静电场习题课1
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程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题1-1设两个小球所带净电荷为q,距离为l,由库仑定律:由题目,设小球质量m,铜的摩尔质量M,则有:算得1-2 取一小段电荷,其对应的圆心角为dθ:这一小段电荷受力平衡,列竖直方向平衡方程,设张力增量为T:解得1-3(1)设地月距离R,电场力和万有引力抵消:解得:(2)地球分到,月球分到,电场力和万有引力抵消:解得:1-4设向上位移为x,则有:结合牛顿第二定律以及略去高次项有:1-5由于电荷受二力而平衡,故三个电荷共线且q3在q1和q2之间:先由库仑定律写出静电力标量式:有几何关系:联立解得由库仑定律矢量式得:解得1-6(1)对一个正电荷,受力平衡:解得,显然不可能同时满足负电荷的平衡(2)对一个负电荷,合外力提供向心力:解得1-7(1)设P限制在沿X轴夹角为θ的,过原点的直线上运动(θ∈[0,π)),沿着光滑直线位移x,势能:对势能求导得到受力:小量近似,略去高阶量:当q>0时,;当q<0时,(2)由上知1-8设q位移x,势能:对势能求导得到受力:小量展开有:,知1-9(1)对q受力平衡,设其横坐标的值为l0:,解得设它在平衡位置移动一个小位移x,有:小量展开化简有:受力指向平衡位置,微小谐振周期(2)1-101-11先证明,如图所示,带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ.有:显然两个电场强度相等,由于每一对微元都相等,所以总体产生的电场相等.利用这一引理,可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性,这一电场强度大小为0.1-12(1)如图,取θ和,设线电荷密度λ,有:积分得(2)(3)用圆心在场点处,半径,电荷线密度与直线段相等的,张角为θ0 ()的一段圆弧替代直线段,计算这段带电圆弧产生的场强大小,可以用其所张角对应的弦长与圆弧上单位长度所产生的电场强度大小的积求得:1-13我们先分析一个电荷密度为ρ,厚度为x的无穷大带电面(图中只画出有限大),取如图所示高斯面,其中高斯面的两个相对面平行于电荷平面,面积为S,由高斯定理:算得,发现这个无穷大平面在外部产生的电场是匀强电场,且左右两边电场强度相同,大小相反.回到原题,由叠加原理以及,算得在不存在电荷的区域电场强度为0(正负电荷层相互抵消.)在存在电荷的区域,若在p区,此时x处的电场由三个电荷层叠加而成,分别是左边的n区,0到x范围内的p区,以及右边的p区,有:,算得同理算出n区时场强,综上可得1-14(1)取半径为r的球形高斯面,有:,解得(2)设球心为O1,空腔中心为O2,空腔中充斥着电荷密度为−ρ的电荷,在空腔中任意一点A处产生的电场为:(借助第一问结论)同时在A处还有一个电荷密度为+ρ则有:1-15取金属球上一面元d S,此面元在金属球内侧产生指向内的电场强度,由于导体内部电场处处为0,所以金属球上除该面元外的其他电荷在该面元处产生的电场强度为所以该面元受到其他电荷施加的静电力:球面上单位面积受力大小:半球面受到的静电力可用与其电荷面密度相等的,该半球面的截口圆面的面积乘该半球面的单位面积受力求得:1-16设轴线上一点到环心距离为x,有:令其对x导数为0:解得1-17写出初态体系总电势能:1-18系统静电势能大小为:1-19由对称性,可以认为四个面分别在中心处产生的电势,故取走后,;设BCD,ACD,ABD在P2处产生的电势为U,而ABD在P2处产生的电势为,有:;取走后:,解得1-20构造如下六个带电正方体(1到6号),它们的各面电荷分布彼此不相同,但都能通过一定的旋转从程中电荷直接相加而不重新分布).这个带电正方体各面电势完全相同,都为.容易证明,正方体内部的每一个点的电势也都为(若不然,正方体内部必存在电场线,这样的电场线必定会凭空产生,或凭空消失,或形成环状,都与静电场原理不符).故此时中心电势同样为1-21 O4处电势:O1处电势:故电势差为:1-22从对称性方面考虑,先将半球面补全为整个球面.再由电势叠加原理,即一个半球面产生的电势为它的一半,从而计算出半球面在底面上的电势分布.即1-23设上极板下版面面电荷密度为,下极板上版面面电荷密度为.取一个长方体型的高斯面,其形状是是两极板中间间隔的长方体,并且把和囊括进去.注意到金属导体内部没有电场,故这个高斯面电通量为0,其中净电荷为0,有:再注意到上下极板电势相等,其中E1方向向上,E2方向向下:再由高斯定理得出的结论:解得1-24先把半圆补成整圆,补后P、Q和O.这说明,新补上的半圆对P产生的电势为,而由于对称性,这个电势恰好也是半球面ACB对Q产生的电势.故:1-25在水平方向上,设质点质量m,电量为q:运动学:整体带入得:1-26(1)先将半球面补全为整个球面,容易计算出此时半球底面的电势.再注意到这个电势由对称的两个半球面产生的电势叠加得到,即一个半球面产生的电势为它的一半,即可求出一个半球面对底面产生的电势恒为定值,故底面为等势面,由E点缓慢移至A点外力做功为W1=0.(2)由上一问的分析知由E点缓慢移至O点外力不做功,记电势能为E,E的右下标表示所代表的点,则有:依然将半球面补为整球面,此时q在球壳内部任意一点电势能为2EO.此时对于T点,其电势能为上下两个球面叠加产生,由对称性,有:综上有W2=−W.1-27小球受电场力方程:将a与g合成为一个等效的g′:方向与竖直夹角再将加速度分解到垂直于g′和平行与g′的方向上.注意到与g′平行的分量最小为0,而垂直的分量则保持不变,故速度的最小值为垂直分量:1-28假设给外球壳带上电量q2,先考虑q2在内外表面各分布了多少.取一个以内球壳外表面和外球壳内表面为边界的高斯面,并把内球壳外表面和外球壳内表面上的电荷囊括进去,真正的高斯面边界在金属内部.由于金属内部无电场,高斯面电通量为0,高斯面内电荷总量为0,得到外球壳内表面分布了−q1电荷,外表面分布了q2+q1电荷.由电势叠加原理知球心处的电势:解得由电势叠加原理及静电屏蔽:1-29设质点初速度为v0,质量为m,加速度为a,有:,其中.设时竖直向下速度为v1,动能为Ek1,初动能为Ek0,有:解得1-30球1依次与球2、球3接触后,电量分别为.当球1、4接触时满足由于解得.注:若此处利用,略去二阶小量则可以大大简便计算,有意思的是,算出的答案与笔者考虑二阶小量繁重化简过后所得结果完全一致,这是因为在最后的表达式中没有r与a的和或差的项的缘故。
大物练习题(一)1、如图,在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中,存在一个球形空腔,若将带电体球心O指向球形空腔球心O'的矢量用a表示。
试证明球形空腔中任一点电场强度为 .A、3ρεa B、ρεaC、2ρεa D、3ρεa2、如图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强A、2πRλε- B、πRλε-C、00ln22π4λλεε+ D、00ln2π2λλεε+3、 如图所示,一导体球半径为1R ,外罩一半径为2R 的同心薄导体球壳, 外球壳所带总电荷为Q ,而内球的电势为0V ,求导体球和球壳之间的电势差 (填写A 、B 、C 或D ,从下面的选项中选取)。
A 、1020214R Q V R R πε⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 、102024R Q V R R πε⎛⎫- ⎪⎝⎭C 、0024Q V R πε- D 、1020214R Q V R R πε⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.如图所示,电荷面密度为1σ的带电无限大板A 旁边有一带电导体B ,今测得导体表面靠近P 点处的电荷面密度为2σ。
求:(1)P 点处的场强 ;(2)导体表面靠近P 点处的电荷元S ∆2σ所受的电场力 。
A 、20σεB 、202σεC 、2202S σε∆D 、220S σε∆5.如图,在一带电量为Q 的导体球外,同心地包有一各向同性均匀电介质球壳,其相对电容率为r ε,壳外是真空,则在壳外P 点处(OP r =)的场强和电位移的大小分别为[ ]Q Opr(A )2200,44r Q QE D rr εεε==ππ; (B )22,44r Q QE D r r ε==ππ; (C )220,44Q QE D r r ε==ππ; (D )2200,44Q QE D r r εε==ππ。
6、在一点电荷产生的静电场中,一块电介质如图放置,以点电荷所在处为球心作一球形闭合面,则对此球形闭合面: (A )高斯定理成立,且可用它求出闭合面上各点的场强;(B )高斯定理成立,但不能用它求出闭合面上各点的场强; (C )由于电介质不对称分布,高斯定理不成立; (D )即使电介质对称分布,高斯定理也不成立。
⼤学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案第6章真空中的静电场习题及答案1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。
⼀试验电荷置于x 轴上何处,它受到的合⼒等于零?解:根据两个点电荷对试验电荷的库仑⼒的⼤⼩及⽅向可以断定,只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧,它受到的合⼒才可能为0,所以200200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε故 223+=x2. 电量都是q 的三个点电荷,分别放在正三⾓形的三个顶点。
试问:(1)在这三⾓形的中⼼放⼀个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑⼒之和都为零)?(2)这种平衡与三⾓形的边长有⽆关系?解:(1) 以A 处点电荷为研究对象,由⼒平衡知,q '为负电荷,所以2220)33(π4130cos π412a q q aq'=εε故 q q 3='(2)与三⾓形边长⽆关。
3. 如图所⽰,半径为R 、电荷线密度为1λ的⼀个均匀带电圆环,在其轴线上放⼀长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段,该线段的⼀端处于圆环中⼼处。
求该直线段受到的电场⼒。
解:先求均匀带电圆环在其轴线上产⽣的场强。
在带电圆环上取dl dq 1λ=,dq 在带电圆环轴线上x 处产⽣的场强⼤⼩为)(4220R x dq dE +=πε根据电荷分布的对称性知,0==z y E E2322)(41 cos R x xdq dE dE x +==πεθ式中:θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹⾓。
+=23220)(4dq R x xE x πε232210(24R x R x +?=πλπε232201)(2R x xR+=ελ下⾯求直线段受到的电场⼒。
在直线段上取dx dq 2λ=,dq 受到的电场⼒⼤⼩为dq E dF x =dx R x xR 232221)(2+=ελλ⽅向沿x 轴正⽅向。