【2014上海杨浦一模】上海市杨浦区2014届高三上学期期末考试(一模)数学理试题及答案

杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷（文科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U.5．双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f ． 7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于()3cm .8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数x x x f cos sin )(=，则函数)(x f 的最小正周期为__________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12．若21()nx x +的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于 ． 13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）14．函数()x f 是R 上的奇函数，()x g 是R 上的周期为4的周期函数，已知()()622=-=-g f ,且()()()()()()()()[]2122022222=-+-++f g g f g g f f ,则()0g 的值为___________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）. )(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的………（ ）.)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．若式子),,(c b a σ满足),,(),,(),,(b a c a c b c b a σσσ==，则称),,(c b a σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①abc c b a =),,(σ； ②222),,(c b a c b a +-=σ； ③C B A C C B A 2cos )cos(cos ),,(--⋅=σC B A ,,(是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是………（ ）.)(A 0 . )(B 1 . )(C 2 . )(D 3 .三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知向量()1,2x m =，()ax a n 21,-=，其中0>a .函数()n m x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()x x g x f =.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． 求抛物线Γ方程；求证：αα2sin )1(cos 2+=AF ．22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分. 已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ； （2）求证：数列{}n b 是等比数列；（3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分8分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且m ≠①用m 表示点F E ,的坐标；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 文π； 10. 30 ； 11.01062=+-x x ； 12.文 6 ；13.文0.30； 14.文2； 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. 文C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分 20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即t t f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0, ……13分0≤∴k ……14分21. 【解】文科（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……8分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……11分 解得 αα2s i n )1(c o s 2+=AF ……14分22. 【解】文科(1) 由21=a 及2321++=+n S S n n 当1=n 时 故72=a ……4分(2)由2321++=+n S S n n 及)2(2)1(321≥+-+=-n n S S n n……6分 得 1231-+=+n a a n n ，故)(3)1(1n a n a n n +=+++， ……8分即)2(1≥=+n b b n n ，当1=n 时上式也成立, ……9分,故{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列 ……10分(3) 由（2）得nn n n b b 311,3== ……11分8140)311(21311)311(3111121>-=--=+⋅⋅⋅++nn n b b b ……14分故813>n解得4>n ，最小正整数n 的值5 ……16分23【解】（文科）解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为k1=m 21-,直线BM 斜率为k2=m 23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m ,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ ……4分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……5分②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠,5AMFBME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m mm mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k =--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =,所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242k k d TR ++=-=；由22222048014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……15分 所以13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立,此时直线1:1l y x =- ……18分。

2014年高考数学模拟试卷 (理答案仅供参考)一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． 设U R =,2{|20}M x x x =->，则U C M = [0,2]2．（理科）计算：=+⋅⋅⋅+++∞→nP n n 321lim22 3． 二项展开式61()x x-中的常数项为 20- ．（用数字作答）4．（理科）已知一个关于x y 、的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则+=x y 6 . 5.（理科）已知点G 为∆ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且x =，y =，则yx xy +的值为_______31_________.解：M 、G 、N 三点共线⇒(1)(1)AG AM AN xAB yAC λλλλ=+-=+-又G 为∆ABC 的重心⇒1133AG AB AC =+，所以11313(1)3x xy x y y λλ⎧=⎪⎪⇒=⎨+⎪-=⎪⎩6.（理科）直线l 的方程为10223012xy=-，则直线l 的一个法向量是 .答案 (),2k k 其中0k ≠ 7. （理科）函数x x y cos 6sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=π的最大值为 43. 8. （理科）在极坐标系中，点)4π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于____2____.9．(理科)若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是______10m >或0m <.______.10.(理科)已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm ．11.(理科)已知函数)()(),1,0(2)(11x f x fa a a x f x 是设且-+≠>-=的反函数．若)(1x f y -=的图象不经过第二象限，则a解得)(,1)2(log )(11x f y x x fa --=-+=要使的图象不过第二象限, 只需⎩⎨⎧>≤-,1,012l o g a a 解得.2≥a12．（理科）知离散型随机变量x 的分布列如右表。

上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科） 2014.1.2考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 计算：=+∞→133lim n nn ．2．若直线013=--x y 的倾斜角是θ，则=θ (结果用反三角函数值表示).3．若行列式124012x -=，则x = .4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .5．双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f．7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于 ()3cm . 8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________．10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12． 若21()nx x +的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ． 13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 ．14．已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 给出下列命题： ①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）. )(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直 16．“21<-x 成立”是“01<-x x成立”的………（ ）.)(A 充分非必要条件． )(B 必要非充分条件． )(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x xx =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为………（ ）.)(A(]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知向量()1,2x =，()ax a 21,-=，其中0>a .函数()x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为4,设()()x x g x f =.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()033≥-x x k f 在[]1,1-∈x 上恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ． 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．求抛物线Γ方程；如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆Γ：2214x y +=.(1) 椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且m ≠①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关； ②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、 R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分. 设nS 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中k 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S；（2）当1k =，0b =，0p =时， ①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”.如果212a a -=，试问：是否存在数列{}n a 为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++<．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．杨浦区2013—2014学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2一．填空题（本大题满分56分） 1. 1 ； 2.3arctan ； 3.2； 4. ()0,∞- ； 5.3 ； 6. 1 ； 7. π； 8. 2；9. 理1±； 10. 30 ； 11.01062=+-x x ； 12. 理15 ；13.理95， 14.理②、③， 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题15. D ； 16. B ； 17. A ； 18.理B ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题 19. 【解】（1）因为 D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯ ……12分20. 【解】（1）由题得 ()a x a ax ax x g -+-=-+=⋅=1)1(2122……4分又0>a 开口向上，对称轴为1=x ，在区间[]3,2∈x 单调递增，最大值为4,()()43max ==∴g x g 所以，1=a ……7分（2）由（1）的他，()21)(-+==x x x x g x f ……8分令x t 3=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t 以()033≥-x x k f 可化为kt t f ≥)(, 即t t f k )(≤恒成立, ……9分2)11()(-=t t t f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,311t ,当11=t ,即1=t 时t t f )(最小值为0, ……13分0≤∴k ……14分21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得αα2s i n )1(c o s 2+=AF ……8分同理：αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分“蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8 ……14分 22. 【解】理科解：（1）①因为)1,0(),1,0(-B A ,M (m,12)，且0m ≠，∴直线AM 的斜率为k1=m 21-,直线BM 斜率为k2=m 23,∴直线AM 的方程为y=121+-x m ,直线BM 的方程为y=123-x m , ……2分由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,121,1422x m y y x 得()22140m x mx +-=，240,,1m x x m ∴==+22241,,11m m E m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 由⎪⎩⎪⎨⎧-==+,123,1422x m y y x 得()229120m x mx +-=，2120,,9m x x m ∴==+222129,99m m F m m ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭； ……4分 据已知，20,3m m ≠≠，∴直线EF 的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19m m m m m m k m m m m m m ---+-++===---++23,4m m +- ∴直线EF 的方程为2222134141m m m y x m m m -+⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭, 令x=0,得,2=y ∴ EF 与y 轴交点的位置与m 无关. ……5分②1||||sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠,1||||sin 2BME S MB ME BME ∆=∠,AMF BME ∠=∠,5AMFBME S S ∆∆=,∴5||||||||MA MF MB ME =，∴5||||||||MA MB ME MF =, ……7分∴225,41219m m m mm m m m =--++ 0m ≠，∴整理方程得22115119m m =-++，即22(3)(1)0m m --=，又有m ≠∴230m -≠， 12=∴m ，1m ∴=±为所求. ……10分(2) 因为直线12l l ⊥,且都过点(0,1)P -,所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=,直线21:10l y x x ky k k =--⇒++=, ……12分所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦222143242k k d TR ++=-=；由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩,所以482+-=+k k x x P Q 所以418)4(64)11(222222++=++=k k k k k QP ……14分 所以13131613232341334324348212222=≤+++=++==∆k k k k TR QP S TRQ当252k k =⇒=⇒=时等号成立,此时直线1:1l y x =- ……16分23【解】（理科）解：（1）当0k =，3b =，4p =-时，由()()pa ab kn S n n +++=12得nn S a a 24)(31=-+ ①用1n +去代n 得，11124)(3++=-+n n S a a ， ②②—①得，113()2n n n a a a ++-=，13n na a +=， ……2分在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n n a a +=，∴数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴n S=312n - …….5分（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++， ③用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++， ④④—③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ …….7分 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥—⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n na a a a +++-=-， …….8分∴数列{}n a 是等差数列.∵33a =，915a =，∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =- ……10分易知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-.又{}n a 是“Ω数列”，得：对任意*,Nm n ∈，必存在*N p ∈使1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数， …….12分又由已知，111111218S <<，故1181211a <<一方面，当1181211a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*N n ∈，都有123111111112n S S S S S ++++≥> .…….13分另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，1111n S n n =-+，则1231111111n S S S S n ++++=-+，取2n =，则1211121113318S S +=-=>，不合题意. …….14分当14a =时，(3)n S n n =+，1111()33n S n n =-+，则1231111111111()183123n S S S S n n n ++++=-+++++1118<， …….15分当16a ≥时，1(1)n S n n a =+-(3)n n >+，1111()33n S n n <-+，123111111111111()18312318n S S S S n n n ++++<-++<+++， …….16分又1181211a <<，∴14a =或16a =或18a =或110a = …….17分所以，首项1a 的所有取值构成的集合为{}10,8,6,4 …… 18分（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）。

杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科） 2015.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=________________. 2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________. 3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________. 4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________. 5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f1．6．二项式91x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的第４项是_________________. 7．不等式()22log 32x x ->的解是____________________.8．已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．9．向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =_________. 10．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口6排A 座 6排B 座 6排C 座走廊6排D 座 6排E 座 窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有__________种。

11．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为______________. 12．已知集合2*{|1,}n A z z i i i n N ==++++∈，则集合A 的子集个数为_______.1,0i s ==开始 1i i =+否 输出s结束 是 第15题图2s s i =+13．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.14. 如图所示，已知函数 2log 4y x =图像上的两点 A ， B 和函数 2log y x =上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为(),p q , 则实数 p 的值为_______________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i > 16．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根B ．若12,zC z C ∈∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的 一个圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y x B ．041222=---+y x y xC ．01222=+-++y x y xD ． 041222=+--+y x y x 18．数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。

上海市静安、杨浦、青浦、宝山 2013—2014学年联合高考模拟考试理科数学试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .理6文7.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 .理7文8.已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.理8文10. 已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ．9．（理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．12．（理）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.第10题图已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .13.（理）已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S l i m . （其中*N n ∈）14．（理）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. （理）在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是…………………（ ）.)(A [0,2] )(B [2,1)(1,0]---)(C [0,1)(1,2] )(D [2,0]- 16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118.（理）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是…………………………………………（ ）.ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ)(A 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ )(B 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ )(C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ )(D 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =F 是BC的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（理）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；ADC F PB(第20题图)（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DPMN的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（理）设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1） 解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++ （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x恒成立，求实数k 的取值范围. 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（理）设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n nn a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．229．37； 10. 41 11. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴所求二面角的余弦值为5. 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， 令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. 所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++.所以MN ===2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32nn n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立． 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．。

【解析】上海市杨浦区2014届高三上学期学业质量调研数学（理）试题考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.计算：=+∞→133lim n nn．2.若直线013=--x y 的倾斜角是θ,则=θ(结果用反三角函数值表示).3.若行列式124012x -=，则x = .4.若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U.5.双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y =，则b =________.7.若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于()3cm .8.已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________.10.某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买吨．11.已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.12.若21(n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为．14.已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是.15.若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）.)(C 充要条件． )(D 既非充分又非必要条件．17.设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为………（ ）.)(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C ()2,2 ．)(D ()2,0 ．18.定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1log f x x x =+⊗，若函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则k 的取值范围为………（ ）.)(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a .（1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小；（2）求四棱锥ABCD A -1的体积.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．已知向量()1,2x =，()ax a 21,-=，其中0>a .函数()x g ⋅=在区间[]3,2∈x 上有最大值为21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．(1)求抛物线Γ方程；(2)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？(1)椭圆Γ的短轴端点分别为B A ,(如图)，直线BM AM ,分别与椭圆Γ交于F E ,两点，其中点⎪⎭⎫⎝⎛21,m M 满足0m ≠，且m ≠.①证明直线F E 与y 轴交点的位置与m 无关；②若∆BME 面积是∆AMF 面积的5倍，求m 的值；(2)若圆ψ:422=+y x .21,l l 是过点)1,0(-P 的两条互相垂直的直线,其中1l 交圆ψ于T 、R 两点,2l 交椭圆Γ于另一点Q .求TRQ ∆面积取最大值时直线1l 的方程.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中k 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ；（2）当1k =，0b =，0p =时，①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”.如果212a a -=，试问：是否存在数列{}n a 为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++< ．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．。

上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014届高三模拟理科数学试卷（带解析）1．在实数集R 上定义运算*：(1)x y x y *=⋅-．若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{|11}x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是（ ）. A.[0,2] B. [2,1)(1,0]--- C. [0,1)(1,2] D.[2,0]-【答案】D 【解析】试题分析：依题意()0x x a *->可得(1)0x x a -+>.由于解集为{|11}x x -≤≤，所以011a <+≤或110a -≤+<，即10a -<≤或21a -≤<-.当1a =-时，解集为空集，所以成立.故选D.考点：1.新定义问题.2.不等式的解法.3.集合间的关系.2．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的（ ）. A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：因为x x x f ωω22cos sin)(-=可化为()cos 2f x x ω=-.所以可得1=ω是函数()f x 最小正周期为π的充分条件.由于函数的最小正周期为π,则2,12T ππωω==∴=±.所以必要性不成立.故选B.考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.3．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =（ ）.A.1:1B.2:1C.3:2D.4:1 【答案】C 【解析】试题分析：假设球的半径为r .则圆柱的底面半径为r .高为2r .所以圆柱的表面积为216S r π=.球的表面积为224S r π=.所以12:3:2S S =.故选C.考点：1.圆柱的表面积.2.球的表面积.3.方程的思想.4．函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）.O xyA.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.10,4⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】试题分析：因为对任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-，所以函数()f x 的周期为2. 由在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，即函数()f x mx m =+在[1,3]-上有四个不同的零点.即函数()y f x =与函数()h x mx m =+在[1,3]-有四个不同的交点.所以0(3)1h <≤.解得1(0,]4m ∈.故选D. 考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.5．已知j i ,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .【解析】试题分析：由2i j +=.考点：向量的模的含义. 6．二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）【答案】2【解析】 试题分析：由ii i ++-1101可得(1)(1)2i i -+=.考点：1.行列式的运算.2.复数的运算.7．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________. 【答案】35 【解析】试题分析：717r rr T C x -+=.依题意可得73,4r r -=∴=.所以展开式中含3x 项的系数值为35.考点：1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.8．已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π) 【答案】12π 【解析】试题分析：由圆锥的母线长为5,侧面积为π15.则根据12s lr =.即可求出圆锥的底面周长6π.从而解出底面半径3r =.再求出圆锥的高4h =.根据体积公式213V r h π= 12π=.考点：1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化. 9．已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B = .【答案】{1,0,1}- 【解析】试题分析：依题意可得集合{11}A y y =-≤≤，集合{,1,0,1,}B =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅.所以A B ={1,0,1}-.考点：1.集合描述法表示.2.三角函数的值域.10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点，且弦AB 的中点为(1,2)P ，则直线AB 的方程为 . 【答案】30x y +-= 【解析】试题分析：假设1122(,),(,)A x y B x y .AB 的中点坐标为00(,)x y .所以可得22112222(1) 4(1) 4 x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩①②.由①-②可得001AB x k y =-.即1AB k =-.所以:30AB l x y +-=. 考点：1.点差法的应用.2.直线与圆的位置关系.3.直线方程的表示. 11．已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为_____________.【答案】【解析】试题分析：由1log log 22=+y x 可得2log ()1,2xy xy =∴=.又y x +≥=.当且仅当x y =时取等号. 考点：1.对数的知识.2.基本不等式.12．已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是 ． 【答案】14【解析】试题分析：首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈，设公比为q ,由各项和等于 4.即341q=-.解得14q =.考点：无穷等比数列的求和公式.13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααy x （α为参数），O 为坐标原点，M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．则2C 的参数方程为 .【答案】4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）【解析】试题分析：设点(,)P x y .由2OP OM =，可得4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩.即2C 的参数方程为4cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）. 考点：1.参数方程的知识.2.向量相等.14．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .【答案】138【解析】 试题分析：由程序框图可知，x=1,y=1,z=2;当x=2,y=3,z=5;当x=3,y=5,z=8;当x=5,y=8,z=13;当x=8,y=13,z=21.由21>20.所以退出循环.即可得138y x =. 考点：1.程序框图.2.数的交换运算. 15．从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ． 【答案】98【解析】试题分析：由8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动共有3856C =种情况.所以3510(0)5656C P ξ===.215330(1)5656C C P ξ===.125315(2)5656C C P ξ===.03531(3)5656C C P ξ===.所以ξ的数学期望是30151639()23565656568E ξ=+⨯+⨯==. 考点：1.概率问题.2.数学期望.16．设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 . 【答案】3【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n ，所以11a =.当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-.所以42912525n n b n n -=-=--.当10i i bb +<（正整数i ）时，即292702523i i i i --⋅<--.所以3522i <<或7922i <<.所以i=2,4又因为1235150bb =-⨯=-<，所以i=1.所以数列{}n b 的变号数为3.考点：1.数列的求和公式.2.数列与不等式交汇.3.分类归纳的思想.4.递推的数学思想. 17．已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）【答案】32【解析】试题分析：依题意可得函数2222 [0,2)1(68) [2,4)3()1(1024) [4,6)9x x x x x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪-+-∈⎪=⎨⎪-+-∈⎪⎪⋅⋅⋅⎩.所以11a =，213a =，319a =，…，113n n a -=.所以数列}{n a 是一个首项为1，公比为13的等比数列.所以31(1)23n n S =-.所以=∞→n n S lim 32.考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.18．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .ABCDEFS 1 αABCPNF S 2αMQ【答案】110【解析】试题分析：依题意可得4411=S ，所以21FD =，4402=S ,所以MQ =.所以21cos sin AF αα=，所以即21cos 21sin AC αα=+.AM CM α==，所以AC α=.即可得21c o s2110c o s s i n ααα+=+.即21(sin cos )cos αααα+=.令sin cos tαα+=.则22sin cos 1t αα=-.所以可得2210t -=.解得t =或t =（由于1sin 2011α=-<，所以舍去.），所以21sin 2110t α=-=. 考点：1.解三角形的知识.2.三角形相似的判定与性质.3.三角的运算.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB =，F 是BC 的中点.ADCFPB（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）5【解析】试题分析：（1）需证明DA ⊥平面PAC ，转化为证明AD ⊥AC,AD ⊥PA.因为PA 垂直平面ABCD ，由题意可得AD ⊥AC,AD ⊥PA 显然成立，即可得结论.（2）如图建立空间直角坐标系，因为)1,1,1(=是平面PCD 的法向量，所以求出平面PAF的法向量(1,2,0)m =u r，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值，试题解析： 1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A C B D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴考点：1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.20．某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？【答案】（1）10210x x θ+=+；（2）参考解析 【解析】试题分析：（1）由于花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度.所以AD 的弧长为10θ，BC 的弧长为x θ.所以可得102(10)30x x θθ++-=.即可得结论.（2）由花坛两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．即可得所需费用的关系式. 花坛的面积由大扇形面积减去小的扇形面积即可，再利用基本不等式即可求得结论.试题解析：(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.21．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】试题分析：（1）由椭圆2222:1x y C a b +=()0a b >>的右焦点F (1,0)，即1c =.又短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-，即可求出a ，b 的值.从而得到椭圆的方程.（2）由（1）可得假设直线AB 的方程联立椭圆方程消去y 即可得到一个关于x 的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k 的关系式.写出线段AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程.即可得到点D 的坐标.即可求得线段PD 的长，根据弦长公式可得线段MN 的长度，再通过最的求法即可得结论.试题解析：（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-. 由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k -++.所以MN == 2212(1)43k k +=+.直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =.所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DP MN 的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力. 22．设函数xx g 3)(=，xx h 9)(=.（1）解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，3)(3)(+=x h x q ，求证：)20142013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(q q q q p p p p ++++=++++（3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）2=x ；（2）参考解析；（3）2<k 【解析】试题分析：（1）由于函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，所以解方程0)1()(8)(=--h x g x h .通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.（2）由于3)()()(+=x g x g x p 即得到()x P x =.所以()(1)1p x p x +-=.所以两个一组的和为1，还剩中间一个21323)21()20141007(===p p .即可求得结论. （3）由bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，可求得1,3=-=b a .又由于0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立.该式的理解较困难，所以研究函数()f x 的单调性可得.函数()f x 在实数集上是递增.集合奇函数，由函数值大小即可得到变量的大小，再利用基本不等式，从而得到结论.试题解析：（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ． 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ．（3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=xx f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . 考点：1.解方程的思想.2.函数的单调性.3.归纳推理的思想.4.基本不等式.23．设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =． （1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n n n a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121 ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．【答案】（1）142n n b -=；（2）参考解析；（3）存在5【解析】试题分析：（1）由于数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，所以通项公式为12 (*)n n a n N -=∈.由于数列{}n a 为递增数列，所以都符合1+<n n a a .即可得到数列{}n b 的通项公式.（2）由于各项都是正整数的无穷数列{}n a ，所以利用反正法的思想，反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈即可得到证明.（3）由{}n a 各项都是正整数，所以由1n n a a +>可得到11n n a a +≥+.所以可得到1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++≥++-+.从而可得到{}n a 是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论. 试题解析：（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ；（2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈ ①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列， 证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-= 即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得 14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．考点：1.数列的性质.2.反证法的知识.3.放缩法证明相等的数学思想.4.数列求和.5.数列与不等式的知识交汇.。

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编函数2014.01.23（浦东新区2014届高三1月一模，理）6.已知函数11()24xx f x -=的反函数为1()f x -，则1(12)f -=___________.（ 6.2log 3（杨浦区2014届高三1月一模，理）6．若函数()23-=x x f 的反函数为()x f 1-，则()=-11f ．6. 1 ；（（嘉定区2014届高三1月一模，理）1．函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．1．),2(∞+（徐汇区2014届高三1月一模，理）7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点.长宁区2014届高三1月一模，理）1、设()x f 是R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()=1f1、3-（浦东新区2014届高三1月一模，理）17.已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ） (A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 20132117. D（普陀区2014届高三1月一模，理）6. 函数)1(l o g )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.6. =-)(1x f)0(21≤+x x（不标明定义域不给分）；2（嘉定区2014届高三1月一模，理）13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 13．47（嘉定区2014届高三1月一模，理）3．已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(， 则)1(1-f的值是___________．3．2（杨浦区2014届高三1月一模，理）8. 已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，则22()()f a f b += _________. 8. 2；（浦东新区2014届高三1月一模，理）14. 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =，且()f x 是增函数，则(3)f =14.6（长宁区2014届高三1月一模，理）3、已知函数5()2x f x x m-=+的图像关于直线y x =对称，则m =3、1-（普陀区2014届高三1月一模，理）14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 14.2<a ；（徐汇区2014届高三1月一模，理）14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 . 14. 2（杨浦区2014届高三1月一模，理）18．定义一种新运算：,(),()b a b a b a a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数24()(1)log f x x x=+⊗，若函数()()g x f xk =-恰有两个零点，则k 的取值范围为 ………（ ）. )(A (]1,2 ． )(B (1,2) ． )(C (0,2) ． )(D (0,1) ．页 3第18.理B ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）18．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函 数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ） A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间” B ．函数x e x f =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间” D ．函数⎪⎭⎫⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”18．D（长宁区2014届高三1月一模，理）18、函数2xy =的定义域为[,]a b ，值域为[1,16]，a 变动时，方程()b g a =表示的图形可 以是 （ ）A ．B ．C ．D ． 18、B（普陀区2014届高三1月一模，理）23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.定义在()0,+∞上的函数()f x ，如果对任意()0,x ∈+∞，恒有()()f kx kf x =（2k ≥，*k N ∈）成立，则称()f x 为k 阶缩放函数.（1）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()121log f x x =+，求(f 的值；（2）已知函数()f x 为二阶缩放函数，且当(]1,2x ∈时，()f x =求证：函数()y f x x=-在()1,+∞上无零点；4（3）已知函数()f x 为k 阶缩放函数，且当(]1,x k ∈时，()f x 的取值范围是[)0,1，求()f x 在(10,n k +⎤⎦（n N ∈）上的取值范围.23. （本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.解：（1）由]2,1(2∈得，212log 1)2(21=+=f ………………2分 由题中条件得1212)2(2)22(=⨯==f f ……………………4分 （2）当]2,2(1+∈i i x （i N ∈）时，(]1,22ix∈，依题意可得： ()222222222iix x x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6分 方程0)(=-x x f⇔x =⇔0x =或2i x =，0与i 2均不属于]2,2(1+i i ……8分当(12,2i i x +⎤∈⎦（i N ∈）时，方程()0f x x -=无实数解。

杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科）考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知(), 0,1sin 2∈=απα，则α=________________.2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________.3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________.4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________.5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f 1．6. 二项式91x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式（按x 的降幂排列）中的第４项是_________________. 7． 已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．8．向量()()2,3,1,2a b ==-r r，若ma b +r r 与2a b -r r平行，则实数m =_________.9．一家55窗口走廊窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。

10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9） 11．不等式()2log 431x x ->+的解集是_______________________.12．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b ca ba b c++=+-，则角C =_________.13．已知12ω=-，集合{}2*1,n A z z n N ωωω==++++∈L ，集合1,0i s ==开始1i i =+否输出s 结束 是第15题图2s s i =+1212{|,}B x x z z z z A ==⋅∈、（1z 可以等于2z )，则集合B 的子集个数为__________.14．如图所示，已知函数 2log 4y x=图像上的两点 A 、 B 和函数2log y x=上的点 C ，线段 AC平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点B 的坐标为(),p q , 则22q p ⨯的值为________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i >16．下列命题中正确的是（ ） A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根 B ．若12,z C z C∈∈且120z z ->，则12z z >C ．若z R ∈，则2z z z⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y x B ．041222=---+y x y x C ．01222=+-++y x y x D ． 041222=+--+y x y x18．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n ab ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0nn n ba →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。