2020届福建省福州市高三下学期3月高考适应性测试(线上) 数学(文)

福州市2020届高三毕业班适应性练习卷语文试题（完卷时间：150 分钟；满分：150 分）第Ι卷（阅读题共70 分）一、现代文阅读（36 分）（一）论述类文本阅读（本题共3 小题，9 分）阅读下面的文字，完成下面小题。

所谓整体思维，是以普遍联系、相互制约的观点看待世界的思维方式。

整体思维方式将整个世界视为一个有机的整体，认为构成整个世界的一切事物是相互联系、相互制约的，并且每一个事物又是一个小的整体，除了它与其他事物之间具有相互联系、相互制约的关系之外，其内部也呈现出多种因素、多种部件的普遍联系。

西人所说的“关联思维”、“关联宇宙论”、“有机宇宙哲学”或“有机主义宇宙观”，今人所说的“系统思维”，实际上就是“整体思维”。

注重整体统一的整体思维，是中国传统思维方式最显著的特征之一。

整体思维从整体原则出发，强调事物的相互联系和整体功能，探讨天与人、自然与人为、主体与客体、人与人、人与自我的相互关系，以求得天、地、人、我(心)的和谐统一，即注重“天人合一”“天人和谐”。

这种整体思维方式，在道家、儒家以及中华传统医学中表现得十分突出。

早在西周时期，“天人合一”思想就已经萌生。

《周易》“推天道以明人事”，“天人合一”思想是《周易》整体思维观念立论的基本依据之一，其目的在于揭示人与天地、自然的相互关系，从而合理指导人之所作所为。

在《周易》看来，人与天地“同声相应，同气相求”。

因此，人应当随顺天地之道而为。

如此，方可“先天而天弗违，后天而奉天时”。

东周以降，道家的列子、庄子以及儒家的孔子、孟子、荀子、董仲舒、张载等不但合理继承了“天人合一”思想，而且有所发展和创新。

道家认为，天、人同类而合一，“天地万物与我并生，类也”，“天地与我并生，而万物与我为一”。

董仲舒对天、人问题作了详细的论证和明确的表述，明确指出“以类合之，天人一也”，即天人本来合一，故“天人之际，合而为一”。

至宋代之时，张载正式将“天人合一”作为一个专有名词明确提了出来，“儒者则因明致诚，因诚致明，故天人合一，致学而可以成圣。

绝密★启用前福建省福州市普通高中2020届高三毕业班下学期3月(线上)高考适应性测试数学(文)试题(解析版)2020年3月评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=,(){},|10B x y x y =-+=,则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识,意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．【答案】D ．【解答】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2． 2. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=,则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识,意在考查直观想象、数学运算等数学核心素养．【答案】A ．【解答】设i z a b =+（,a b ∈R ）,依题意得,2226,25a a b =+=,解得3,4a b ==±,所以z =34i ±．。

准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）秘密★启用前福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．满分150分．注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =2. A ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,23. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =4. A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+5. 已知12,e e 均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为6. A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为 8. A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 10. A ．110 B ．15C ．310D ．2511. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=12. A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 13. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=，则“m l ⊥”是“m β⊥”的14. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 15. C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB = 17. A ．254B ．174C ．134D ．9418. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 19. A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描 20. C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描21. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =22. A ．14 B ．15C ．15-D ．14-23. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 24. A ．π2B ．πC ．2πD ．4π25. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 26. A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 27. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ．28. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 29. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．30. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．31. ··············································································································· （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和． 32. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =．（1）证明：1B C ∥平面1A BD ；ABCD1A 1B 11D O（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ， 求三棱锥11B A BD -的体积．33. ··············································································································· （本小题满分12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？参考公式及数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.年龄/岁2234. ··············································································································· （本小题满分12分）已知()22ln 3f x x x x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，求a 的取值范围．35. ··············································································································· （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥．福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学（文科）详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

绝密★启用前
福建省福州市普通高中
2020届高三毕业班下学期3月(线上)高考适应性测
试
文科综合试题参考答案
2020年3月
一、选择题：本题共35小题,每小题4分,共140分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

二、非选择题:共160分。

(一)必考题:共135分。

36.（22分）
（1）（4分）
该湖属内陆湖,周边入湖河流源源不断带来盐分（2分）；气候干旱,降水少,蒸发量大,湖中盐分结晶析出,形成石盐层（2分）。

（2）（6分）
茶卡羊生活在盐湖附近,吃的是天然牧草等植物种类多且富含矿物质和天然盐分（2分）；饮用冰川融水和含有丰富矿物质的无污染的河水（2分）；气温低,生长周期长（2分）。

1。

福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学（文科）详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】D ．【解答】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2．2. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识，意在考查直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解答】设i z a b =+（,a b ∈R ），依题意得，2226,25a a b =+=，解得3,4a b ==±，所以z =34i ±．3. 已知12,e e均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【命题意图】本题主要考查本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养． 【答案】C ．【解答】依题意，121==e e ，2123-=e e ，所以12223-⋅=e e ，即1212⋅=-e e ，所以1212121cos ,2⋅==-e e e e e e ，所以12,120=︒e e ． 4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【命题意图】本题主要考查函数零点的概念与存在性定理等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，()f x 为增函数，()13150,f =+-＜()2323250,f =+-＞32f ⎛⎫=⎪⎝⎭2758-=1308＞，所以()f x 的零点所在的区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．25【命题意图】本题主要考查概率与古典概型等基础知识，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养． 【答案】C ．【解答】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，{甲,丙,丁}，{甲,丙,戊}，{甲,丁,戊}，{乙,丙,丁}，{乙,丙,戊}，{乙,丁,戊}，{丙,丁,戊}，共10种结果．记“甲、乙同时被抽到”为事件A ，则A 包含基本事件{甲,乙,丙}，{甲,乙,丁}，{甲,乙,戊}，共3个，故()310P A =．6. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】D ． 【解答】由题设得，sin 2sin cos ααα=-，所以sin 0α=，或1cos 2α=-． 所以cos2α=1-22sin 1α=，或21cos22cos 12αα=-=-．7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查充分条件、必要条件、直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象等数学核心素养． 【答案】C ．【解析】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥．故选C ．8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB = A ．254B ．174C ．134D ．94【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理和数学运算等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，点()0,1为抛物线的焦点，则由抛物线的定义可得AB =122y y ++=917244+=．9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描【命题意图】本题主要考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养． 【答案】C ．【解答】因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A ，B ，D 判断正确．不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C 不正确．10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f =A ．14 B ．15C ．15-D ．14-【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学核心素养． 【答案】B ．【解答】依题意，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 为周期函数，周期为4．又22log 53＜＜，所以212log 50--＜＜，所以()2log 20f =()22log 5f +=()()22log 522log 5f f -=--=()22log 521---=415⎛⎫--= ⎪⎝⎭15．11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解答】()π4f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()g x 的周期为π，且()max g x ()min g x =．因为()()122g x g x ⋅=-，所以()()12g x g x =-=()()12g x g x =-=12ππ,2x x k k -=+∈N ，所以12min π||2x x -=． 12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养． 【答案】A ．【解析】依题意，12b a =，则双曲线的方程为：222214x y b b -=，则()()2,0,2,0A b B b -，设()00,M x y ，则22002214x y b b-=，所以22022********2000014122444x b b y y y k k x b x b x b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅===+---，因为1[1,2]k ∈，所以1211,8414k k ⎡=⎤∈⎢⎥⎣⎦． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ．【命题意图】本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算等数学核心素养． 【答案】4．【解答】作出可行域如图所示，则当直线2z x y =+过点(3,2)A -时z 取最大值4．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ．【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养． 【答案】12． 【解答】由题设及正弦定理得sin cos sin cos 2sin A B B A a C +=，所以()sin A B +=2sin a C ．又πA B C ++=，所以sin 2sin C a C =，所以12a =． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______． 【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养． 【答案】19．【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积1S =()222343262a a a π-3π⨯-⨯=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积2S =()()232a π-3=()292a π-3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率12S P S ==19．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、球体与截面等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养． 【答案】12π．【解答】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的外心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则1152O A BC ==，所以2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =．在1Rt OO D △中，OD 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=， 所以最小截面圆的面积为12π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， ··············································· 1分 又因为()()111n n na n a n n +-+=+，ABC1O OE DP所以()()()1111n n n n b n nb n n ++-+=+，即11n n b b +-=，································ 3分 所以{}n b 为等差数列， ·········································································· 4分 其首项为111b a ==，公差1d =． ····························································· 5分 所以()11n b n n =+-=． ········································································ 7分 （2）由（1）及题设得，2n n c n =-， ······················································ 8分 所以数列{}n c 的前n 项和()()232222123n n S n =++++-++++L L ·············································· 9分 ()1222122n n n +-⨯=-- ······································································ 11分 21222n n n++=--． ········································································ 12分 18. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =I ． （1）证明：1B C ∥平面1A BD ； （2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ，求三棱锥11B A BD -的体积．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、多面体的体积等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分．【解析】（1）证明：依题意，11//A B AB ，且//AB CD ，∴11//A B CD ， ····················································································· 1分 ∴四边形11A B CD 是平行四边形，····························································· 2分 ∴11B C A D ∥， ···················································································· 3分 ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ． ··········································································· 5分 （2）依题意，12,AA AO ==在1Rt AAO △中，11AO ， ·················································· 6分 所以三棱锥1A BCD -的体积ABCD 1A 1B 1C 1D O1A BCD V -113BCD S AO =⋅△213213⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭3=． ········································· 8分 由（1）知1B C ∥平面1A BD ，∴111B A BD C A BD V V --= ·············································································· 10分 1A BCD V -= ·············································································· 11分 3=． ··············································································· 12分 19. （本小题满分12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计50频率/组距年龄/岁0.0100.0202m 2n O参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，考查学生的创新意识和应用意识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）因为志愿者年龄在[40,45)内的人数为15， 所以志愿者年龄在[40,45)内的频率为：150.15100=； ··································· 1分 由频率分布直方图得：(0.020240.010)50.151m n +++⨯+=，即20.07m n +=，① ·············································································· 3分 由中位数为34可得0.0205252(3430)0.5m n ⨯+⨯+⨯-=，即540.2m n +=，② ·············································································· 4分 由①②解得0.020m =，0.025n =. ···························································· 5分 志愿者的平均年龄为(22.50.02027.50.04032.50.05037.50.05042.50.030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+47.50.010)5⨯⨯=34（岁）． ································································································ 7分 （2）根据题意得到列联表：··································· 9分 所以2K 的观测值2100(19193131)50505050k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯()()2219311931505050⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦=⨯⨯ 5.7610.828=＜， ········ 11分 所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系． ······································································································ 12分说明：第（1）小题中，方程①②列对一个给2分，两个都列对给3分．20. （本小题满分12分）已知()22ln 3f x x x x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分.【解答】()()2ln 12f x x x a '=+++． ······················································· 1分 （1）当1a =时，()22ln 3,f x x x x x =+++()()2ln 121f x x x '=+++，所以()()15,15f f '==， ········································································ 3分 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()551y x -=-，即5y x =． ············ 5分 （2）存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，等价于不等式22ln 3x x x a x ++-≥在1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭有解． ······································ 6分设()22ln 3x x x h x x++=-，则()()()2223123x x x x h x x x +-+-'=-=-， ·············· 7分 当11ex <<时，()0h x '>，()h x 为增函数；当1e x <<时，()0h x '<，()h x 为减函数． ·············································································································· 8分又213e 2e 1e e h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-，故()1e 0e h h ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜ ················· 10分所以当1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()213e 2e 1e e h x h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞， ··································· 11分所以23e 2e 1e a -+-＞，即a 的取值范围为23e 2e 1,e ⎛⎫-+-+∞ ⎪⎝⎭． ··················· 12分 21. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养．满分12分.【解答】（1）依题意，1b ==， ·················································· 2分因为离心率c e a ====，解得a = ··························································· 4分 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=． ····················································· 5分（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 右下方，所以NP x ∥轴． ············································· 6分过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -， ························································································ 7分所以()12232450x x y -+-=， 即()()12232450x x x m -++-=，整理得126450x x m ++-=．① ·································· 8分 由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+＞，解得22m -＜＜， ····································· 9分 所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③ ··········································································· 10分 由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤································································ 11分将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-．综上，m 的值为1-． ·········································································· 12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.【解答】（1）1C 的普通方程为3x y -=-，即30x y -+=． ·························· 2分 曲线2C 的直角坐标方程为2212x y x +=+，即()2212x y -+=． ····················· 5分（2）由（1）知，2C 是以()1,0为圆心，半径r = ··························· 6分圆心2C ()1,0到1C 的距离d == ···································· 7分所以直线1C 与圆2C 相离，P 到曲线1C 距离的最小值为d r -==；最大值d r +== ············································································ 9分所以P 到曲线1C 距离的取值范围为． ······································· 10分 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥． 【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.。

2020年福建省高三毕业班质量检查测试文科数学本试卷共5页。

满分150分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|2x<8}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝A.{－1}B.{－1，2}C.{2，3}D.{－1，2，3}2.复数z的共轭复数z满足z(1＋i)＝2i，则|z|＝A.2 2 C.22D.123.若sin(π－α)＝35，则cos2α＝A.2425- B.725- C.725D.24254.设x，y满足约束条件2010x yx yy-≥-≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z＝2x＋y的最大值是A.0B.3C.4D.55.已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a6.首项为2，公比为3的等比数列{a n}的前n项和为S n，则A.3a n＝2S n＋2B.a n＝2S n＋2C.a n＝2S n－2D.a n＝3S n－47.函数f(x)＝13x3＋x2＋ax的大致图象不可能是8.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情。

面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中。

为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课。

绝密★启用前福建省普通高中2020届高三毕业班下学期3月质量检查测试数学(文)试题2020年3月本试卷共5页。

满分150分。

注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|2x<8},B＝{－1,2,3},则A∩B＝A.{－1}B.{－1,2}C.{2,3}D.{－1,2,3}2.复数z的共轭复数z满足z(1＋i)＝2i,则|z|＝A.2C.2D.123.若sin(π－α)＝35,则cos2α＝A.2425- B.725- C.725D.24254.设x,y满足约束条件2010x yx yy-≥-≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩,则z＝2x＋y的最大值是A.0B.3C.4D.55.已知a＝0.30.6,b＝0.30.5,c＝0.40.5,则A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a6.首项为2,公比为3的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则A.3a n ＝2S n ＋2B.a n ＝2S n ＋2C.a n ＝2S n －2D.a n ＝3S n －47.函数f(x)＝13x 3＋x 2＋ax 的大致图象不可能是8.2020年初,我国突发新冠肺炎疫情。

面对“突发灾难”,举国上下一心,继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉,各省医疗队也陆续增援,纷纷投身疫情防控与病人救治之中。

为分担“逆行者”的后顾之忧,某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动,为抗疫前线工作者子女在线辅导功课。

2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x≤3} 2．已知复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知圆C：（x+1）2+y2＝r2（r＞0），直线l：3x+4y﹣2＝0．若圆C上恰有三个点到直线的距离为1，则r的值为（）A．2B．3C．4D．64．执行如图所示的程序框图，则输出的S是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的A、B、C、D、F五个座位．已知：（1）若甲或者乙中的一人坐在C座，则丙坐在B座；（2）若戊坐在C座，则丁坐在F座．如果丁坐在B座，那么可以确定的是（）A．甲坐在A座B．乙坐在D座C．丙坐在C座D．戊坐在F座6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的表面积是（）A．2+2B．4+2C．2+3D．4+37．下列图象中，函数f（x）＝（e x﹣e﹣x）sin x，x∈[﹣π，π]图象的是（）A．B．C．D．8．已知x∈（0，），y∈（0，），＝，则（）A．y﹣x＝B．2y﹣x＝C．y﹣x＝D．2y﹣x＝9．将函数的图象横坐标变成原来的（纵坐标不变），并向左平移个单位，所得函数记为g（x）．若，且g（x1）＝g（x2），则g（x1+x2）＝（）A．﹣B．﹣C．0D．10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形②截面的形状可能是正方形③截面形状可能是正五边形④截面面积最大值为则正确结论的编号是（）A．①④B．①③C．②③D．②④11．若函数f（x）＝﹣k有两个零点，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（1，+∞）12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，与双曲线的一条渐近线交于P（异于原点）．抛物线的准线与另一条渐近线交于Q．若|PQ|＝|PF|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x二、填空题：共4小题，每小题5分.13．已知||＝|﹣|，（+）⊥（﹣），则与的夹角为．14．已知实数x，y满足约束条件．则x+2y的最小值为．15．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步．文勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝cos C，则△ABC面积的最大值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、公司和自主创业等五大行业.2020届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是70人，140人和210人．现采用分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取18人调查学生的就业意向．（Ⅰ）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？（Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的18人中，就业意向恰有三个行业的学生有5人．为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这5名学生分别记为A，B，C，D，E，统计如表：A B C D E公务员〇〇×〇×教师〇×〇×〇金融〇〇〇×〇公司××〇〇〇自主择业×〇×〇×其中“〇”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向．现从A，B，C，D，E这5人中随机抽取2人接受采访．设M为事件“抽取的2人中至少有一人有自主创业意向”，求事件M发生的概率．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2a n﹣S n＝2．（Ⅰ）求a n（Ⅱ）若数列{b n}满足，{b n}的前n项和T n．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC＝＝2，∠BCC1＝，E为BB1中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1．（Ⅱ）求C到平面AC1E的距离．20．已知椭圆C）的右焦点为F，离心率，过原点的直线（不与坐标轴重合）与C交于P，Q两点，且|PF|+|QF|＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过P作PE⊥x轴于E，连接QE并延长交椭圆于M，求证：以QM为直径的圆过点P．21．已知函数f（x）＝lnx+mx2（m∈R）的最大值是0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若，求的最小值．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝4cosθ+6sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为（3，1），求|AM|+|AN|．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|ax+1|，a∈R．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）当x∈（1，2）时，不等式f（x）＞1﹣x成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x≤3}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}．故选：C．2．已知复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的基本运算法则先求出复数z，再求出即可．解：∵z（1+i）＝|1﹣i|＝，∴z＝，∴，∴对应的点位于第一象限，故选：A．3．已知圆C：（x+1）2+y2＝r2（r＞0），直线l：3x+4y﹣2＝0．若圆C上恰有三个点到直线的距离为1，则r的值为（）A．2B．3C．4D．6【分析】先求出圆心（﹣1，0）到直线l的距离d＝1，由圆上恰有三个点到直线l的距离都为1，得到圆心（﹣1，0）到直线l的距离d＝，由此能出r的值．解：圆心C（﹣1，0），则点C到直线l的距离d＝＝1，又因为圆C上恰有三个点到直线的距离为1，所以圆心到直线l的距离d＝，即r＝2d＝2，故选：A．4．执行如图所示的程序框图，则输出的S是（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】由程序框图得S＝2+lg+lg+lg+…+lg，由此利用对数性质及运算法则能求出S．解：由程序框图得：S＝2+lg+lg+lg+…+lg＝2+（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+…+（lg999﹣lg1000）＝2+lg1﹣lg1000＝2﹣3＝﹣1．故选：B．5．甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的A、B、C、D、F五个座位．已知：（1）若甲或者乙中的一人坐在C座，则丙坐在B座；（2）若戊坐在C座，则丁坐在F座．如果丁坐在B座，那么可以确定的是（）A．甲坐在A座B．乙坐在D座C．丙坐在C座D．戊坐在F座【分析】坐在B座，由（1）可得甲或者乙中的一人不能坐在C座，由（2）可得戊不能坐在C座，故C座只能是丙．解：∵丁坐在B座，由（1）可得甲或者乙中的一人不能坐在C座，由（2）可得戊不能坐在C座，故C座只能是丙．故选：C．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的表面积是（）A．2+2B．4+2C．2+3D．4+3【分析】根据三视图知该几何体是底面为矩形高为2的四棱锥，结合图中数据计算该四棱锥的表面积．解：根据三视图知，该几何体是底面为矩形，高为2的四棱锥P﹣ABCD；且侧面PAB⊥底面ABCD，放入长为2，宽为1，高为2的长方体中，如图所示；结合图中数据，计算该四棱锥的表面积为：S＝S矩形ABCD+S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD＝1×2+×2×2+×1×+×1×+×2×＝4+2．故选：B．7．下列图象中，函数f（x）＝（e x﹣e﹣x）sin x，x∈[﹣π，π]图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为偶函数且在区间（0，π）上，f（x）＞0恒成立，据此由排除法分析可得答案．解：根据题意，f（x）＝（e x﹣e﹣x）sin x，则f（﹣x）＝（e﹣x﹣e x）sin（﹣x）＝（e x﹣e﹣x）sin x＝f（x），则f（x）为偶函数，排除BD，在区间（0，π）上，（e x﹣e﹣x）＞0，sin x＞0，则有f（x）＞0，排除A；故选：D．8．已知x∈（0，），y∈（0，），＝，则（）A．y﹣x＝B．2y﹣x＝C．y﹣x＝D．2y﹣x＝【分析】由二倍角公式可得，变形后，利用三角函数和差角公式可得cos（x﹣y）＝sin（y﹣x），进而得解．解：∵＝，∴，∴cos x cos y+sin x cos y＝cos x sin y﹣sin x sin y，∴cos（x﹣y）＝sin（y﹣x），∵x∈（0，），y∈（0，），∴．故选：A．9．将函数的图象横坐标变成原来的（纵坐标不变），并向左平移个单位，所得函数记为g（x）．若，且g（x1）＝g（x2），则g（x1+x2）＝（）A．﹣B．﹣C．0D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得x1+x2的值，可得g（x1+x2）的值．解：将函数的图象横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得y＝sin （2x﹣）的图象；再向左平移个单位，所得函数记为g（x）＝sin（2x+）的图象．若，则2x1+∈（，），2x2+∈（，），∵g（x1）＝g（x2），∴＝，∴x1+x2＝，则g（x1+x2）＝sin（2•+）＝sin＝，故选：D．10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α．平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论：①截面形状可能是正三角形②截面的形状可能是正方形③截面形状可能是正五边形④截面面积最大值为则正确结论的编号是（）A．①④B．①③C．②③D．②④【分析】根据题意逐个加以判断即可．解：对①当α截此正方体所得截面为B1CD1时满足，故①正确．对②，由对称性得截面形状不可能为正方形，故②错误．对③，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故③错误．对④，当截面为正六边形时面积最大，为6××＝3，故正确．故选：A．11．若函数f（x）＝﹣k有两个零点，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）∪（1，+∞）C．（0，1）D．（1，+∞）【分析】条件等价于函数g（x）＝图象与直线y＝k有2个交点，数形结合即可解：条件等价于函数g（x）＝图象与直线y＝k有2个交点，作出函数g（x）图象如图：由图可知，k∈（0，1），故选：C．12．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，与双曲线的一条渐近线交于P（异于原点）．抛物线的准线与另一条渐近线交于Q．若|PQ|＝|PF|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意求出交点P，Q的坐标，再由|PQ|＝|PF|，可得PQ垂直于准线，所以P，Q的纵坐标线段可得a，b的关系，进而球心双曲线的渐近线方程．解：设P在第一象限可由可得x P＝，y P＝，由可得y Q＝，由若|PQ|＝|PF|，由抛物线的性质可得P到焦点的距离等于到准线的距离，可得PQ垂直于准线，所以＝，所以b2＝4a2，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±x＝±2x，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分.13．已知||＝|﹣|，（+）⊥（﹣），则与的夹角为60°．【分析】由||＝|﹣|，（+）⊥（﹣），列出方程组求出cos＜＞＝，由此能求出与的夹角．解：∵||＝|﹣|，（+）⊥（﹣），∴，∴cos＜＞＝，∴与的夹角为60°．故答案为：60°．14．已知实数x，y满足约束条件．则x+2y的最小值为4．【分析】画出约束条件表示的平面区域，移动目标函数找出最优解，求出z的最小值．解：画出实数x，y满足约束条件表示的平面区域如图所示，目标函数z＝x+2y变形为y＝﹣x+z，当此直线经过图中A时，直线在y轴的截距最小，由，求得A（2，1）；所以z的最小值为2+2×1＝4；故答案为：4．15．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步．文勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是．【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，然后分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率公式即可求出所求．解：由题意，直角三角形，斜边长为17，由等面积，可得内切圆半径r＝＝3，∴向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是＝，故答案为：．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝cos C，则△ABC面积的最大值是．【分析】由已知结合正弦定理及和角公式进行化简可求B，然后结合余弦定理及基本不等式可求ac的最大值，再结合三角形的面积公式即可求解．解：∵b＝cos C＝b cos C，由正弦定理可得2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos B＝即B＝，由余弦定理可得，，∴a2+c2＝3+ac≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，解可得ac≤3，即ac的最大值为3，此时三角形的面积最大S＝＝．故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、公司和自主创业等五大行业.2020届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专业，毕业生人数分别是70人，140人和210人．现采用分层抽样的方法，从该学院毕业生中抽取18人调查学生的就业意向．（Ⅰ）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？（Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业，在抽取的18人中，就业意向恰有三个行业的学生有5人．为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这5名学生分别记为A，B，C，D，E，统计如表：A B C D E公务员〇〇×〇×教师〇×〇×〇金融〇〇〇×〇公司××〇〇〇自主择业×〇×〇×其中“〇”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向．现从A，B，C，D，E这5人中随机抽取2人接受采访．设M为事件“抽取的2人中至少有一人有自主创业意向”，求事件M发生的概率．【分析】（Ⅰ）由已知，数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数之比为1：2：3，采用分层抽样的方法抽取18人，利用分层抽样的性质能求出该学院三个专业的毕业生中分别抽取的人数．（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人，利用列举法能求出事件M发生的概率．解：（Ⅰ）由已知，数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数之比为1：2：3，由于采用分层抽样的方法抽取18人，应从数学与应用数学中抽取：18×＝3人，计算机科学与技术中抽取：18×＝6人，金融工程三个专业抽取：18×＝9人．（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人的所有结果有10种，分别为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，由统计表知事件M包含的基本事件有7种，分别为：{A，B}，{B，C}，{B，D}，{B，E}{A，D}，{C，D}，{D，E}，∴事件M发生的概率P＝．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2a n﹣S n＝2．（Ⅰ）求a n（Ⅱ）若数列{b n}满足，{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由2a n﹣S n＝2．n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，相减可得：a n＝2a n﹣1．n＝1时，2a1﹣a1＝2，解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：S n＝＝2（2n﹣1），b n＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）∵2a n﹣S n＝2．∴n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，可得：2a n﹣2a n﹣1﹣a n＝0，可得：a n＝2a n﹣1．n＝1时，2a1﹣a1＝2，解得a1＝2，∴数列{a n}是首项公比都为2的等比数列．∴a n＝2n．（2）由（1）可得：S n＝＝2（2n﹣1）．∴b n＝＝﹣．∴数列{b n}的前n项和T n＝﹣+﹣+……+﹣＝1﹣．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC＝＝2，∠BCC1＝，E为BB1中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1．（Ⅱ）求C到平面AC1E的距离．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解C1B＝，然后证明BC ⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求解三角形可得三角形CC1E与三角形AC1E的面积，再由等体积法求C到平面AC1E的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵BC＝，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B＝，由C1B2+BC2＝C1C2，得C1B⊥BC．又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1，又CB∩AB＝B，∴C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）解：在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝BB1＝1，得AE＝，在平行四边形BB1C1C中，由，BB1＝2，∠BCC1＝，得，可得．又E为BB1中点，∴C1E＝1．由，得AE⊥C1E，则．设点C到平面AC1E的距离为h，在四面体C﹣AC1E中，由，得×＝，解得h＝．故C到平面AC1E的距离为．20．已知椭圆C）的右焦点为F，离心率，过原点的直线（不与坐标轴重合）与C交于P，Q两点，且|PF|+|QF|＝4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过P作PE⊥x轴于E，连接QE并延长交椭圆于M，求证：以QM为直径的圆过点P．【分析】（I）设椭圆的左焦点为F'，根据对称轴，结合定义，求出a，再求出c，b，求出椭圆的方程；（II）设过原点的直线方程为y＝kx（k≠0），设P（x1，kx1），Q（﹣x1，﹣kx1），E （x1，0），求出向量，判断出PQ与PM垂直，得出结论．解：（I）设椭圆的左焦点为F'，根据对称轴，|PF|+|QF|＝|PF|+|PF'|＝4＝2a，a＝2，又离心率＝，所以c＝，b＝，所以椭圆的方程为：；（II）设过原点的直线方程为y＝kx（k≠0），设P（x1，kx1），Q（﹣x1，﹣kx1），E（x1，0），则，故直线QE为y＝，由，得（2+k2）x2﹣，则，，故，所以，，则，故直线PQ与PM垂直，所以∠MPQ＝90°，故以QM为直径的圆过点P．21．已知函数f（x）＝lnx+mx2（m∈R）的最大值是0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若，求的最小值．【分析】（I）f′（x）＝+2mx．（x∈（0，+∞））．m≥0时，f′（x）≥0，函数f （x）在x∈（0，+∞）单调递增，函数函数f（x）为最大值．m＜0时，f′（x）＝，可得x＝时，函数f（x）取得最大值0，即可得出m．（II）由（I）可得：f（x）＝lnx﹣x2，，化为：lnx≤ax+b．令g（x）＝lnx﹣ax﹣b≤0，g′（x）＝﹣a．对a分类讨论可得：a＞0时，可得x＝时，函数g（x）取得最大值．可得ln﹣1﹣b≤0，a≥e﹣1﹣b．≤e1+b，对b分类讨论进而得出结论．解：（I）f′（x）＝+2mx．（x∈（0，+∞））．m≥0时，f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递增，函数函数f（x）为最大值．m＜0时，f′（x）＝，可得x＝时，函数f（x）取得最大值0，∴f（）＝ln﹣＝0，解得m＝﹣．（II）由（I）可得：f（x）＝lnx﹣x2，，化为：lnx≤ax+b．令g（x）＝lnx﹣ax﹣b≤0，g′（x）＝﹣a．a≤0时，g′（x）＞0，函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，无最大值．a＞0时，g′（x）＝，可得x＝时，函数g（x）取得最大值．∴ln﹣1﹣b≤0，∴lna≥﹣1﹣b，a≥e﹣1﹣b．∴≤e1+b，b≥0时，≥0．b＜0时，≥be1+b，令h（x）＝be1+b，b＜0．h′（b）＝（b+1）e1+b，可得b＝﹣1时函数h（x）取得最小值．h（﹣1）＝﹣1．∴的最小值为﹣1．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ＝4cosθ+6sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为（3，1），求|AM|+|AN|．【分析】（1）由曲线C的方程的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（2）把直线代入曲线C得．由此能求出|AM|+|AN|．解：（1）曲线C的方程ρ＝4cosθ+6sinθ，∴ρ2＝4ρcosθ+6ρsinθ，∴x2+y2＝4x+6y，即曲线C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13．（2）把直线代入曲线C得，整理得，．∵，设t1，t2为方程的两个实数根，则，t1t2＝﹣8，∴t1，t2为异号，又∵点A（3，1）在直线l上，∴．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|ax+1|，a∈R．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）当x∈（1，2）时，不等式f（x）＞1﹣x成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝2代入，运用零点分段讨论法求解即可；（2）问题可转化为在（1，2）上恒成立，构造函数即可得解．解：（1）当a＝2时，f（x）＞1即为|2x﹣1|﹣|2x+1|＞1，当时，f（x）＝2x﹣1﹣2x﹣1＝﹣2＞1，不成立；当时，f（x）＝1﹣2x﹣2x﹣1＝﹣4x＞1，∴；当时，f（x）＝1﹣2x+2x+1＝2＞1，成立；综上，不等式的解集为；（2）当x∈（1，2）时，不等式f（x）＞1﹣x可化为2x﹣1﹣|ax+1|＞1﹣x，∴3x﹣2＞|ax+1|，∴2﹣3x＜ax+1＜3x﹣2，∴，∵在（1，2）上是减函数，∴；∵在（1，2）上是增函数，∴，∴﹣2≤a≤0，即实数a的取值范围为[﹣2，0]．。