集合的概念第一课时

集合1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义[新知初探]1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．2．元素与集合的关系[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a ∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．常用的数集及其记法[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．( )(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( )(3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )答案：(1)√(2)×(3)×2．下列元素与集合的关系判断正确的是( )A．0∈N B．π∈QC.2∈Q D．－1∉Z答案：A3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是( )A．0 B．1C．－1 D．0或1答案：A4．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．答案：2集合的基本概[例1] 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )①某校高一年级成绩优秀的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．[答案] B1．给出下列说法：①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合；④大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填序号)解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所以④错误．答案：①③[例2] (1)下列关系中，正确的有( ) ①12∈R ；② 2∉Q ；③|－3|∈N ；④|－3|∈Q. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[解析] (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)由题意可得：3－x 可以为1,2,3,6，且x 为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A 中元素有2,1,0. [答案] (1)C (2)0,1,2元素与集合的关系[活学活用]2．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ∉B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D ∵a ∈A ，a ∉B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 3．用适当的符号填空：已知A ＝{x|x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x|x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B.解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z. 所以17∈A.令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z.所以－5∉A.令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ， 所以17∈B. 答案：∈ ∉ ∈[例3] 已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________．集合中元素的特性及应用[解析] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案] －1[一题多变]1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．解：因2∈A，则a＝2或a2＝2即a＝2，或a＝2，或a＝－ 2.2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因A中有两个元素a和a2，则由a≠a2解得a≠0且a≠1.3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉A解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的解集是{2,2}．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )A．2 B．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A.故选B.5．由实数－a ，a ，|a|，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a>0，－a ，a<0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合； ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素； ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素； ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素． 其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数， ∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数， 故a ＋b ∉A ，ab ∈A. 答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x<a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________. 解析：∵x ∈N,2<x<a ，且集合P 中恰有三个元素， ∴结合数轴知a ＝6. 答案：69．设A 是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<6，3a<6，解得a<2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． 解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.层级二 应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等． 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，ba ，b.若集合A 与集合B 相等，则b－a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a≠0，∴a ＝－b ， ∴ba＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a|a ＋|b|b ＋|ab|ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>36．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.8．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.11 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A.∵12∈A ，∴11－12＝2∈A.∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集．。

第一章集合与函数概念1.1 集合第一课时集合的含义与表示一、元素与集合1.定义：(1)元素：一般地，把所研究的____统称为元素，常用小写的拉丁字母a,b,c，…表示.(2)集合：一些元素组成的总体，简称为__，常用大写拉丁字母A,B,C，…表示.2.集合相等：指构成两个集合的元素是____的.*对集合相关概念的理解(1)集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们只对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体.(2)元素：集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素(3)整体：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而并非个别对象.3.集合中元素的特性：______、______和_______.确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．说明：(1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a和集合A，在a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立.(2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系.4.元素与集合之间的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A【跟踪】(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.( )(2)漂亮的花组成集合.( )(3)本班所有的姓氏组成集合.( )(4)由3个不同的元素进行排序可以构成6个不同的集合.( )二、常用的数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集：N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R例1：1.下列说法中正确的序号是 .①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合；②中国海洋大学2013级大一新生组成一个集合；③参加2012年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合；④未来世界的高科技产品组成一个集合.2.判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)1,0.5，31,52组成的集合含有四个元素.(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素.(3)组成单词china的字母组成一个集合.【变式训练】1.下列对象能组成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好音乐的一些人C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天所有课程2.指出下列集合中的元素：(1)young中的字母组成的集合.(2)book中的字母组成的集合. 例2.元素与集合的关系1.下列所给关系中正确的个数是( )①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A.1B.2C.3D.42.设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)_________P(填“∈”或“∉”).【变式训练】A中的元素集合A是由形如m∈Z，n∈Z)例3.集合中元素互异性的简单应用1.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可2.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，6－a∈A，则a＝_____________.【变式训练】1.由a2,2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )A.1B.-2C.6D.22.已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为( )A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对3.集合A中含有三个元素0，1，x，且x2∈A，则实数x的值为( )A.0B.1C.-1D.1或-1课堂练习：1.下列各组对象中不能组成集合的是( )A.某科教文化股份有限公司的全体员工B.文化书店的所有书刊C.2013年考入清华大学的全体学生D.美国NBA的篮球明星2.设集合A只含一个元素a，则下列表示正确的是( )A.{a}≠AB.a∉AC.a∈AD.a＝A3.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.44.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳_____A，广州_____A (填“∈”或“∉”).5.由实数x，－x所组成的集合中元素最多有 ________个．6.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.第2课时集合的表示集合的常用表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

§1．1集合的概念性质一．集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P附近的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ；⑵若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。

第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集 合1.1.1 集合及其表示方法第一课时 集合的概念一、选择题1.下列对象能构成集合的是( )A.高一年级全体较胖的学生B.sin 30°，sin 45°，cos 60°，1C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点答案 D解析 对于A ，高一年级较胖的学生，因为较胖的标准不确定，所以不满足集合元素的确定性，故A 错误；对于B ，由于sin 30°＝cos 60°＝12，不满足集合元素的互异性，故B 错误；对于C ，全体很大的自然数，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，故C 错误；对于D ，平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是△ABC 外接圆的圆心，满足集合的定义，故D 正确.2.下列说法正确的是( ) A.2∈NB.－1∈NC.12∈ND.9∈N答案 D解析 对于A ，2是无理数，所以2∈N 不正确；对于B ，－1<0，所以－1∈N不正确；对于C ，12不是自然数，所以12∈N 不正确，故选D.3.(多选题)下列说法错误的是()A.集合N中最小的数为0B.若－a∈N，则a∈NC.若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2D.所有小的正数组成一个集合答案BCD解析N中最小的数为0，所以A正确；由－(－2)∈N，而－2∉N可知B错误；若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为0，所以C错误；“小”的正数没有明确的标准，所以D错误，故选BCD.4.给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③－3∉Z；④－3∉N，其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B解析13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确.故选B.5.设集合A中有三个元素2，3，4，集合B中有三个元素2，4，6，若x∈A且x∉B，则x＝()A.2B.3C.4D.6答案B解析集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意.二、填空题6.下列说法中，①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素，其中正确的有________(填序号).答案②④解析因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，由实数的分类可知①③中的说法不正确，②④中的说法正确.7.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________.答案 3解析 由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m ＝3时，满足题意，故m ＝3.8.由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合最多含________个元素.答案 2解析 由于|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，且x ，－x ，|x |之中至少有两个相等，所以最多含2个元素.三、解答题9.设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值.解 ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10.设x ∈R ，集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x .(1)求元素x 应满足的条件；(2)若－2∈A ，求实数x 的值.解 (1)由集合中元素的互异性可得x ≠3，x 2－2x ≠x ，且x 2－2x ≠3，解得x ≠－1，x ≠0，且x ≠3.(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2.由于方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，所以x ＝－2.经检验，知x ＝－2时三个元素符合互异性.故x ＝－2.11.(多选题)下列关系中正确的是( )A.14∈RB.2∉QC.－3∈ND.3∈Z答案 AB 解析 14是实数，故A 正确；2是无理数，故B 正确；－3不是自然数，故C 不正确；3是无理数，不是整数，故D 不正确.12.已知集合M 中有2个元素x ，2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________(填序号).①2∈M ；②1∈M ；③x ≠3.答案 ②解析 依题意⎩⎨⎧x ≠－1，2－x ≠－1，x ≠2－x .解得x ≠－1，x ≠1且x ≠3，当x ＝2或2－x ＝2，即x ＝2或0时，M 中的元素为0，2，故①可能正确； 当x ＝1或2－x ＝1，即x ＝1时，M 中两元素为1，1，不满足互异性，故②不正确，③显然正确.13.由三个数a ，b a ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合相等，求a 2 021＋b 2 021的值.解 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0(不满足集合元素的互异性，舍去). 所以a 2 021＋b 2 021＝(－1)2 021＋0＝－1.14.设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1).求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集.证明 (1)若a ∈A ，则11－a ∈A ，∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－（－1）＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A .∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0，方程无解，∴a ≠11－a ，∴集合A 不可能是单元素集.。

集合的概念第一课时教案一、教学目标1.理解集合的基本概念和表示方法。

2.掌握集合的元素特性，了解集合的分类。

3.学会使用集合描述和解决实际问题。

二、教学重点和难点1.重点：集合的基本概念、元素特性、分类及表示方法。

2.难点：如何理解集合的概念，如何用集合描述实际问题。

三、教学过程1.导入新课：通过简单的日常生活中的例子，如“一群人、一堆书、一组数”等引入集合的概念。

2.讲解概念：详细解释集合、元素、子集、超集等概念，并通过实例帮助学生理解。

3.集合的表示方法：介绍列举法和描述法两种表示集合的方法，并举例说明如何使用。

4.集合的分类：介绍空集、有限集、无限集等集合的分类，并通过实例进行说明。

5.集合的应用：通过实例讲解如何用集合描述和解决实际问题，如数学中的数集、点集等。

6.课堂练习：通过问题解答等方式进行课堂互动，强化学生对集合概念的理解和应用能力。

7.总结回顾：对本节课内容进行回顾，强调重点和难点，并引导学生进行思考和讨论。

四、教学方法和手段1.讲解与示范相结合：通过讲解和示范相结合的方式，使学生更好地理解集合的概念和表示方法。

2.实例教学：通过实例教学的方式，帮助学生更好地理解集合的概念和实际应用。

3.问题解答：通过问题解答的方式，强化学生对集合概念的理解和应用能力。

4.多媒体辅助：使用多媒体辅助教学，提高教学效果和效率。

五、课堂练习、作业与评价方式1.课堂练习：通过问题解答等方式进行课堂互动，强化学生对集合概念的理解和应用能力。

2.作业：布置相关练习题，加深学生对集合概念的理解和应用能力。

3.评价方式：通过观察学生参与度、答题情况等方式进行评价，及时反馈学生的学习情况和问题，帮助学生更好地掌握集合的概念和应用。

六、辅助教学资源与工具1.教学PPT：提供清晰简洁的PPT，帮助学生学习和理解集合的概念和应用。

2.教学视频：提供相关的教学视频，帮助学生更好地掌握集合的概念和应用。

3.教学案例：提供相关的教学案例，帮助学生更好地理解集合的实际应用。

第一课时集合－集合的概念教学目的：〔1〕使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法〔2〕使学生初步了解“属于〞关系的意义〔3〕使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在教具：多媒体个结论，他写成论文提交给法国科、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数已证明的一个结果可以说明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家X维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于X维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集〞这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、复习引入：1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔〔德国数学家〕〔见附录〕；4．“物以类聚〞，“人以群分〞；5．教材中例子〔P4〕二、讲解新课：阅读教材第一部分，问题如下：〔1〕有那些概念？是如何定义的？〔2〕有那些符号？是如何表示的？〔3〕集合中元素的特性是什么？〔一〕集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．1、集合的概念〔1〕集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合〔简称集〕〔2〕元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素〔3〕元素对于集合的隶属关系〔4〕集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可在时称属于，即a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……“∈〞的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写不在时称，不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序〔通常用正常的顺序写出〕2、集合的表示方法：〔1〕列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：①元素个数少且有限时，全部列举；如{1，2，3}②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。