四川省成都市石室中学2018年_2018年学年高二10月月考数学(文)试题含解析
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成都石室中学2017—2018学年度上期高2019届10月月考数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若直线过圆的圆心，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，可得圆心坐标为，若直线过圆的圆心，则，解得，故选A.2. 若表示两条直线，表示平面，下列说法中正确的为（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】对于选项A，与可能平行，也可能在平面内，故A不正确。
对于选项B，与可能平行、相交、垂直，故B不正确。
对于选项C，由线面垂直的定义可得必有，故C正确。
对于选项D，与可能相交、平行或异面，故D不正确。
选C。
3. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，且短轴长为，则此椭圆的方程为（）A. B. C. D.【答案】A4. 焦点在轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是（）A. B. C. D.【答案】C........................5. 设双曲线的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知2b=2,2c=2,∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.6. 设直线与椭圆交于两点，为坐标原点.若是直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】椭圆的两个焦点与两点是直角三角形，，即，，故选C.【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质以及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据在椭圆上找出之间的关系，从而求出离心率．7. 直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则，当且仅当且，即时等号成立。
又，所以或。
即直线的倾斜角的取值范围为。
选B。
8. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体，截去两个侧棱互相垂直的正三棱锥，侧棱长为1，所以该几何体的表面积为，故选A．考点：1、空间几何体的三视图；2、多面体的表面积．9. 在正三棱柱中，点为的中点，点是线段上的动点，则关于点到平面的距离说法正确的是（）A. 点运动到点时距离最小B. 点运动到线段的中点时距离最大C. 点运动到点时距离最大D. 点到平面的距离为定值【答案】D【解析】如图，取的中点，连。
由三棱柱的有关知识可得，又，所以平面平面。
因为平面，所以平面，因此线段上的点到平面的距离为定值。
选D。
10. 如果点既在平面区域上，且又在曲线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的所示，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，结合图形可得当直线与椭圆相切时，椭圆和不等式组表示的平面区域才有公共点。
由消去x整理得，令，解得或（舍去）。
所以的最小值为。
选C。
11. 设为双曲线的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设,则。
在中由余弦定理可得。
∴,∴为直角三角形，且。
设双曲线的右焦点为F1，连P F1,Q F1，由题意可得点关于原点对称，所以四边形FPF1Q为矩形，因此。
由双曲线的定义得，又，所以，，在中，由勾股定理得，即，整理得，∴。
即该双曲线的离心率为。
选B。
12. 设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵点在椭圆的外部,则，解得，∴，即。
由椭圆的定义得，,∵恒成立，∴，解得，即。
所以椭圆离心率的取值范围是。
选D。
点睛：（1）解决圆锥曲线问题时要注意常见结论的运用，如在本题中用到了椭圆的通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）长的结论。
（2）注意平面几何知识的运用，对于本题中的恒成立问题，只需要的最大值小于即可，在求得最大值时可用平面几何的有关知识解决。
第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 双曲线的一个焦点到其渐近线距离为，则的值为__________．【答案】【解析】双曲线的一个焦点，一条渐近线方程为，双曲线的焦点到渐近线的距离为，由点到直线距离公式可得，，解得，故答案为.14. 经过点作椭圆的弦，使得点平分弦，则弦所在直线的方程为__________．【答案】【解析】设，则，，两式相减，可化为，直线的方程为，即，故答案为..【方法点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的方程、直线的方程及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.15. 椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆的周长为，两点的坐标分别为，，则__________．【答案】【解析】在椭圆中，。
∵的内切圆的周长为，∴内切圆的半径为。
由椭圆的定义得的周长为，又且，∴，解得。
答案：。
点睛：本题的解答中运用了数学中“算两次”的方法，即从两个不同的角度分别求出了的面积，从而建立了关于的关系式，使得问题得以求解。
对于圆锥曲线的问题，一定要注意定义的运用，这样可简化解题过程中的推理和运算。
16. 已知两定点，和一动点，给出下列结论：①若，则点的轨迹是椭圆；②若，则点的轨迹是双曲线；③若，则点的轨迹是圆；④若，则点的轨迹关于原点对称；⑤若直线与斜率之积等于，则点的轨迹是椭圆（除长轴两端点）．其中正确的是__________（填序号）．【答案】③④【解析】对于①，由于，所以点的轨迹是线段，①不正确；对于②，由于，故点的轨迹是双曲线的右支，②不正确；对于③，设，由题意得，整理得，∵，∴，∴点的轨迹是圆，③正确。
对于④，设，则。
又点关于原点的对称点为，∵，∴点也在曲线上，即点的轨迹关于原点对称。
故④正确。
对于⑤，设，则，由题意得，整理得。
此方程不一定表示椭圆。
⑤不正确。
综上，正确的结论是③④。
答案：③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，角所对的边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦公式可得，再利用诱导公式以及两角和与差的正弦公式可得结果；（2）利用正弦定理由正弦定理得结合（1）的结论可得，从而即可求出结果.试题解析：（1），故，∴.（2）由正弦定理得，由（1）知，∴，∴或，∴或.18. 已知圆经过和，且圆在直线上，（1）求圆的标准方程；（2）若直线垂直于直线且与圆相切．求直线的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求出和的中点坐标，可求得的中垂线方程，的中垂线方程与直线联立，可得圆心坐标，再利用两点间距离公式可求得圆的半径，从而可得圆的方程；（2）设直线为，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出的值，从而可得结果.试题解析：（1）设的中点为，圆经过点和的坐标为，则的中垂线方程为，即，点在直线上，则，得，则圆心为，则半径为，则圆的标准方程为，综上所述，圆的标准方程为. （2）直线垂直于直线设直线为，直线与圆相切，或，则直线为或，综上所述，直线为或.19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，.（1）设是上的一点，证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）在中，由已知可得，得到，由平面与平面垂直的性质，可得平面，进一步得到平面平面；（2）过作交于，由于平面平面，得到为四棱锥的高，求出四边形的面积，代入棱锥体积公式求得四棱锥的体积.试题解析：（1）在中，∵，，，∴. ∴.又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）过作交于，∵平面平面，∴平面.即为四棱锥的高.又∵是边长为4的等边三角形，∴.在中，斜边边长的高为，此即为梯形高∴梯形的面积.故.20. 设数列满足，，.（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知得，证的数列为等比数列，进而可求解数列的通项公式；（2）由（1），可得，利用裂项求和，即可求解数列的和．试题解析：（1）证明：由已知得，即，∴数列为等比数列，公比为2，首项为，∴，∴．．．．6分（2）解：，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：等比数列的通项公式；数列的求和．21. 已知双曲线渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。
试题解析：（Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为，∴设双曲线方程为，∵点在双曲线上．∴，∴。
∴双曲线方程为，即。
（Ⅱ）由题意知。
设直线方程为，由，解得，∴。
由直线方程为.以代替上式中的，可得。
∴。
22. 已知圆，圆心为，定点，为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）分析题意可得点满足的几何条件，根据椭圆的定义可得轨迹，从而可求得轨迹方程；（Ⅱ）先由直线与相切得到，将直线方程与椭圆方程联立，并结合一元二次方程根与系数的关系可得，由且，进一步得到k的范围，最后根据三角形面积公式并结合函数的单调性求的取值范围。
试题解析：（Ⅰ）∵∴为线段中点∵∴为线段的中垂线∴∵∴由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的标准方程为，则，，∴。
∴点的轨迹的方程为。
（Ⅱ）∵圆与直线相切，∴，即，由，消去.∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，将代入上式，可得，设，，则，，∴，∴∴，∵，解得.满足。
又，设，则.∴，∴故面积的取值范围为。
点睛：解决解析几何综合题时一般会涉及到复杂的运算，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求”、“整体代换”的方法，以简化计算。
