第二节 定积分在实际问题中的应用 Application of Definite Integral
教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截
面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题.
内 容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用. 教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积.
教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积
教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积 教学内容:
一、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积
设函数12(),()y f x y f x ==均在区间[,]a b 上连续,且12()(),[,]f x f x x a b ≥∈,现计算由12(),(),,y f x y f x x a x b ====所围成的平面图形的面积.
分析求解如下:
(1) 如图6-3所示,该图形对应变量x 的变化区间为[,]a b ,且所求平面图形的面积S 对区间[,]a b 具有可加性.
(2) 在区间[,]a b 内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以dx 为底,12()()f x f x -为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为
12[()()]dS f x f x dx =-
(3) 所求图形的面积
22[()()]b
a
S f x f x dx =-⎰
图6-3
【例1】 求曲线x
y e =，直线0,1x x ==及0y =所围成的平面图形的面积.
解 对应变量x 的变化区间为[0,1],在[0,1]内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应小窄条的面积用以dx 为底,以()()0x
x
f x
g x e e -=-=为高的矩形的面积近似代替,即面积微元
x dS e dx =
于是所求面积
1
10
1x x
S e dx e e ===-⎰
【例2】 求曲线2y x =及2
2y x =-所围成的平面图形的面积.
解 由2
2
2y x y x ⎧=⎨=-⎩
求出交点坐标为(1,1)-和(1,1),积分变量x 的变化区间为[1,1]-,面积微元 [()()]dS f x g x dx =-
即
222
(2)2(1)dS x x dx x dx
=--=-
于是所求面积
1
21
1
20
22(1)4(1)1140383
S x dx
x dx
x x -=-=-⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭=⎰⎰
若平面图形是由连续曲线(),(),(()()),,x y x y y y y c y d ϕψψϕ==≤==所围成的,其面积应如何表达呢?
分析求解如下:
(1) 对应变量y 的变化区间为[,]c d ,且所求面积S 对区间[,]c d 具有可加性. (2) 在y 的变化区间[,]c d 内任取一小区间[,]y y dy +,其所对应的小曲边梯形的面积可用以()()y y ϕψ-为长,以dy 为宽的矩形面积近似代替,即面积微元为
[()()]dS y y dy ϕψ=-
于是所求面积
[()()]d
c
S y y dy ϕψ=-⎰
【例3】 求曲线2
x y =,直线2y x =-所围成的平面图形的面积.
解 由2
2
x y y x ⎧=⎨=-⎩解得交点坐标为(1,1)-和(4,2),则对应变量y 的变化区间为[1,2]-,
此时2
()2,()y y y y ϕψ=+=,则面积微元
2[()()](2)dS y y dy
y y dy
ϕψ=-=+-
于是所求面积
2
2
21
1
2
3(2)211212
392
S dS y y dy
y y y --==+-⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭=⎰⎰
【例4】 求由2
y x =及y x =所围成的平面图形的面积.
解 为了确定积分变量的变化范围,首先求交点的坐标.
由2y x y x ⎧=⎨=⎩
得交点(0,0),(1,1).
方法一
选x 为积分变量,则对应x 的变化区间为[0,1],此时(),f x x =2
()g x x =面积微元
2[()()]()dS f x g x dx x x dx =-=-
于是
1
20
23()11111102
3236S x x dx
x x =-⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭⎰
方法二
选y 为积分变量,对应y 的变化区间为[0,1],
此时()y ϕ=
,()y y ψ=则面积微元
[()()])dS y y dy y dy ϕψ=-=
于是
1
322)12103
2211326
S y dy
y y =⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-=⎰
注:由此例可知,积分变量的选取不是唯一的,但在有些问题中,积分变量选择的不同,求解问题的难易程度也会不同.
【例5】 求椭圆22
221x y a b
+=的面积.
解 椭圆关于x 轴,y 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即
10
44a
S S ydx ==⎰
利用椭圆的参数方程
cos sin x a t
y b t
=⎧⎨
=⎩ 应用定积分的换元法,sin dx a tdt =-,且当0x =时,,2
t x a π
=
=时,0t =,于是
2
220
2
4sin (cos )4sin 1cos242
14sin 22240
S b t a t dt
ab tdt
t
ab dt t ab t ab
ππ
π
π
π=-=-=⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰
