人教B版高中数学选修(1-1)-2.3知识延伸：圆锥曲线在实际生活中的应用问题1

圆锥面与圆锥曲线教学设计一、教学目标知识与技能：1、了解圆锥曲线的发展史。

2、理解二元二次方程与圆锥曲线的关系。

3、掌握圆锥曲线的光学性质。

过程与方法：1、通过动画演示来说明圆锥曲线的由来，激发学生的兴趣。

2、通过合作学习，学生展示讲解，培养学生的表达能力、逻辑思维能力。

3、通过动画演示圆锥曲线的光学性质，学生对光学性质就有了直观感受。

情感态度价值观：通过阅读与欣赏以及动画演示让学生体会数学的博大精深与应用价值。

二、学习者分析1、学生了解了如何用坐标法研究圆锥曲线。

2、高二学生有能力通过自主探究与合作交流学习本节内容。

3、学生喜欢参与和展示。

三、教学重难点分析及解决措施重点：1、圆锥截面的不同情况。

2、二元二次方程与圆锥曲线的关系。

3、光学性质的应用。

难点：1、对圆锥曲线截线情况的证明。

2、引导学生发现二元二次方程的分析方法。

3、光学性质的理解与应用。

解决措施：1、在圆锥曲线的形成上，采用动画演示的方式。

学生观看，并采用合作学习，讲解展示的方式突破难点。

2、在二元二次方程与圆锥曲线关系环节，设置了任务驱动式合作学习，教师指导的方法突破难点。

四、教学过程设计（一）圆锥曲线的发展史1、抢答题：（预习检测）（1）最先发现圆锥曲线的数学家是古希腊的（）（2）《圆锥曲线论》的作者是（）（3）揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的天文学家是（）（4）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线的物理学家是（）（5）创立解析几何的法国数学家是（）A开普勒B阿波罗尼奥斯C 伽利略D笛卡尔阿基米德。

设计意图：（1）通过抢答的方式调动学生的积极性，活跃课堂气氛。

（2）是对阅读与欣赏课，学生自主预习的检测。

（3）通过小组加分，激发学生的热情。

2、动画演示梅内赫莫斯的圆锥曲线古希腊数学家梅内赫莫斯。

他用垂直于母线的平面去截直角、钝角、锐角圆锥面，得到各种类型的圆锥曲线。

促使他用平面去截圆锥面而得出圆锥曲线的动因，是为了解决古希腊三大作图问题之一的倍立方问题。

2.3 抛物线2．3.1抛物线及其标准方程1．掌握抛物线的定义及其标准方程．(重点)2．了解抛物线的实际应用．(难点))3．能区分抛物线标准方程的四种形式．(易混点[基础·初探]教材整理抛物线的定义与标准方程阅读教材P57～P58例1以上部分，完成下列问题．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程四种不同标准形式的抛物线方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )(4)抛物线可看作双曲线的一支．( )【答案】(1)√(2)√(3)×(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)焦点到准线的距离为52. 【导学号：25650075】【精彩点拨】本题主要考查抛物线标准方程的求法，解题的关键是明确标准方程的类型和参数p的值．【自主解答】(1)∵点(－3,2)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)． 将点(－3,2)代入方程，得2p ＝43或2p ＝92.∴当焦点在x 轴上时，所求抛物线方程是y 2＝－43x ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，0，准线方程为x ＝13；当焦点在y 轴上时，所求抛物线方程为x 2＝92y ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，98，准线方程为y ＝－98.(2)令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 则由p2＝2，得2p ＝8，∴所求抛物线方程为x 2＝－8y .令y ＝0，由方程x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则由p 2＝4，得2p ＝16，∴所求抛物线方程为y 2＝16x .综上，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x . 其准线方程为y ＝2或x ＝－4， 焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．[再练一题]1．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.【解】 (1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2，则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－p 2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .B 高5m ，且与OA 所在的直线相距4m ，水流落在以O 为圆心，半径为9m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？ 【导学号：25650076】【精彩点拨】 根据题意先建立坐标系，设出抛物线方程，把实际问题转化为数学问题． 【自主解答】 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8 (m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．[再练一题]2．某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货的木船露在水面上的部分为0.75m ，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 【导学号：25650077】【解】 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图)设抛物线的方程是x 2＝－2py (p ＞0)， 由题意知A (4，－5)在抛物线上， 故16＝－2p ×(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B 、B ′时，木船开始不能通航． 设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m 时，木船开始不能通航．[探究共研型]探究1 【提示】 抛物线标准方程中的p 的几何意义是焦点到准线的距离． 探究2 抛物线定义的功能是什么？【提示】 根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．(1)若动点M 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则动点M 的轨迹方程是________．(2)如图2-3-1，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)．求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．图2-3-1【精彩点拨】 (1)中先由抛物线的定义确定点M 的轨迹，再写方程．(2)由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线的距离d ，求|P A |＋|PF |的问题可转化为|P A |＋d 的问题．【自主解答】 (1)如图，设点M 的坐标为(x ，y )．由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p＝8.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2＝16x.【答案】y2＝16x(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|P A|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|P A|＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6＞2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|P A|＋|PF|＝|P A|＋d.由图可知，当P A⊥l时，|P A|＋d最小，最小值为7 2 .即|P A|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2)．1．对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题．2．抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．[再练一题]3．(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．2 C.5D.92 (2)(2015·上海高考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________.【解析】 (1)如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值，则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值． 又A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF |＝错误!＝错误!.故选A. (2)依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，则p ＝2.【答案】 (1)A (2)2[构建·体系]1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，18【解析】 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以p ＝14，故焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，18.【答案】 D2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 抛物线焦点到准线的距离是p ＝4. 【答案】 C3．若双曲线x2m －y23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________. 【导学号：25650078】【解析】 双曲线x2m －y23＝1的右焦点为(m ＋3，0)，抛物线y 2＝12x 的焦点F (3,0)，∴m ＋3＝3，∴m ＝6.【答案】 64．以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，则这些圆必过一定点，这个定点的坐标是________．【解析】 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＋2＝0，根据抛物线的定义，圆心到直线x ＋2＝0的距离等于圆心到焦点的距离，所以这些圆必过抛物线的焦点，所以应填(2,0)．【答案】 (2,0)5．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值．【解】 法一 设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧m2＝6p ，m2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝26，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝－26，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ， m 的值为±26.法二 设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，因此，抛物线方程为y 2＝－8x ，又点M (－3，m )在抛物线上，于是m 2＝24， ∴m ＝±26.。

人教版高中选修(B版)1-1第二章圆锥曲线与方程课程设计一、选题背景和意义高中数学学科作为一门非常基础且重要的学科，不仅仅对于学生的高考有着非常重要的意义，也是对于学生进行逻辑思维、推理能力及创新思维的培养的重要途径。

其中，圆锥曲线的研究既是解决实际问题的有效手段，也是推动数学理论发展的一个方向。

因此，对于高中学生来说，深入理解圆锥曲线及相关方程的性质与规律，不仅可以帮助他们提高数学能力，还可以帮助他们解决实际问题。

二、教学目的和要求2.1 教学目的1.了解什么是圆锥曲线及其性质2.掌握圆锥曲线及其方程的相关知识3.培养学生逻辑思维、推理能力及创新思维2.2 教学要求1.学生能够了解圆锥曲线及其性质，并能够应用相关知识解决实际问题；2.学生能够掌握圆锥曲线及其方程的相关知识，能够准确地根据给定条件构建方程；3.学生能够通过实际问题，培养逻辑思维、推理能力以及创新思维。

三、教学设计3.1 教学内容1.圆锥曲线的概念；2.圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义及性质；3.直角圆锥的形状及其变化；4.圆锥曲线方程的推导及构造方法；5.圆锥曲线的应用实例。

3.2 教学方法本课程主要采用讲授、演示和实践相结合的教学方法，使学生在学习过程中理论联系实际，并注重培养学生的探究性、主动性和创造性。

3.3 教学流程第一步：导入通过展示圆锥曲线的图片及相关知识，引入课程主题；第二步：知识点讲解1.圆锥曲线的概念及分类；2.圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义及性质；3.直角圆锥的形状及其变化；4.圆锥曲线方程的推导及构造方法；第三步：思考与探究通过一些实际问题引导学生思考，并结合已学知识进行分析和解决。

第四步：作业布置布置与圆锥曲线相关的习题，加深学生对于所学的理解。

3.4 教学资料1.PPT2.圆锥曲线练习题四、教学评估本课程采用闭卷考试的形式进行评估，主要考核以下内容：1.对圆锥曲线的概念及性质的理解；2.圆锥曲线方程的推导及构造方法；3.对于实际应用问题的解决能力。

2.8 直线与圆锥曲线的位置关系学习目标核心素养位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、逻辑推理、数学运算素养．激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？[提示]不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝错误!＝1＋1k2|y1－y2|＝错误!．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线．( )(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．( )(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．( ) [答案](1)√(2)√(3)×[提示](1)√(2)√(3)×必要不充分条件．2．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )A．15B．13C．215D．213A[令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1y2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝错误!＝错误!＝错误!．] 3．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y22＝1的位置关系为 ． 相交[联立⎩⎨⎧y ＝x ＋1x2＋y22＝1消去y 得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0∴直线与椭圆相交．]4．直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线x29－y 2＝1交点个数为 个．1 [直线与渐近线平行因此只有一个交点．] 5．过椭圆x213＋y212＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．241313 [椭圆的右焦点为(1,0)，把x ＝1代入x213＋y212＝1中得：y 2＝12213，∴y ＝±121313，∴|AB |＝241313．]直线与圆锥曲线的位置关系[直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？[提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x24＋y 2＝1的位置关系．[解]由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，①x24＋y2＝1，②得x24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0．③此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定， Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交．当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切． 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0， 方程③没有实数根，直线与椭圆相离．1．(变条件，变设问)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点(6，1)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． [解] (1)由e ＝233可得c2a2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x23b2－y2b2＝1，将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1．所以双曲线C 的方程为x23－y 2＝1．(2)联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x2－3y2－3＝0⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由题意得错误! 解得－1＜k ＜1且k ≠±33． 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1．2．(改变条件)已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ．问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？[解] 由方程组错误!消去y 得 k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，记Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)， (1)若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ＞0，即k 2≠0，且16(1－k 2)＞0， 解得k ∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点． (2)若直线与抛物线有一个交点， 则k 2＝0或k 2≠0时，Δ＝0． 解得k ＝0或k ＝±1．所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点． (3)若直线与抛物线无交点， 则k 2≠0且Δ＜0． 解得k ＞1或k ＜－1． 所以当k ＞1或k ＜－1时， 直线l 和抛物线C 无交点．直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．弦长问题及中点弦问题【】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． [思路探究] 本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a ，b 的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．[解] 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0．而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a ．∵|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，即(x 2－x 1)2＝4，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 2－x 1)2＝4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4．将b ＝2a 代入，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x23＋23y 2＝1．法二：由⎩⎨⎧ax2＋by2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝错误! ＝2·错误!． ∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1．①设C (x ，y )，则x ＝x1＋x22＝ba ＋b， y ＝1－x ＝a a ＋b ．∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22， 代入①，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x23＋23y 2＝1．直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.[跟进训练]1．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|．[解] 法一：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ∵P 1，P 2在抛物线上， ∴y 21＝6x 1，y 2＝6x 2．两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0． 由⎩⎨⎧y2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝1＋19·错误!＝错误!． 法二：由题意设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0．设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24kk，∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k ＝2，∴k ＝3，∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)． 由y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22， 得|P 1P 2|＝1＋19·22－4×（－22）＝22303． 圆锥曲线中的最值及范围问题【例3】已知双曲线C ：a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围． [解] (1)由双曲线x2a2－y2b2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92．① 由题意知b a ＝22，②由①②解得a 2＝3，b 2＝32，∴椭圆E 的方程为x23＋23y 2＝1． (2)由(1)知P (－3，0)． 设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)． 即⎩⎨⎧x0＋3＝－2x0，y0＝－2y0，解得⎩⎨⎧x0＝－33，y0＝0，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0．设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋332＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x1－332＋y 21＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113． 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]， ∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，203．1．求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法 (1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． (2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等．[跟进训练] 2．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，C 过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，离心率e ＝12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若PQ 为椭圆C 过F 1的弦，R 为PF 2的中点，O 为坐标原点，求△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和的最大值．[解] (1)由e ＝c a ＝12，设a ＝2t ，c ＝t ，t ＞0，可得b ＝3t ，椭圆方程为x24t2＋y23t2＝1，代入M ，可得14t2＋34t2＝1，可得t ＝1，则a ＝2，b ＝3，c ＝1， 可得椭圆方程为x24＋y23＝1．(2)由O ，R 分别为F 1F 2，PF 2的中点，可得△RF 1F 2的面积为△PF 1F 2的面积的一半，即为△PF 1O 的面积，△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和设为S ，则S ＝S △PQO ，当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x ＝－1，此时S △PQO ＝12×1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y ＝k (x ＋1)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线PQ 不与x 轴重合，即k ≠0，联立错误!，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144(k 2＋1)＞0，故x 1＋x 2＝－8k23＋4k2，x 1x 2＝4k2－123＋4k2， 故|PQ |＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋k2错误!＝错误!，点O 到直线PQ 的距离d ＝|k|1＋k2， S ＝12|PQ |d ＝6错误!，令u ＝3＋4k 2∈(3，＋∞)， 故S ＝6u －34·u ＋14u2＝32－3u2－2u ＋1＝ 32－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋132＋43∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32， 故S 的最大值为32．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切．2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．1．椭圆x225＋y24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．18B [∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12．]2．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )A ．x －4y －3＝0B ．x ＋4y ＋3＝0C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝0 C [设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2．∵A 、B 在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 2＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y1－y2x1－x2＝－4， ∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0．]3．已知双曲线C ：x 2－y24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条B [因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是 ． (4,2) [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线得方程组⎩⎨⎧ x －y ＝2，y2＝4x.整理得x 2－8x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，所以中点坐标为(4,2)．]5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x22＋y 2＝1交于M 、N 两点， 且|MN |＝423．求直线l 的方程． [解] 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x22＋y2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0． 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k22＝329，化简得：k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1．∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1．。