分类讨论思想(小初衔接)
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分类讨论思想
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
数学分类思想，就是把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法．分类思想，贯穿于整个数学教学的内容中。
当知识积累到一定的程度就需要运用分类、归纳的思想来帮助学生建构自己的知识网络。
分类思想不象一般数学知识那样，对分类思想方法的渗透要根据学生的年龄特征，以及学习的各阶段的认识水平和知识特点，循序渐进，反复训练，逐步上升，让学生在不断丰富自身内涵中领悟。
小学阶段的分类讨论问题有如下这些方面
1.如在五年级“方程的意义”教学中，学生对方程意义的理解就是通过式的二次分类建构对“相等关系”、“含有未知数”的理解，从而把握方程的特质的。
教学时首先出示各种各样的“式”，按照式子中有无等号可分为：有等号的式子和不含有等号的式子；按照式子中是否含有未知数又可分为：含有未知数和不含有未知数的等式。
进一步分别对每种情况中的第一类进行观察，将他们分类，该如何进行？将有等号的式子按照式子中是否含有未知数，分成两类：含有未知数的式子和不含有未知数的式子。
将含有未知数的式子按照式子中是否有等号，分成两类：有等号的式子和没有等号的式子。
此时，满足方程的二要素便很清楚了：含有未知数、等式。
2数的整除中对自然数的分类：按自然数能否被2整除可分为奇数和偶数；根据自然数的约数的个数又可分为质数、1和合数；而这正是本阶段需要学生掌握的重点之一。
通过分类，
建构了知识网络，又突出了学习的重点。
3、根据图形的特征或相互间的关系进行分类 如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
如果以边的长短关系，三角形可分为不等边三角形和等边三角形；等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。
4、应用题中的分类
根据探索的方向进行分类 ：如：直线行程问题和环行行程问题，可以看出来他们在解决问题的方法上有相似性。
如五年级列方程解行程问题的复习课中 ，出现了各种不同类型的题目，而题中的一些关键字决定了它的思考方向。
因此，教学本课时我以题组形式练习，出示了几个“动画”，分别演示了四种典型行程问题：两地相向而行、两地相背而行、同地点相背而行、同地点同方向前进（追及问题）。
初中阶段的分类讨论问题有如下这些方面
1. 方程中的分类讨论依然存在，初中阶段主要学习一元一次方程，一元二次方程，以及分
式方程。
对于方程0=+b ax 这样的方程，学生刚刚接触字母表示数，总认为这样的方程一定是一元一次方程，对于一元一次方程中要求a ≠0的条件理解的不是很深刻。
当a ≠0时，它是一元一次方程，解是a
b x -=，当时，0=a 此方程不是一元一次方程，那么此时方程的解的情况是什么呢？学生对于这一点理解起来非常困难。
时，且0b 0≠=a 此时方程无解。
时，且0b 0==a 此时方程的解为任意实数。
当然对于一元二次方程二次方程也存在这样的问题。
对于方程02
=++c bx ax ，学生同样也经常认为它就是一元二次方程，往往忽略只有当a ≠0时，此方程才是一元二次方程。
所以对于二次项系数含字母的方程一定要分类讨论。
例如：已知关于x 的方程 03)13(2=+++x m mx ，
求证: 不论m 为任何实数, 此方程总有实数根。
证明：当时，0=m 原方程为x+3=0,此时方程的解为：x=-3
时当0≠m ,此方程为一元二次方程，
△ =01)m 3169341)m 3222≥-=+-=∙∙-+（（m m m ，
∴此方程总有实数根；
∴不论m 为任何实数, 此方程总有实数根。
2. 等腰三角形的分类讨论问题
与角有关的分类讨论
例1. ①等腰三角形的一个角是80︒, 求其另两角?
②等腰三角形两内角之比为2: 1, 求其三个内角的大小?
分析：①等腰三角形的一个角是80︒，此角可能是底角，也可能是顶角，需要进行分类讨
论：
当80︒是底角时，另两角的度数为：（180︒-80︒）÷2=50°
当80︒是顶角时，底角为180︒-2×80︒=20°，则另两角的度数为80︒，20°
∴另两角为：50°，50°或80︒，20°
②等腰三角形两内角之比为2: 1,分为两种情况，三个角的比值为2:1:2或2:1:1 当三个角的比值为2:1:2时，三个角的度数为：36°，72°，72°
当三个角的比值为2:1:1时，三个角的度数为：45°，45°，90°
∴等腰三角形两内角之比为2: 1,其三个内角的大小为36°，72°，72°
或45°，45°，90°
2. 与边有关的分类讨论
例2：①等腰三角形的两边长为5cm、6cm, 求其周长?
②等腰三角形的两边长为10cm、21cm, 求其周长?
分析：①等腰三角形的两边长为5cm、6cm,第三条边可能是5cm或6cm,
当第三条边长为5cm时，三边长为：5cm、6cm、5cm，能够组成三角形，此时三
角形的周长为16cm；
当第三条边长为6cm时，三边长为：5cm、6cm、6cm，能够组成三角形，此时三角
形的周长为17cm。
∴等腰三角形的两边长为5cm、6cm，三角形的周长为16cm或17cm。
①等腰三角形的两边长为10cm、21cm,第三条边可能是10cm或21cm,
当第三条边长为10cm时，三边长为：10cm、10cm、21cm，不能够组成三角形，当第三条边长为21cm时，三边长为：10cm、21cm、21cm，能够组成三角形，此时
三角形的周长为52cm。
∴等腰三角形的两边长为10cm、21cm，三角形的周长为52cm。
3.与高有关的分类讨论
三角形的高分为形内高和形外高
例3：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°, 则其顶角为_______.
分析：当三角形的高在三角形的内部时，如图
当三角形的高在三角形的外部时，如图
4.和等腰三角形的顶点有关的分类讨论
例题5已知: ()()ABC ,4,00,2∆-轴上一点且为、x C B A 为等腰三角形 , 问满足条件的C 点有几个?
分析：由于ABC ∆为等腰三角形，所以需要分类讨论，分为三种情况
当AB=AC 时，C 点在以A 点为圆心，AB 为半径的圆周上，
当AB=BC 时，C 点在以B 点为圆心，AB 为半径的圆周上，
当CB=AC 时，C 点在以线段AB 的中垂线上，
所以需要画出以A 、B 点为圆心，AB 为半径的圆和线段AB 的中垂线，简称两圆一线，只需要找到两圆一线与x 轴的交点。
如图，有4个。
