的定义直接进行计算即可.【详解】∵复数2z i =-，∴z【点睛】本题考查复数的模的概念及求法，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi12. 设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】 【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.13. 已知向量a 、b 的夹角为60，2a =，1b =，则2a b +=___________.【答案】【解析】 【分析】利用平面向量数量积计算得出22a b +的值，进而可求得2a b +的值. 【详解】()222222224444cos 60a b a ba b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅144421122=++⨯⨯⨯=， 因此，223a b +=. 故答案：【点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14. 已知函数()21,,x ax x af x x x ae-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（a 为常数）．若()112f -=，则a =________；若函数()f x 存在最大值，则a 的取值范围是________． 【答案】 (1). 12(2). (,0]-∞ 【解析】 【分析】（1）分别在1a >-和1a ≤-两种情况下求得()1f -，利用()112f -=求得a ； （2）当x a ≥时，求导得()11x xf x e--'=；当1a ≥时，可知x a <时，()f x →+∞不存在最大值，不符合题意；当1a <时，可得()f x 在[),a +∞上的单调性，得到()()max 11f x f ==；分别在01a <<、0a =和0a <三种情况下验证x a <时函数的最大值，可得(],0a ∈-∞时，()()max 11f x f ==，从而得到结果.【详解】（1）当1a >-时，()112f a -==，满足题意； 当1a ≤-时，()21112f e ---=≠，不合题意； 12a ∴=（2）当x a ≥时，()1x xf x e -= ()112211x x x x e xe xf x e e------'∴== ①若1a ≥，则10x -≤ ()0f x '∴≤ ()f x ∴在[),a +∞上单调递减()()1max a a f x f a e-∴==此时，当x a <时，()2f x ax =，当x →-∞时，()f x →+∞，不合题意 ②若1a <，则1<<a x 时，()0f x '>；1x >时，()0f x '<()f x ∴在(),1a 上单调递增，在()1,+∞上单调递减 ()()max 11f x f ∴==此时，当x a <时，()2f x ax =若01a <<，则当x →-∞时，()f x →+∞，不合题意 若0a =，()()01f x f =<，此时()max 1f x =，满足题意若0a <，则()()()3max 01f x f a a f ==<<，此时()max 1f x =，满足题意综上所述：(],0a ∈-∞时，()f x 存在最大值 故答案为12；(],0-∞ 【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题；本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.15. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】 (1). 12(2). 4011 【解析】 【分析】（1）根据衰变规律，令5730t =，代入求得012N N =； （2）令035N N =，解方程求得t 即可. 【详解】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t -= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 0.757304011t ∴=⨯= ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间故答案为12；4011 【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.三､解答题16. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q；②12q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的d ，根据求和公式可得5101020S d =+=，又12a =，即可得解； （2）根据{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则：11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++，分组求和即可得解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又因为1(1)2n n n S na d -=+， 且12a =，所以5101020S d =+=，故1d =， 所以1n a n =+；（2）由（1）可知，45a =，又449a b +=，所以44b =. 若选择条件①2q，可得11312b b q ==， 11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++111()(1)(3)1=22122n n n n a a b q n n q -+-+-=-+-；若选择条件②12q =，可得41332b b q ==，11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++6-11()(1)(3)=264212n nn n a a b q n n q +-+-=---；若选择条件③1q =-，可得4134b b q==-， 11221212()()()()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =-+-++-=+++-+++11()(1)(3)=+2(1(1))212n n n n a a b q n n q +-+-=---.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算，考查了数列的分组求和法，有一定的计算量，属于中档题. 17. 在ABC 中，1cos 7A =，8BC =，7AC =.（1）求B 的大小；（2）若D 是BC 的中点，求AD 的长. 【答案】（1）3B π=；（2.【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin 7A =，再利用正弦定理即可求解. （2）利用余弦定理可得5AB =，由()12AD AB AC =+，再利用向量模的求解即可求解. 【详解】解：（1）∵在ABC 中，1cos 7A =，8BC =，7AC =，∴sin A ==， ∵由正弦定理sin sin BC ACA B=， 可得7sin 7sin 8AC AB BC⋅=== 又AC BC <，可得B 为锐角， ∴3B π=.（2）∵在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，可得222187277AB AB =+-⨯⨯⨯，可得：22150AB AB --=，∴解得5AB =或3-(舍去)， ∵D 是BC 的中点， ∴()12AD AB AC =+，两边平方可得：()2222211125725721447AD AB AC AB AC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， ∴21AD =AD【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18. 已知函数2()322cos ()f x x x m m R =++∈. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）π；（2）[,]()36k k k Z ππππ-++∈；（3）(,3)-∞-.【解析】 【分析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ； （2）利用整体代入法求得函数()f x 的单调递增区间； （3）原问题等价于()f x 的最大值小于零，根据()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值列不等式，解不等式求得m 的取值范围.【详解】（1）因为()23sin22cos f x x x m =++3sin2cos21x x m =+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2π2T π==. （2）由（1）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.又函数sin y x =的单调递增区间为ππ2,222k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z).由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤. 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-. 所以m 的取值范围是(),3-∞-.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间、最值的求法，属于中档题.19. 设函数2()ln ()f x x ax x a =+-∈R ． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间．（2）若函数()f x 在区间(0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围． （3）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明：切点的横坐标为1．【答案】（1）单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）1a ≤-（3）见解析 【解析】试题分析：（1）当1a =时，求出函数的导函数()()()211x x f x x-+'=，分别令()0f x '>和()0f x '<，解出不等式得单调区间；（2）函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，即()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（3）设切点为()(),M t f t ，对函数进行求导，根据导数的几何意义得12k t a t=+-，根据切线过原点，可得斜率为()f t k t=，两者相等化简可得21ln 0t t -+=，先证存在性，再通过单调性证明唯一性. 试题解析：（1）当1a =时，()2ln (0)f x x x x x =+->，()()()211121x x f x x x x='-+=+-，令()0f x '>，则12x >，令()0f x '<，则102x <<，∴函数()f x 的单调减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，单调增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）()12f x x a x'=+-，∵()f x 在区间(]0,1上是减函数，∴()0f x '≤对任意(]0,1x ∈恒成立，即12a x x≤-对任意(]0,1x ∈恒成立， 令()12g x x x=-，则()min a g x ≤，易知()g x 在(]0,1上单调递减，∴()()min 11g x f ==-，∴1a ≤-．（3）设切点为()(),M t f t ，()12f x x a x '=+-，∴切线的斜率12k t a t=+-， 又切线过原点，()f t k t=，∴()12f t t a tt=+-，即22ln 21t at t t at +-=+-，∴21ln 0t t -+=，存在性，1t =满足方程21ln 0t t -+=， 所以1t =是方程21ln 0t t -+=的根唯一性， 设()21ln t t t ϕ=-+，则()120t t tϕ'-+>，∴()t ϕ在()0,+∞上单调递增，且()10ϕ=，∴方程21ln 0t t -+=有唯一解1t =，综上，过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，则切点的横坐标为1．点睛：本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由()0f x '>，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；函数单调递减等价于()0f x '≤恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x或()min h x 即得解.20. 已知函数()()ln 0xf x a x a=>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：()12x f x -≤； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【答案】（Ⅰ）(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由见解析 【解析】 【分析】根据解析式可确定函数定义域并求得()f x '（Ⅰ）求得()1f 和()1f '，根据导数几何意义可知切线斜率()1f '，从而得到切线方程；（Ⅱ）将所证不等式转化为22ln 10≤x x -+；令()22ln 1h x x x =-+，通过导数求得函数单调性，可得()max 0h x =，即()0h x ≤，从而证得结论； （Ⅲ）令()ln 1ag x x x=-++，通过导数可知()g x 单调递减；利用零点存在定理可知()g x 在()11,a e-内存在零点m ，从而得到()f x '的符号，进而得到()f x 单调性，说明()f x 不是单调函数.【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2ln 1a x x f x x a -++'=+ （Ⅰ）()10f =，()111f a '=+ ()y f x ∴=在点()()1,1f 处的切线方程为：()1011y x a -=-+ 即()110x a y -+-= （Ⅱ）当1a =时，()ln 1xf x x =+欲证()12x f x -≤，即证ln 112≤x x x -+，即证22ln 10≤x x -+令()22ln 1h x x x =-+，则()()()21122x x h x x x x--+'=-=． 当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：∴函数()h x 的最大值为()10h =，故()0≤h x()12x f x -∴≤（Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下： 令()ln 1ag x x x =-++， ()2210a x ag x x x x+'=--=-< ()g x ∴在()0,∞+上单调递减()110g a =+>，()11111ln 110a a a a a g e e a e e ++++⎛⎫=-++=-< ⎪⎝⎭∴存在()11,a m e +∈，使得()0g m =当()0,x m ∈时，()0g x >，从而()0f x '>，所以函数()f x 在()0,m 上单调递增； 当(),x m ∈+∞时，()0g x <，从而()0f x '<，所以函数()f x 在(),m +∞上单调递减 故函数()f x 在定义域内不是单调函数【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间. 21. 已知无穷数列{}{}{},,n n n a b c 满足：*n N ∀∈，1n n n a b c +=-，1n n n b c a +=-，1n n n c a b +=-．记{}max ,,n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值）．（Ⅰ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （Ⅱ）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；（Ⅲ）设111,,a b c 是非零整数，且111,,a b c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}{}{},,n n n a b c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．【答案】（Ⅰ）1183b c =⎧⎨=⎩或1183b c =⎧⎨=-⎩或1183b c =-⎧⎨=⎩或1183b c =-⎧⎨=-⎩；（Ⅱ）所有取值是2,1,1,2--；（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）依次代入2n =，3n =即可求得12,c a ，根据2133a b =-≥-可确定2a 和1b 的取值，从而得到结果；（Ⅱ）记1c x =，可表示出2d ，进而得到333,,a b c ，分别在01x ≤<、12x ≤<和2x ≥三种情况下利用32d d =求得x 的取值即可得到结果；（Ⅲ）假设对任意正整数3k ≥，,,k k k a b c 都不为0，由111,,k k k a b c +++可证得{}1111max ,,k k k k k d a b c d ++++=<，得到{}k d 严格单调递减；可知必存在正整数3m ≥，使得0≤m d ，与k d *∈N 矛盾，从而,,k k k a b c 中至少有一个为0；设0k a =，可知111k k k b c a ---=≠，则10k a +=，1k k b c +=，1k k k c b c +=-=-，依次类推可得对n k ∀≥，0n a =，1n k b c +=，1n k c c +=-且0k c ≠，从而证得结论.【详解】（Ⅰ）由211b c a =-得：112c -= 13c ∴=± 由322c a b =-得：223a -= 25a ∴=± 又211133a b c b =-=-≥-，故25a =，18b =±11,b c ∴的所有可能值为1183b c =⎧⎨=⎩或1183b c =⎧⎨=-⎩或1183b c =-⎧⎨=⎩或1183b c =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）若11a =，12b =，记1c x =，则22a x =-，21b x =-，21c =-22,011,1||21,2x x d x x x ⎧-≤<⎪∴=≤<⎨⎪-≥⎩311a x =--，312b x =--，321c x x =---当01x ≤<时，3a x =-，31b x =-，31c =，31d = 由32d d =得：1x =，不符合；当12x ≤<时，32a x =-，31b x =-，332c x =- 32,1 1.51,1.52x x d x x ⎧-≤<⎪∴=⎨-≤<⎪⎩由32d d =得：1x =，符合；当2x ≥时，32a x =-，33b x =-，31c =- 31,232,3x d x x ⎧≤<⎪∴=⎨-≥⎪⎩由32d d =得：2x =，符合； 综上所述：1c 的所有取值是2,1,1,2--.（Ⅲ）先证明“存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0” 假设对任意正整数3k ≥，,,k k k a b c 都不为0由111,,a b c 是非零整数，且111,,a b c 互不相等得：1d *∈N ，2d *∈N若对任意3k ≥，,,k k k a b c 都不为0，则k d *∈N即对任意1k ，k d *∈N当1k时，{}1max ,k k k k k k a b c b c d +=-<≤，1k k k k b c a d +=-<，1k k k k c a b d +=-<{}1111max ,,k k k k k d a b c d ++++∴=< {}k d ∴严格单调递减2d 为有限正整数 ∴必存在正整数3m ≥，使得0≤m d ，矛盾 ∴存在正整数3k ≥，使,,k k k a b c 中至少有一个为0不妨设0k a =，且10a ≠，20a ≠，……，10k a -≠ 则11k k b c --=，且111k k k b c a ---=≠，否则，111k k k b c a ---==，由1110k k k a b c ---++=，必有1110k k k a b c ---===，矛盾∴110k k k b c a --=-≠，110k k k c a b --=-≠，且k k b c =- ∴10k a +=，1k k b c +=，1k k k c b c +=-=-依次递推，即有：对n k ∀≥，0n a =，1n k b c +=，1n k c c +=-且0k c ≠ 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0 综上，结论成立【点睛】本题考查数列中的新定义运算问题的求解，涉及到根据递推关系求解数列中的项、数列证明问题中的存在性与唯一性问题的证明；证明有且仅有一个数列满足题意的关键是能够首先证明存在性，即存在数列数列满足题意，再证明唯一性，即满足题意的数列有唯一的一个；本题对学生分析和推理能力有较高的要求，属于难题.。