2015-2016学年数学苏教版必修1课时作业3.2《对数函数》习题课

§3.2 对数函数 3.2.1 对数（一）课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．1．对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即________，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作__________．其中a 叫做__________，N 叫做______． 2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做________，以e 为底的对数叫做________，log 10N 可简记为________，loge N 简记为________． 3．对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝____.对数恒等式：log a Na ＝____；log a a x ＝____(a >0，且a ≠1)． 4．对数的性质(1)1的对数为____； (2)底的对数为____； (3)零和负数________．一、填空题1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为________．2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝100；④若 e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是________．(填序号)3．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是_____________________________．4．方程3log 2x＝14的解集是________．5．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是________． ①b ＝a 5c ；②b 5＝a c ；③b ＝5a c ；④b ＝c 5a .6．0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为________．7．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x -＝________. 8．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________.9．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则ba＝________.二、解答题10．(1)将下列指数式写成对数式：①10－3＝11 000；②0.53＝0.125；③(2－1)－1＝2＋1. (2)将下列对数式写成指数式：①log 26＝2.585 0；②log 30.8＝－0.203 1； ③lg 3＝0.477 1. 11．已知log a x ＝4，log a y ＝5，求A＝12x ⎡⎢⎢⎢⎣的值．能力提升12．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是________． 13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值：①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a＝8，试用a 表示下列各式： ①log 68；②log 62；③log 26.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算． 3．指数式与对数式的互化§2.3 对数函数 2．3.1 对 数 第1课时 对数的概念知识梳理1．a b ＝N log a N ＝b 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数 作业设计 1．3解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．①②解析 ∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确； ∵ln e ＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；由lg x ＝10，得1010＝x ，故x ≠100，故③错误； 由e ＝ln x ，得e e ＝x ，故x ≠e 2，所以④错误． 3．2<a <3或3<a <5解析 由对数的定义知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a >0，a －2>0，a －2≠1⇒⎩⎨⎧a <5，a >2，a ≠3⇒2<a <3或3<a <5.4．{x |x ＝19}解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．①解析 由log a 5b ＝c ，得a c ＝5b ， ∴b ＝(ac )5＝a 5c . 6．8解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.7.24解析 由题意得：log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，转化为指数式则有x＝23＝8，∴128-＝1218＝18＝122＝24.8．3解析由题意得：log x9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3，又∵x>0，∴x＝3.9.1 10解析依据a x＝N⇔log a N＝x(a>0且a≠1)，有a＝102.431 0，b＝101.431 0，∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110.10．解(1)①lg11 000＝－3；②log0.50.125＝3；③log2－1(2＋1)＝－1.(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.11．解A＝12x·11622xy-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭＝51213xy.又∵x＝a4，y＝a5，∴A＝5353aa＝1.12．45解析由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5.∴a2m＋n＝(a m)2·a n＝32×5＝45.13．解(1)①因为log2x＝－25，所以x＝252-＝582.②因为log x3＝－13，所以x－13＝3，所以x＝3－3＝127.(2)①log68＝a.②由6a＝8得6a＝23，即36a＝2，所以log62＝a3.③由36a＝2得32a＝6，所以log26＝3a.。

第二课时1．已知函数f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)的反函数为y ＝f －1(x)，且有反函数值f －1(2)<1，则下列图象中是函数f(x)的图象的序号是__________．2．将函数y ＝log 2x 的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数f(x)的图象，则f(x)的解析式是__________．3．已知0<a<1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则x 、y 、z 的大小关系为__________．4．已知函数f(x)＝1＋log a x(a>0，且a ≠1)，f －1(x)是f(x)的反函数．若f －1(x)的图象过点(3,4)，则a ＝__________.5．已知f(x)＝lg 2x a ＋bx，f(1)＝0，且当x>0时，恒有f(x)－f(1x )＝lgx.(1)求常数a 、b 的值； (2)求f(x)的定义域．课堂巩固1．若定义在区间(－1,0)上的函数f(x)＝log 2a (x ＋1)满足f(x)＞0，则a 的取值范围是__________．2．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则a 、b 、c 的大小关系是__________．3．设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a 等于__________．4．设a>1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a)，则m 、n 、p 的大小关系是__________．5．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝g(x)的图象与y ＝e x 的图象关于直线y ＝x 对称，而函数y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象关于y 轴对称．若f(m)＝－1，则m ＝__________.6．已知函数f(x)＝log a x(a>0，且a ≠1)，如果对于任意x ∈[3，＋∞)都有|f(x)|≥1成立，求a 的取值范围．7．在同一直角坐标系下，画出函数f(x)＝1＋log 2x 与g(x)＝2－x ＋1的图象．1．(1)函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝log 3x(x>0)的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝__________.(2)若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝log 2x ，则f(x)＝__________.2．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在[2，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围是__________．3．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则a 、b 、c 的大小关系为__________．4．若A ＝{x|2≤22－x<8，x ∈Z }，B ＝{x||log 2x|>1}，则A ∩(∁R B)的元素个数为__________．5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x<2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f(x)>2的解集为__________． 6．若x ∈(e －1,1)，a ＝lnx ，b ＝2lnx ，c ＝ln 3x ，则a 、b 、c 的大小关系是__________．7．已知函数f(x)＝2x ＋3，f －1(x)是f(x)的反函数，若mn ＝16，m ，n ∈(0，＋∞)，则f －1(m)＋f －1(n)的值为__________．8．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c ＝log 2c ，则a 、b 、c 的大小关系为__________．9．对于函数f(x)定义域中任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下结论：①f(x 1＋x 2)＝f(x 1)·f(x 2)；②f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)；③f(x 1)－f(x 2)x 1－x 2>0；④f(x 1＋x 22)<12(f(x 1)＋f(x 2))．当f(x)＝lgx 时，上述结论成立的序号是__________．10．(易错题)(1)方程lgx 2－lg(x ＋2)＝0的解集是 __________.(2)函数y ＝log 13(1－x)(x ＋3)的递增区间是__________．11．(易错题)已知f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，试比较f(x)与g(x)的大小．12．已知f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求y ＝f(x)的定义域．(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于x 轴？ (3)当a ，b 满足什么条件时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值？答案第二课时 课前预习1．②∵f －1(x)＝a x ，又f －1(2)<1，∴a 2<1. ∵a>0且a ≠1，∴0<a<1，f(x)＝log a x 为减函数．2．f(x)＝log 2(x ＋2)－1y ＝log 2x ――→向左平移2个单位长度y ＝log 2(x ＋2)――→向下平移1个单位长度y ＝log 2(x ＋2)－1. 3．z<x<y ∵x ＝log a 2＋log a 3＝log a 6，y ＝12log a 5＝log a 5，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7.∵0<a<1，∴函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上为单调减函数．又5<6<7，∴log a 5>log a 6>log a 7，即z<x<y.4．2由互为反函数图象间的关系，得(4,3)必在函数f(x)的图象上，∴3＝1＋log a 4，即log a 4＝2.∴a 2＝4.又a>0且a ≠1，∴a ＝2.5．解：(1)∵f(1)＝0，∴lg 2a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝2.①∵f(x)－f(1x)＝lgx ，∴lg 2xa ＋bx －lg 2x a ＋b x＝lgx.∴(ax ＋b)x a ＋bx ＝x ，即ax 2＋bx ＝ax ＋bx 2，∴a ＝b.②由①②知，a ＝b ＝1.(2)∵f(x)＝lg 2x1＋x ，∴由2x1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x>0，1＋x>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧2x<0，1＋x<0，②由①得x>0，由②得x<－1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．课堂巩固1．(0，12)当x ∈(－1,0)时，有x ＋1∈(0,1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可．∴0<a<12.2．a>b>c ∵a ＝log 3π>log 33＝1，log 71<log 76<log 77， ∴0<b<1，c ＝log 20.8<log 21＝0. ∴a>b>c.3．4由a>1，知f(x)在区间[a,2a]上为单调增函数，∴log a 2a －log a a ＝12，即log a 2＝12，解得a ＝4.4．n<p<m 方法一：(特值法)令a ＝2>1，则m ＝log 25>log 24＝2，n ＝log 21＝0，p ＝log 24＝2，∴n<p<m.方法二：∵a>1，∴a 2＋1－2a ＝(a －1)2. ∴a 2＋1>2a ；2a －(a －1)＝a ＋1>0，∴2a>a －1. ∴a 2＋1>2a>a －1＞0.根据a>1时，y ＝log a x 为单调增函数，得log a (a 2＋1)>log a (2a)>log a (a －1)，即m>p>n.5．－1e 由题意知，g(x)是函数y ＝e x 的反函数，∴g(x)＝lnx.又函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象关于y 轴对称，∴f(x)＝ln(－x)．又∵f(m)＝－1，∴ln(－m)＝－1＝lne －1，∴－m ＝e －1，即m ＝－1e.6．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞)上：当a>1时，|f(x)|≥1⇔f(x)≥1⇔log a 3≥1， ∴1<a ≤3.当0<a<1时，|f(x)|≥1⇔f(x)≤－1⇔log a 3≤－1，∴13≤a<1.综上可知，a 的取值范围是[13，1)∪(1,3]．7．解：∵f(x)的图象是由y ＝log 2x 向上平移1个单位得到的，g(x)＝(12)x －1的图象是由y ＝(12)x 的图象向右平移一个单位得到的，∴先画出函数y ＝log 2x 与y ＝(12)x 的图象，再经平移即得f(x)与g(x)的图象，如图所示．课后检测1．(1)3x (x ∈R )(2)2x (x ∈R )(1)由题意知y ＝f(x)与y ＝log 3x(x>0)互为反函数，∴f(x)＝3x (x ∈R )．(2)∵y ＝f －1(x)＝log 2x ， ∴x ＝2y .∴f(x)＝2x (x ∈R )．2．(－4,4] 令u(x)＝x 2－ax ＋3a ，其对称轴为x ＝a2，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧u(2)＝4－2a ＋3a>0，a2≤2.解得－4<a ≤4.3．c<a<b 方法一：a ＝12ln2＝ln212，b ＝ln33＝ln313，c ＝15ln5＝ln515.∵(212)30＝215，(313)30＝310，(515)30＝56，又∵56<215<310，∴515<212<313.∴ln515<ln212<ln313.∴c<a<b.方法二：(作差法)a －b ＝ln22－ln33＝3ln2－2ln36＝16(ln8－ln9)<0，∴a<b.同理可得c<a ，∴c<a<b.方法三：(作商法)依据题意可知a 、b 、c 都为正数， ∵a b ＝ln22·3ln3＝ln8ln9<1， ∴a<b.又∵a c ＝ln22·5ln5＝ln32ln25>1，∴c<a.∴c<a<b. 方法四：∵a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55，又2＝68<69＝33，2＝1032>1025＝55，∴c<a<b.4．2方法一：由21≤22－x <23＝8，得1≤2－x<3， ∴－1≤－x<1. ∴－1<x ≤1. 又∵x ∈Z ，∴x ＝0,1，即A ＝{0,1}； 而0,1均不属于B ， ∴0,1均属于∁R B. ∴A ∩(∁R B)＝{0,1}． ∴A ∩(∁R B)中有2个元素．方法二：由|log 2x|>1得log 2x>1，或log 2x<－1，解得x>2或0<x<12.∴B ＝{x|0<x<12或x>2}，∴∁R B ＝{x|x ≤0或12≤x ≤2}．由方法一知A ＝{0,1}，∴A ∩(∁R B)＝{0,1}．∴A ∩(∁R B)中有2个元素．5．(1,2)∪(10，＋∞)(1)当x<2时，f(x)＝2e x －1>2⇒e x －1>1＝e 0⇒x>1. ∴1<x<2.(2)当x ≥2时，f(x)＝log 3(x 2－1)>2⇒log 3(x 2－1)>log 39⇒x 2－1>9⇒x 2>10(|x|>10)⇒x>10或x<－10⇒x>10.由(1)(2)可知不等式的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．6.b<a<ca ＝lnx ，b ＝2lnx ＝lnx 2， ∵x ∈(e －1,1)， ∴x>x 2，∴a>b.∵e －1<x<1，∴－1<lnx<ln1＝0. ∴lnx<ln 3x.∴a<c.∴b<a<c.7．－2f(x)＝2x ＋3，得f －1(x)＝log 2x －3，∴f －1(m)＋f －1(n)＝log 2m －3＋log 2n －3＝log 2mn －6＝log 216－6＝4－6＝－2.8．a<b<c 法一(图象法)：如图所示，由函数y ＝2x ，y ＝(12)x ，y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象知0<a<b<1<c.法二(代数法)：∵a>0，∴2a >20＝1.∴log 12a>1＝log 1212，∴0<a<12.又∵b>0，∴0<(12)b <(12)0＝1.∴0<log 12b<1，12<b<1.又∵(12)c >0，∴log 2c>0＝log 21，∴c>1.∴0<a<12<b<1<c ，∴a<b<c.9．②③10．(1){－1,2}(2)(－1,1)(1)由题意知⎩⎨⎧ lg x 2x ＋2＝0，x 2>0，x ＋2>0，即⎩⎨⎧x 2x ＋2＝1，x ≠0，x>－2，∴x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1. 经检验知，－1,2都是原方程的解． (2)令u ＝(1－x)(x ＋3)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x>0，x ＋3>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧1－x<0，x ＋3<0.② 解①得－3<x<1，解②得x ∈∅. ∴函数的定义域为(－3,1)．∵u ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，对称轴为x ＝－1，∴u 在(－3，－1)上是单调增函数，在(－1,1)上是单调减函数．又∵y ＝log 13u 为定义域上的单调减函数，∴y ＝log 13(1－x)(x ＋3)在(－1,1)上是单调增函数，即原函数的递增区间为(－1,1)．点评：(1)对数方程一般要转化为一元一次或二次方程来解．但要保证转化时各对数式有意义，即求出的根必须适合x 的取值范围．此类问题常因不恒等变形而产生增根导致错解，所以要注意验根．(2)本题是对数函数与二次函数的复合函数，需要分别判断它们的单调性，由于底数13∈(0,1)，所以对数函数是单调减函数，二次函数经配方后，可依对称轴确定单调性与单调区间．但必须注意研究函数性质，或求单调区间，应考虑“定义域优先原则”．此类问题常因忽视定义域，而将单调区间求错．若对数的底数是字母，还要讨论．11．解：f(x)和g(x)的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)．f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 3－log x 4＝log x 34x.(1)当0<x<1时，若0<34x<1，即0<x<43，此时log x 34x>0，即0<x<1时，f(x)>g(x)．(2)当x>1时，若34x>1，即x>43，此时log x 34x>0，即x>43时，f(x)>g(x)；若34x ＝1，即x＝43，此时log x 34x ＝0，即x ＝43时，f(x)＝g(x)；若0<34x<1，即0<x<43，此时log x 34x<0，即1<x<43时，f(x)<g(x)．综上所述，当x ∈(0,1)∪(43，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x ＝43时，f(x)＝g(x)；当x ∈(1，43)时，f(x)<g(x)．点评：比较两个函数值的大小常用函数的单调性．本题两函数可化为同底的对数式，所以可用作差法比较大小，但其差不仅真数上含变量x ，底数上也有，所以使用对数的性质，要讨论底数大于1，还是大于零小于1，还要讨论真数．利用分类讨论思想解题，必须搞清分类标准，做到不重不漏．本题往往只注重了底数的讨论，却忽视了真数的讨论或对真数讨论混乱不清，而导致错解．12．解：(1)由a x －b x >0，得(a b )x >1＝(ab)0，∵ab >1，∴x>0. ∴函数的定义域为(0，＋∞)．(2)先证明f(x)是其定义域上的单调增函数．对于任意的x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴ax 1>ax 2，bx 1<bx 2. ∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2.∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)． ∴f(x 1)>f(x 2)．∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．假设y ＝f(x)上存在不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，使直线AB ∥x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾，∴y ＝f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴．(3)要使f(x)在(1，＋∞)上恒取正值，由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴只需f(1)≥0即可，即lg(a －b)≥0.∴a －b ≥1.∴当a ，b 满足a －b ≥1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．。

对数函数(二)
课时目标.进一步加深理解对数函数的性质.掌握对数函数的性质及其应用．
．设()＝，则(())＝.
．下列各组函数中，表示同一函数的是．(填序号)
①＝和＝()；
②＝和＝；
③＝和＝；
④＝和＝.
．若函数＝()的定义域是[]，则＝(
1
2
log
)的定义域是．
．函数()＝(＋)的值域为．
．函数()＝(＋)(>且≠)的图象经过(－)和()两点，则()＝.
．函数＝(－)＋(>且≠)恒过定点．
一、填空题
．设＝，＝()，＝，则，，的大小关系为．
．已知函数＝()的定义域为[－]，则函数＝()的定义域为．
．函数()＝(>且≠)且()＝，则下列不等关系判断正确的为．(填序号) ①()>(－)；②()>()；③(－)>(－)；
④(－)>(－)．
．函数()＝＋(＋)在[]上的最大值与最小值之和为，则的值为．
．已知函数()＝，若()＝，则(－)＝.
．函数＝(－≤<)的反函数是．
．函数()＝(－)，若≥时，()≥恒成立，则应满足的条件是．．函数＝当>时恒有>，则的取值范围是．
．若<，则实数的取值范围是．
二、解答题
．已知()＝(－)在∈[]上单调递减，求的取值范围．
．已知函数()＝
1
2
log
的图象关于原点对称，其中为常数．
()求的值；
()若当∈(，＋∞)时，()＋
1
2
log
(－)<恒成立．求实数的取值范围．。

3.2.1 对数（二）课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (MN )＝________； (2)log a MN ＝___________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．一、填空题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②(log a x )n ＝n log a x ； ③log a x n＝log a nx ； ④log a xlog a y＝log a x －log a y . 2．计算：log 916·log 881的值为__________． 3．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________.4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b＝2，则A ＝________.5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝________(用a 、b 表示)．6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab )2的值为________．7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝______________. 8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 二、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x 与10x 的七组近似对应值：13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．第2课时 对数运算知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．③ 2.83解析 log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.3.125解析 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.4.15解析 ∵3a ＝5b ＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A .由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15. 5.3a2(b ＋1)解析 ∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝a .∴log 23＝32a .lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1).6．2解析 由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2， lg a lg b ＝12.于是(lg ab)2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.7.65－3解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425) ＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3. 8．1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 9．1 000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1 000， 即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13.方法二 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.方法二 因为3a＝4b＝36，所以136a＝3,136b＝4，所以(136a )2·136b＝32×4，即2136a b+＝36，故2a ＋1b＝1.11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b )＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12. 12．二解析 由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ， 将已知表格转化为下表：∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确，∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09， ∴第五组对应值正确．∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .依题意，得13＝0.75x ，即x ＝lg13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4.∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.。

课后训练千里之行 始于足下 1．函数y =的定义域为________．2．已知a >0且a ≠1，在同一坐标系内，下列四图中，函数y ＝a x 与y ＝log a （－x ）的大致图象的序号是________．3．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则a 、b 、c 的大小关系是________． 4．（1）若函数f （x ）＝log a x （0<a <1）在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________.（2）已知函数21(),0,()2log (2),0,xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩若f （a ）≥2，则a 的取值范围是________．5．对任意不等于1的正数a ，函数f （x ）＝log a （x ＋3）的反函数的图象都过点P ，则点P 的坐标是________．6．（1）已知log 0.7（2m ）<log 0.7（m －1），则m 的取值范围是________．（2）函数212log (4)y x x =-的值域是________．（3）方程111222log (31)log (1)log (3)x x x -=-++的解是________．7．已知函数f （x ）＝log a x （a >0，且a ≠1），如果对于任意x ∈[3，＋∞）都有|f （x ）|≥1成立，求a 的取值范围．8．在同一直角坐标下，画出函数f （x ）＝1＋log 2x 与g （x ）＝2－x ＋1的图象．百尺竿头 更进一步求函数21124()(log )log 5f x x x =--+在2≤x ≤4范围内的最值．参考答案与解析千里之行1．3,14⎛⎫⎪⎝⎭ 解析：要使解析式有意义，只需()0.5log 430,430.a x ->⎧⎪⎨->⎪⎩即0<4x －3<1， ∴314x <<，∴函数的定义域为3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭． 2．② 解析：y ＝a x 的图象只能在上半平面，y ＝log a （－x ）只能在左半平面，又因为函数y ＝a x 与y ＝log a （－x ）的增减性正好相反，所以只有②符合．3．b <a <c 解析：∵函数y ＝log 5x 为单调增函数，∴0＝log 51<log 53<log 54<log 55＝1，∴（log 53）2<log 53 ∴b <log 53<a .又c ＝log 45>log 44＝1 ∴b <a <c .4．（1）4（2）（－∞，－1]∪[2，＋∞） 解析：（1）f （x ）＝log a x （0<a <1）在（0，＋∞）上是单调减函数， 当x ∈[a,2a ]时，f （x ）max ＝f （a ）＝1，f （x ）min ＝f （2a ）＝log a 2a . 根据题意，3log a 2a ＝1，即1log 23a a =， 所以1log 13a a +=，即2log 23a =-.故由223a -=得3224a =-=.（2）当a ≤0时，()122af a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，∴－a ≥1，∴a ≤－1；当a >0时，f （a ）＝log 2（a＋2）≥2＝log 24. ∴a ＋2≥4. ∴a ≥2. ∴a 的取值范围是a ≤－1或a ≥2.5．（0，－2） 解析：法一：函数f （x ）＝log a （x ＋3）的反函数为g （x ）＝a x －3，而g （0）＝a 0－3＝－2.∴g （x ）的图象都过点（0，－2）．法二：∵f （－2）＝log a 1＝0，∴函数f （x ）的图象都过点（－2,0）， 又∵原函数与其反函数的图象关于直线y ＝x 对称， ∴其反函数的图象经过点（0，－2）． 6．（1）（1，＋∞） （2）[－2，＋∞） （3）x ＝2 解析：（1）考查函数y ＝log 0.7x ，它在（0，＋∞）上是单调减函数， ∵log 0.7（2m ）<log 0.7（m －1），∴2m >m －1>0.由21,1,m m m >-⎧⎨-⎩得m >1，即m 的取值范围是（1，＋∞）．（2）令t ＝4x －x 2，则t ＝－（x －2）2＋4≤4，而12log y t =在（0,4]上为单调减函数， ∴当t ＝4时，y 有最小值min 12log 42y ==-，∴y ≥－2，即值域为[－2，＋∞）（也可认为当x ＝2时，t 有最大值4，而12lo g y t =为单调减函数，∴y 有最小值且min 12log 42y ==-）． （3）原方程可化为()()3113,310,10,30,x x x x x x -=-+⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪+>⎩即220,1,x x x ⎧--=⎨>⎩ ∴x ＝2. 7．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞）上：当a >1时，|f （x ）|≥1 f （x ）≥1 log a 3≥1，∴1<a ≤3.当0<a <1时，|f （x ）|≥1 f （x ）≤－1 log a 3≤－1，∴113a ≤≤. 综上可知，a 的取值范围是1[,1)(1,3]3．8．解：∵f （x ）的图象是由y ＝log 2x 的图象向上平移1个单位长度得到的，()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向右平移1个单位长度得到的，∴先画出函数y ＝log 2x 与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，再经平移即得f （x ）与g （x ）的图象，如图所示．百尺竿头解：()222111122221log log 5log log 52f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12log t x =，则由于t 关于x 的函数在[2,4]上是单调减函数，∴min 12log 42t ==-，max 12log 21t ==-，即t ∈[－2，－1]．∴函数()22118152416y g t t t t ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭其图象的对称轴为14t =-，开口向下． ∴g （t ）在[－2，－1]上为单调增函数． ∴()()()max max 912f xg t g ==-=， ()()()min min 22f x g t g ==-=.。

[学业水平训练]一、填空题函数f (x )＝log 2|2－x |的单调减区间是________．1.解析：按下列次序作出函数的图象(图略)：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －2|.答案：(－∞，2)函数y ＝log (x 2－6x ＋17)的最大值是________．2. 12解析：y ＝log (x 2－6x ＋17)＝log [(x －3)2＋8]，因为(x －3)2＋8≥8，所以y ＝log [(x －3) 12 12 122＋8]≤log 8＝－3. 12答案：－3当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －2)－3必过定点________．3.解析：由log a 1＝0，知f (3)＝log a (3－2)－3＝－3.答案：(3，－3)函数y ＝log (1－x )的单调递增区间是________．4. 23解析：函数的定义域是(－∞，1)，设y ＝log u ，u ＝1－x ，由于函数y ＝log u 是减函数， 23 23函数u ＝1－x 是减函数，则函数y ＝log (1－x )的单调递增区间是(－∞，1)． 23答案：(－∞，1)设log a <1，则实数a 的取值范围是________．5.34解析：当a >1时，log a <0<1，满足条件；当0<a <1时，log a <1＝log a a ，得0<a <.故343434a >1或0<a <.34答案：(0，)∪(1，＋∞)34若log a 2<log b 2<0，则1，a ，b 的大小关系为________．6.解析：由log a 2<0，log b 2<0知0<a ，b <1，再由log a 2<log b 2知a >b .答案：b <a <1二、解答题根据下列条件，分别求实数x 的值：7.(1)log 2(2－x )＝log 2(x －1)＋1；(2)32x ＋1－6x ＝22x ＋2.解：(1)原方程可化为log 2(2－x )＝log 2[2(x －1)]，得2－x ＝2(x －1)，解得x ＝.经检验43知，原方程的解为x ＝.43(2)原方程可化为3·32x －2x ·3x －4·22x ＝0，因式分解得(3·3x －4·2x )(3x ＋2x )＝0，则3·3x －4·2x ＝0，即()x ＝，解得x ＝log .3243 3243已知log (2x ＋3)(1＋4x )>1，求x 的取值范围．8.解：或{2x ＋3>11＋4x >2x ＋3){0<2x ＋3<1，0<1＋4x <2x ＋3.)解得x >1.故x 的取值范围是(1，＋∞)．[高考水平训练]一、填空题函数f (x )＝2x －log (x －1)，x ∈(1，3]的值域是________．1.12解析：u 1＝log (x －1)在(1，3]上为减函数， 12u 2＝－log (x －1)在(1，3]上为增函数， 12又u 3＝2x 在(1，3]上也为增函数．∴f (x )＝u 2＋u 3＝2x －log (x －1)在(1，3]上为增函数． 12故f (x )的值域为(－∞，7]．答案：(－∞，7]函数y ＝log a x 在x ∈[2，＋∞)时恒有|y |>1，则a 应满足的条件是________．2.解析：若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，∴log a x <－1，由题意log a 2<－1，∴a ∈(，1)．12若a >1，当x ≥2时，log a x >0，∴log a x >1由题意log a 2>1，∴a ∈(1，2)．综上可知<a <1或1<a <2.12答案：<a <1或1<a <212二、解答题求下列函数的值域．3.(1)y ＝log 2(x 2－4x ＋6)；(2)y ＝log 2；1－x 2＋2x ＋2(3)y ＝log 2(x 2－4x －5)．解：(1)∵x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，又f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 2(x 2－4x ＋6)≥log 22＝1.∴函数的值域是[1，＋∞)．　(2)∵－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3≤3，∴<0(舍)或≥.1－x 2＋2x ＋21－x 2＋2x ＋213∵真数大于0，f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 2≥log 2.∴函数的值域是[log 2，＋∞)．　1－x 2＋2x ＋21313(3)∵x 2－4x －5＝(x －2)2－9≥－9，∴x 2－4x －5能取得所有正实数．∴函数y ＝log 2(x 2－4x －5)的值域是R .已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，求实数a 的值．4.解：①若0<a <1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为减函数，令得无解．{f （0）＝1，f （1）＝0，){log a 1＝1，log a 2＝0，)②若a >1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为增函数，令得故a ＝2，符合题意．{f （0）＝0，f （1）＝1，){log a 1＝0，log a 2＝1，)综合①、②知，a ＝2.。

对数的运算性质练习．下列四个命题中，是真命题的有．①＝；②＝；③若＋＝，则＋＝；④若＋＝＋，则＝.．对于＞，≠，下列说法中正确的是．①若＝，则＝；②若＝，则＝；③若＝，则＝；④若＝，则＝.．已知()＝，则()＝.．已知＝，＝，则＝.．已知－＝，则－＝.．设＞，，则＝.．已知＝＝，则＝.．已知函数()满足：当≥时，；当＜时，()＝(＋)，则(＋)＝.．若函数＝＋()＋有最小值，求正数.．设，满足＝＝(＋)，求的值．．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级()来描述声音的大小：把一很小的声压＝×－帕作为参考声压，把所要测量的声压与参考声压的比值取常用对数后乘以得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝()．分贝值在以下为无害区，～为过渡区，以上为有害区．()根据上述材料，列出声压级与声压的函数关系式．()某地声压＝帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？()假设某会场内掌声的声压级为分贝，求声压.参考答案．解析：本题易错选①或②或③.主要原因是对对数函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与①类似的一个错误的等式是＋＝；②中的表示( )，它与＝意义不同；③中的＋表示()＋，它与(＋)意义不同；④中等式可化为－＝－，即，所以＝.答案：④．解析：在①中，当＝≤时，与均无意义，因此＝不成立．在②中，当＝时，必有＞，＞，且＝，因此＝成立．在③中，当＝时，有≠，≠，且＝，即＝，但未必有＝，例如，＝，＝－时，也有＝，但≠.在④中，若＝＝，则与均无意义，因此＝不成立．所以只有②正确．答案：②．解析：令＝，则.所以．则()＝ .答案：．解析：＝.答案：．解析：原式＝(＋)－(＋)＝－＝.答案：．解析：由条件得，所以答案：．解析：由条件得＝＝，＝＝，从而＝.答案：．解析：∵＜＋＜，∴(＋)＝(＋)＝＝＝.答案：．解：＝＋()＋＝(＋)－()＋.所以＝－时，＝－()，即－()＝.所以(＋)(－)＝.所以＝－或＝.从而＝或＝.．分析：题目中的已知条件是对数式等式，欲求结论是的值，因此需要中间量把对数式化为指数式，得关于的一元二次方程，再由求根公式求得的值．解：设＝＝(＋)＝，∴＝，＝，＋＝.∴＝＋.∴＝＋.∴－－＝.设＝，＞，则－－＝，。

课后训练千里之行 始于足下 1．函数y =的定义域为________．2．已知a >0且a ≠1，在同一坐标系内，下列四图中，函数y ＝a x 与y ＝log a （－x ）的大致图象的序号是________．3．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则a 、b 、c 的大小关系是________． 4．（1）若函数f （x ）＝log a x （0<a <1）在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________.（2）已知函数21(),0,()2log (2),0,xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩若f （a ）≥2，则a 的取值范围是________．5．对任意不等于1的正数a ，函数f （x ）＝log a （x ＋3）的反函数的图象都过点P ，则点P 的坐标是________．6．（1）已知log 0.7（2m ）<log 0.7（m －1），则m 的取值范围是________．（2）函数212log (4)y x x =-的值域是________．（3）方程111222log (31)log (1)log (3)x x x -=-++的解是________．7．已知函数f （x ）＝log a x （a >0，且a ≠1），如果对于任意x ∈[3，＋∞）都有|f （x ）|≥1成立，求a 的取值范围．8．在同一直角坐标下，画出函数f （x ）＝1＋log 2x 与g （x ）＝2－x ＋1的图象．百尺竿头 更进一步求函数21124()(log )log 5f x x x =--+在2≤x ≤4范围内的最值．参考答案与解析千里之行1．3,14⎛⎫⎪⎝⎭ 解析：要使解析式有意义，只需()0.5log 430,430.a x ->⎧⎪⎨->⎪⎩即0<4x －3<1， ∴314x <<，∴函数的定义域为3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭． 2．② 解析：y ＝a x 的图象只能在上半平面，y ＝log a （－x ）只能在左半平面，又因为函数y ＝a x 与y ＝log a （－x ）的增减性正好相反，所以只有②符合．3．b <a <c 解析：∵函数y ＝log 5x 为单调增函数，∴0＝log 51<log 53<log 54<log 55＝1，∴（log 53）2<log 53 ∴b <log 53<a .又c ＝log 45>log 44＝1 ∴b <a <c .4．（1）4（2）（－∞，－1]∪[2，＋∞） 解析：（1）f （x ）＝log a x （0<a <1）在（0，＋∞）上是单调减函数， 当x ∈[a,2a ]时，f （x ）max ＝f （a ）＝1，f （x ）min ＝f （2a ）＝log a 2a . 根据题意，3log a 2a ＝1，即1log 23a a =， 所以1log 13a a +=，即2log 23a =-.故由223a -=得3224a =-=.（2）当a ≤0时，()122af a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，∴－a ≥1，∴a ≤－1；当a >0时，f （a ）＝log 2（a＋2）≥2＝log 24. ∴a ＋2≥4. ∴a ≥2. ∴a 的取值范围是a ≤－1或a ≥2.5．（0，－2） 解析：法一：函数f （x ）＝log a （x ＋3）的反函数为g （x ）＝a x －3，而g （0）＝a 0－3＝－2.∴g （x ）的图象都过点（0，－2）．法二：∵f （－2）＝log a 1＝0，∴函数f （x ）的图象都过点（－2,0）， 又∵原函数与其反函数的图象关于直线y ＝x 对称， ∴其反函数的图象经过点（0，－2）． 6．（1）（1，＋∞） （2）[－2，＋∞） （3）x ＝2 解析：（1）考查函数y ＝log 0.7x ，它在（0，＋∞）上是单调减函数， ∵log 0.7（2m ）<log 0.7（m －1），∴2m >m －1>0.由21,1,m m m >-⎧⎨-⎩得m >1，即m 的取值范围是（1，＋∞）．（2）令t ＝4x －x 2，则t ＝－（x －2）2＋4≤4，而12log y t =在（0,4]上为单调减函数， ∴当t ＝4时，y 有最小值min 12log 42y ==-，∴y ≥－2，即值域为[－2，＋∞）（也可认为当x ＝2时，t 有最大值4，而12lo g y t =为单调减函数，∴y 有最小值且min 12log 42y ==-）． （3）原方程可化为()()3113,310,10,30,x x x x x x -=-+⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪+>⎩即220,1,x x x ⎧--=⎨>⎩ ∴x ＝2. 7．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞）上：当a >1时，|f （x ）f（x ）a 3≥1，∴1<a ≤3.当0<a <1时，|f （x ）f （x ）≤－a 3≤－1，∴113a ≤≤. 综上可知，a 的取值范围是1[,1)(1,3]3．8．解：∵f （x ）的图象是由y ＝log 2x 的图象向上平移1个单位长度得到的，()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象是由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向右平移1个单位长度得到的，∴先画出函数y ＝log 2x 与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，再经平移即得f （x ）与g （x ）的图象，如图所示．百尺竿头解：()222111122221log log 5log log 52f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12log t x =，则由于t 关于x 的函数在[2,4]上是单调减函数，∴min 12log 42t ==-，max 12log 21t ==-，即t ∈[－2，－1]．∴函数()22118152416y g t t t t ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭其图象的对称轴为14t =-，开口向下． ∴g （t ）在[－2，－1]上为单调增函数． ∴()()()max max 912f xg t g ==-=， ()()()min min 22f x g t g ==-=.。

[学业水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝log 2|2－x |的单调减区间是________．解析：按下列次序作出函数的图象(图略)：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －2|. 答案：(－∞，2)2.函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的最大值是________．解析：y ＝log 12(x 2－6x ＋17)＝log 12[(x －3)2＋8]，因为(x －3)2＋8≥8，所以y ＝log 12[(x －3)2＋8]≤log 128＝－3.答案：－33.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －2)－3必过定点________．解析：由log a 1＝0，知f (3)＝log a (3－2)－3＝－3.答案：(3，－3)4.函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是________．解析：函数的定义域是(－∞，1)，设y ＝log 23u ，u ＝1－x ，由于函数y ＝log 23u 是减函数，函数u ＝1－x 是减函数，则函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是(－∞，1)．答案：(－∞，1)5.设log a 34<1，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a >1时，log a 34<0<1，满足条件；当0<a <1时，log a 34<1＝log a a ，得0<a <34.故a >1或0<a <34. 答案：(0，34)∪(1，＋∞) 6.若log a 2<log b 2<0，则1，a ，b 的大小关系为________．解析：由log a 2<0，log b 2<0知0<a ，b <1，再由log a 2<log b 2知a >b .答案：b <a <1二、解答题7.根据下列条件，分别求实数x 的值：(1)log 2(2－x )＝log 2(x －1)＋1；(2)32x ＋1－6x ＝22x ＋2.解：(1)原方程可化为log 2(2－x )＝log 2[2(x －1)]，得2－x ＝2(x －1)，解得x ＝43.经检验知，原方程的解为x ＝43. (2)原方程可化为3·32x －2x ·3x －4·22x ＝0，因式分解得(3·3x －4·2x )(3x ＋2x )＝0，则3·3x －4·2x ＝0，即(32)x ＝43，解得x ＝log 3243. 8.已知log (2x ＋3)(1＋4x )>1，求x 的取值范围．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>11＋4x >2x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧0<2x ＋3<1，0<1＋4x <2x ＋3. 解得x >1.故x 的取值范围是(1，＋∞)．[高考水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝2x －log 12(x －1)，x ∈(1，3]的值域是________．解析：u 1＝log 12(x －1)在(1，3]上为减函数，u 2＝－log 12(x －1)在(1，3]上为增函数，又u 3＝2x 在(1，3]上也为增函数．∴f (x )＝u 2＋u 3＝2x －log 12(x －1)在(1，3]上为增函数．故f (x )的值域为(－∞，7]．答案：(－∞，7]2.函数y ＝log a x 在x ∈[2，＋∞)时恒有|y |>1，则a 应满足的条件是________．解析：若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，∴log a x <－1，由题意log a 2<－1，∴a ∈(12，1)． 若a >1，当x ≥2时，log a x >0，∴log a x >1由题意log a 2>1，∴a ∈(1，2)．综上可知12<a <1或1<a <2. 答案：12<a <1或1<a <2 二、解答题3.求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2－4x ＋6)；(2)y ＝log 21－x 2＋2x ＋2； (3)y ＝log 2(x 2－4x －5)．解：(1)∵x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2，又f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 2(x 2－4x ＋6)≥log 22＝1.∴函数的值域是[1，＋∞)．(2)∵－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3≤3， ∴1－x 2＋2x ＋2<0(舍)或1－x 2＋2x ＋2≥13. ∵真数大于0，f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 21－x 2＋2x ＋2≥log 213.∴函数的值域是[log 213，＋∞)． (3)∵x 2－4x －5＝(x －2)2－9≥－9， ∴x 2－4x －5能取得所有正实数． ∴函数y ＝log 2(x 2－4x －5)的值域是R . 4.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，求实数a 的值． 解：①若0<a <1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为减函数， 令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f （1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝1，log a2＝0，无解． ②若a >1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为增函数， 令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （1）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝0，log a 2＝1，故a ＝2，符合题意． 综合①、②知，a ＝2.。

[学业水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝log 2|2－x |的单调减区间是________．解析：按下列次序作出函数的图象(图略)：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －2|. 答案：(－∞，2)2.函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的最大值是________．解析：y ＝log 12(x 2－6x ＋17)＝log 12[(x －3)2＋8]，因为(x －3)2＋8≥8，所以y ＝log 12[(x －3)2＋8]≤log 128＝－3.答案：－33.当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －2)－3必过定点________．解析：由log a 1＝0，知f (3)＝log a (3－2)－3＝－3.答案：(3，－3)4.函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是________．解析：函数的定义域是(－∞，1)，设y ＝log 23u ，u ＝1－x ，由于函数y ＝log 23u 是减函数，函数u ＝1－x 是减函数，则函数y ＝log 23(1－x )的单调递增区间是(－∞，1)．答案：(－∞，1)5.设log a 34<1，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a >1时，log a 34<0<1，满足条件；当0<a <1时，log a 34<1＝log a a ，得0<a <34.故a >1或0<a <34. 答案：(0，34)∪(1，＋∞) 6.若log a 2<log b 2<0，则1，a ，b 的大小关系为________．解析：由log a 2<0，log b 2<0知0<a ，b <1，再由log a 2<log b 2知a >b .答案：b <a <1二、解答题7.根据下列条件，分别求实数x 的值：(1)log 2(2－x )＝log 2(x －1)＋1；(2)32x ＋1－6x ＝22x ＋2.解：(1)原方程可化为log 2(2－x )＝log 2[2(x －1)]，得2－x ＝2(x －1)，解得x ＝43.经检验知，原方程的解为x ＝43. (2)原方程可化为3·32x －2x ·3x －4·22x ＝0，因式分解得(3·3x －4·2x )(3x ＋2x )＝0，则3·3x －4·2x ＝0，即(32)x ＝43，解得x ＝log 3243. 8.已知log (2x ＋3)(1＋4x )>1，求x 的取值范围．解：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3>11＋4x >2x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧0<2x ＋3<1，0<1＋4x <2x ＋3. 解得x >1.故x 的取值范围是(1，＋∞)．[高考水平训练]一、填空题1.函数f (x )＝2x －log 12(x －1)，x ∈(1，3]的值域是________．解析：u 1＝log 12(x －1)在(1，3]上为减函数，u 2＝－log 12(x －1)在(1，3]上为增函数，又u 3＝2x 在(1，3]上也为增函数． ∴f (x )＝u 2＋u 3＝2x －log 12(x －1)在(1，3]上为增函数．故f (x )的值域为(－∞，7]． 答案：(－∞，7]2.函数y ＝log a x 在x ∈[2，＋∞)时恒有|y |>1，则a 应满足的条件是________．解析：若0<a <1，当x ≥2时，log a x <0，∴log a x <－1，由题意log a 2<－1，∴a ∈(12，1)． 若a >1，当x ≥2时，log a x >0，∴log a x >1由题意log a 2>1，∴a ∈(1，2)．综上可知12<a <1或1<a <2. 答案：12<a <1或1<a <2 二、解答题3.求下列函数的值域．(1)y ＝log 2(x 2－4x ＋6)；(2)y ＝log 21－x 2＋2x ＋2； (3)y ＝log 2(x 2－4x －5)．解：(1)∵x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2≥2， 又f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 2(x 2－4x ＋6)≥log 22＝1.∴函数的值域是[1，＋∞)．(2)∵－x 2＋2x ＋2＝－(x －1)2＋3≤3，∴1－x 2＋2x ＋2<0(舍)或1－x 2＋2x ＋2≥13. ∵真数大于0，f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 21－x 2＋2x ＋2≥log 213.∴函数的值域是[log 213，＋∞)． (3)∵x 2－4x －5＝(x －2)2－9≥－9， ∴x 2－4x －5能取得所有正实数． ∴函数y ＝log 2(x 2－4x －5)的值域是R . 4.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，求实数a 的值． 解：①若0<a <1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为减函数， 令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f （1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝1，log a 2＝0，无解． ②若a >1，则f (x )＝log a (x ＋1)在区间[0，1]上为增函数，令⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （1）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝0，log a 2＝1，故a ＝2，符合题意． 综合①、②知，a ＝2.。