排列组合应用题解法

解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题绑定方法：标题规定将几个相邻元素绑定成一个组，作为一个大元素参与安排例1.a,b,c,d,e五人并排站成一排，如果a,b必须相邻且b在a的右边，那么不同的排法种数有a、 B类60种，C类48种，D类36种，D类24种2.不相邻问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2七个人并排站成一排。

如果甲方和乙方不得相邻，则不同的安排类型为A、1440 B、3600 C、4820 D和48003.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3 a.B、C、D和e并排站成一排。

如果B必须站在a的右边（a和B不能相邻），有多少种不同的安排a、24种b、60种c、90种d、120种4.标签排序问题的分步方法：将元素排列到指定位置，首先按照规定排列一个元素，然后在第二步排列另一个元素。

如果你继续这样做，你可以依次完成例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有a、6种b、9种c、11种d、23种5.有序分配问题：有序分配问题是指将元素分成若干组，可以逐步分成若干组例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是a、 1260种B，2025种C，2520种D，5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同样的分配方案也是如此44c12c84c4a、ccc种b、3ccc种c、cca种d、种3a34124844412484441248336.全员分配的分组方法：例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？2）五本不同的书将分发给四名学生，每个学生至少一本。

解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。

要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。

实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。

解排列组合应用题的解法•技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则（3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列,无序组合.（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五.排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法一.运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……；n个人通过，有C；种结果。

所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。

解法2 :用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

所以一共有2n种可能的结果。

排列组合问题的几种巧解方法排列组合应用问题是历年高考必考题目，因其内容比较抽象、题型繁多、灵活多变、解题方法独特，与学生原有解题经验甚不相同，而成为高中数学教学的一个难点。

但只要我们认真审题，明确题目属于排列还是组合问题，或是排组混合问题，抓住问题本质特征，把握基本思想，灵活应用基本原理，注意讲究一些基本策略和方法技巧，善于分类讨论，适当转化，就能开拓思路，化难为易，使问题迎刃而解。

求解排列组合问题除了掌握两个基本原理(加法原理和乘法原理)外，没有现成的方法可套，只能根据具体问题灵活采用各种技巧。

本文就此通过一些实例介绍一下解决此类问题的一些常见的技巧。

一、对等法。

在有些问题中，某种限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一，在求解中只要求出全体，就可以得到所求。

例如：期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序？分析：对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了。

并且也避免了问题的复杂性。

解：不加任何限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种。

二、插入法。

对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法，即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素后的空档之中即可。

例如：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。

8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法?分析：此题涉及到的是不相邻问题，并且是对老师有特殊的要求，因此老师是特殊元素，在解决时就要特殊对待。

所涉及问题是排列问题。

解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法。

根据乘法原理，共有的不同坐法为种。

排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。

其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。

加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。

分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。

以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。

（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。

在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。

故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。

注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。

解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A 种。

故共有21114233A +A A A =30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A 种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333A A A A 78+=种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合常见题型及解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 .一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将 3封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）34（2）43（ 3）43【例 2】把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同【例 3】 8名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（）3 33 8A、83 B 、38 C 、A8 D 、C8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把 8 名学生看作 8家“店”，3 项冠军看作 3个“客”，他们都可能住进任意一家“店” ，每个“客”有 8 种可能，因此共有83种不同的结果。

所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 高【例 1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把A,B 视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A44 24种【例 2】（ 2009四川卷理） 3 位男生和 3位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】间接法 6 位同学站成一排， 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32A22A24A22=432 种高☆考♂资♀源?网☆其中男生甲站两端的有A12C32A22A23A 22=144，符合条件的排法故共有 288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端 .【例 1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数为A55种，再用甲乙去插 6 个空位有A62种，不同的排法种数是52A55A62 3600种【例 2】书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】：A17A18A91=504【例 3】高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为A55 A62＝3600【例 4】某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。

n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果， 任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列， 无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。

所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。

高中数学排列组合与概率的综合应用题解析与求解在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和技巧。

排列组合主要涉及对对象的选择和排列，而概率则是研究事件发生的可能性。

在解决实际问题时，这两个概念常常会结合起来使用。

本文将通过具体的题目来说明如何应用排列组合与概率的知识解决综合应用题。

题目一：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，其中至少有1个男生。

求这样的小组的可能数。

解析：这是一个典型的排列组合问题，我们需要从10个男生中选出至少1个男生，再从8个女生中选出剩下的2个人。

根据排列组合的知识，我们可以得出解题步骤如下：1. 选出1个男生的可能数：C(10, 1) = 102. 从8个女生中选出2个人的可能数：C(8, 2) = 283. 将步骤1和步骤2的结果相乘，得到最终的结果：10 * 28 = 280所以，这样的小组的可能数为280。

通过这个题目，我们可以看到排列组合的应用，以及如何将多个步骤结合起来求解问题。

这对于高中学生来说，是一个很好的练习。

题目二：某班有10个男生和8个女生，从中随机选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有1个男生的概率。

解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。

根据概率的定义，我们可以得出解题步骤如下：1. 满足条件的小组数：根据题目一的解析，我们已经知道满足条件的小组数为280。

2. 总的小组数：从18个人中选出3个人的可能数为C(18, 3) = 816。

3. 将步骤1除以步骤2，得到最终的结果：280 / 816 ≈ 0.343。

所以，这样的小组中至少有1个男生的概率约为0.343。

通过这个题目，我们可以看到概率的应用，以及如何计算概率的具体步骤。

这对于高中学生来说，是一个很好的练习。

题目三：某班有10个男生和8个女生，从中选出3个人组成一个小组，求这样的小组中至少有2个男生的概率。

解析：这是一个概率问题，我们需要计算满足条件的小组数与总的小组数的比值。

排列组合应用题基本解法举例〔关键词〕排列；组合；间接法；捆绑法；插空法；消序法虽然关于排列、组合的应用题是千变万化的，但其解题思路却离不开“分步相乘，分类相加，有序排列，无序组合”的原则.要熟练掌握解题技巧，我们还必须掌握处理排列、组合问题的一些基本技巧、方法.下面举列说明.1. 特殊位置法例1：从10人中选3人站成一排，其中甲不站首位，共有多少种不同排法？分析：首位是特殊位置，先排首位有A种排法，再排其余两位有A种排法，分步相乘得AA=648.2. 间接法例2：有7人站成一排，其中甲不站首位，且乙不站末位，共有多少种不同排法？分析：可用间接法得A-2A+A.其中甲站首位的方法有A种，乙站末位的方法有A种，包含甲站首位且乙站末位的情况有A种.3. 捆绑法例3：6件不同商品排成一排，其中甲、乙、丙3件商品一定要排在一起，共有多少种不同排法？分析：先把甲、乙、丙捆绑起来当一个元素参加排列有A种排法，然后这3件商品内部再排列有A种排法.分步相乘得ＡA=144.对于有相邻要求的排列组合题，可用此法.4. 插空法例4：有5个男生和4个女生排成一排，其中女生不能相邻，有多少种不同排法？分析：第一步，先排5个男生有A种排法；第二步，5个男生之间（包括两端）的6个空位中插入4个女生有A种排法.由分步相乘法得ＡA=43200.5. 先选后排法例5：从8个男生和4个女生中选3个男生2个女生，担任5种不同的工作，有多少种方法？分析：AA为错解，因为漏掉了男、女生的混合排列.正确解法用先选后排法，即先按要求选出5人有CC种方法，后进行排列有A种方法，由分步相乘法得CCA=40320.6. 消序法例6：有身高各不相同的10个人站成一排，要求甲、乙、丙3人从左边顺次一个比一个低（可以不相邻），共有多少种不同排法？分析：首先不考虑限制条件，共有A种不同排法；其次对甲、乙、丙3人的排列消序得：=604800，即共有604800种排法.7. 平均分组法例7：A、B、C、D、E、F 6人平均分成三组下棋，有多少种不同分法？分析：CCC为错解，其中有重复.如：6人中先选A、B为一组，再在剩余4人中选C、E为一组，最后剩余2人D、F为一组；6人中先选C、E为一组，再在剩余4人中选A、B为一组，最后剩余2人D、F为一组.以上两种不同分法得到的结果是完全相同的，即A、B为一组，C、E为一组，D、F为一组.不难发现，错解对这一种分法算了6次.故易得，正确解法为=15.8. 查字典法例8：由0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个没有重复数字且比324105大的六位数？分析：从高位排查如下：（1）查首位有4×××××、5×××××，故有2A个数；（2）查前两位有34××××、35××××，故有2A个数；（3）查前三位有325×××，故有A个数；（4）查前四位有3245××，故有A个数；（5）查前五位有324150，故有1个数.故共有：2Ａ＋2Ａ+Ａ＋Ａ＋1=297个数.。