高考数学大一轮复习第七章四十二直线平面垂直的判定及其性质练习文54

第五节直线、平面垂直的判定及其性质————————————————————————————————[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥mA[∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]3．(2016·某某高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC[∵α∩β＝l，∴l⊂β.∵n⊥β，∴n⊥l.]4．如图7­5­1，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．图7­5­14[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′­BD­C的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝22a，∴A′C＝a22＋a22＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]线面垂直的判定与性质如图7­5­2，在三棱锥A­BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图7­5­2(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A ­MBC 的体积． [解] (1)证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB ⊥CD .2分又因为CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD .5分 (2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD . 又AB ＝BD ＝1，所以S △ABD ＝12×12＝12.8分因为M 是AD 的中点，所以S △ABM ＝12S △ABD ＝14.根据(1)知，CD ⊥平面ABD ， 则三棱锥C ­ABM 的高h ＝CD ＝1， 故V A ­MBC ＝V C ­ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.12分[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)； (3)面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)； (4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1] 如图7­5­3所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB . 求证：PA ⊥CD .图7­5­3[证明] 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC，得∠ABC ＝30°.3分设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.8分因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.12分面面垂直的判定与性质(2017·某某调研)如图7­5­4，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．图7­5­4(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[证明](1)如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.1分在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形.3分则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD，由于HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，故BD∥平面FGH.5分(2)连接HE，GE，CD，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.6分由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.10分由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H.所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.12分[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．2．垂直问题的转化关系：[变式训练2] 如图7­5­5，在三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N 分别为AB，PA的中点．(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.图7­5­5[证明](1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，2分又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.5分(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.7分因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面PAB.10分因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.12分平行与垂直的综合问题☞角度1 多面体中平行与垂直关系的证明(2016·某某高考)如图7­5­6，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.图7­5­6[证明](1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.3分又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.5分(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.7分又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.10分又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.12分[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．☞角度2 平行垂直中探索开放问题(2017·某某调研)如图7­5­7(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F ⊥CD，如图7­5­7(2)所示．(1) (2)图7­5­7(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由.【导学号：31222259】[证明](1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.2分由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.5分(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.6分理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，则DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.12分[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.线面角的求法与应用(2016·某某高考)如图7­5­8，在三棱台ABC­DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.图7­5­8(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．[解](1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，3分因此，BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.5分(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos∠BDF＝217，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为217.12分[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角．(2)证：证明找出的角即为所求的角．(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．[变式训练3] 如图7­5­9，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．图7­5­9(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD.[解](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，2分故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°.5分(2)证明：在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.7分又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.10分又PC∩CD＝C，故AE⊥平面PCD.12分[思想与方法]1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任一直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；(3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. 2．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3．转化思想：垂直关系的转化[易错与防X]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．课时分层训练(四十二)直线、平面垂直的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·某某六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥βC[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．]2．(2017·某某河西模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥βB[A中，α∥β或α与β相交，不正确．B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确．C中，l∥β或l⊂β，C不正确．对于D中，l与β的位置关系不确定．]3．如图7­5­10，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立．．．的是( )【导学号：31222260】图7­5­10A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABCD[因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．] 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]5．如图7­5­11，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )图7­5­11A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]二、填空题6．如图7­5­12所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【导学号：31222261】图7­5­12DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]7．如图7­5­13，在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．【导学号：31222262】图7­5­13π3[取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥平面BB 1C 1C . 所以∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角． 设三棱柱的所有棱长为a ， 在Rt △AED 中，AE ＝32a ，DE ＝a 2. 所以tan ∠ADE ＝AE DE ＝3，则∠ADE ＝π3.故AD 与平面BB 1C 1C 所成的角为π3.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9.(2015·高考)在三棱锥V ­ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．图7­5­14(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ­ABC 的体积．[解] (1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .3分又因为VB ⊂/平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .5分 (2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB .所以平面MOC ⊥平面VAB .8分(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.9分 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C ­VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V ­ABC 的体积与三棱锥C ­VAB 的体积相等，所以三棱锥V ­ABC 的体积为33.12分 10．⊙O 的直径AB ＝4，点C ，D 为⊙O 上两点，且∠CAB ＝45°，F 为BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7­5­15②)．①② 图7­5­15(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，1分又因为F为BC的中点，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，3分又AC⊂平面ACD，OF⊄平面ACD，所以OF∥平面ACD.5分(2)存在，E为AD中点，因为OA＝OD，所以OE⊥AD.7分又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．所以OC⊥平面OAD.9分又AD⊂平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE.又AD⊂平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·某某某某二模)如图7­5­16，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )图7­5­16A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A [由题意可知PA ，PE ，PF 两两垂直， 所以PA ⊥平面PEF ，从而PA ⊥EF ，而PO ⊥平面AEF ，则PO ⊥EF ，因为PO ∩PA ＝P ， 所以EF ⊥平面PAO ，所以EF ⊥AO ，同理可知AE ⊥FO ，AF ⊥EO ， 所以O 为△AEF 的垂心．]2．如图7­5­17，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 【导学号：31222263】图7­5­17a 或2a [∵B 1D ⊥平面A 1ACC 1，∴CF ⊥B 1D .为了使CF ⊥平面B 1DF ，只要使CF ⊥DF (或CF ⊥B 1F )． 设AF ＝x ，则CD 2＝DF 2＋FC 2，∴x 2－3ax ＋2a 2＝0，∴x ＝a 或x ＝2a .]3．(2016·某某高考)如图7­5­18，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .图7­5­18(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由； (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .[解] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接CM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .2分 所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)5分 (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .8分因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ， 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .12分。

第五讲 直线、平面垂直的判定与性质知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直①定义：若直线l 与平面α内的__任意__一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条__相交__直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a ⊂α，__b ⊂α__，l ⊥a ，l ⊥b ，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α．③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__平行__．即：a ⊥α，b ⊥α⇒__a ∥b __． (2)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的__锐角__，叫做这条斜线和这个平面所成的角．若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为__0__，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为__π2__．②线面角θ的X 围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．知识点二 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的__两个半平面__所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱__垂直__的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的X 围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒__α⊥β__．③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于__交线__的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒__a⊥β__．归纳拓展1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α．( ×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ×)(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b．( √)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α．( ×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β．( ×)题组二走进教材2．(必修2P73T1)下列命题中不正确的是( D )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β[解析]对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．题组三走向高考3．(2017·课标全国Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( C ) A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC[解析]∵A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又BC1⊥B1C，且B1C∩A1B1＝B1，∴BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，∴BC1⊥A1E．故选C．4．(2019·)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__若l⊥α，l⊥m，则m∥α．(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)__．[解析]由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．5．(2020·全国Ⅱ(节选))如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F．[证明]∵M，N分别为BC，B1C1的中点，∴MN∥BB1又AA1∥BB1，∴MN∥AA1在等边△ABC中，M为BC中点，则BC⊥AM．又∵侧面BB1C1C为矩形，∴BC⊥BB1∵MN∥BB1，MN⊥BC由MN∩AM＝M，MN，AM⊂平面A1AMN∴BC⊥平面A1AMN又∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴B1C1∥平面ABC又∵B1C1⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F∩平面ABC＝EF∴B1C1∥EF，∴EF∥BC又∵BC⊥平面A1AMN∴EF⊥平面A1AMN∵EF⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F⊥平面A1AMN．考点突破·互动探究考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透例1 (1)(2021·某某某某七校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是( B )A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β(2)(2020·某某某某质检一)已知l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l ⊥α，m⊂β，则有下面四个命题：①若α∥β，则l⊥m，②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中所有正确的命题是( A )A．①③B．①④C．②③D．①②③④(3)(2021·某某某某诊断)已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( C )A．若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，且α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nD．若m⊥α，n∥β，且α⊥β，则m⊥n[解析](1)由题知q能推出p：m⊥n．对A，当m∥n时仍然可以有m⊥α，n∥β，α⊥β．故A错误．对B，n⊥β，α∥β，则n⊥α，又m⊂α，则m⊥n．故B正确．对C，m⊥α，α∥β则m⊥β，又n⊥β，故m∥n．故C错误．对D，当α⊥β且相交于m时，若n∥m，也满足m⊂α，n∥β．故D错误．⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫2l ⊥α α∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，①对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥αm ⊂β⇒α⊥β，③对； 由图可知②④错．故选A ．(3)由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 相交，或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误；由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误，故选C ．名师点拨解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论．(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断．(3)否定命题时只需举一个反例即可．〔变式训练1〕(1)(2021·东北三省三校模拟)已知α，β是不重合的平面，m ，n 是不重合的直线，则m ⊥α的一个充分条件是( C )A ．m ⊥n ，n ⊂αB ．m ∥β，α⊥βC ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥βD ．α∩β＝n ，α⊥β，m ⊥n(2)(2021·某某某某调研)已知两条直线m ，n 和两个平面α，β，下列命题正确的是( A )A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥βB ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β[解析](1)对于答案A ：m ⊥n ，n ⊂α，得出m 与α是相交的或是垂直的或m ⊂α，故A 错；答案B ：m ∥β，α⊥β，得出m 与α是相交的、平行的都可，故B 错；答案C ：n ⊥α，n ⊥β，得出α∥β，再m ⊥β得出m ⊥α，故C 正确．⎭⎪⎬⎪⎫2m ⊥α m ⊥n ⇒n ⊂α或n ∥α．若n ⊂α，又n ⊥β，∴α⊥β；若n ∥α，则存在l ⊂α且l ∥n ，又n ⊥β，∴l ⊥β，∴α⊥β，故A 正确；事实上，在B 中条件下，α、β可能相交；在C 中条件下，α、β可能平行；在D 的条件下，α⊥β，故选A ．考点二 直线与平面垂直的判定与性质——多维探究 角度1 线、面垂直的判定例2 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD ． [证明]解法一：(1)连接AC ，AN ，BN ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，在Rt △PAC 中，N 为PC 中点． ∴AN ＝12PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ． 又BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ．从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN ＝12PC ．∴AN ＝BN ，∴△ABN 为等腰三角形． 又M 为底边AB 的中点，∴MN ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ． 又∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ．∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∴PA ＝BC ． 连接PM ，CM ，又∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ． 而∠PAM ＝∠CBM ＝90°，∴Rt △PAM ≌Rt △CBM ． ∴PM ＝CM ，又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC ． 由①知MN ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，∴MN ⊥平面PCD ． 解法二：(理)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴PA 、AB 、AD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，不妨设C (a ，b,0)，P (0,0，c )，则D (0，b,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2，(1)由MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，c 2，CD →＝(－a,0,0)，∴MN →·CD →＝0，∴MN ⊥CD ． (2)∵∠PDA ＝45°，∴b ＝c ， 又PC →＝(a ，b ，－b )，∴MN →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，b 2·(a ，b ，－b )＝0，∴MN ⊥PC ，又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD ． 角度2 线、面垂直的性质例3 (2021·某某“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．证明：CD ⊥B 1D ．[证明]∵△ACD 是边长为1的等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，∠DA 1C 1＝120°． ∵D 是AA 1的中点，△ACD 的边长为1，∴AD ＝A 1D ＝A 1C 1＝1，即△A 1C 1D 是等腰三角形， ∴∠A 1DC 1＝30°，从而∠CDC 1＝90°，即CD ⊥C 1D ．∵B1C1⊥平面AA1C1C，且CD⊂平面AA1C1C，∴B1C1⊥CD．∵B1C1∩C1D＝C1，B1C1⊂平面B1C1D，C1D⊂平面B1C1D，∴CD⊥平面B1C1D．∵B1D⊂平面B1C1D，∴CD⊥B1D．名师点拨1．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直线与平面垂直的性质．(5)(理)向量法：a⊥b⇔a·b＝0．2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．(4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·某某六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD．∠ADC＝60°，若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD．(2)(角度2)(2021·某某炎德英才大联考，节选)如图，圆柱OQ 的上，下底面圆的圆心分别为Q ，O ，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的下底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的直径AB ＝4，母线AD ＝AP ＝23．求证：AG ⊥BD ．[证明](1)证法1：∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝ 60°， ∴DC ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥DC ． ∴DC ⊥平面AA 1C 1C ，又AC 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴DC ⊥AC 1，∵AA 1＝AC ，∴四边形AA 1C 1C 为菱形，∴AC 1⊥A 1C ， 而DC ∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ． 证法2：(理)∵AD ＝2CD ，∠ADC ＝60°，∴∠ACD ＝90°，则CD ，CA ，CC 1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系C －xyz ．不妨设CD ＝1，则C (0,0,0)，D (1,0,0)，A (0，3，0)，C 1(0,0，3)，A 1(0，3，3)． ∴AC 1→＝(0，－3，3)，CD →＝(1,0,0)，CA 1→＝(0，3，3)．易得AC 1→·CD →＝0，AC 1→·CA 1→＝0．∴AC 1⊥CD ，AC 1⊥CA 1，又∵CD ∩CA 1＝C ， ∴AC 1⊥平面A 1B 1CD ．(2)证法1：∵AD ＝AP ，又G 是DP 的中点， ∴AG ⊥DP ．①∵AB 为圆O 的直径，∴AP ⊥BP ，易知DA ⊥底面ABP ，∴DA ⊥BP ，而AD ∩AP ＝A ， ∴BP ⊥平面ADP ，又AG ⊂平面ADP ，∴BP ⊥AG ，②∴由①②可知：AG ⊥平面BDP ，又BD ⊂平面BDP ， ∴AG ⊥BD ．证法2：(理)∵AB 为⊙O 的直径，∴PA ⊥PB ，如图建立空间直角坐标系，由题意知P (0,0,0)，A (0,23，0)，B (2,0,0)，D (0,23，23)，G (0，3，3)，∴AG →＝(0，－3，3)，BD →＝(－2,23，23)，∴AG →·BD →＝0，即AG ⊥BD ．考点三,两个平面垂直的判定与性质——师生共研例4 (2020·某某某某二诊)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1； (2)求几何体AA 1EBC 的体积．[解析](1)证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为矩形，所以OA ＝OC 1．又因为F 为AC 的中点， 所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1．因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1．所以BE ∥OF 且BE ＝OF ．所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE ． 因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC ．因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BF ，所以OE ⊥AA 1． 又AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1．因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1． (2)四棱锥A 1－EB 1C 1C 的高为h ＝4sin 60°＝23，底面为直角梯形，面积为S ＝12×(3＋6)×4＝18，得VA 1－EB 1C 1C ＝13×23×18＝123，故几何体AA 1EBC 的体积为VAA 1EBC ＝VABC －A 1B 1C 1－VA 1－EB 1C 1C ＝12×4×4×32×6－123＝123．例5 (2021·某某某某市质检)在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝2，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，E 是AD 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAD ； (2)求点E 到平面PAB 的距离．[解析](1)连接BD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥BE ，又∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BE ⊥AD ，又∵PE ∩AD ＝E ，PE ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BE ⊥平面PAD ．(2)在△PAB 中，PA ＝AB ＝2，PB ＝6，则S △PAB ＝152，在△ABE 中，AB ＝2，AE ＝1，BE ＝3，则S △ABE ＝32，由PE ⊥面ABCD ，PE ＝3，得 V P －ABE ＝13×3×12×1×3＝12，由V P －ABE ＝V E －PAB ，设点E 到平面PAB 的距离为h ， 则13×152×h ＝13×32×3，则h ＝155， 即点E 到平面PAB 的距离为155．名师点拨(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(3)〔变式训练3〕(1)(2020·某某某某模拟)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝π3，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PC 上一点，若平面EBD ⊥平面ABCD ，则PEEC ＝__12__．(2)(2021·某某玉海一中期中)已知三棱锥P－ABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形．证明：平面PAC⊥平面ABC．[解析](1)取AD的中点O，连接OC交BD于F点，连接EF，∵△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，∵OD∥BC，BC＝2OD，∴FC＝2OF．又∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，又∵平面BDE⊥平面ABCD，∴PO∥平面BDE．∴OP∥EF，∴PEEC＝OFFC＝12．故答案为12．(2)证明：如图取AC 的中点O ，连接BO ，PO ．由题意可知PA ＝PB ＝PC ＝2，∴PO ＝1，AO ＝BO ＝CO ＝1，∵在△PAC 中，PA ＝PC ，O 为AC 的中点， ∴PO ⊥AC ．∵在△POB 中，PO ＝1，OB ＝1，PB ＝2，∴PO 2＋OB 2＝PB 2，∴PO ⊥OB ． ∵AC ∩OB ＝O ，AC ，OB ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥平面ABC ， ∵PO ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC ．名师讲坛·素养提升立体几何中的轨迹问题例6 (2021·某某某某模拟改编)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1所在的平面上运动，则下列命题中错误的为( C )A ．若点P 总满足PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是一条直线B ．若点P 到点A 的距离为2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C ．若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线[解析]A．∵PA⊥BD1，∴P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P∈平面BCC1B，∴P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；B．点P的轨迹是以A为球心，半径为2的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r＝22－1＝1，所以小圆周长l＝2πr＝2π，故B正确；C．点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|＋|PC|＝1＝|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D．如图，过P分别作PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M作MN⊥AD，连接PN，PM∩MN＝M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PM＝y，则PN2＝1＋y2，PE2＝(1－x)2，即1＋y2＝(1－x)2，整理为：(x－1)2－y2＝1，则动点P的轨迹是双曲线，故D 正确．故选C．[引申](1)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则点P的轨迹为__以B为焦点、CC1为准线的抛物线__．(2)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为__与BC 距离为1的两条平行线__．名师点拨立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．〔变式训练4〕(2021·某某某某质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是( A )A．一条直线B．一个圆C．两条平行直线D．两个同心圆[解析]由题意知M在过A且与PA垂直的平面β内，∴点M的轨迹为平面α与β的交线，故选A．。

新课改版高考数学一轮复习 第四节 直线、平面垂直的判定与性质突破点一 直线与平面垂直的判定与性质[基本知识]1．直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．( ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．过一点有________条直线与已知平面垂直． 答案：一2．在三棱锥P ­ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O ， ①若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．②若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心．答案：外 垂3．如图，已知∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ， △PAC的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有________________；与AP 垂直的直线有________．解析：因为PC ⊥平面ABC ， 所以PC 垂直于直线AB ，BC ，AC . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ， 所以AB ⊥平面PAC ， 又因为AP ⊂平面PAC ，所以AB ⊥AP ，与AP 垂直的直线是AB . 答案：AB ，BC ，AC AB[典例] (2019·郑州一测)如图，在三棱锥P ­ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D 为线段AB 上的点，且AD ＝2DB ，PD ⊥AC .(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若∠PAB ＝π4，求点B 到平面PAC 的距离．[解] (1)证明：连接CD ，据题知AD ＝4，BD ＝2，AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝236＝33，∴CD 2＝22＋(23)2－2×2×23cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝22，∴CD 2＋AD 2＝AC 2，则CD ⊥AB . ∵平面PAB ⊥平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，∴CD ⊥PD ， ∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ， ∴PD ⊥平面ABC .(2)由(1)得PD ⊥AB ，∵∠PAB ＝π4，∴PD ＝AD ＝4，PA ＝42，在Rt △PCD 中，PC ＝PD 2＋CD 2＝26， ∴△PAC 是等腰三角形，∴可求得S △PAC ＝8 2. 设点B 到平面PAC 的距离为d ，由V B ­PAC ＝V P ­ABC ，得13S △PAC ×d ＝13S △ABC ×PD ，∴d ＝S △ABC ×PDS △PAC＝3. 故点B 到平面PAC 的距离为3. [方法技巧]证明直线与平面垂直的方法(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；(2)判定定理(常用方法)；(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．[针对训练](2019·贵州模拟)如图，在直棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD为平行四边形，且AB ＝AD ＝1，AA 1＝62，∠ABC ＝60°. (1)求证：AC ⊥BD 1； (2)求四面体D 1AB 1C 的体积．解：(1)证明：连接BD ，与AC 交于点O ，因为四边形ABCD 为平行四边形，且AB ＝AD ，所以四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，可知BB 1⊥AC ，则AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BD 1⊂平面BB 1D 1D ，则AC ⊥BD 1.(2)V D 1AB 1C ＝V ABCD ­A 1B 1C 1D 1－V B 1­ABC －V D 1­ACD －V A ­A 1B 1D 1－V C ­C 1B 1D 1＝V ABCD ­A 1B 1C 1D 1－4V B 1­ABC ＝32×62－4×13×34×62＝24.突破点二 平面与平面垂直的判定与性质[基本知识]1．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角α的范围：[0，π].[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( )(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )(3)如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.( )答案：(1)×(2)×(3)×二、填空题1．m，n为直线，α，β为平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α与β的位置关系为________．答案：垂直2．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的____________条件．答案：充分不必要3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD ⊥平面ABCD ，故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：7[典例] (2019·开封定位考试)如图，在三棱锥D ­ABC 中，AB＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，AD ＝6，CD ＝3，平面ADC ⊥平面ABC .(1)证明：平面BDC ⊥平面ADC ； (2)求三棱锥D ­ABC 的体积．[解] (1)证明：在△ABC 中，由余弦定理可得，BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝4＋1－2×2×1×12＝3，∴BC 2＋AC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC ，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ADC ，又BC ⊂平面BDC ，∴平面BDC ⊥平面ADC . (2)由余弦定理可得cos ∠ACD ＝23，∴sin ∠ACD ＝53， ∴S △ACD ＝12·AC ·CD ·sin∠ACD ＝52，则V D ­ABC ＝V B ­ADC ＝13·BC ·S △ACD ＝156.[方法技巧] 面面垂直判定的两种方法与一个转化[针对训练](2019·洛阳一模)如图，在四棱锥E ­ABCD 中，△EAD 为等边三角形，底面ABCD 为等腰梯形，满足AB ∥CD ，AD ＝DC ＝12AB ，且AE ⊥BD .(1)证明：平面EBD ⊥平面EAD ；(2)若△EAD 的面积为3，求点C 到平面EBD 的距离． 解：(1)证明：如图，取AB 的中点M ，连接DM ，则由题意可知四边形BCDM 为平行四边形，∴DM ＝CB ＝AD ＝12AB ，即点D 在以线段AB 为直径的圆上，∴BD ⊥AD ，又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ， ∴BD ⊥平面EAD .∵BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面EAD . (2)∵BD ⊥平面EAD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面EAD . ∵等边△EAD 的面积为3， ∴AD ＝AE ＝ED ＝2，取AD 的中点O ，连接EO ，则EO ⊥AD ，EO ＝3， ∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴EO ⊥平面ABCD .由(1)知△ABD ，△EBD 都是直角三角形， ∴BD ＝AB 2－AD 2＝23，S △EBD ＝12ED ·BD ＝23，设点C 到平面EBD 的距离为h ，由V C ­EBD ＝V E ­BCD ，得13S △EBD ·h ＝13S △BCD ·EO ，又S △BCD ＝12BC ·CD sin 120°＝3，∴h ＝32.∴点C 到平面EBD 的距离为32. 突破点三 平行与垂直的综合问题1．平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．2．垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[典例] (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .[证明] (1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB .因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形．所以EF ∥DG . 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD . [方法技巧]平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．[针对训练](2019·北京西城区期末)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G ，H 分别是CE ，CF 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ； (2)求证：平面BDGH ∥平面AEF .证明：(1)因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，且AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF .(2)在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点，所以GH ∥EF .又GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GH ∥平面AEF . 设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，如图．在△ACF 中，因为O ，H 分别为CA ，CF 的中点， 所以OH ∥AF .因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF .因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ， 所以平面BDGH ∥平面AEF .。

直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．已知m ，n ，l 是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是()A．异面B．相交但不垂直C．平行D．相交且垂直C[因为α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，所以n ⊥α．又m ⊥α，所以m ∥n ．]2．(2021·白银市第十中学高三期末)设α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则下列条件一定能得到m ⊥β的是()A．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γB．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l C．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥αD．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥αC[在A 中，因为α∩γ＝m ，所以m ⊂α，m ⊂γ，而β⊥γ，m 并不垂直于β内的所有直线，所以β和m 可能不垂直，故A 错误；在B 中，m 只垂直于β内的一条直线，所以不能推出m ⊥β，故B 错误；在C 中，因为n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β，又m ⊥α，所以m ⊥β，故C 正确；在D 中，由α⊥γ，β⊥γ，不能推出α∥β，所以由m ⊥α不能推出m ⊥β，故D 错误．]3．(2021·河南鹤壁高三二模)如图，在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，则以下结论中不成立的是()A．EF 与BB 1垂直B．EF 与BD 垂直C．EF 与CD 异面D．EF 与A 1C 1异面D[如图所示，连接A 1B ，由几何关系可得点E 为A 1B 的中点，且BF ＝FC 1，由三角形中位线的性质可得：EF ∥A 1C 1，即EF 与A 1C 1不是异面直线，很明显，EF 与CD 异面，由几何关系可得：A 1C 1⊥BB 1，A 1C 1⊥BD ，则EF ⊥BB 1，EF ⊥BD ，综上可得，选项D 中的结论不成立．故选D．]4．(2021·南宁模拟)在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PA ＝AB ＝2，则直线PB 与平面PAC 所成角为()A．π6B．π4C．π3D．π2A[连接BD ，交AC 于点O ．因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，BD ⊥PA ．又因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，故BO ⊥平面PAC ．连接OP ，则∠BPO 即为直线PB 与平面PAC 所成角．又因为PA ＝AB ＝2，所以PB ＝22，BO ＝2．所以sin∠BPO ＝BO PB ＝12，所以∠BPO ＝π6．故选A．]5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则()A．A 1E ⊥DC 1B．A 1E ⊥BD C．A 1E ⊥BC 1D．A 1E ⊥ACC[如图，∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴选项B，D 错误；∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1，∴A 1E ⊥BC 1，故选项C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ，又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1．又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1．)∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ，而D 1E 不与DC 1垂直，故选项A 错误．故选C．]6．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°．将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD ，则在三棱锥A ­BCD 中，下列结论正确的是()A．平面ABD ⊥平面ABC B．平面ADC ⊥平面BDC C．平面ABC ⊥平面BDC D．平面ADC ⊥平面ABC D[∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD ．又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ．又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC ．又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC ．]二、填空题7．已知四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，当平行四边形ABCD 满足条件时，有PC ⊥BD (填上你认为正确的一个条件即可)．四边形ABCD 是菱形(答案不唯一)[四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，∴BD ⊥PA ，当四边形ABCD 是菱形时，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∴PC ⊥BD ．故答案为四边形ABCD 是菱形．]8．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①α∥β∥α∥β；②α⊥β⊥α∥β；③a ∥b ∥a ∥b ；④a ⊥b ⊥a ∥b 中，正确的命题是(只填序号)．②④[①：与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②：根据直线与平面的位置关系可得：由a⊥α，a⊥β可得出α∥β，所以②是真命题．③：根据直线与平面的位置关系可得：a与b可以是任意的位置关系，所以③是假命题；④：垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题；故答案为②④．]9．如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为．(填序号)①[符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，③④不正确．根据题意可知PD＝DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC”，设AB的中点为N，连接PN、DN，取PC的中点E，连接NE、DE，所以DE⊥PC，因为平面PAD⊥底面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，因为PA＝BC，AN＝NB，∠PAB＝∠CBN，所以△PAN≌△CBN，∴PN＝CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC”，且NE⊥PC，所以PC⊥平面EDN，当M点在线段DN上运动时，都有PC⊥ME，且E是中点，总有MP＝MC，所以点M在正方形ABCD内的轨迹是线段DN，所以①正确②不正确．]三、解答题10．(2021·江苏徐州一中高三期中)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面PCD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：(1)直线MN ∥平面PAD ；(2)直线CD ⊥平面PAD ．[证明](1)根据题意，取PD 的中点G ，连接NG 、AG ，G 是PD 的中点，N 是PC 的中点，则NG ∥DC 且NG ＝12DC ，则四边形MNGA 是平行四边形，则有MN ∥AG ，又由MN ⊄平面PAD 中，而AG ⊂平面PAD 中，则有直线MN ∥平面PAD ．(2)PA ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以PA ⊥CD ，又由底面ABCD 是矩形，则CD ⊥AD ，而PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ，所以直线CD ⊥平面PAD ．11．(2021·茂名一模)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC ＝AC ，AB ＝2DC ＝2，AA 1＝3．(1)求证：平面A 1DC ⊥平面ABB 1A 1；(2)求点A 到平面A 1DC 的距离．[解](1)证明：∵在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，点D 是AB 的中点，BC ＝AC ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AB ，CD ⊥AA 1，∵AB ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，∵CD ⊂平面A 1DC ，∴平面A 1DC ⊥平面ABB 1A 1．(2)点D 是AB 的中点，BC ＝AC ，AB ＝2DC ＝2，AA 1＝3．设点A 到平面A 1DC 的距离为d ，∵VA 1­ACD ＝VA ­A 1CD，∴13×S △ACD ×AA 1＝13×S △DCA 1×d ，∴13×12×1×1×3＝13×12×1×2×d ，解得d ＝32，∴点A 到平面A 1DC 的距离为32．1．(2021·武汉模拟)如图所示，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则点C1在平面ABC 上的射影H 必在()A．直线AB 上B．直线BC 上C．直线AC 上D．△ABC 的内部A[连接AC 1(图略)，因为AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，所以AC ⊥平面ABC 1，又AC⊂平面ABC ，所以平面ABC 1⊥平面ABC ，所以点C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上，故选A．]2．已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34，PA 与圆锥底面所成角为60°，若△PAB 的面积为7，则该圆锥的体积为．263π[作示意图如图所示，设底面半径为r ，PA 与圆锥底面所成角为60°，则∠PAO＝60°，则PO ＝3r ，PA ＝PB ＝2r ，又PA ，PB 所成角的余弦值为34，则sin∠APB ＝74，则S △PAB ＝12PA ·PB ·sin∠APB＝12·2r ·2r ·74＝7，解得r ＝2，故圆锥的体积为13·π·(2)2·6＝263π．]3．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面四边形ABCD 是菱形，点E 在线段PC 上，PA ∥平面EBD ．(1)证明：点E 为线段PC 中点；(2)已知PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝60°，点P 到平面EBD 的距离为1，四棱锥P ­ABCD 的体积为23，求PA ．[解](1)证明：连接AC ，与BD 相交于点O ，连接EO ，则经过PA 的平面PAC 与平面EBD 交线为EO ．因为PA ∥平面EBD ，所以PA ∥EO ．因为四边形ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点，所以EO 是△PAC 中位线，于是E 为线段PC 中点．(2)因为PA ∥平面EBD ，所以点A 到平面EBD 的距离等于点P 到平面EBD 的距离等于1．因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，所以平面EBD ⊥平面ABCD ，平面EBD ∩平面ABCD ＝BD ．因为AO ⊥BD ，所以AO ⊥面EBD ，因此AO ＝1．因为∠ABC ＝60°，所以四边形ABCD 是边长为2的菱形，面积为2×2×sin 60°＝23，所以四棱锥P ­ABCD 的体积为V P ­ABCD ＝13·23·PA ，由13·23·PA ＝23，得PA ＝3．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为．2[如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC ．又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°．在Rt△PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝32－12＝2．]2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ­ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．(1)证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC的值．[解](1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD ．而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE ．又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ．而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC ．而PB ⊂平面PBC ，所以PB ⊥DE ．又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ．(2)如图，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由(1)知，PB ⊥平面DEF ，所以PB ⊥DG ．又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥DG ．而PD ∩PB ＝P ，所以DG ⊥平面PBD ．故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设PD ＝DC ＝1，BC ＝λ，有BD ＝1＋λ2，在Rt△PDB 中，由DF ⊥PB,得∠DPF ＝∠FDB ＝π3，则tanπ3＝tan∠DPF ＝BD PD＝1＋λ2＝3，解得λ＝2．所以DC BC ＝1λ＝22．故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC ＝22．。

专题42直线、平面垂直的判定与性质最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.基础知识融会贯通1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．(2)判定定理与性质定理2.直线和平面所成的角(1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【知识拓展】重要结论(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．重点难点突破【题型一】直线与平面垂直的判定与性质【典型例题】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；（Ⅱ）若M是棱PB上一点，三棱锥M﹣P AD与三棱锥﹣DEF的体积相等，求的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：连接AC，∵P A＝PD，且E是AD的中点，∴PE⊥AD，…1分又∵面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，…2分∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE，…3分又四边形ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，∴EF∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥EF，…4分又BD⊥PE，PE∩EF＝E，∴BD⊥平面PEF；…6分（Ⅱ）如图，连接MA，MD，设λ，则，∴V M﹣P AD V B﹣P AD V P﹣ABD，…8分又V P﹣DEF V P﹣ACD V P﹣ABD，…10分∵V M﹣P AD＝V P﹣DEF，∴，解得：λ，即．…12分【再练一题】如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为DC的中点．以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面P AE⊥平面ABCE（如图2）．（Ⅰ）求证：EC∥平面P AB；（Ⅱ）求证：BE⊥P A；（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，是否都有P A⊥EM成立？请证明你的结论．【解答】（本小题14分）证明：（Ⅰ）在矩形ABCD中，E是CD中点，所以CE∥AB……………………………AB⊂平面P AB，CE⊄平面P AB所以EC∥平面P AB……………………………（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB＝2CD，E是CD中点，可得AB2＝AE2+BE2所以BE⊥AE……………………………..又平面P AE⊥平面ABCE，平面P AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE所以BE⊥平面P AE………………………..P A⊂平面P AE所以BE⊥P A……………………………解：（Ⅲ）对于线段PB上任意一点M，都有P A⊥EM成立．证明如下………………..因为矩形ABCD，所以DA⊥DE，即P A⊥PE………………………..由（Ⅱ）得BE⊥P A而BE⊂平面PEB，PE⊂平面PEB，PE∩BE＝E所以P A⊥平面PEB………………………………对于线段PB上任意一点M，EM⊂平面PEB所以P A⊥EM…………………………………思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．【题型二】平面与平面垂直的判定与性质【典型例题】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，，E为AB的中点．（1）平面ADNM⊥平面ABCD（2）求点E到平面BCM的距离【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，AD＝2，E是AB的中点，∴AEABAD＝1，又AM＝1，ME，∴AM2+AE2＝ME2，故AM⊥AE，∵四边形ADNM是矩形，∴AM⊥AD，又AB∩AD＝A，∴AM⊥平面ABCD，又AM⊂平面ADNM，∴平面ADNM⊥平面ABCD．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝2，∠DAB＝60°，∴DE⊥AB，DE，AC＝2，BC＝2，∴MB，MC，cos∠MBC，故sin∠MBC，∴S△MBC2，设点E到平面BCM的距离为h，则V E﹣MBC S△MBC•h．又V E﹣MBC＝V M﹣BCE，∴，解得h．∴点E到平面BCM的距离．【再练一题】四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝1，AD＝2BC，PD．（1）求证：平面PBD⊥平面P AC；（2）M为棱PB上异于B的点，且AM⊥MC，求直线AM与平面MCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵，，∴，∠ABC＝∠DAB＝90°，∴△ABC∽△DAB，∴∠ABD＝∠BCA，∵∠ABD+∠CBD＝90°，∴∠BCA+∠CBD＝90°，∴AC⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，∵BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，又AC⊂平面P AC，∴平面PBD⊥平面P AC．解：（2）过A作AE∥DP，∵PD⊥平面ABCD，∴AE⊥平面ABCD，即AE，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB，AD，AE所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝1，AD＝2BC，PD，∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，，0），D（0，），P（0，），（1，0，0），（﹣1，），（0，，0），设，λ∈（0，1]，则（1﹣λ，，），，∵AM⊥MC，∴（1﹣λ）（﹣λ）0，由λ∈（0，1]，解得，∴（，，），∴M（，，），设（x0，y0，z0）为平面MCD的一个法向量，则，取z，得（，），设直线AM与平面MCD所成角为θ，∴sinθ，∴直线AM与平面MCD所成角的正弦值为．思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．【题型三】垂直关系中的探索性问题【典型例题】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝2，E为侧棱P A上一点．（Ⅰ）若，求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求证：平面EBC⊥平面P AC；（Ⅲ）在侧棱PD上是否存在点F，使得AF⊥平面PCD？若存在，求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设AC∩BD＝G，连结EG．由已知AB∥CD，DC＝1，AB＝2，得．由，得．在△P AC中，由，得EG∥PC．因为EG⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD．（Ⅱ）因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥P A．由已知得，，AB＝2，所以AC2+BC2＝AB2．所以BC⊥AC．又P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC．因为BC⊂平面EBC，所以平面EBC⊥平面P AC．（Ⅲ）在平面P AD内作AF⊥PD于点F，由DC⊥P A，DC⊥AD，P A∩AD＝A，得DC⊥平面P AD．因为AF⊂平面P AD，所以CD⊥AF．又PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD．由，AD＝1，P A⊥AD，得cos∠APD，即，∴．【再练一题】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE⊥AD，DC＝DE．（Ⅰ）求证：AD⊥CE；（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由底面ABCD为矩形，知AD⊥CD．………………又因为DE⊥AD，DE∩CD＝D，………………所以AD⊥平面CDE．………………又因为CE⊂平面CDE，所以AD⊥CE．………………（Ⅱ）由底面ABCD为矩形，知AB∥CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．………………同理AF∥平面CDE，又因为AB∩AF＝A，所以平面ABF∥平面CDE．………………又因为BF⊂平面ABF，所以BF∥平面CDE．………………（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q（即BE的中点），使得平面ADQ⊥平面BCE．…证明如下：取CE的中点P，BE的中点Q，连接AQ，DP，PQ，则PQ∥BC．由AD∥BC，得PQ∥AD．所以A，D，P，Q四点共面．………………由（Ⅰ），知AD⊥平面CDE，所以AD⊥DP，故BC⊥DP．在△CDE中，由DC＝DE，可得DP⊥CE．又因为BC∩CE＝C，所以DP⊥平面BCE．………………又因为DP⊂平面ADPQ所以平面ADPQ⊥平面BCE（即平面ADQ⊥平面BCE）．即线段BE 上存在点Q （即BE 中点），使得平面ADQ ⊥平面BCE ．………思维升华 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．基础知识训练1．【河北省邢台市第二中学2019届高三质量检测】已知平面α⊥平面β，且l αβ=，要得到直线m ⊥平面β，还需要补充以下的条件是（ ）A ．m α⊂B ．//m αC ．m l ⊥D ．m α⊂且m l ⊥ 【答案】D【解析】选项A 、B 、C 的条件都不能得到直线m ⊥平面β.而补充选项D 后，可以得到直线m ⊥平面β.理由是：若两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.故选D2．【山东省2019届高三第一次大联考】如图，一个正四棱锥111P AB C D -和一个正三棱锥222P B C S -，所有棱长都相等，F 为棱11B C 的中点，将12,P P 、12,BB 、12,C C 分别对应重合为,,P B C ，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①AD SP ⊥；②AD SF ⊥；③//AB SP ，其中错误的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】由于正四棱锥111P AB C D -和一个正三棱锥222P B C S -，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：P 点对应正四棱锥的上底面中心1O ，S 点对应另一正四棱锥的上底面中心2O ，由图形可知拼成一个三棱柱，设E 为AD 的中点，由此可知AD SP ⊥，又因为AD ⊥平面PEFS ，所以AD SF ⊥，因为//EF SP ，//EF AB ，所以//AB SP .故选A.3．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PA AB ==，则直线PB 与平面PAC 所成角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】A【解析】连接AC 交BD 于点O ，因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，BD PA ⊥，因此BD ⊥平面PAC ；故BO ⊥平面PAC ；连接OP ，则BPO ∠即是直线PB 与平面PAC 所成角，又因2PA AB ==，所以22PB =，2BO =.所以1sin 2BO BPO PB ∠==，所以 6BPO π∠=. 故选A4．【广东省珠海市2018-2019学年高三上学期期末考试】在正方体中，直线与面所成角的正弦为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】连接AC 交BD 于点O ，连接，因为，得到，所以为直线与面所成角，设，则，所以，故选B 。

2019年高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标42直线平面垂直的判定及其性质理[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( D ) A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析：如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.2．(2017·广东珠海模拟)在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是( D )A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析：对于A，m与α位置关系不确定，故A错；对于B，当l与m，m与n为异面垂直时，m与n可能异面或相交，故B错；对于C，也可能b⊂α，故C错；对于D，由线面垂直的定义可知正确．3．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( A )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB 上．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下面命题正确的是( D )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．5．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( D )A．MN∥AB B．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC解析：对于A，MN与AB异面，故A错，对于B，可证BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角为90°，因此B错；对于C，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C 错；对于D，由于BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，因为AC∩VA ＝A，所以BC⊥平面VAC，BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故D正确．6．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( A )解析：A中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为 2.二、填空题7．(2016·天津模拟)已知不同直线m，n与不同平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中真命题的个数是2.解析：①平行于同一平面的两直线不一定平行，所以①错误．②根据线面垂直的性质可知②正确．③根据面面垂直的性质和判定定理可知③正确，所以真命题的个数是2.8．(2016·吉林长春模拟)如图所示，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，N ，M 分别是AD ，BE 的中点， 将三角形ADE 沿AE 折起，下列说法正确的是①②(填上所有正确的序号)．①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ； ②不论D 折至何位置都有MN ⊥AE ；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥AB .解析：①如图，分别取EC ，DE 的中点P ，Q ，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN ∥PQ ，又PQ ⊂平面DEC ，故MN ∥平面DEC ．①正确；②取AE 的中点O ，易证NO ⊥AE ，MO ⊥AE .故AE ⊥平面MNO ，又MN⊂平面MNO ，则AE ⊥MN .②正确；③∵D ∉平面ABC ，∴N ∉平面ABC ，又A ，B ，M ∈平面ABC ．∴MN 与AB 异面．③错误．9．(2017·江苏无锡质检)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，若把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有2个．解析：若把α，β换为直线a ，b ，则命题转化为“a ∥b 且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若把α，γ换为直线a ，b ，则命题转化为“a ∥β且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若把β，γ换为直线a ，b ，则命题转化为“a ∥α且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．三、解答题10．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，点N 位于AB 上．(1)当AN NB为何值时，MN ⊥MC 1?(2)当N 为AB 的中点时，求直线NC 1与平面ABB 1A 1所成角的正切值．解析：(1)连接MB 1，NB 1，∵C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，∴C 1B 1⊥MN ，若要MN ⊥MC 1，则需MN ⊥平面MC 1B 1，∴需MN ⊥MB 1，在平面ABB 1A 1内，设正方体的棱长为1，AN ＝x ， 由MN 2＋MB 21＝NB 21，得x 2＋14＋1＋14＝(1－x )2＋1， ∴x ＝14，故AN NB ＝13. (2)连接NC 1，∵C 1B 1⊥平面ABB 1A 1，知∠C 1NB 1即为直线NC 1与平面ABB 1A 1所成角． 设正方体的棱长为1，在△NB 1C 1中，∵NB 1＝52，∴tan ∠C 1NB 1＝C 1B 1NB 1＝255. 11．已知斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠ACB ＝90°，点B 1在底面上的射影D 落在BC 上．(1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)若AB 1⊥BC 1，且∠B 1BC ＝60°，求证：A 1C ∥平面AB 1D .解析：(1)∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥AC ，又∵BC ⊥AC ，B 1D ∩BC ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ．(2)连接A 1B 和AB 1，交于点E ，由(1)知AC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥BC 1，又∵AB 1⊥BC 1，AC ∩AB 1＝A ，∴BC 1⊥平面AB 1C ，∴BC 1⊥B 1C ．∴四边形BB 1C 1C 为菱形，又∵∠B 1BC ＝60°，B 1D ⊥BC 于D ，∴D 为BC 的中点，在△A 1BC 中，DE ∥A 1C ，又∵DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D .12．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，D ，E 两点分别是边AB ，AC 的中点，现将△ABC 沿DE 折成直二面角A ­DE ­B .(1)求证：平面ADC ⊥平面ABE ；(2)求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值．解析：(1)证明：∵D，E两点分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC．∵∠B＝90°，∠ADE＝90°，∴DE⊥AD，DE⊥BD，∴∠ADB为二面角A­DE­B的二面角，∵∠ADB＝90°，∴AD⊥平面BCD.又∵BE⊂平面BCD，∴AD⊥BE.又∵BD＝22，DE＝12，BC＝1，即BDDE＝BCBD，∴△BDE∽△CBD，∴∠EBD＝∠DCB，∴∠EBD＋∠BDC＝90°，∴BE⊥DC．又∵DC∩AD＝D，∴BE⊥平面ADC．又∵BE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ADC．(2)设BE交CD于H，连接AH，过点D作DO⊥AH于O. ∵AD⊥BE，BE⊥DH，又∵AD∩DH＝D，∴BE⊥平面ADH.∵DO⊂平面ADH，∴BE⊥DO.又∵DO⊥AH，BE∩AH＝H，∴DO⊥平面ABE，∴∠DAO为AD与平面ABE所成的角．在Rt△BDE中，BD＝22，DE＝12，∴DH＝BD·DEBE＝66.在Rt△ADH中，tan∠DAO＝DHDA ＝66×2＝33，∴直线AD与平面ABE所成角的正切值为33.。

2018年高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第42讲 直线、平面垂直的判定及其性质实战演练 理1．(2015·福建卷)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：m ⊥α，l ⊥m ，则l ⊂α或l ∥α；m ⊥α，l ∥α，则l ⊥m .故选B.2．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( D )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定解析：由l 1⊥l 2，l 2⊥l 3可知l 1与l 3的位置不确定，若l 1∥l 3，则结合l 3⊥l 4，得l 1⊥l 4，所以排除选项B ，C ，若l 1⊥l 3，则结合l 3⊥l 4，知l 1与l 4可能不垂直，所以排除选项A ．故选D.3．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D ­AF ­E 与二面角C ­BE ­F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；(2)求二面角E ­BC ­A 的余弦值．解析：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ．又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G ­xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D ­AF ­E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC ．又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C ­BE ­F 的平面角，∠CEF ＝60°.从而可得C (－2,0，3)．所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧ x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)，设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝－21919. 故二面角E ­BC ­A 的余弦值为－21919. 4．(2015·北京卷)如图，在四棱锥A ­EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝2a ，∠EBC ＝∠FCB ＝60°，O 为EF 的中点．(1)求证：AO ⊥BE ；(2)求二面角F ­AE ­B 的余弦值；(3)若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．解析：(1)证明：因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO ⊥EF .又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，AO ⊂平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB .所以AO ⊥BE .(2)取BC 的中点G ，连接OG .由题设知EFCB 是等腰梯形，所以OG ⊥EF .由(1)知AO ⊥平面EFCB ，又OG ⊂平面EFCB ，所以OA ⊥OG .如图建立空间直角坐标系O ­xyz .则E (a,0,0)，A (0,0，3a )，B (2，3(2－a )，0)，EA →＝(－a,0，3a )，BE →＝(a －2，3(a －2)，0)．设平面AEB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧ －ax ＋3az ＝0，a －2x ＋3a －2y ＝0，令z ＝1，则x ＝3，y ＝－1.于是n ＝(3，－1,1)，又平面AEF 的一个法向量为p ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n·p |n ||p |＝－55， 由题知二面角F ­AE ­B 为钝角，所以它的余弦值为－55. (3)因为BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即BE →·OC →＝0.因为BE →＝(a －2，3(a －2)，0)，OC →＝(－2，3(2－a )，0)，所以BE →·OC →＝－2(a －2)－3(a －2)2，由BE →·OC →＝0及0＜a ＜2，解得a ＝43.。