排列组合应用题解法一

完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)教学目标：1.理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力。

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

3.分类计数原理和分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。

解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。

2.确定采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素。

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

一、特殊元素和特殊位置优先策略：例1：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。

解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有C3，然后排首位共有C4，最后排其它位置共有A4^3.由分步计数原理得C4×C3×A4^3=288.位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。

若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。

排列组合典型例题(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除典型例题一例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ⋅⋅（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个． 典型例题二例2 三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 对种不同的排法，因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法． （2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法． （3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法． （4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有7715A A ⋅种不同的排法；如果首位排女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，有15A 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A 种不同的排法，这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法．因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排法． 解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法． 典型例题三例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

解排列组合应用题的解法•技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则（3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列,无序组合.（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五.排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法一.运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……；n个人通过，有C；种结果。

所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。

解法2 :用分步记数的原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

所以一共有2n种可能的结果。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加. 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1。

公式：1。

()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2） ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-; (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m(m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn .1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1。

排列组合问题的几种解题方法排列、组合问题，在高考中通常是以选择题或填空题的形式考察，它联系实际，题型多样，解法灵活。

自2010年新课改以来，这类问题的难度有所降低，只要掌握恰当的解决方法问题就可以迎刃而解。

备考中有效的方法是将题型与解法归类，识别模型、熟练运用。

下面我将排列組合中的常规题型及解法总结如下：一、相邻元素捆绑法所谓“捆绑法”，就是在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将视为一个“大元素”.例1. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有种.解析：因甲、乙两人要排在一起，故甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有种排法，但甲、乙两人之间有种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法.二、相离问题插空法相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入到空隙及两端位置，故称“插空法”.例2. 6个男同学和4个女同学排成一列照相，任何两个女同学不相邻，问有多少种不同的排法？解析：现将6个男同学排好，其不同的排法为种，这6个男同学的空隙及两端共七个位置中再排4个女同学共有种排法，由分步计数原理可知，任何两个女同学不相邻的排法共有种.三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便.例3. 信号兵红旗与白旗挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是解析：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能作一次挂法，故共有不同信号的种数是=10种.四、定位问题优先法所谓“优先法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑.例4. 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）种A. B.C. D.解析：先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有放法，再考虑油画与国画本身各有与种放法，故排列的方法为，故选D.五、至少（至多）问题间接法含“至少”、“至多”的排列组合问题，是分类问题，可用间接法。

排列组合应用题的常见解法作者：杜剑骅来源：《读写算》2013年第01期排列组合问应用题高考中多以客观题出现，每年必考。

它们具有较强的灵活性和抽象性，故解题时要求我们认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工与处理。

本文说明几种常见的解法：一、直接法例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类计数原理。

没有人通过，有C0n种结果；1个人通过，有C01种结果，……；n个人通过，有Cnn种结果。

所以一共有C0n+C1n+…Cnn=2n种可能的结果。

解法2：用分步计数原理。

第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。

所以一共有种可能的结果。

二、间接法（排除法）例2.8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？解：无限制条件有A88种排法。

A与B或A与C在一起各有A22A77种排法，A、B、C 三人站在一起且A在中间有A22A66种排法，所以一共有A88-2A22A77+A22A66=21600种排法。

例3：以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

解：从8个点中取4个点，共有C48种方法，其中取出的4个点共面的有6+6=12种，所以符合条件的四面体的个数为个C48-12=58个。

三、特殊元素（位置）法例4：从0，1，……，9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？解：个位选0，有A49个，个位不选0且万位不能选0，有C14C18C38个，所以一共可以得到A49+C14C18C38=13775个偶数。

例5：8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？解：先排甲，有A14种排法。

再排乙，有A15种排法，再排其余的人，又有A66种排法，所以一共有A14A15A66=14400种排法。

四、查字典法例6：由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个无重复数字且比324105大的数？解：（1）查首位，有4×××××与5×××××，共有2A55个；（2）查头两位，有34××××与35××××两种，共有2A44个；（3）查头三位，有325×××一种，共A33个；（4）查头四位，有3245××，共A22个；（5）查头五位，仅324150一个，故共有2A55+2A44+A33+A22+1=297个。

n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果， 任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列， 无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。

所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。

排列组合应用题基本解法举例〔关键词〕排列；组合；间接法；捆绑法；插空法；消序法虽然关于排列、组合的应用题是千变万化的，但其解题思路却离不开“分步相乘，分类相加，有序排列，无序组合”的原则.要熟练掌握解题技巧，我们还必须掌握处理排列、组合问题的一些基本技巧、方法.下面举列说明.1. 特殊位置法例1：从10人中选3人站成一排，其中甲不站首位，共有多少种不同排法？分析：首位是特殊位置，先排首位有A种排法，再排其余两位有A种排法，分步相乘得AA=648.2. 间接法例2：有7人站成一排，其中甲不站首位，且乙不站末位，共有多少种不同排法？分析：可用间接法得A-2A+A.其中甲站首位的方法有A种，乙站末位的方法有A种，包含甲站首位且乙站末位的情况有A种.3. 捆绑法例3：6件不同商品排成一排，其中甲、乙、丙3件商品一定要排在一起，共有多少种不同排法？分析：先把甲、乙、丙捆绑起来当一个元素参加排列有A种排法，然后这3件商品内部再排列有A种排法.分步相乘得ＡA=144.对于有相邻要求的排列组合题，可用此法.4. 插空法例4：有5个男生和4个女生排成一排，其中女生不能相邻，有多少种不同排法？分析：第一步，先排5个男生有A种排法；第二步，5个男生之间（包括两端）的6个空位中插入4个女生有A种排法.由分步相乘法得ＡA=43200.5. 先选后排法例5：从8个男生和4个女生中选3个男生2个女生，担任5种不同的工作，有多少种方法？分析：AA为错解，因为漏掉了男、女生的混合排列.正确解法用先选后排法，即先按要求选出5人有CC种方法，后进行排列有A种方法，由分步相乘法得CCA=40320.6. 消序法例6：有身高各不相同的10个人站成一排，要求甲、乙、丙3人从左边顺次一个比一个低（可以不相邻），共有多少种不同排法？分析：首先不考虑限制条件，共有A种不同排法；其次对甲、乙、丙3人的排列消序得：=604800，即共有604800种排法.7. 平均分组法例7：A、B、C、D、E、F 6人平均分成三组下棋，有多少种不同分法？分析：CCC为错解，其中有重复.如：6人中先选A、B为一组，再在剩余4人中选C、E为一组，最后剩余2人D、F为一组；6人中先选C、E为一组，再在剩余4人中选A、B为一组，最后剩余2人D、F为一组.以上两种不同分法得到的结果是完全相同的，即A、B为一组，C、E为一组，D、F为一组.不难发现，错解对这一种分法算了6次.故易得，正确解法为=15.8. 查字典法例8：由0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个没有重复数字且比324105大的六位数？分析：从高位排查如下：（1）查首位有4×××××、5×××××，故有2A个数；（2）查前两位有34××××、35××××，故有2A个数；（3）查前三位有325×××，故有A个数；（4）查前四位有3245××，故有A个数；（5）查前五位有324150，故有1个数.故共有：2Ａ＋2Ａ+Ａ＋Ａ＋1=297个数.。