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专题08.有理数的乘法1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算；2.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数；3.掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算；4.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便；5.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。
题型探究题型1、有理数乘法法则的辨析 (3)题型2、利用有理数乘法的符号辨别 (5)题型3、有理数的乘法运算 (7)题型4、有理数乘法运算律 (8)题型5、有理数乘法的实际应用 (13)题型6、有理数乘法的新定义问题 (16)题型7、倒数的概念与运用 (18)培优精练A组（能力提升） (21)B组（培优拓展） (27)【思考1】2024年6月15日将在德国举行第17届欧洲杯，法国球星姆巴佩为了备战欧洲杯，沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。
记姆巴佩在跑道上的某一位置为点O ，那么在点O 的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O 的哪个方向？相距多少米？提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。
【乘除号的历史】你知道吗，以符号“×”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德首创的。
奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。
他是在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。
在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号“÷”了，除法符号“÷”率先是英国的沃利斯最初使用的，后来在英国和全世界得到了推广。
1.有理数的乘法有理数乘法法则：（下列法则中a 、b 为正有理数，c 为任意有理数）两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。
任何数同0相乘，都得0。
即：()()a b +⨯+=ab ；()()a b -⨯-=ab ；()a b ⨯-=-ab ；；()a b -⨯=-ab ；；00c ⨯=。
小升初数学衔接暑假讲义七年级数学上册第一章有理数1.1 正数和负数基础知识：1.正数是大于零的数，例如 3、2、0.8.有时在正数前面加正号“+”。
2.负数是在正数前面加负号“-”的数，例如 -1、-4、-0.6.3.零既不是正数也不是负数。
4.带有正号的数不一定是正数，带有负号的数不一定是负数。
例如在天气预报图中，零下5℃用“-5℃”来表示。
对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“-”（读作“负”）号来表示。
拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用“-5℃”来表示。
本节重点：能正确识别负数，用正负数表示具有相反意义的量是本节的难点。
教学中要特别强调零的特殊身份，明确零既不是正数，也不是负数。
知识题库：1.将下列各数按要求分类填写：5、0.56、-7、92、-、100、-0.、23.其中是正数的是（），是负数的是（）。
2.如果水位上升1.2米，记作“+1.2米”；那么水位下降0.8米，记作“-0.8米”。
3.甲、乙两人同时从A地出发，如果向南走48m，记作“+48m”；乙向北走32m，记为“-32m”。
这时甲乙两人相距80m。
4.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在20℃~22℃范围内保存才合适。
5.下列说法不正确的是：A。
0小于所有正数；B。
0大于所有负数；C。
0既不是正数也不是负数；D。
0可以是正数也可以是负数。
6.“a”一定是负数吗？7.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有的意义。
8.举出2对具有相反意义的量的例子。
9.某地一天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天时的气温是多少？10.某老师把某一小组五名同学的成绩简记为“+10，-5，+7，+8，-3”，又知道记为的成绩表示90分，正数表示超过90分。
第4讲 1.4.1有理数乘法1.熟练掌握有理数乘法法则；2.理解并掌握互为倒数的概念；3.灵活运用运算律进行相关乘法运算.知识点有理数乘法1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；2.(1)若同号,则; (2)若异号,则;3.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.(1)当负因数有奇数个时，积为负；(2)当负因数有偶数个时，积为正。
4.几个数相乘,如果其中有因数为0，积等于0。
5.有理数乘法的求解步骤:(1)先确定积的符号;(2)再确定积的绝对值;6.乘积是1的两个数互为倒数。
注：(倒数同正同负)7.时，的倒数是)8.注意:用字母表示乘数时,“”号可以写成“·”或省略, 如可以写成或.9.有理数乘法的运算律(1)乘法的交换律：；(2)乘法的结合律：)；(3)乘法的分配律：;10.根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘,可以任意交换因数的位置,也可先把其中的几个数相乘11.根据分配律可以推出：一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.一、选择题1.2021的倒数是（）A. 2021B. －2021C.D.【答案】C【解析】【解答】A：倒数是本身的数是1和-1，选项错误.B：－2021是2021的相反数，选项错误.C：，选项正确.D：，选项错误.故答案为：C【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.2.计算：（-2）×3的结果是（）A. -6B. -1C. 1D. 6 【答案】A【解析】【解答】解：（-2）×3=-2×3=-6．故答案为：A．【分析】根据有理数乘法法则，异号相乘，取负号，并把绝对值相乘。
3.下列运算有错误的是（）A. 5﹣（﹣2）=7B. ﹣9×（﹣3）=27C. ﹣5+（+3）=8D. ﹣4×（﹣5）=20 【答案】C【解析】【解答】解：，选项A不符合题意；，选项B不符合题意；，选项C符合题意；，选项D不符合题意。
【专题讲义】北师大版七年级数学上册第8讲有理数的乘法及混合运算专题精讲〔解析版〕参考答案一、知识梳理〔一〕有理数的乘方1、一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作：读作：a 的n 次方〔或a 的n 次幂〕其中a 代表相乘的因数,n 代表相乘因数的个数，即：...n an a a a a a =⨯⨯⨯个〔n 个a 〕 2、有理数乘方运算方法：⎩⎨⎧进行运算）利用乘法的运算法则（将乘方转化为乘法）根据乘方的定义，先（方法一21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧确定幂的绝对值的任何正整数次幂都是负数的偶次幂是正数负数的奇次幂是负数，数正数的任何次幂都是正确定幂的符号方法二)2(00)1(〔二〕有理数的混合运算混合运算法那么：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
体系搭建注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原那么。
〔三〕科学记数法〔1〕一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
注意以下几点:1、科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。
其中一个因数为a 〔110a ≤<〕，另一个因数为10n ，n 的值等于整数局部的位数减1；2、用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。
小于1的正数也可以用科学记数法表示。
例如：50.0000110-=；考点一：乘方的意义例1、3x 表示〔 〕A.x 3 B ．x x x ++ C.x x x ⋅⋅ D ．3+x【解析】C 考点二：计算例1、〔1〕 3211⎪⎭⎫⎝⎛ 〔2〕()33131-⨯--〔3〕()34255414-÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷ 〔4〕()()()33220132-⨯+-÷---【解析】 1、8272、23、－594、－1 典例分析考点三：定义新运算例1、现规定一种新的运算“※〞：a ※ab b =，如3※2=32=8，那么3※等于〔 〕A ．B ． 8C ．D ．【解析】A考点四：偶次幂的非负性例1、假设()0212=-+-b a ，那么()2012b a -的值是〔〕A ．﹣1B ． 1C ． 0D ． 2012【解析】B例2、()()053222=-+++-c b a ，求22c b a +-值．【解析】33考点五：有理数的混合运算例1、计算：〔1〕()()()3428102-⨯---÷+- 〔2〕()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-⨯+-91632492【解析】〔1〕-20；〔2〕23 考点六：科学计数法例1、自贡市统计局2016年初发布了2015年我市经济形势：2015年全市地区生产总值〔GDP 〕实现1143.11亿元．数据1143.11亿元用科学记数法表示〔保存三个有效数字〕〔 〕×103元 ×1010元×1011×1012元〔1〕这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成 个细胞； 〔2〕这样的一个细胞经过3小时后可分裂成 个细胞；〔3〕这样的一个细胞经过n 〔n 为正整数〕小时后可分裂成 个细胞． 【解析】〔1〕16；〔2〕64；〔3〕n 22例2、观察以下算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…．根据上述算式中的规律，请你猜测210的末位数字是〔 〕A ． 2B ． 4C ． 8D ． 6【解析】B例3、王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如下图的面积为1的圆形纸片，假设在活动中表现优胜者，可依次用色彩纸片覆盖圆面积的，，…．请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n 为整数时，=++++n 21...814121_____________．【解析】n 211-P(Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、数学上一般把()a n a a a a a 个.....⋅⋅⋅记为〔 〕A ．naB ．a n +C ．naD ．a n【解析】C2、计算：()=⨯--⨯-223232〔 〕【解析】A3、以下式子中正确的选项是〔 〕A.()()324222-<-<- B.()()243222-<-<-C.()()234222-<-<- D.()()432232-<-<-【解析】C实战演练8、如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成〔 〕A ． 17段B ． 32段C ． 33段D ． 34段 【解析】C9、下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2002个数应是〔 〕A ．20022 B.122002- C ．20012 D ．以上答案不对【解析】C10、假设()0232=++-n m ，那么n m 2+的值为〔 〕 A ．﹣4 B ．﹣1 C ．0 D ．4【解析】B11、一家电脑公司仓库原有电脑100台，一个星期调入、调出的电脑记录是：调入38台，调出42台，调入27台，调出33台，调出40台，那么这个仓库现有电脑________台。
有理数的乘法一、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何一个数与0相乘，积仍为0。
二、有理数乘法运算律交换律:a×b=b×a结合律:a×(b×c)=(a×b)×c分配律：a×(b+c)=a×b+a×c注意：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个数时，积为负数并把其绝对值相乘；当负因数有偶数个数时，积为正数,并把其绝对值相乘。
1．计算（﹣3）×|﹣2|的结果等于（）A．6 B．5 C．﹣6 D．﹣5解：原式=（﹣3）×2=﹣6。
故选C。
2．计算﹣3×2的结果等于（）A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．1解：﹣3×2=﹣6。
故选C。
3．计算﹣3×（﹣2）的结果等于（）A．B．6 C．﹣6 D．﹣解：﹣3×（﹣2）=3×2=6．故选：B。
4．计算（﹣4）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣12 B．﹣7 C．7 D．12解：原式=4×3=12。
故选：D。
5．已知□×（﹣）=﹣1，则□等于（）A．B．2016 C．2017 D．2018解：∵2017×（﹣）=﹣1，∴□等于﹣1÷（﹣）=2017，故选：C。
6．计算﹣1×2的结果是（）A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣2解：﹣1×2=﹣（1×2）=﹣2．故选D。
7．以下各数中，填入□中能使（﹣）×□=﹣2成立的是（）A．﹣1 B．2 C．4 D．﹣4解：一个因数=积÷另一个因数口=﹣2÷（﹣）=﹣2×（﹣2）=4．故选：C。
8．若a+b＜0，ab＜0，则（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a，b两数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值D．a，b两数一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值解：∵ab＜0，∴a、b异号，又∵a+b＜0，∴负数的绝对值大于正数的绝对值．故选D。
小升初衔接数学讲义(共13讲)小升初衔接专题讲义第一讲数系扩张--有理数（一）一、问题引入与归纳1.正负数、数轴、相反数、有理数等概念。
2.有理数的两种分类。
3.有理数的本质定义，能写成 m/n （n≠0，m、n 互质）。
4.性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（除数不能为零）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5.绝对值的意义与性质：① |a| = a（a≥0）或 |a| = -a（a<0）。
②非负性。
③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为零，则它们都为零。
二、典型例题解析：例1：若ab ≠ 0，则 (a+b)/|ab| 的值等于多少？例2：如果 m 是大于 1 的有理数，那么 m 一定小于它的（D）。
A。
相反数 B。
倒数 C。
绝对值 D。
平方例3：已知两数 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值是 2，求 x^2-(a+b+cd)x+(a+b)2006+(-cd)2007 的值。
例4：如果在数轴上表示 a、b 两个实数点的位置，如下图所示，那么 |a-b|+|a+b| 化简的结果等于（）A。
2a B。
-2a C。
0 D。
2b例5：已知 (a-3)^2+|b-2|=9，求 ab 的值是（）A。
2 B。
3 C。
9 D。
6例6：有 3 个有理数 a、b、c，两两不等，那么 a-b/b-c，c-a/a-b 中有几个负数？例7：设三个互不相等的有理数，既可表示为 1，a+b，a 的形式式，又可表示为 b/a，b 的形式，求 a^2006+b^2007.例8：三个有理数 a、b、c 的积为负数，和为正数，且 X = (abc/|ab|+|bc|+|ac|)+ab+bc+ac，则 ax^3+bx^2+cx+1 的值是多少？例9：若 a、b、c 为整数，且 |a-b|^2007+|c-a|^2007=1，试求 |c-a|+|a-b|+|b-c| 的值。
小升初衔接班讲义数学前言姓名:_____________第1课正数和负数✍知识网络1、大于0的数是正数。
2、在正数前面添上符号“﹣”（负）的数叫负数。
3、认识正号“+”，认识负号“-”，0既不是正数，也不是负数。
4、如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们。
✍例题精选（1）一个月内，小明体重增加2KG，小华体重减少1KG，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值？哪对反义词表示意义相反的量？（2）某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4% 德国增长1.3%法国减少2.4% 英国减少3.5%意大利增长0.2% 中国增长7.5%写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率？哪对反义词表示意义相反的量？✍课堂练习1.读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数。
421,2.5,,0, 3.14,120, 1.732,-+---372.如果80m表示向东走80m，那么-60m表示向3.如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作水位不升不降时水位变化记作__________。
4.月球表面的白天平均温度零上126℃，记作________℃，夜间平均温度零下150℃，记作_______________℃。
1．某人存入银行1000元，记作+1000元，取出600元，则可以记为：。
2．向东走5米记作5米，那么向西走10米，记作：。
3．一潜水艇所在的高度是– 50米，一条鲨鱼在潜水艇的上方10米处，则鲨鱼所在的高度是米。
4．预测某地区人口到2005年将出现负增长，“负增长”的意义是：。
5．把下列各数分别填在对应的横线上：3，－0.01， 0，－ 212, +3.333, －0.010010001…, +8, －101.1 ,+87, －100其中：正数有：负数有：6．在一种零件的直径在图纸上是 10 0.05（单位：㎜），表示这种零件的标准尺寸是㎜，加工要求最大不能超过㎜，最小不能超过㎜。
2021年冀教版七年级数学上册《1.8有理数的乘法》暑假自主学习培优提升训练（附答案）1．计算（﹣3）×（4﹣），用分配律计算过程正确的是（）A．（﹣3）×4+（﹣3）×（﹣）B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（﹣）C．3×4﹣（﹣3）×（﹣）D．（﹣3）×4+3×（﹣）2．观察算式（﹣4）××（﹣25）×28，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（）A．乘法交换律B．乘法结合律C．乘法交换律、结合律D．乘法对加法的分配律3．下列计算（﹣55）×99+（﹣44）×99﹣99正确的是（）A．原式＝99×（﹣55﹣44）＝﹣9801B．原式＝99×（﹣55﹣44+1）＝﹣9702C．原式＝99×（﹣55﹣44﹣1）＝﹣9900D．原式＝99×（﹣55﹣44﹣99）＝﹣196024．下列计算结果是负数的是（）A．（﹣3）×4×（﹣5）B．（﹣3）×4×0C．（﹣3）×4×（﹣5）×（﹣1）D．3×（﹣4）×（﹣5）5．计算（﹣2）×（﹣3）×（﹣1）的结果是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣8D．56．计算：（﹣）×（﹣36）＝（）A．2B．﹣2C．﹣3D．37．计算（﹣﹣）×（﹣12）的结果为（）A．﹣7B．7C．﹣13D．138．已知|x|＝5，|y|＝2，且xy＜0，则x﹣y的值是（）A．7B．﹣3C．7或﹣3D．7或﹣79．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的绝对值较大10．下列说法中正确的有（）①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③互为相反数的两数相乘，积一定为负；④两个有理数的积绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）11．用简便方法计算：＝．12．计算：（﹣）×15×（﹣1）＝．13．绝对值不大于3的所有整数的积等于．14．如图，小明有五张写着不同数字的卡片，请你从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，这个最大值是．15．一套运动装标价200元，按标价的八折销售，则这套运动装的实际售价为元．16．已知|x|＝4，|y|＝6，且xy＜0，x+y＞0，则x﹣y＝．三．解答题（共5小题）17．用简便方法计算：（1）（﹣9）×31﹣（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；（2）99×（﹣36）．18．计算：（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）；（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．19．计算：（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1；（2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．20．用简便方法计算．（1）；（2）；（3）；（4）﹣3.14×35.2+6.28×（﹣23.3）﹣1.57×36.4．21．简便计算（1）（﹣48）×0.125+48×+（﹣48）×（2）（）×（﹣36）参考答案1．解：原式＝（﹣3）×[4+（﹣）]＝（﹣3）×4+（﹣3）×（﹣）．故选：A．2．解：原式＝[（﹣4）×（﹣25）]（×28）＝100×4＝400，所以在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是乘法交换律、结合律．故选：C．3．解：（﹣55）×99+（﹣44）×99﹣99＝99×（﹣55﹣44﹣1）＝﹣9900．故选：C．4．解：A、有2个负因数，积是正数，故本选项错误；B、有0因数，积为0，故本选项错误；C、有3个负因数，积是负数，故本选项正确；D、有2个负因数，积是正数，故本选项错误．故选：C．5．解：（﹣2）×（﹣3）×（﹣1）＝﹣××1＝﹣8．故选：C．6．解：原式＝（﹣）×（﹣36）＝3+1﹣6＝﹣2．故选：B．7．解：（﹣﹣）×（﹣12）＝﹣×（﹣12）﹣×（﹣12）＝10+3＝13．故选：D．8．解：∵|x|＝5，|y|＝2，∴x＝±5，y＝±2．又xy＜0，∴x＝5，y＝﹣2或x＝﹣5，y＝2．当x＝5，y＝﹣2时，x﹣y＝5﹣（﹣2）＝7，当x＝﹣5，y＝2时，x﹣y＝﹣5﹣2＝﹣7．∴x﹣y的值是7或﹣7．．故选：D．9．解：∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值较大，故选：D．10．解：①两负数相乘，符号变为正号；此选项错误；②异号两数相乘，积取负号；此选项正确；③互为相反数的两数相乘，积不一定为负可能为0，故此选项错误；④两个有理数的积绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积，此选项正确．故正确的有2个．故选：B．11．解：原式＝＝﹣150+＝．故答案为．12．解：原式＝×15×＝（×）×15＝1×15＝15，故答案为：15．13．解：绝对值不大于3的所有整数有：0，±1，±2，±3，∴它们的积为0．故答案为0．14．解：（﹣3）×（﹣5）＝15，∴这个最大值是15．故答案为：1515．解：根据题意可知200×0.8＝160（元）．16．解：∵|x|＝4，|y|＝6，∴x＝±4，y＝±6，又∵xy＜0，x+y＞0，∴x＝﹣4，y＝6，∴x﹣y＝﹣4﹣6＝﹣10，故答案为：﹣10．17．解：（1）原式＝31×（﹣9﹣8+16）＝﹣31；（2）原式＝（100﹣）×（﹣36）＝﹣3600+＝﹣3599．18．解：（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣××＝﹣；（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）＝0．19．解：（1）原式＝﹣0.75×（﹣0.4 ）×＝××＝；（2）原式＝0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）＝﹣×××＝﹣1．20．解：（1）（﹣+﹣+）×（﹣24），＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24），＝12﹣4+9﹣10，＝21﹣14，＝7；（2）（﹣3）×（﹣7）××，＝（﹣）××（﹣）×，＝（﹣5）×（﹣3），＝15；（3）49×（﹣5），＝（50﹣）×（﹣5），＝50×（﹣5）﹣×（﹣5），＝﹣250+，＝﹣249；（4）﹣3.14×35.2+6.28×（﹣23.3）﹣1.57×36.4，＝﹣3.14×35.2+3.14×（﹣46.6）﹣3.14×18.2，＝﹣3.14×（35.2+46.6+18.2），＝﹣3.14×100，＝﹣314．21．解：（1）原式＝（﹣48）×（0.125﹣+）＝（﹣48）×＝﹣60；（2）原式＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝﹣20+27﹣2＝5．。
2021年暑假小升初数学衔接之知识讲练专题08《有理数的乘法》教学目标1.掌握有理数的乘法法则并能进行熟练地运算. 掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算(重点）2.掌握多个有理数相乘的积的符号法则. 掌握乘法的分配律，并能灵活的运用.（难点）新课导入新课引入李大爷经营了一家餐馆，因使用地沟油，每天亏损100元，下图是他的餐馆九月份的帐单，你能算出他亏损了多少吗？A.（-100）+30B.（-100）×30新知教授：有理数的乘法运算如图,一只蜗牛沿直线 l爬行，它现在的位置在l上的点Ｏ．1.如果一只蜗牛向右爬行2cm记为+2cm，那么向左爬行2cm应该记为 -2cm .2.如果3分钟以后记为+3分钟，那么3分钟以前应该记为-3分钟探究1（1）如果蜗牛一直以每分钟２ cm的速度向右爬行，３分钟后它在什么位置？结果：3分钟后在l上点Ｏ右边 6 cm处表示：（+2）×（+3）= 6探究2（２）如果蜗牛一直以每分钟２ cm的速度向左爬行，３分钟后它在什么位置？结果：3分钟后在l上点Ｏ左边 6 cm处表示：（-2）×（+3）= - 6发现：两数相乘，把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数.探究3（３）如果蜗牛一直以每分钟２ cm的速度向右爬行，３分钟前它在什么位置？结果：3分钟后在l上点Ｏ左边 6 cm处表示：（＋2）×（-3）=- 6探究4（４）如果蜗牛一直以每分钟２ cm的速度向左爬行，３分钟前它在什么位置？结果：3分钟后在l上点Ｏ右边 6 cm处表示：（-2）×（-3）= 6结论：（1）2×3 = 6 正数×正数=正数（2）（-2）×（-3）= 6 负数×负数=正数（3）（-2）× 3 = -6 负数×正数=负数（4）2×（-3） = -6 正数×负数=负数发现：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.探究5（5）原地不动或运动了零次，结果是什么？答：结果都是仍在原处，即结果都是0 ，若用式子表达：0×3=0；0×(－3)=0；2×0=0；(－2)×0=0．发现：任何数与0相乘，积仍为0.典例分析【例题1】计算【分析】先确定积的符号再确定积的绝对值概念总结1.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.2.当负因数有__奇数___个时，积为负；3.当负因数有_偶数____个时，积为正.4.几个数相乘,如果其中有因数为0，_积等于0________补充知识点：我们把乘积为1的两个有理数称为互为倒数，其中的一个数是另一个数的倒数.注意：1.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；2.分数的倒数是分子与分母颠倒位置；3.求小数的倒数，先化成分数，再求倒数；4.0没有倒数.牛刀小试【例题1】已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值．方法总结：解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0，cd＝1及|m|＝6，再代入所求代数式进行计算．【例题2】用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温的变化量为-6℃，攀登3km后，气温有什么变化？解：（-6）×3=-18答：气温下降18℃.拓展提升：小欣到智慧迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口有一些写着整数的数字按纽，此时传来了一个机器人的声音“按出两个数字，积等于8”，请问小欣有多少种按法？你能一一写出来吗？（不管顺序）课堂巩固基础达标1．（2020•青浦区二模）a（a≠0）的倒数是（）A．a B．﹣a C．D．【解答】解：a（a ≠0）的倒数是，故选：C．2．（2020•平遥县一模）﹣2020的绝对值的倒数是（）A．﹣2020 B．2020 C．D．﹣【解答】解：﹣2020的绝对值为2020，2020的倒数是：．故选：C．3．（2020•安徽二模）下面四个数中，与﹣2的积为正数的是（）A．2 B．﹣2 C ．0 D．【解答】解：﹣2×2＝﹣4；（﹣2）×（﹣2）＝4；2×0＝0；．故与﹣2的积为正数的是选项B．故选：B．4．（2019秋•承德县期末）已知a，b，c为非零有理数，当a＞0时，＝ 1 ；当ab＜0时，＝﹣1 ．【解答】解：当a＞0时，，∵ab＜0时，∴．故答案为：1；﹣15．（2019秋•建平县期末）|﹣|的相反数是﹣，倒数是 3 ．【解答】解：|﹣|的相反数是﹣，倒数是3，故答案为：﹣；36．（2019秋•浦东新区期末）已知A＝2×3×3，B＝2×3×5，那么A和B的最小公倍数是90 ．【解答】解：∵A＝2×3×3，B＝2×3×5，∴A与B的最小公倍数为2×3×3×5＝90，故答案为：907．（2019秋•仁怀市期末）给出下列判断：①若a，b互为相反数，则a+b＝0②若a，b互为倒数，则ab＝1③若|a|＞|b|，则a＞b④若|a|＝|b|，则a＝b⑤若|a|＝﹣a，则a＜0其中正确结论的个数为 2 个．【解答】解：①若a，b互为相反数，则a+b＝0，是正确的；②若a，b互为倒数，则ab＝1，是正确的；③若|a|＞|b|，当a＝﹣4，b＝1也成立，所以a不一定大于b，是错误的；④若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，是错误的，⑤若|a|＝﹣a，则a≤0，是错误的，所以有2个正确的结论；故答案为：2．8．（2018秋•和平区期中）已知|x|＝3，|y|＝7（1）若x＜y，求x﹣y的值；（2）若xy＞0，求x+y的值；（3）求x2y﹣xy2+21的值．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝7，∴x＝±3，y＝±7，（1）当x＜y时，x＝3，y＝7或x＝﹣3，y＝7，此时x﹣y＝﹣4或﹣10；（2）∵xy＞0，∴x与y同号，即x＝3，y＝7或x＝﹣3，y＝﹣7，此时x+y＝10或﹣10；（3）由x＝±3，y＝±7，当x＝3，y＝7时，原式＝﹣84+21＝﹣63；当x＝3，y＝﹣7时，原式＝84+21＝105；当x＝﹣3，y＝7时，原式＝210+21＝231；当x＝﹣3，y＝﹣7时，原式＝84+21＝105．9．（2018秋•雨花区校级月考）在数﹣4，+1，﹣3，+4，0中任取三个数相乘，其中最大的积是a，最小的积是b．（1）求a与b的值解：a＝﹣4 ×（﹣3）× 4 ；b＝ 1 × 4 ×（﹣4）．（2）若|x﹣a|+|y+b|＝0，求（x+y）÷y的值．【解答】解：（1）a＝﹣4×（﹣3）×4＝48，b＝1×4×（﹣4）＝﹣16，（2）由题意可知：x﹣a＝0，y+b＝0，∴x＝a＝48，y＝﹣b＝16，∴原式＝（48+16）÷16＝4，故答案为：（1）﹣4，（﹣3），4；1，4，（﹣4）；10．（2018秋•襄城区校级月考）若a，b，c是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，且ab＜0，bc＞0，求a ﹣b﹣（﹣c）的值．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6，∴a＝±4，b＝±9，c＝±6，当a＝4时，b＝﹣9，c＝﹣6，a﹣b﹣（﹣c）＝4﹣（﹣9）+（﹣6）＝7；当a＝﹣4时，b＝9，c＝6，a﹣b﹣（﹣c）＝﹣4﹣9+6＝﹣7．11．（2019秋•金堂县校级月考）．【解答】解：原式＝﹣×6×10×＝﹣9．12．（2019秋•金堂县校级月考）．【解答】解：原式＝﹣24×﹣24×+24×＝﹣33﹣56+18＝﹣71．提优巩固一．选择题1．（2019秋•莆田期末）如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，满足a+b﹣c＝0且AB＝BC．那么下列各式正确的是（）A．a+c＜0 B．ac＞0 C．bc＜0 D．ab＜0【解答】解：∵AB＝BC，∴b﹣a＝c﹣b，∴a+c＝2b，∵a+b﹣c＝0，即c＝a+b，∴a+（a+b）＝2b，∴b＝2a，∴c＝a+b＝3a，∵a＜b＜c，∴a＞0，b＞0，c＞0，∴a+c＞0，则A选项错误；ac＞0，则B选项正确；bc＞0，则C错误；ab＞0，则D错误．故选：B．2．（2019秋•新乐市期末）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，则原点O的位置在（）A．点A的右边B．点B的左边C．A、B两点之间，且靠近点AD．A、B两点之间，且靠近点B【解答】解：∵如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，且a+b＜0，ab＜0，∴a与b异号且b绝对值大，即a＞0，b＜0，|b|＞|a|，则原点O的位置在A、B两点之间，且靠近点A，故选：C．3．（2019秋•浏阳市期末）a、b、c是三个有理数，且abc＜0，a+b＜0，a+b+c＝1，下列结论一定成立的是（）A．|a|＞|b+c| B．c﹣1＜0C．b+c＞0 D．|a+b﹣c|﹣|a+b﹣1|＝c﹣1【解答】解：∵a+b+c＝1，a+b＜0，∴a+b＝1﹣c＜0，即c＞1，则|a+b﹣c|﹣|a+b﹣1|＝|1﹣2c|﹣|c|＝2c﹣1﹣（c﹣1）＝2c﹣1﹣c＝c﹣1．故选：D．4．（2019秋•金山区校级月考）下列说法中正确的是（）A．任何正整数的因数至少有两个B．一个数的倍数总比它的因数大C．1是所有正整数的因数D．3的因数只有它本身【解答】解：1的因数就只有1，因此A选项不符合题意；一个数的最小的倍数和最大的因数都是它本身，因此B选项不符合题意；任何一个正数都可以形成1与它本身的积，因此C选项符合题意，3的因数有1，3，因此选项D不符合题意，故选：C．二．填空题5．（2019秋•勃利县期末）若a、b、c都是非零有理数，则+++的值为4、0、﹣4 ．【解答】解：当a，b，c同为正数时，原式＝1+1+1+1＝4；当a，b，c同为负数时，原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4；当a，b，c中两个数为正数，一个为负数时，原式＝1+1﹣1﹣1＝0；当a，b，c中两个数为负数，一个为正数时，原式＝1﹣1﹣1+1＝0；综上所述，+++的值为4、0、﹣4．故答案为：4、0、﹣4．6．（2020•亭湖区二模）﹣的倒数是﹣7 ．【解答】解：﹣的倒数是﹣7，故答案为：﹣7．7．（2019秋•望花区期末）若a、b是互为倒数，则2ab﹣5＝﹣3 ．【解答】解：∵a、b是互为倒数，∴ab＝1，∴2ab﹣5＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（2018秋•昌江区校级期中）乘积是6的两个负整数之和为﹣7或﹣5 ．【解答】解：乘积是6的两个负整数为﹣1和﹣6或﹣2与﹣3，之和为﹣7或﹣5，故答案为：﹣7或﹣59．（2017秋•杭州期中）|a|＝5，b＝﹣2，且ab＞0，则a+b等于﹣7 ．【解答】解：由题意，得：a＝±5，∵ab＞0，b＝﹣2，∴a＝﹣5，∴a+b＝﹣7，故答案为：﹣7．10．|a|＝6，|b|＝3，则ab＝18或﹣18 ．【解答】解：∵|a|＝6，|b|＝3，∴a＝±6、b＝±3，则当a＝﹣6、b＝﹣3时，ab＝18；当a＝﹣6、b＝3时，ab＝﹣18；当a＝6、b＝﹣3时，ab＝﹣18；当a＝6、b＝3时，ab＝18；故答案为：18或﹣18．三．解答题11．（2018秋•全南县期中）已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，（1）在数轴上标出a，b，c相反数的对应点的位置：（2）判断下列各式与0的大小：①b+c＜0；②a﹣b＞0；③bc＞0；④＜0 （3）化简式子：|a|﹣|a+b|+|c﹣b|+|a+c|．【解答】解：（1）如图所示（2）①b+c＜0；②a﹣b＞0；③bc＞0；④＜0故答案为：＜、＞、＞、＜；|a|﹣|a+b|+|c﹣b|+|a+c|．（3）原式＝a﹣（﹣a﹣b）+（b﹣c）+（﹣a﹣c）＝a+a+b+b﹣c﹣a﹣c＝a+2b﹣2c．12．（2019秋•雁塔区校级月考）用简便方法计算（1）﹣39×（﹣12）（2）（﹣﹣）×（﹣60）【解答】解：（1）原式＝（﹣40+）×（﹣12）＝﹣40×（﹣12）﹣×12＝480﹣＝479；（2）原式＝×（﹣60）+×60+×60＝﹣40+5+4＝﹣31．13．（2018秋•无为县月考）已知|a|＝2，|b|＝4，若|a﹣b|＝﹣（a﹣b），求ab的值．【解答】解：∵|a﹣b|＝﹣（a﹣b），∴a﹣b＜0，∵|a|＝2，|b|＝4，∴a＝2，b＝4或a＝﹣2，b＝4，∴ab的值8或﹣8．14．（2018秋•徐闻县期中）观察：等式（1）2＝1×2等式（2）2+4＝2×3＝6等式（3）2+4+6＝3×4＝12等式（4）2+4+6+8＝4×5＝20（1）仿此：请写出等式（5）2+4+6+8+10＝5×6＝30 ；…，等式（n）2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）．（2）按此规律计算：①2+4+6+…+34＝306 ；②求28+30+…+50的值．【解答】解：（1）等式（5）为2+4+6+8+10＝5×6＝30；等式（n）为2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；故答案为：2+4+6+8+10＝5×6＝30；2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；（2）①原式＝17×18＝306；故答案为：306；②原式＝（2+4+6+8+…+50）﹣（2+4+6+…+26）＝25×26﹣13×14＝468．15．（2016秋•石鼓区校级月考）阅读理解题仔细观察下列式子，然后计算：2×3＝6，2×（﹣3）＝﹣6﹣2×3＝﹣6﹣2×（﹣3）＝6根据你得到的规律，计算：（1）﹣5×（﹣2）（2）×（﹣20）【解答】解：（1）原式＝10；（2）原式＝﹣8．16．（2016秋•滕州市期中）用简便方法计算（1）99×（﹣9）（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）【解答】解：（1）原式＝（100﹣）×（﹣9）＝﹣900+＝﹣899．（2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3）＝0×（﹣3）＝0．。
第八讲有理数的乘法
探究：
3×(－1) =－3， 3×(－2) =－6，
3×(－3) =－9， (－1)×3=－3，
(－2)×3=－6， (－3)×3=－9，
思考：利用前面的结论完成下面各式，你能发现什么规律？
(－3)×3=－9 (－3)×2=－6
(－3)×1=－3 (－3)×0=0
利用前面的结论完成下面各式，你能发现什么规律？
(－3)×(－1)=3 (－3)×(－2)=6
(－3)×(－3)=9
1、有理数的乘法法则
(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘；
(2)任何数与0相乘，结果都得0；
(3)几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．即先确定符号，再把各因数的绝对值相乘，所得的积就是积的绝对值加上符号；
(4)几个数相乘，如果其中有因数是0，则积等于0．
计算：
(1)
12
()
37
-⨯-； (2)
11
4(1)
32
⨯-；
(3)
541
() 1.5(1)
12154
-⨯⨯⨯-； (4)(－2009)×(－2010)×0×(－2011)．
2、倒数
乘积为1的两个数互为倒数．
ab=1⇔a、b互为倒数
1
b
a
⇔=．注意：0没有倒数，而且任何一个非零数的倒数也不可能为0．
求下列各数的倒数：
(1)
3
5
-； (2)
5
1
7
-； (3)1.4
3、有理数的乘法的运算律
(1)乘法交换律：ab=ba．(2)乘法结合律：abc=(ab)c=a(bc)．(3)乘法分配律：a(b＋c)=ab＋ac．
例1、计算：
(1)
111
(1)(48)
346
---⨯-； (2)
1
1.25(0.3)8(3)
3
-⨯-⨯⨯-；
(3)
11131
377(7)
64646
⨯-⨯+⨯- (4)
13
|1|(60.09)(10)
34
-⨯--⨯-．
例2、计算：
(1)
1
258
32
-⨯； (2)
15
99(8)
16
⨯-．
例3、如图，a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）
A．abc>0 B． a（b－c）>0
C.（a＋b）c>0 D．（a－c）b>0
例4、有6张写着不同数字的卡片：，如果从中任意抽取3张．
（1）使这3张卡片上的数字的积最小，应该如何抽?积又是多少?
（2）使这3张卡片上的数字的积最大，应该如何抽?积又是多少?
1、下列说法中，正确的是（）
A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
2、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是1，求(a＋b)cd－2014m的值．
3、计算：
（1）
1175
()
12918
--×36－6×1.43＋3.93×6.
（2）
16112311
(32)()(24)
253223412
-⨯-+--⨯-．
4、规定运算⊕，a⊕b＝ab＋1，求：（1）（－2）⊕3；（2）[（－1）⊕2]⊕（－3）．。
