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动态规划在经济领域的应用与扩展在经济领域，动态规划是一种重要的数学工具，被广泛应用于决策分析、资源配置、风险管理等方面。
动态规划的核心思想是将复杂的问题分解为一系列简单的子问题，并通过逐步求解子问题来获得最优解。
本文将探讨动态规划在经济领域的具体应用与扩展。
首先，动态规划在决策分析中的应用被广泛运用于风险投资、投资组合和项目管理等领域。
一种常见的应用是在投资组合中确定最佳的资产配置比例。
通过建立状态转移方程，根据各个资产的预期收益率、风险和相关性，以及投资者的风险偏好，可以使用动态规划算法找到使得投资组合获得最大效益的资产配置比例。
其次，动态规划在资源配置中的应用也具有重要意义。
资源的有限性和多样性使得资源配置成为一个高度复杂的问题。
动态规划可以帮助决策者在资源有限的情况下，通过最优化分配来实现最大效益。
例如，在城市交通规划中，可以使用动态规划来确定最佳的交通路线，以最大程度地减少交通拥堵和能源消耗。
此外，动态规划还可以应用于生产调度、供应链管理等领域，通过优化资源配置来提高企业效益。
此外，动态规划还可以用于解决具有不确定性和风险的问题。
在金融行业中，风险管理是一个至关重要的问题。
动态规划可以用来评估不同投资组合的风险，并通过优化资产配置来实现风险最小化。
在保险行业中，动态规划也可以用来评估保险产品的定价和风险管理策略。
通过建立数学模型，结合历史数据和风险预测，可以使用动态规划算法找到最优的风险管理策略。
除了传统领域的应用，动态规划在经济领域还有许多扩展应用。
一种扩展应用是考虑不确定性和风险时的动态规划。
这些问题在现实生活中是非常常见的，例如，投资决策时要考虑到市场波动和经济变化等不确定因素。
解决这类问题，需要将动态规划与概率论和统计学相结合，建立更为复杂的数学模型。
另一种扩展应用是多目标动态规划。
在实际决策过程中，往往会面临多个目标的抉择。
例如，企业在资源配置时既要考虑利润最大化，还要兼顾可持续发展和社会责任等因素。
动态规划模型应用前景动态规划是一种解决复杂问题的有效方法，它通过将问题分解为更小的子问题，并通过子问题的最优解来推导出整体问题的最优解。
动态规划在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、计算机科学、运筹学等等。
在现代科技的快速发展下，动态规划模型的应用前景愈发广阔。
本文将重点探讨动态规划模型在几个领域中的应用前景。
首先，动态规划在经济学中有着重要的应用。
经济学研究的重要问题之一是如何在有限的资源下实现最优的资源配置。
动态规划模型可以用来解决这个问题，通过建立状态转移方程、定义决策变量和约束条件，可以求解出最优的资源配置方案。
例如，在生产中，通过动态规划模型可以确定每个时间点的产量，使得总收益最大化。
此外，在宏观经济政策制定中，动态规划模型可以用来研究不同政策对经济增长、失业率、通货膨胀率等指标的影响，从而为政策制定者提供科学依据。
其次，动态规划在管理学中也有广泛的应用。
管理学研究的一个关键问题是如何在资源有限的情况下实现最优的决策。
动态规划模型可以用来解决这个问题，通过构建状态转移方程、定义决策变量和约束条件，可以求解出最优的决策方案。
例如，在生产调度中，动态规划模型可以用来确定每个时间段的生产数量和顺序，以最小化总成本和最大化总利润。
此外，动态规划还可以应用于供应链管理、项目管理等领域，为管理决策提供科学支持。
此外，动态规划在计算机科学中也被广泛应用。
算法设计是计算机科学的核心问题之一，而动态规划是一种常用的算法设计思想。
动态规划可以解决一些具有重叠子问题性质的问题，通过保存求解过的子问题的结果，避免重复计算，提高算法的效率。
例如，在图像处理中，动态规划可以用来实现图像的压缩和编辑，提高图像处理的速度和质量。
此外，动态规划还可以应用于网络优化、机器学习、自然语言处理等领域，为算法设计和问题求解提供有力工具。
最后，动态规划在运筹学中也有重要的应用。
运筹学研究的一个关键问题是如何在给定的约束条件下实现最优的决策。
动态规划在资源管理中的应用在当今复杂多变的社会和经济环境中，资源管理的重要性日益凸显。
如何有效地分配和利用有限的资源，以实现最大化的效益，是各个领域都面临的关键问题。
动态规划作为一种强大的优化方法，在资源管理中发挥着至关重要的作用。
首先，我们来理解一下什么是动态规划。
简单来说，动态规划是一种通过把复杂问题分解为一系列相互关联的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到原问题最优解的方法。
它的核心思想在于充分利用子问题的解来构建原问题的解，避免了重复计算，提高了计算效率。
在资源管理中，动态规划有着广泛的应用场景。
例如，在生产计划制定中，企业需要考虑如何在有限的时间、人力、物力等资源条件下，安排生产不同产品的数量和顺序，以实现最大的利润。
通过动态规划，可以将整个生产周期划分为多个阶段，每个阶段根据当前的资源状况和市场需求，决定最优的生产决策。
再比如，在项目管理中，资源的合理分配也是至关重要的。
一个项目通常包含多个任务，每个任务需要不同的资源投入，而且任务之间存在着先后顺序和依赖关系。
利用动态规划，可以根据项目的进度和资源需求，动态地调整资源分配，确保项目按时完成，同时降低成本。
动态规划在资源分配问题中的优势主要体现在以下几个方面。
其一，它能够处理具有阶段性和时序性的资源管理问题。
在很多情况下，资源的分配不是一次性完成的，而是随着时间的推移逐步进行。
动态规划可以根据不同阶段的资源状况和需求，做出最优的决策。
其二，动态规划可以有效地考虑资源的约束条件。
无论是人力、物力还是财力资源，往往都存在着一定的限制。
通过动态规划，可以在这些约束条件下，找到最优的资源配置方案。
其三，它能够帮助我们做出具有前瞻性的决策。
动态规划不仅仅考虑当前的情况，还会预测未来可能出现的情况，并据此做出有利于长期效益的决策。
为了更清晰地理解动态规划在资源管理中的应用，让我们来看一个具体的例子。
假设有一家公司拥有一定数量的资金，计划在未来几个月内投资多个项目。
动态规划在经营管理中的应用动态规划算法在生活中的应用[摘要]动态规划是运筹学的一个分支，是解决多阶段决策过程的最优化问题的一种方法，在经营管理中有着非常重要的作用。
本文运用动态规划的逆推关系解决最短路问题；商品生产和库存计划，以及商品价格预测等问题。
[关键词]动态规划经营管理最短路问题商品生产库存计划价格预测我们知道经营系统是一个动态系统，而动态系统包含着时间和空间变化的特征，动态规划就是根据系统的状态按时间或空间分为若干阶段，用数学方法来推算每个阶段的状态而作出决策，从而有效地获得最好的经济效益。
一、最短路问题最短路的求解方法是从过程发展的，其求解顺序与过程发展顺序相反。
即从终点最后一个阶段向前推算，逆向地求出每一阶段到终点的最短路子路线，最后求出从起点到终点的最短路线。
例1在商业经营的走向渠道里，为了节省费用，经常要研究分销时最短路线的确定，设分销路线的起点为A，终点为E，中间要经过路线如图所示，求由A到E的最短路线。
解由A至E分为四个阶段，即A→Bi(i=1,2,3);Bi→Cj(j=1,2);Cj→Dk(k=1,2);Dk→E;起点为A，终点为E，求A到E的最短路线，即求f4(A)第一阶段，当n=1时，有两条走向f1(D1)=d(D1,E)=4路线是:D1→Ef1(D2)=d(D2,E)=7路线是D2→E第二阶段;当n=2时，即C1到E的最短路为9，路线是：C1→D1→E或或C1→D2→E;,C2到E的最短路为8，路线是:C2→D1→E或C2→D2→E 第三阶段；当n=3时，B1到E的最短路为10，路线是:B1→C2→D1→E或B1→C2→D2→E，B2到E的最短路为10；路线是:B2→C2→D1→E或B2→C2→D2→E，B3到E的最短路为13；路线是:第四阶段，当n=4时，故A到E的的最短路为14;路线是:A→B1→C2→D1→E或A→B1→C2→D2→E二、商品生产和库存计划提高经济效益可以通过两种途径，一是技术方面的各种改进，二是生产组织和计划的改进，即合理安排人力物力资源，合理组织生产过程和库存计划，使总的成本为最低，经济效益为最佳。
本科生毕业论文（设计）（申请学士学位）论文题目动态规划在经济中的应用专业名称信息与计算科学滁学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。
本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
作者签名：年月日目录摘要1Abstract11. 动态规划相关背景32. 动态规划的相关概念32.1 基本特征32.2 基本概念42.3 基本思想52.4 动态规划模型的分类和方法52.5 动态规划的优缺点63. 动态规划的最优化原理和最优性定理83.1 最优化原理的概念和证明 83.2 动态规划的无后效性原理84. 动态规划在工业中的应用94.1 生产计划问题94.2 设备更新问题125. 结论20参考文献20致21动态规划摘要：动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化的一种数学方法。
所谓“动态”，指的是在问题的多阶段决策中，按某一顺序，根据每一步所选决策的不同，将随即引起状态的转移，最终在变化的状态中产生一个决策序列。
动态规划就是为了使产生的决策序列在符合某种条件下达到最优。
动态规划的方法，在工程技术、企业管理、工农业生产与军事等部门中都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在企业管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等，所以它是现代经济管理中的一种重要的决策方法。
它的应用也越来越受人重视。
本文主要运用动态规划的思想设计出有效的数学模型来解决生产领域中遇到的一些问题，对资源进行优化配置，并规划出最优或可行方案。
本文首先对“动态规划”的理论基础进行了讨论。
给出了动态规划的基本理论和基本方程，其次给出了最优性定理，并加以证明，最后以工业中最典型的两个问题为例，阐述了动态规划思想基本原理的应用。
动态规划在经济管理中的应用研究1 绪言20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
同时动态规划也是一种在数学和计算机中使用的，用于求解包含重叠子问题的最优化问题的方法。
其基本思想是，将原问题分解为相似的子问题，在求解过程中通过子问题的解求出原问题的解。
动态规划的思想是多种算法的基础，被广泛应用于计算机科学和工程领域。
它作为运筹学的一个分支，在工程技术，经济，工业生产及军事等部门都得到了广泛的应用，并获得了显著的效果。
许多问题，利用动态规划去处理，常比线性规划和非线性规划这样一些“静态”的优化方法更有成效。
特别是对于离散性质的问题，传统的解析数学方法无法施展其技，动态规划就常常成为一种有用的工具。
在某些情况下，用动态规划处理不仅能作定性的描述分析，而且可以利用计算机给出求其数值解的方法。
因此对动态规划应用的研究有重要的意义。
2 动态规划介绍动态规划是用来解决多阶段决策过程中最优化问题的一种方法。
动态规划基本原理是将一个问题的最优解转化为求子问题的最优解。
研究的对象是决策过程的最优化，其变量是变动的时间或变动的状态，最后达到整个系统的最优。
基本原理一方面说明了原问题的最优解中包含了子问题的最优解，另一方面给出了一种求解问题的思路，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同子问题，每一个子问题只解一次，并将结果保存起来以后直接引用，避免每次碰到时都要重复计算，以便各个击破。
动态规划在水电厂经济运行中的应用【摘要】在当前电力市场环境下，发电公司怎样组织机组经济运行，达到收益最大，是不容易解决的问题，据动态规划最优化原理，现提出一种适合于水电厂负荷分配最优化方法——动态规划法，并建立起其数学模型，且计算结果表明，此方法不仅能使水电厂厂内运行获取显著的经济效益，还为水电厂厂内经济运行的实时控制创造了便利条件。
【关键词】动态规划法经济运行效益优化前言动态规划产生于20世纪50年代，是1951年美国数学家贝尔曼等创立的解决和优化问题的方法。
最基本的DP通常是应用于厂内的优化调度，来获取机组间的负荷的最优分配决策。
因此，在怎样组织机组进行发电，且保证成本低、效益大、收益高，是每个水电公司需要解决的问题，而我认为行之有效的方法就是动态规划。
一、动态规划在经济运行应用中的理论分析1、为何要应用动态规划于经济运行动态规划法通过搜索由机组状态构成的空间寻找最优解。
搜索过程既可以前向进行也可逆向进行。
研究时间范围内的各个时段可以看作是动态规划问题的各个阶段，常见的情况是一个阶段代表一个小时。
如此一个时段内的机组组合就是动态规划问题的阶段。
依前向搜索的动态规划法而言，首先应是从初始阶段累计总成本，然后从最后一个阶段出发逐个阶段回溯寻找累计成本最小的机组组合直至初始阶段，从而确定最经济的发电计划(UC问题的最优解)。
动态规划法是通过建立和评价UC问题对应的完全决策树以求得最优解的，因此在机组数增加动态规划问题的规模迅速膨胀，也就是人们常提到的动态规划的“维数灾”。
很多人已经采用了多种手段来减小搜索空间及动态规划问题的维数，其中大多数是根据前面所提到的机组优先顺序表或动态机组优先顺序表。
此外，UC问题还可以分解为一系列的子问题，每一子问题用动态规划法求解。
常见的分解方法有SA法和HA法，SA法在用动态规划法解一个子问题时，将其它子问题的状态变量固定，来回迭代求解，直至所得的最优解不再变化为止；HA法是将子问题独立解出，然后用一协调因子将各子问题的解变换为全局最优解。
动态规划在管理中的应用探讨
刘慧;李龙清
【期刊名称】《郑州航空工业管理学院学报》
【年(卷),期】2004(022)003
【摘要】动态规划的理论和方法在求解多阶段决策问题中是卓有成效的,递推方法是动态规划的核心.在简要阐述动态规划基本原理的基础上,以管理方面的两个应用实例,介绍其建立模型的方法和求解的过程.
【总页数】3页(P24-25,28)
【作者】刘慧;李龙清
【作者单位】西安科技大学,陕西,西安,710054;西安科技大学,陕西,西安,710054【正文语种】中文
【中图分类】F270
【相关文献】
1.动态规划算法在软件工程管理中的应用 [J], 李倩伟;宋薇;
2.动态规划在建筑材料管理中的应用 [J], 伏晓春
3.动态规划方法在矿产资源规划中的应用探讨 [J], 夏守春;田取珍
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动态规划方法的应用研究作者：赵娟樊超来源：《计算机时代》2014年第02期摘要：动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法，其最终目的是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域有着广泛的应用，并且获得了显著的效果，是经济管理中一种重要的决策技术。
文章例举了动态规划在最短路线、资源分配、设备更新、排序、装载等方面的应用。
通过求解不同的实例，总结出用动态规划方法比用其他方法求解更容易、效率更高，并且所得到的解信息更丰富。
关键词：动态规划；最短路线；资源分配；设备更新中图分类号：N032 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2014）02-28-030 引言动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种数量方法。
其特点在于，它可以把一个n维决策问题变换为几个一维最优化问题，从而一个一个地去解决。
需指出：动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法。
所以必须对具体问题进行具体分析，运用动态规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再用动态规划方法去求解。
1 动态规划方法的求解步骤动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。
这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线（通常是求最优的活动路线）。
动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历如图1所示的几个步骤[1]。
⑴划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。
在划分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。
⑵确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处的各种客观情况用不同的状态表示出来。
当然，状态的选择要满足无后效性。
⑶确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。
动态规划与经济决策分析随着经济的不断发展和复杂化，为了更好地进行经济决策分析，人们积极地寻找各种方法和技术。
其中，动态规划作为一种强大的分析工具，应用于经济决策分析中，发挥了重要的作用。
动态规划是一种数学优化方法，旨在解决多阶段决策问题。
其核心思想是将问题拆解为一系列子问题，并通过递推的方式求解，以找到最优解。
对于经济决策问题，我们可以将其看作是一个在时间和资源限制下进行的多阶段决策过程。
动态规划可以帮助我们分析和优化这样的经济决策过程，从而更好地实现经济目标。
在经济决策中，动态规划可以应用于许多方面。
首先，它可以用于生产和资源分配决策。
例如，在制造业中，企业需要合理安排生产计划，以最大化利润。
动态规划可以帮助企业根据不同的时间、成本和需求情况，找到最佳的生产方案。
通过动态规划的分析，企业可以更好地适应市场需求，提高生产效率，降低生产成本。
其次，动态规划还可以应用于投资和资产管理决策。
在投资领域，动态规划可以帮助投资者在不同的条件下，对不同的投资项目进行评估和选择。
例如，一位投资者可能面临多个可行的投资项目，每个项目都有不同的收益和风险。
通过动态规划的分析，投资者可以根据自己的目标和风险承受能力，找到最佳的投资组合，以最大化收益和降低风险。
此外，动态规划还可以应用于资源管理和供应链决策。
在资源有限的情况下，如何合理管理和分配资源，是企业和组织面临的重要问题。
通过动态规划的分析，我们可以找到最佳的资源分配方案，以最大限度地满足需求，提高资源利用效率，减少浪费。
总的来说，动态规划作为一种强大的经济决策分析工具，可以应用于许多领域，帮助我们解决各种复杂的问题。
在实际应用中，我们需要深入理解和掌握动态规划原理和方法，同时结合具体的经济情况和目标，进行合理的建模和分析。
只有在理论和实践相结合的基础上，我们才能真正发挥动态规划在经济决策中的作用，并取得良好的效果。
总而言之，动态规划在经济决策分析中的应用无疑是非常重要的。
毕业论文文献综述信息与计算科学动态规划在经济管理中的应用一、前言部分动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学规划方法这类问题的特点是，它涉及的活动过程可以划分为若干个互相联系的阶段，在每个阶段都需要做出决策，且前一阶段的决策影响后一阶段的决策，从而影响整个过程的活动方式。
各个阶段所采取的决策，构成一个决策序列，称为策略。
由于每个阶段可供采取的决策通常有多个可以选择，因而也就可以构成多个策略。
按不同策略进行活动的经济效果往往不一样，因此，要按给定的评价指标衡量，哪一个策略的效果好，以求得最优策略。
动态规划在经济、工程技术、工业生产及军事等许多领域都有着重要的应用。
动态规划的处理方法是用一种称为“最优化原则”的思想方法导出一个函数方程，然后求解。
[1] 线性规划研究目标函数和约束条件都特别简单的优化（极值）问题。
[2]与线性规划相比，动态规划没有一个标准的数学模型。
然而，动态规划是一类很普遍的问题解决方法，需要建立特定的方程以适应各种情况。
因而，对动态规划问题总体结构要求一定程度上的独创性和洞察力，以识别何时以及如何通过动态规划的方法解决问题，这些能力可以通过大范围的动态规划应用和对其普遍特性的研究形成。
[3]二、主题部分2.1 动态规划概述动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼（R Bellman）等人在20世纪50年代提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的最优化原理，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支。
1957年，R Bellman发表了该分支领域的第一本专著《动态规划》（Dynamic Programming）。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存、投资、装载、排序等问题及生产过程的最优控制等。
由于它有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，比线性规划或非线性规划方法更有效。
[4][5]动态规划可以高效地解决许多用“贪心算法”或“分治算法”难以解决的最优解的问题。
用动态规划解题，首先要把原问题分解为若干子问题，这一点与递归方法类似。
动态规划与递归的区别在于：单纯的递归往往会导致子问题的解一旦被求出就会被保存，所以，每个子问题只需求解1次。
[6]2.2动态规划在经济管理中的应用2.2.1多阶段决策过程的最优化[7]多阶段决策过程，是一类特殊的活动过程，它可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，每个阶段称为“时段”。
在每个时段都需要做出决策，全部过程的决策是一个决策序故多阶段决策问题属贯决策问题。
多阶段决策过程最优化的目标是要达到整个活动过程的总体效果最优。
由于各阶段决策间有机地联系着，所以本阶段决策的执行将影响到下一段的决策，以至于影响总体效果，故决策者在短阶段决策时不应仅考虑本阶段最优，还应考虑对最终目标的影响，从而做出对全面来讲是最优的决策。
使用动态规划方法解决多阶段决策问题，首先耍将实际问题写成动态规化模型，具体包括以下思想：(一)将多阶段决策过程划分阶段，恰当地选取状态变量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化成一族同类型的子问题，然后逐个求解。
(二)求解时从边界条件开始，逆(或顺)过程行进方向，逐段递推寻优。
在每一个子问题求解时，都要使用它前面已求出的子问题的最优结果，最后一个子问题的最优解，就是整个问题的最优解。
(三)动态规划方法是既把当前一段与未来各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法，因此每段的最优决策选取是从全局考虑的，与该段的最优选择一般是不同的。
动态规划的基本方程是递推逐段求解的根据，一般的动态规划基本方程可以表为：11()11()[(,)()],1,,1()0k k k k k k k k k k u D S n n f S opt v S u f S k n n f S ++∈++=+=-⎧⎪⎨=⎪⎩K 式中opt 可根据求解问题取min 或max ，(,)k k k v s u 为状态k s 、决策k u 时对应的第k 阶段的指标函数值。
2.2.2动态规划建模(1)将实际问题的过程划分成恰当阶段，确定阶段变量根据多阶段决策问题的实际过程，将其划分为若干个相互独立又相互联系的部分，每一个部分为一个阶段，划分出的每一个阶段通常就是需要做出一个决策的子问题目。
阶段通常是按决策进行的时间或空间上的先后顺序划分的，阶段变量用表示。
(2)确定状态，正确选择状态变量在多阶段决策过程中，状态是描述每个阶段所必须的信息，表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件。
一个阶段有若干个状态，用一个或一组变量来描述，状态变量必须既能描述过程的演变，又要满足无后效性。
用表示第个阶段的状态变量。
(3)确定决策变量及允许的决策集合决策的实质是关于状态的选择，是决策者从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选择。
决策变量用k x 表示；允许的决策集合是决策变量的取值范围用()k k D s 表示。
(4)写出状态转移方程状态转移方程1(,)k K k k s T s x +=，这里的函数关系K T 因问题的不同而不同，如果给定第k 个阶段的状态变量k s ，则该阶段的决策变量k x 一经确定，第1k +阶段的状态变量的值也就可以确定。
(5)列出指标函数指标函数kn v 的关系，并要求具有可分离性及递推性；(6)写出动态规划函数基本方程，用1()k n f s +表示k n -阶段的最优策略函数：11()0()n n f x ++=边界条件{}1(),,1,,1k k k k f s opt v f k n n +=+=-L [8]2.2.3 动态规划在经济管理中的应用[9]1、背包问题1)一维背包问题(1)问题 有一个人带一个背包上山，其可携带物品重量的限度为a 公斤。
设有n 种物品可供他选择装入背包中，这n 中物品编号为1，2，L ，n 。
已知第i 种物品每件重量为i w 公斤，在上山过程中的作用(价值)是携带数量i x 的函数()i i c x 。
问此人应如何选择携带物品(各几件)，使所有作用（总价值)最大。
这就是著名的背包问题，类似的问题有工厂里的下料问题，运输中的货物装载问题，人造卫星内的物品装载问题等等。
(2)模型及其解法 设i x 为第i 种物品的装入件数，则问题的数学模型为：11max ()0(1,2,)n n i i i i i i iw x a f c x x i n ==⎧≤⎪=⎨⎪≥=⎩∑∑L 且为整数 它是一个整数规划问题。
如果i x 只取0或1，又称为0—1背包问题。
下面用动态规划的方法来求解，可写出动态规划的顺序递推关系式为：11110,1,()max ()k w x w f w c x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=L{}10,1,()max ()(),2k k k k k k k w x w fk w c x f w w x k n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=+-≤≤L然后，逐步计算出最优值函数123(),(),(),()n f w f w f w f w L 及相应的决策函数123(),(),(),()n x w x w x w x w L ，最后得出的()n f a ( 就是所求的最大价值，其相应的最优策略由反推运算即可得出。
2）二维背包问题(1)问题 如果还增加背包体积的限制为b ，并假设第i 种物品每件的体积为i v 立方米，问应如何装使得总价值最大。
(2)模型及其解法：它的数学模型为：111max (),1,2,,n i i i k n i i i i i i i w x a f c x v x b x j n ===⎧≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪≥=⎪⎩∑∑∑L 且为整数 用动态规划方法来解，其思想方法与一维背包问题完全类似，只是这时的状态变量是两个(重量和体积的限制)，决策变量仍是一个(物品的件数)。
设最优值函数(,)k f w v ，表示当总重量不超过w 公斤，总体积不超过v 立方米。
背包中装入第1种到第k 种物品的最大使用价值。
故可写出顺序逆推关系式为:{}10(,)(,)max ()(,,),1k k k k k k k k k k k w v x w v f w v c x f w w x v v x k n -⎡⎤⎡⎤≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+--≤≤0(,)0f w v =最后算出(,)n f a b 即为所求的最大价值。
[10]2．设备更新问题(1)问题 从经济上来分析，一种设备应该用多少年后进行更新为恰当，即更新的最佳策略应该如何。
从而使在某⋯时间内的总收入达到最大(或总费用达到最小)。
现以一台机器为例，随着使用年限的增加，机器的使用效率降低，收入减少，维修费用增加，而且机器使用年限越长，它本身的价值就越小，因而更新时所需的净支出费用就愈多。
(2)模型及其解法 设j I 为在第j 年机器役龄为t 年的一台机器运行所得的收入。
()j O t 为在第j 年机器役龄为t 年的一台机器运行所需运行费用。
()j C t 为在第j 年机器役龄为t 年的一台机器更新时所需要更新净费用。
a 为折扣因子(O ≤a ≤1)，表示一年以后的单位收入的价值视为现年的a 单位。
T 表示在第一年开始时，正在使用的机器的役龄。
N 表示计划的年限总数。
j g ()t 表示在第j 年开始使用一个役龄为t 年的机器时，第j 年至第n 年内的最佳收入。
()j x t 表示给出j g ()t 时,在第j 年开始时的决策(保留或更新)。
即得递推关系式为：1j 1:(0)(0)()(1)g ()max ,:()()(1)(1,2,,;1,2,1,1)j j j j j j j R I O C t ag t K I t O t ag t j n t j j T ++--+⎡⎤=⎢⎥-++⎣⎦==-+-L L由于研究的是今后n 年的计划，故还要求：1()0n g t +=。
[11]3．生产与存储问题(1)问题 要制定一个n 阶段(年)的生产(或购买)计划：设k d 为第k 阶段对产品的需求量，i x 为第k 阶段产品的生产(或采购)量，k v 为第k 阶段结束时的产品库存量，()k k c x 表示第k 阶段生产k x 时的成本，()k k h v 表示第k 阶段结束时有库存量k v 所需的存储费用，m 表示每阶段产品的最大生产能力。
若第1阶段之初和第n 阶段结束的库存量为0，每阶段的需求确定，则如何制定生产(或采购)计划，使n 阶段的总成本最小?（2）模型及解法1min ()()nj j j j j Z c x h v =⎡⎤=+⎣⎦∑010..(),2,3,,10,1,2,,n k k j j j j v v s t v x d k n x m j n =⎧==⎪⎪=-=-⎨⎪⎪≤≤=⎩∑L L 且为整数，状态转移方程1,1,2,,k k k k v v x d k n -=+-=L第k 阶段的指标为：()()()k k k k k k f v c x h v =+其中0,0(),1,2,,,k k k k k k x c x k ac x m x m =⎧⎪=+=⎨⎪∞>⎩L 当当当最优指标函数()k k f x 表示从第1阶段之初库存量为0到第k 阶段之末库存量为k v 时的最小总费用。
