平行四边形
【知识脉络】
【基础知识】
Ⅰ. 平行四边形
（1）平行四边形性质
1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2）平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面） ： A
B D
O C
边：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等；
角：③平行四边形的两组对角分别相等；
对角线：④平行四边形的对角线互相平分.
【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.
（2）平行四边形判定
1）平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）：
A B D
O C
边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2）三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
4）平行线间的距离：
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
两条平行线间的距离处处相等。
Ⅱ. 矩形
（1）矩形的性质
1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2）矩形的性质：
①矩形具有平行四边形的所有性质；
②矩形的四个角都是直角；
③矩形的对角线相等；
④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线的交点.
（2）矩形的判定
1）矩形的判定：
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有三个角是直角的四边形是矩形.
2）证明一个四边形是矩形的步骤：
方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等；
方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角. 3）直角三角形斜边中线定理：（如右图） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. Ⅲ. 菱形
（1）菱形的性质
1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2）菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的所有性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点.
3）菱形的面积公式：
菱形的两条对角线的长分别为b a ，，则ab S 2
1
菱形 （2）菱形的判定
1）菱形的判定：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边都相等的四边形是菱形.
2）证明一个四边形是菱形的步骤：
方法一：先证明它是一个平行四边形，然后证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”； 方法二：直接证明“四条边相等”.
Ⅳ. 正方形
（1）正方形的性质
1）正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2）正方形的性质：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即①正方形的四条边都相等；②四个角
都是直角；③对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角.
3）正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，对角线的交点是对称中心.
（2）正方形的判定
1）正方形的判定：
①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形；
③对角线互相垂直的矩形是正方形；
④有一个角是直角的菱形是正方形；
⑤对角线相等的菱形是正方形；
⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
中点四边形
1、顺次连接四边形各边中点所围成四边形是平行四边形
2、顺次连接菱形各边中点所围成四边形是矩形
3、顺次连接矩形各边中点所围成四边形是菱形
4、顺次连接等腰梯形各边中点所围成四边形是菱形
5、顺次连接正方形各边中点所围成四边形是正方形
例：如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准确的是（）
A．矩形
B．等腰梯形
C．菱形
D．对角线相等的四边形
解：矩形，等腰梯形均能得到菱形但不够全面，菱形无法得到菱形，即只要对角线相等不管是什么形状均可，故选D．
