空间直角坐标系及点的坐标表示70343

空间直角坐标系的定义和坐标一、空间直角坐标系的定义和坐标1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc-d′a′b′c′$中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od′$的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od′$的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。

这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。

2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如$a(x_1,y_1,z_1)$，$b(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{ab}=$$\overrightarrow{ob}-$$\overrightarrow{oa}=$$(x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1)$。

3.空间向量的坐标运算设$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则（1） $\boldsymbola+\boldsymbolb=（x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2）$（2）$\boldsymbola-\boldsymbolb=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。

（3） $\boldsymbola·\boldsymbolb=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$（4）$|\boldsymbola|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。

（5）$λ\boldsymbola=（λx_1，λy_1，λz_1）$4、空间向量平行（共线）与垂直的充要条件让非零向量$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf{r})$。

空间直角坐标系中点坐标公式在空间直角坐标系中，我们可以用三个数值来表示一个点的位置。

这三个数值分别代表了点在x轴、y轴和z轴的坐标。

我们可以将这三个坐标值写成一个有序三元组 (x, y, z)。

假设我们有一个点P，它在x轴上的坐标为x，y轴上的坐标为y，z 轴上的坐标为z。

那么点P的坐标可以表示为 (x, y, z)。

在三维空间中，点的坐标公式可以通过测量从原点到点P的三条边的长度得到。

根据勾股定理，我们可以得出以下关系：1. 点P在x轴上的坐标可以通过测量点P到y轴和z轴的距离得到。

这个距离可以表示为√(y^2 + z^2)。

所以点P在x轴上的坐标为x = √(y^2 + z^2)。

2. 点P在y轴上的坐标可以通过测量点P到x轴和z轴的距离得到。

这个距离可以表示为√(x^2 + z^2)。

所以点P在y轴上的坐标为y = √(x^2 + z^2)。

3. 点P在z轴上的坐标可以通过测量点P到x轴和y轴的距离得到。

这个距离可以表示为√(x^2 + y^2)。

所以点P在z轴上的坐标为z = √(x^2 + y^2)。

通过这个坐标公式，我们可以计算出点P在三维空间中的坐标。

例如，如果点P在x轴上的坐标为3，在y轴上的坐标为4，在z轴上的坐标为5，那么点P的坐标可以表示为 (3, 4, 5)。

通过这个坐标公式，我们可以方便地计算出点在空间中的位置。

同时，我们也可以通过这个公式来确定点在空间中的距离和方向。

总结起来，空间直角坐标系中点的坐标可以用有序三元组 (x, y, z) 表示，其中x代表点在x轴上的坐标，y代表点在y轴上的坐标，z 代表点在z轴上的坐标。

我们可以通过测量点到每个轴的距离得到点的坐标。

这个坐标公式在三维空间中有着广泛的应用，可以用来计算点的位置、距离和方向等信息。

第一节 空间直角坐标系一、空间点的直角坐标1.坐标系和坐标（1）坐标系：以O 为公共原点，作三条互相垂直的数轴Ox 轴(横轴)，Oy 轴（纵轴），Oz 轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则。

我们把点O 叫做坐标原点，数轴Ox ，Oy ，Oz 统称为坐标轴。

xOy ，yOz ，zOx 三个坐标面。

三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（如图1-1）图5-1-1 图5-1-2 （2）点的坐标：设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴，y 轴，z 轴的交点依次为P ，Q ，R （图1-2），设P ，Q ，R 三点在三个坐标轴的坐标依次为x ,y ,z 。

空间一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，称为M 的直角坐标，x 、y 、z 分别称为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标，记为(,,)M x y z 。

二、两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间两点，我们可用两点的坐标来表达它们间的距离d 。

将1,M 2M 的坐标画出(图5-1-3)，有22221212d M M M N NM ==+222111M P M Q M R =++因为11221M P PP x x ==-11221M Q QQ y y ==- 12211z z R R R M -==所以12d M M ==特别地，(,,)M x y z 与原点(0,0,0)O 的距离为d OM ==第二节 向量代数一、向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到两类不同的量，一类像距离、温度、体积、质量等，这一类量的共性是给出大小便可确定，我们称这种量为数量；而另一类如力、位移、速度、加速度等，这类量不仅要给出大小，还要给出它们的方向，才能确定下来，这种具有大小和方向的量称为向量。

1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量（或称矢量）.2、向量的表示：我们用有向线段来表示一个向量，其中，线段的方向表示向量的方向；线段的长度表示向量的大小。