知识讲解空间直角坐标系基础

知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。

它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。

在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。

假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。

空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。

其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。

2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。

它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。

3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。

分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。

4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。

5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。

在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。

向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。

2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。

若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。

3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。

设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。

高二数学空间向量的坐标运算【本讲主要内容】空间向量的坐标运算空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，空间向量平行，垂直的坐标表示形式。

【知识掌握】 【知识点精析】1. 空间直角坐标系（1）单位正交基底，空间直角坐标系，右手直角坐标系（2）坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OA xi yj zk =++，则实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。

2. 向量的直角坐标运算设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则a b a b a b a b +=+++()112233，，a b a b a b a b -=---()112233，，a b a b a b a b ⋅=++112233a b a b a b a b R //⇔===∈112233λλλλ，，，或a b a b a b 112233==a b a b a b a b ⊥⇔++=11223303. 夹角和距离公式（1）夹角公式：设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则cos <>=++++⋅++a b a b a b a b a a a b b b ，112233122232122232（2）距离公式：设A x y z B x y z ()()111222，，，，， 则d x x y y z z AB =-+-+-()()()122122122（3）平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。

如果 a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。

【解题方法指导】1. 在证明线线平行时，利用a b a b //⇔=λ即()()a a a b b b 123123，，，，=λλλ，在证明线面平行或面面平行时，需转化为线线平行问题。

一、空间直角坐标系定义以空间中两两__________且相交于一点O 的三条直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标__________，x 轴、y 轴、z 轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、__________平面．画法 在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝__________，∠yOz ＝90°．图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__________轴的正方向，食指指向__________轴的正方向，如果中指指向__________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z 之间的关系如图所示，设点M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的__________，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P 、Q 和R ．设点P 、Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x 、y 和z ，那么点M 就和有序实数组（x ，y ，z ）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x 叫做点M 的__________，y 叫做点M 的__________，z 叫做点M 的__________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置 点的坐标形式 原点 （0，0，0） x 轴上 （a ，0，0） y 轴上 （0，b ，0） z 轴上 （0，0，c ） xOy 平面上 （a ，b ，0） yOz 平面上 （0，b ，c ） xOz 平面上（a ，0，c ）3．空间直角坐标系中的对称点设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则对称轴（或中心或平面） 点P 的对称点坐标 原点(),,a b c --- x 轴 (),a b c --,y 轴（－a ，b ，－c ）z 轴),(,a b c -- xOy 平面(,,)a b c -yOz 平面(),,a b c - xOz 平面(,)a b c -，三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．在xOy 平面上，221212||()()MN x x y y =-+-．在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．在12Rt △PHP 中，2211212||||()()PH MN x x y y ==-+-， 根据勾股定理，得221212||||||PP PH HP =+=____________________________． 因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =____________________________． 特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |＝222x y z ++．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．K 知识参考答案：三、222121212()()()x x y y z z-+-+-222121212()()()x x y y z z-+-+-K—重点1．会建立空间直角坐标系（右手直角坐标系），会表示空间中的任意点；2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标；3．记住空间两点间的距离公式，并能应用两点间的距离公式解决一些简单的问题．K—难点对空间直角坐标系的理解，空间两点间距离公式的推导．K—易错易混淆平面与空间直角坐标系．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P（x，y，z），则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．【解析】以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．【名师点睛】空间中点P坐标的确定方法（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y，P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标．【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1． 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12． 所以1(1,1,)2E ．F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1．所以11(,,1)22F ．方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点． 故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22．2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】点关于x 轴对称的点的坐标为．【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】C【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． （2）空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是P 1（－x ，－y ，－z ）； ②关于x 轴（横轴）对称的点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ）； ③关于y 轴（纵轴）对称的点的坐标是P 3（－x ，y ，－z ）； ④关于z 轴（竖轴）对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，z ）； ⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5（x ，y ，－z ）； ⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6（－x ，y ，z ）； ⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7（x ，－y ，z ）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++． 3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求： （1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体的体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．当2|C 1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥BF ，PC ⊥EF ．【解析】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD 是矩形，∴A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥BF ．∵(0,2,0)E ，∴222||(00)(20)(02)6PE =-+-+-=，222||(02)(222)(00)6CE =-+-+-=，∴||||PE CE =，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥EF ．【例9】如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a .【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定． 4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标．【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3，故AB 的垂直平分线的斜率为13-，则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--，当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3．【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解． 【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ， 则22222231(1)2(2)(3)z z ++-=+-+-，即2210(1)3()8z z +-=+-， 解得32z =，所以点C 的坐标为3(0,0,)2． 【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到三维空间中，而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用．1．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于x 轴对称的点的坐标为 A ．（－1，2，3） B ．（1，－2，－3） C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为 A ．（－3，4，5） B ．（－3，－4，5） C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为A ．（2，2，1）B ．（2，2，23）C ．（2，2，13）D ．（2，2，43）4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为A．9 B．29C．5 D．2 65．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2）（a∈R）则|AB|的最小值是A．3 3 B．3 6C．2 3 D．2 66．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的A．y轴上B．xOy面上C．xOz面上D．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P（1，2，3），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为A．（0，2，0）B．（0，2，3）C．（1，0，3）D．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．9．（1）已知A（1，2，－1），B（2，0，2），①在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；②在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹．（2）在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．10．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A．62B． 3C．32D．6311．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为A．（6，0，0）B．（6，0，1）C．（0，0，6）D．（0，6，0）12．已知M（5，3，－2），N（1，－1，0），则点M关于点N的对称点P的坐标为________．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于________．14．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a（0<a<2）．（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短？15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．16．如图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz．（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．18．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．（2017•上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标是__________．1 2 3 4 5 6 7 10 11 BADBBCBAA1．【答案】B【解析】关于x 轴对称，横坐标不变．故选B ． 2．【答案】A【解析】关于yOz 平面对称，y ，z 不变．故选A ． 3．【答案】D4．【答案】B【解析】由已知求得C 1（0，2，3），∴|AC 1|＝29．故选B ． 5．【答案】B【解析】|AB |2＝（2a －1）2＋（－7－a ）2＋（－2＋5）2＝5a 2＋10a ＋59＝5（a ＋1）2＋54．∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54．∴|AB |min ＝54＝36．故选B ． 6．【答案】C【解析】因为该点的y 坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz 面上．故选C ． 7．【答案】B【解析】平面yOz 内点的横坐标为0．故选B ． 8．【答案】详见解析．9．【答案】（1）①P （1，0，0）；②M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线，其方程为x ＋3z －1＝0； （2）M （1，0，0）．【解析】（1）①设P （a ，0，0），则由已知得222(1)(2)1a -+-+2(2)4a -+，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1， 所以P 点坐标为（1，0，0）． ②设M （x ，0，z ），222(1)(2)(1)x z -+-++22(2)(2)x z -+- 整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0． 故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线． （2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝222(6)(15)(01)x x -+--+-22(1)51x -+ 所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M （1，0，0）． 10．【答案】A【解析】设P （x ，y ，z ），由题意可知222222111x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，∴x 2＋y 2＋z 2＝32．∴222x y z ++＝62．故选A ． 11．【答案】A【解析】设P （x ，0，0），|PA |2(1)11x -++，|PB |2(3)99x -++，由|PA |＝|PB |，得x ＝6．故选A ．12．【答案】（－3，－5，2）13．【答案】2393【解析】设正方体的棱长为a ，由|AM |＝9＋4＋0＝13可知，正方体的体对角线长为3a ＝213，故a ＝2133＝2393．14．【答案】（1221a a -+2）当a ＝22时，MN 的长度最短．【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系． 因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上， 所以点M （22a ，0，1－22a ）． 因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ， 所以点N （22a ，22a ，0）． （1）由空间两点间的距离公式， 得|MN |2222222()(0)(10)2222a a a a -+-+-- 221a a -+MN 221a a -+ （2）由（1），得|MN |＝221a a -+221()22a -+ 当a ＝22（满足0<a <2221()22a -+取得最小值， 即MN 的长度最短，最短为22． 15．【答案】M ⎝⎛⎭⎫13，1，23；N ⎝⎛⎭⎫16，12，56．16．【答案】V （0，0，3），A （－1，－1，0），B （1，－1，0），C （1，1，0），D （－1，1，0）．【解析】∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1． ∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0），同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）． ∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．【答案】（1）P ′⎝⎛⎭⎫－23，23，－13；（2）当m ＝12时，|MP |取得最小值22，此时点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 【解析】（1）由题意知P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13， P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，23，－13． （2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ）， 则有|MP |＝⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫m －232＋⎝⎛⎭⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m －122＋12． 当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 18．【答案】详见解析．19．【答案】（﹣4，3，2）【解析】如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴1AC （﹣4，3，2）．故答案为：（﹣4，3，2）．。

《空间直角坐标系》知识讲解1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则212121(,,)AB x x y y z z =---． 4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则222123||a a a a a a =⋅=++，yk i ABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxzyk i A(x,y,z)O jxzyk iABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxz222123||b b b b b b =⋅=++．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++．6．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-．例1 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中， （1）若E 1∈A 1B 1，F 1∈C 1D 1，且11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦 （2）若P 为DD 1的中点，O 1，O 2，O 3分别是面ABCD ，B 1B 1C 1C 1，AB 1C 1D ，ABCD 的中心. 求证:B 1O 3⊥PA;并求PO 3与O 1O 2所成的角.(3)若E,F 分别是BB 1、CD 的中点，判断点A 、D 、C 1、E 四点是否共面？。

第三讲空间向量的坐标运算【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A 的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a ,b 上的方向向量的坐标:a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2);2.利用公式cos<a ,b >= 求解;3.设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|cos<a ,b >|.【考点讲解】考点一：求点的坐标例1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点()1,1,2A ､()3,7,1B -､()5,4,0C . (1)求以向量AB ､AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ； (2)求与向量AB ､AC 都垂直的单位向量a .考点三：线性运算的坐标表示例3．已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（ ） A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)考点四：数量积运算的坐标表示例4．（多选）已知空间向量()1,1,1a =，()1,0,2b =-，则下列正确的是（ ） A ．()0,1,3a b +=B ．3a =C ．2a b ⋅=D ．a <，4b π→>=考点五：求长度或距离例5．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．考点六：求角度例6．已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．30°D ．0°考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =． (1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值． (3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．【课堂练习】1.已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102.若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或433.平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,14. （多选）已知平面{}00P n P P α=⋅=，其中点0P 是平面α内的一定点，n 是平面α的一个法向量，若0P 坐标为()2,3,4，()1,1,1n =，则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．()1,3,5B ．()4,3,2C ．()2,3,8-D ．()2,3,8-5. （多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（ ）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1ADD ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=6.已知空间三点A (1，-1，-1)，B (-1，-2，2)，C (2，1，1)，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.7.设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．8.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【课后练习】1.若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（ ） A ．21B ．4C ．-4D ．102.已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒5. （多选）对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角 B ．若()1,2,3a =，()1,1,1b =--，则a b ⊥ C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．若()1,0,0a =，()0,2,0b =，()0,0,3c =，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底 6．（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2//a b a + B ．53a b = C ．()56a a b ⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为7．（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是()1,1,3-8. 平面α经过点()0,0,2A 且一个法向量()1,1,1n =--，则平面α与x 轴的交点坐标是______．9．已知()1,1,2A -，()1,0,1B -．设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设1,,13C λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则实数λ=______．10.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =. (1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标； ①若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .。

“空间直角坐标系”教案（人教A版必修）一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义，掌握空间直角坐标系的构成和基本概念。

2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置，理解坐标与点的位置的关系。

3. 掌握空间直角坐标系中的距离和向量的概念，学会计算点之间的距离和向量的坐标表示。

4. 能够运用空间直角坐标系解决实际问题，提高空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点1. 空间直角坐标系的定义和意义。

2. 点在空间直角坐标系中的坐标表示。

3. 空间直角坐标系中点之间的距离计算。

4. 向量的坐标表示和运算。

三、教学难点1. 空间直角坐标系中点的位置确定。

2. 空间直角坐标系中距离的计算。

3. 向量的坐标表示和运算。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究和思考来理解和掌握空间直角坐标系的知识。

2. 利用多媒体辅助教学，通过动画和图像来形象地展示空间直角坐标系的概念和运算。

3. 结合实际例子，让学生通过解决实际问题来运用空间直角坐标系的知识。

五、教学内容1. 空间直角坐标系的定义和意义。

2. 空间直角坐标系的构成和基本概念。

3. 在空间直角坐标系中确定点的位置，理解坐标与点的位置的关系。

4. 空间直角坐标系中的距离和向量的概念。

5. 计算点之间的距离和向量的坐标表示。

教学过程：1. 引入：通过实际例子，引导学生思考如何在空间中确定点的位置。

2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和意义，介绍空间直角坐标系的构成和基本概念。

3. 演示：利用多媒体动画，展示空间直角坐标系中点的位置确定和坐标表示。

4. 练习：让学生通过练习题，巩固空间直角坐标系中点的位置确定和坐标表示的知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握空间直角坐标系的基本概念和运算方法，并能够在实际问题中运用空间直角坐标系的知识。

教师应该根据学生的实际情况，适当调整教学方法和节奏，确保学生能够顺利地掌握空间直角坐标系的知识。

空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境.感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点0引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz,点0叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz平面、zOx平面.2.右手坐标系在空间直角坐标系中.让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x,y,z)来表示，有序数组(x,y,z)叫做点A的坐标，记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点(0,0,0)：x,y,z轴上的点的坐标分别为(x,O,O),(O,y,O),(O,O,z)：坐标平面xOy,yOz,xOz上的点的坐标分别为(r,y,0),(0,*,z),(x,0,z).2.空间宜角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点P(x,y,z)，则有点P关于原点的对称点是P}(-x,-y,-z)：点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x,-y,-z)：点P关于纵轴(y轴)的对称点是£(-x,y,-z)：点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(-x,-W,z)：点P关于坐标平面xQy的对称点是P,(x,y,-z)：点P关于坐标平面火五的对称点是己(-x,y,z)：点P关于坐标平面xOz的对称点是打(x,-y,z).要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间稣公式空间中有两点A(x i,y l,z l\B(x2,y2,z2).则此两点间的距离d =| AB |=』成-誓 +3i 一巧)2 +(Z| -z?)2 .特别地，点s(x,y,z)与原点间的距离公式为OA = ylx 2+y 2+z 2 .2.空间线段中点坐标空间中有两点力(石5,4),8(.弓况工2),则线段AB 的中点C 的坐标为(立罗2_,土21,丑|冬).【典型例题】类型一：空间坐标系例1.在正方体ABCD —中，E 、F 分别是BB r 的中点，棱长为］,建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。

第二节空间直角坐标系向量的坐标本节将建立空间的点及向量与有序数组的对应关系，引进研究向量的代数方法，从而建立代数方法与几何直观的联系.分布图示★空间直角坐标系★坐标面与卦限★空间点与坐标的对应关系★空间两点间的距离公式★例1★例2★向量的坐标★向量的代数运算★例3★例4★向量的模与方向余弦★例5★例6★例7★例8★例9★向量在轴上的投影★例10★内容小结★课堂练习★习题8 –2 ★返回内容要点一、空间直角坐标系二、空间两点间的距离三、向量的坐标表示四、向量的代数运算五、向量的模与方向余弦六、向量在轴上的投影性质1（为向量与轴的夹角）;性质2 ;性质3（为实数）.例题选讲例1 求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解从而原结论成立.空间两点间的距离例2 (E01)设P在x轴上, 它到的距离为到点的距离的两倍, 求点P的坐标.解因为在轴上，设点坐标为所求点为向量的代数运算例3 (E02) 设求在y轴上的分向量.解在轴上的坐标为13，在轴上的分向量为例4 (E03) 已知两点和以及实数试在有向线段上求一点，使.解如图，由于因此所以代入得故所求点为注: 本例中的点称为有向线段的定比分点,特别地，当为的中点，其坐标为例5 求平行于向量的单位向量.解所求向量有两个，一个与同向，一个反向.或向量的模与方向余弦例6 (E04) 已知两点和，求与向量平行的向量的单位向量.解所求向量有两个，一个与同向,一个与反向.因为所以故所求向量为例7 (E05) 已知两点和, 计算向量的模、方向余弦和方向角.解例8 设有向量, 已知它与x轴和y轴的夹角分别为和, 如果的坐标为(1, 0, 3), 求的坐标.解设向量的方向角为或设的坐标为的坐标为例9 设点位于第卦限, 向径与轴、轴的夹角依次为和，且求点的坐标.解由关系式因为在第卦限，知故于是点的坐标为向量在轴上的投影例10 (E06) 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为OA, 且求在方向上的投影解如图(见系统演示)，记有于是课堂练习1. 给定两点: 在轴上有一点, 满足求点的坐标.2. 从点沿向量方向取长为34的线段, 求点的坐标.。

第六节空间直角坐标系及空间向量的线性运算复习目标学法指导1.会确定空间点的坐标.2.会求直线方向向量及平面法向量.3.会进行空间向量的几何运算及代数运算.4.会进行空间向量的数量积及坐标运算. 1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个数组成的有序数组.2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,平面的法向量与平面上的任何直线都垂直.3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量类似.4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达直线、平面位置关系.一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x 轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M 的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标. 2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式①设点A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则②点P(x,y,z)与坐标原点O 之间的距离为 .(2)中点公式设点P(x,y,z)为线段P 1P 2的中点,其中P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则有121212,2,2.2x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩3.空间向量的有关概念向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 a∥b共面向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量概念理解(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称ABu u u r为直线l的方向向量,与ABu u u r平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为0,0.n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ (4)共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b ≠0. (5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量. 二、数量积与坐标运算 1.数量积及相关概念(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA u u u r =a,OB u u u r=b,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=π2,则称向量a 与b 互相垂直,记作a ⊥b.若<a,b>=0,则称向量a 与b 同向共线,若<a,b>=π,则称向量a 与b 反向共线. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b 的数量积,记作 a ·b,即a ·b=|a||b|cos<a,b>. 2.两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量a 和b.(1)a ·e=|a|cos<a,e>(其中e 为单位向量). (2)a ⊥b ⇔a ·b=0. (3)cos<a,b>=a b a b⋅.(4)a 2=a ·a=|a|2,|a|=.(5)|a ·b|≤|a||b|.3.空间向量数量积的运算律 (1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a ·b).(2)交换律:a ·b=b ·a.(3)分配律:a ·(b+c)=a ·b+a·c. 4.向量坐标的定义设i,j,k 为空间三个两两垂直的单位向量,如果OP u u u r=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量OP u u u r的坐标. 5.空间向量运算的坐标表示 设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),那么(1)加、减运算:a ±b=(x 1±x 2,y 1±y 2,z 1±z 2). (2)数量积:a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. (3)夹角公式:cos<a,b>=121212222222111222x y z x y z ++++.(4)模长公式:|a|=a a ⋅=222111x y z ++.(5)数乘运算:λa=(λx 1,λy 1,λz 1)(λ∈R).(6)平行的充要条件:a ∥b ⇔x 1=λx 2,y 1=λy 2,z 1=λz 2(λ∈R). (7)垂直的充要条件:a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.1.概念理解(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致. (3)向量OP u u u r的坐标是终点坐标减去起点坐标.(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.2.与数量积及坐标运算相关联的结论(1)aa表示单位向量.(2)|a|2=a·a.(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG u u u r=2xABu u u r+3yBCu u u r+3zHDu u u r,则x+y+z等于( D )(A)76(B)23(C)56(D)12解析:因为AG u u u r=AB u u u r+BC u u u r-HD u u u r,所以21,31,31,xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以1,21,31,3xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以x+y+z=12.故选D.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB u u u r,AD u u u r,1AAu u u r两两的夹角均为60°,且|AB u u u r|=1,|AD u u u r|=2,|1AAu u u r|=3,则|1ACu u u u r|等于( A )(A)5 (B)6 (C)4 (D)8解析:设AB u u u r=a,AD u u u r=b,1AAu u u r=c,则1ACu u u u r=a+b+c,21ACu u u u r=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|1ACu u u u r|=5.故选A.3.在空间四边形ABCD中,AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r +AD u u u r·BC u u u r等于( B )(A)-1 (B)0(C)1 (D)不确定解析:如图,令AB u u u r=a,AC u u u r=b,AD u u u r=c,则AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r+AD u u u r·BC u u u r=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.考点一空间直角坐标系[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|= ;点A到坐标平面yOz的距离是.解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,得|OA|=()()()222-+-+-=3.102020因为A(1,2,2),所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.答案:3 1(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy (x,y,-z)坐标平面yOz (-x,y,z)坐标平面zOx (x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度;②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为( A )(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.考点二空间向量的线性运算[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重u u u u r.心,用基向量OA u u u r,OB u u u r,OC u u u r表示OG u u u r,MG解:OG u u u r =OA u u u r +AG u u u r=OA u u u r +23AN u u u r=OA u u u r +23(ON u u u r -OA u u u r)=OA u u u r+23[12(OB u u u r +OC u u u r )-OA u u u r]=13OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. MG u u u u r =OG u u u r -OM u u u u r=OG u u u r -12OA u u u r=13OA u u u r +13OB u u u r +13OC u u u r -12OA u u u r=-16OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示OG u u u r ,MG u u u u r等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N 分别是对边OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且分MN 所成的比为2,现用基向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示向量OG u u u r ,设OG u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r+z OCu u u r ,则x,y,z 的值分别是( D ) (A)x=13,y=13,z=13(B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=13解析:设OA u u u r =a,OB u u u r =b,OC u u u r=c, 因为G 分MN 所成的比为2,所以MG u u u u r =23MN u u u u r, 所以OG u u u r=OM u u u u r +MG u u u u r =OM u u u u r +23(ON u u u r -OM u u u u r) =12a+23(12b+12c-12a) =12a+13b+13c-13a =16a+13b+13c, 即x=16,y=13,z=13. 考点三 空间向量的数量积与坐标运算[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB u u u r ,b=AC u u u r,(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b 与ka-2b 互相垂直,求k 的值.解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB u u u r,b=AC u u u r,所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2). (1)cos θ=a b a b⋅=10025-++⨯=-1010,所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-1010.解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 解得k=-52或k=2. (1)求空间向量数量积的方法①定义法.设向量a,b 的夹角为θ,则a ·b=|a||b|cos θ; ②坐标法.设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. ③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算. (2)数量积的应用①求夹角.设非零向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a b a b⋅,进而可求两异面直线所成的角;②求长度(距离).运用公式|a|2=a ·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;③解决垂直问题.利用a ⊥b ⇔a ·b=0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD 中,E,F 分别为直线AB,CD 上的动点,且3若记EF 中点P 的轨迹为L,则|L|等于 .(注:|L|表示L 的测度,在本题,L 为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积)解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,设E(0,y 1,y 1),F(2,y 2,2-y 2),P(x,y,z),|EF|=()()()222121222yy y y +-+-+=3,即(y 1-y 2)2+(y 1+y 2-2)2=1,又12122,22x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩即121222,2x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪+-⎪⎪⎩代入上式得2222=1,即2)22)2=14,即P 的轨迹为半径为12的圆,周长为|L|=2πr=π. 答案:π2.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,M为BC 的中点,则△AMD 是( C )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:因为M 为BC 的中点, 所以AM u u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r).所以AM u u u u r·AD u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r )·AD u u u r=12AB u u u r·AD u u u r +12AC u u u r ·AD u u u r=0.所以AM ⊥AD,即△AMD 为直角三角形. 考点四 易错辨析[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(32,12,0),点D 在平面yOz 内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求OD u u u r的坐标;(2)设AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,求cos θ的值.解:(1)如图所示,过D 作DE ⊥BC,垂足为E.在Rt △DCB 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3.所以DE=CDsin 30°3.OE=OB-BDcos 60°=1-12=12.所以D 点坐标为(0,-12,3),即OD u u u r的坐标为(0,-12,3).解:(2)依题意,OA u u u r=(3, 12,0), OB u u u r =(0,-1,0), OC u u u r=(0,1,0),所以AD u u u r =OD u u u r -OA u u u r=(-3,-1,3),BC u u u r =OC u u u r -OB u u u r=(0,2,0).由AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,得 cos θ=AD BC AD BC⋅u u u r u u u ru u u r u u u r=()()2222223301202233102022-⨯+-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫-+-+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-10.所以cos θ=-10.解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误. (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.类型一 空间直角坐标系1.在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,设OA u u u r=a, OB u u u r=b,OC u u u r =c,则OD u u u r可表示为(A )(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a (D)a+c-2b 解析:因为OA u u u r=a,OB u u u r=b,OC u u u r=c,在▱ABCD 中,BA u u u r =OA u u u r -OB u u u r =a-b,OD u u u r - OC u u u r =CD u u u r =BA u u u r=a-b, 所以OD u u u r=OC u u u r+CD u u u r =a-b+c.故选A.2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r +z OC u u u r(x,y,z ∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的( B ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:当x=2,y=-3,z=2时, 即OP u u u r=2OA u u u r-3OB u u u r+2OC u u u r.则AP u u u r -AO u u u r =2OA u u u r -3(AB u u u r -AO u u u r )+2(AC u u u r -AO u u u r), 即AP u u u r=-3AB u u u r +2AC u u u r,根据共面向量定理知,P,A,B,C 四点共面; 反之,当P,A,B,C 四点共面时,根据共面向量定理, 设AP u u u r =m AB u u u r +n AC u u u r(m,n ∈R), 即OP u u u r-OA u u u r=m(OB u u u r-OA u u u r)+n(OC u u u r-OA u u u r), 即OP u u u r=(1-m-n)OA u u u r+m OB u u u r+n OC u u u r,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件.故选B.3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a ⊥b,则|b|= . 解析:因为a ⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2, 故|b|=()222422-++=26.答案:26类型二 空间向量线性运算4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r化简后的结果是( A )(A)1BD u u u u r (B)1D B u u u u r (C)1B D u u u u r (D)1DB u u u u r解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r =BA u u u r +BC u u u r +1BB u u u r =1BD u u u u r,故选A.类型三 空间向量数量积及坐标运算5.点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA u u u r·1PC u u u u r 的取值范围是(D )(A)[-1,-14] (B)[-12,-14] (C)[-1,0] (D)[-12,0] 解析:如图,以D 1为原点,以D 1C 1,D 1A 1,D 1D 方向为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C 1(1,0,0),P(x,y,0), PA u u u r=(-x,1-y,1),1PC u u u u r=(1-x,-y,0), PA u u u r ·1PC u u u u r =(x-12)2+(y-12)2-12,(其中0≤x ≤1,0≤y ≤1),所以PA u u u r ·1PC u u u u r的取值范围是[-12,0].故选D.6.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E,F 分别是BC,AD 的中点,则AE u u u r ·AF u u u r 的值为( C )(A)a 2 (B)12a 2 (C)14a 2(a 2解析:AE u u u r ·AF u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r)·12AD u u u r =14(AB u u u r ·AD u u u r +AC u u u r ·AD u u u r)=14(a 2cos 60°+a 2cos 60°)=14a 2.故选C. 7.在四棱锥P-ABCD 中,AB u u u r =(4,-2,3),AD u u u r=(-4,1,0),AP u u u r=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于( B )(A)1 (B)2 (C)13 (D)26解析:设平面ABCD 的法向量为n=(x,y,z),则,,n AB n AD ⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r ⊥⊥⇒4230,40,x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令y=4,则n=(1,4,43), 则h=n AP n⋅u u u r=326833-+-=2.故选B.8.OA u u u r=(1,2,3),OB u u u r=(2,1,2),OP u u u r=(1,1,2)(其中O 为坐标原点),点Q 在OP 上运动,当QA u u u r ·QB u u u r取最小值时,点Q 的坐标为( C )(A)( 12,34,13) (B)( 12,23,34) (C)( 43,43,83) (D)( 43,43,73) 解析:设OQ u u u r =λOP u u u r=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ), 则QA u u u r=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB u u u r=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA u u u r ·QB u u u r=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6(λ-43)2-23.当λ=43时,QA u u u r ·QB u u u r取得最小值,此时Q(43,43,83).故选C.9.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,则△BCD是( B )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:BC u u u r ·BC u u u r =(AD u u u r -AB u u u r )·(AC u u u r -AB u u u r) =AD u u u r ·AC u u u r -AD u u u r ·AB u u u r -AB u u u r ·AC u u u r +2AB u u u r =2AB u u u r >0,所以cos ∠DBC>0,∠DBC 为锐角, 同理∠BDC,∠BCD 为锐角. 所以△BCD 为锐角三角形,故选B.。

空间直角坐标系与大地坐标系的区别一、介绍在地理和测绘学领域，空间直角坐标系和大地坐标系都是常用的坐标系统。

它们在表示和定位地球表面和地下空间位置时起着重要作用。

两者在概念、原理和应用上有着明显的区别，本文将从深度和广度两个方面对空间直角坐标系和大地坐标系进行全面评估，以便更好地理解它们的特点和适用范围。

二、概念和原理解析1. 空间直角坐标系空间直角坐标系是以直角坐标系为基础的三维坐标系统，其中的位置点由三个相互垂直的轴表示，分别为X轴、Y轴和Z轴。

在空间直角坐标系中，一个点的位置可由其在三个轴上的投影相对于坐标原点的距离来确定。

这种坐标系统适用于描述和定位地球表面之上的点位，并被广泛应用于工程测量、地理信息系统等领域。

2. 大地坐标系大地坐标系是以地球椭球体表面的地理坐标系为基础的三维坐标系统，其中的位置点由经度、纬度和高程三个参数来表示。

在大地坐标系中，经度和纬度确定了地球表面上的一个点的位置，高程则表示该点相对于平均海平面的垂直高度。

这种坐标系统适用于描述和定位地球表面和地下空间的点位，其精度和稳定性比空间直角坐标系更高。

三、深度分析1. 空间直角坐标系的特点在空间直角坐标系中，点的位置由X、Y、Z三个参数表示，可直观地描述位置之间的相对关系，适用于大规模工程测量和地理信息系统建设。

它的数学表达简单明了，易于计算和处理。

2. 大地坐标系的特点大地坐标系以地球椭球体表面的地理坐标为基础，能够准确描述地球表面的位置，具有较高的精度和稳定性。

其坐标参数经度和纬度可以准确地表示地理位置，高程参数则可用来描述地形和地势特征。

四、广度探讨1. 空间直角坐标系的应用空间直角坐标系广泛应用于工程测量、地图制图、城市规划等领域，能够准确表示建筑物、道路、地形等物体的位置和形状，支持复杂空间信息的处理和分析。

2. 大地坐标系的应用大地坐标系主要用于地理信息系统、卫星定位、导航等领域，能够精确表示地球表面上点位的地理位置和高程信息，支持地球科学研究和定位导航技术的发展。

空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是我们在学习数学、物理等科学领域常常遇到的一个重要概念。

它是一种表示三维空间中点位置的方法，通过三个相互垂直的坐标轴来确定点的位置。

本文将介绍空间直角坐标系的基本概念、坐标轴的方向以及一些常见的知识点。

一、空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴构成的。

我们可以将这三个坐标轴分别标记为X轴、Y轴和Z轴。

在空间直角坐标系中，任意一个点的位置可以通过它在每一个坐标轴上的投影来确定。

在空间直角坐标系中，我们通常用（x，y，z）来表示一个点的坐标，其中x代表该点在X轴上的位置，y代表该点在Y轴上的位置，z代表该点在Z轴上的位置。

这三个坐标分别是实数。

二、坐标轴的方向在空间直角坐标系中，坐标轴的方向是固定的。

X轴的正方向为从左向右，Y轴的正方向为从下向上，Z轴的正方向为从后向前。

这个规定是为了统一表示、计算和解析几何的方向。

需要注意的是，不同的学科、领域可能对坐标轴的方向有所不同。

在一些物理学或工程学的问题中，X轴的正方向可能定义为从右向左，Y轴的正方向可能定义为从上向下，Z轴的正方向可能定义为从前向后。

因此，在应用空间直角坐标系时，我们需要根据具体问题确定坐标轴的方向。

三、常见的空间直角坐标系知识点1. 距离公式：在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理计算。

设两点分别为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。

2. 坐标轴的平面：由X轴和Y轴组成的平面叫做XY平面，由X轴和Z轴组成的平面叫做XZ平面，由Y轴和Z轴组成的平面叫做YZ平面。

3. 坐标轴上的投影：在空间直角坐标系中，一个点在某个坐标轴上的投影就是它在该坐标轴上的坐标。

例如，一个点的投影坐标为（x，y，0），表示该点在XY平面上。

4. 坐标轴的正向和负向：在一个坐标轴上，正向是指从原点指向无穷大的方向，负向是指从原点指向负无穷大的方向。

柱、球坐标系与空间直角坐标系的区别
1．柱、球坐标系与空间直角坐标系的区别
【知识点的认识】
空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？
（1）柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置．
（2）空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组．
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