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中考四边形与三角形复习要求是，能运用这些图形进行镶嵌，你一定会计算特别的初中数学四边形，能依据图形的条件把四边形面积均分。
可以对初中数学特别四边形的判断方法与联系深刻理解。
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的观点、性质和常用鉴别方法，特别是梯形增添协助线的常用方法．掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。
会画出四边形全等变换后的图形，会联合有关的知识解题．联合几何中的其余知识解答一些有探究性、开放性的问题，提升解决问题的能力·（一）、平行四边形的定义、性质及判断．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线相互均分．3．判断：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线相互均分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．（二）、矩形的定义、性质及判断．1- 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3．判断：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．（三）、菱形的定义、性质及判断．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。
(2)菱形的对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角(3)菱形被两条对角线分红四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：s 菱=争 6(n 、6 分别为对角线长 ) ．3．判断： (1) 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．（四）、正方形定义、性质及判断．'1．定义：有一组邻边相等而且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质： (1) 正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，而且相互垂直均分，每条对角线均分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分红两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是 45。
四边形综合--中考数学必考考点总结+题型专训知识回顾1.平行四边形的性质：①边的性质：两组对边分别平行且相等。
②角的性质：对角相等，邻角互补。
③对角线的性质：对角线相互平分。
即对角线交点是两条对角线的中点。
④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。
⑤面积计算：等于底乘底边上的高。
等底等高的两个平行四边形的面积相等。
2.平行四边形的判定：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。
符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠，∴四边行ABCD是平行四边形④对角线相互平行的四边形是平行四边形。
∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形3.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.矩形的判定：（1）直接判定：有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。
（2）利用平行四边形判定：①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。
②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。
5.菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。
④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。
⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。
6.菱形的判定：（1）直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。
四边形知识点总结6．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形⇒⎪⎩⎪⎨⎧.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（ 等腰梯形的判定：⎪⎭⎪⎬⎫+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321⇒ABCD 是等腰梯形 7．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 注：被中位线分成的三角形的周长是原三角形的1/2 被中位线分成的三角形的面积是原三角形的1/48．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 注：梯形的面积等于中位线乘高.第二部分、常用的辅助线技巧1.平行四边形与特殊的平行四边形常见的辅助线：①.平行四边形:（1）连对角线或平移对角线 （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 ②.菱形：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.注意：当菱形有一个内角为60°或有一条高垂直平分底边时连接对角线即可得到等边三角形。
③．矩形：计算题型（翻折问题），一般通过作辅助线（垂线等）构造直角三角形借助勾股定理解题 证明题型（探究问题），一般连接对角线借助对角线相等来解决问题注意：当矩形的对角线与一边（或另一条对角线）的夹角为60°时，其对角线与边长围成的三角形是等边三角形。
④．正方形：连接对角线 2．梯形中常见的辅助线：①．延长两腰交于一点（使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
）②．平移一腰（使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
）③．作高（使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
）④.平移一条对角线(得到平行四边形ACED ，使CE=AD ，BE 等于上、下底的和，S 梯形ABCD =S DBE ）⑤.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
（可得△ADE ≌△FCE ，所以使S 梯形ABCD =S △ABF .）。
八年级下四边形知识点经典题型要点总结在八年级下册的数学学习中，四边形是一个重要的几何图形，其中包括了矩形、正方形、菱形、平行四边形、梯形等等。
通过对于这些四边形的学习和掌握，不仅可以提高我们的空间想象力，还有助于解决实际问题。
在本文中，我们将总结四边形的知识点和经典题型要点，帮助大家更好地掌握这一部分内容。
1. 矩形矩形是一个具有四个直角的四边形，其特点是对角线相等，对边平行且相等。
矩形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 2 × (长 + 宽)- 面积计算公式：面积 = 长 ×宽- 对角线长度相等：对角线长度等于 $\sqrt{长^2 + 宽^2}$2. 正方形正方形是一种特殊的矩形，其特点是四个边和四个角都相等。
正方形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 4 ×边长- 面积计算公式：面积 = 边长 ×边长- 对角线长度：对角线长度等于边长 × $\sqrt{2}$3. 菱形菱形是一种具有对边平行且相等的四边形，其特点是所有角都是直角。
菱形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 4 ×边长- 面积计算公式：面积 = 对角线之积的一半- 对角线的长度关系：对角线互相垂直且相等4. 平行四边形平行四边形是一种具有对边平行且相等的四边形，其特点是对角线互相平分。
平行四边形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 2 × (边长1 + 边长2)- 面积计算公式：面积 = 底边 ×高- 对角线的长度和关系：对角线长度等于 $\sqrt{边长1^2 + 边长2^2 + 2×底边×高^2}$5. 梯形梯形是一种具有两条平行边的四边形，其特点是底边和顶边平行且相等。
梯形的相关要点包括：- 周长计算公式：周长 = 底边1 + 底边2 + 左斜边 + 右斜边- 面积计算公式：面积 = （底边1 + 底边2） ×高 / 2通过对于这些四边形的学习和掌握，我们可以更好地解决与其相关的问题。
中考四边形与三角形复习要求是，能运用这些图形进行镶嵌，你必须会计算特殊的初中数学四边形，能根据图形的条件把四边形面积等分。
能够对初中数学特殊四边形的判定方法与联系深刻理解。
掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅助线的常用方法．掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。
会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题．结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力·（一）、平行四边形的定义、性质及判定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．（二）、矩形的定义、性质及判定．1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．（三）、菱形的定义、性质及判定．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：s菱=争6(n、6分别为对角线长)．3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．（四）、正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是45。
知识点总结1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形这个定义包含两层意义：①四边形；②两组对边分别平行2．对角线的定义平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线3．平行四边形的性质①从边看：平行四边形的对边平行且相等②从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补③从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点4．平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．5.平行四边形的判别方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③两组对边分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形6.平行四边形的性质与判定的区别平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形7.矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形8.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质②矩形的四个角都是直角③矩形的对角线相等④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴9.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形②对角线相等的平行四边形是矩形③有三个角是直角的四边形是矩形另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形10.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半11.矩形对角线产生的三角形的特点矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形12.有关矩形面积的计算①面积公式:矩形面积=长⨯宽②如图.矩形ABCD的两条对角线相交于O,则14 ABO BCO CDO ADOS S S S S∆∆∆∆====矩形ABCDOAB CD13.菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形14.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质②菱形的四条边都相等③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴15.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②对角线互相垂直的平行四边形是菱形③四条边都相等四边形是菱形16.有关菱形的面积计算由于菱形的对角线互相垂直平分,11()22ABD CBDS S S BD OA OC BD AC ∆=+=+=⋅ABC DO也可以用平行四边形的面积计算公式=底⨯高17.正方形的定义一组邻边相等的矩形叫做正方形正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形18.正方形的性质正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质①边:四边相等,对边平行②角:四个角都是直角③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为45︒④正方形是轴对称图形,有四条对称轴19.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征②菱形+矩形的一条特征③平行四边形+一个直角+一组邻边相等说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形20.正方形对角线产生的三角形特点正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形21.正方形常用的辅助线添加方法①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题②有垂直时做垂线构造正方形③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件22.平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系一个内角为直角正方形菱形平行四边形矩形23.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高等腰梯形:两腰相等的梯形直角梯形:一腰垂直于底的梯形24.梯形的判定①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行②一组对边平行但不相等的四边形是梯形25.等腰梯形的性质①两底平行,两腰相等②等腰梯形在同一底上的两个角相等③等腰梯形的两条对角线相等④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴26.等腰梯形的判定①两腰相等的梯形是等腰梯形②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)27.梯形的面积面积=（上底+下底）×高÷228．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半梯形辅助线的添法（图一） （图二） （图三）（图四） （图五） （图六）（图七） （图八）基础题型1．如图在平行四边形ABCD 中，:5:3A B ∠∠=，求这个平行四边形各内角的度数ABCD解：四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，180A B ∠+∠=︒ 由于:5:3A B ∠∠=故设5A x ∠=，则3B x ∠=即53180x x +=︒解得22.5x =︒ 因此522.5112.5A ∠=⨯︒=︒，322.567.5B ∠=⨯︒=︒ ∴平行四边形各内角度数分别是112.5︒，67.5︒，112.5︒，67.5︒ ２．已知平行四边形ABCD 的周长为38cm ，AC ，BD 相交于O ，且AOB ∆的周长比BOC ∆的周长小于3cm ，如图，求平行四边形ABCD 各边的长 解：四边形ABCD 为平行四边形∴OA OC =，AB CD =，BC AD =AOB ∆的周长＝OA OB AB ++ BOC ∆的周长＝OC OB BC ++且AOB ∆的周长比BOC ∆的周长小于3cm ∴()()3OC OB BC OA OB BC ++-++= 3BC AB ∴-=又平行四边形ABCD 的周长为38cm ∴19BC AB +=∴8AB =cm ，11BC =cm ∴8CD =cm ，11AD =cm３．如图，已知：在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于E ，CF BD ⊥于F 求证：AE CF =DCBAEF证明：方法一：四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB CD ∥，AB CD = ∴ABE CDF ∠=∠ AE BD ⊥，CF BD ⊥ ∴AEB CFD ∠=∠∴()ABE CDF AAS ∆≅∆ ∴AE CF =O DCBAEF方法二：连接AC ，交BD 于O 四边形ABCD 是平行四边形∴OA OC =，又AE BD ⊥，CF BD ⊥ ∴AEO CFO ∠=∠，而AOE COF ∠=∠ ∴AEO CFO ∆≅∆（AAS ）∴AE CF = ４．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AC ，CA 延长线上的点，且CE AF =，则BF 与DE 具有怎么样的位置关系？试说明理由EF ABCD解：BF DE ∥证明：方法一：在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD =， ∴BAC DCA ∠=∠180BAC BAF ∠+∠=︒，180ACD DCE ∠+∠=︒ ∴BAF DCE ∠=∠又AF CE = ∴AFB CED ∆≅∆()SAS方法二．连接BD ，交AC 于O在平行四边形ABCD 中，AO CO =，BO DO = AF CE = ∴OF OE =FOB EOD ∠=∠ ∴BOF DOE ∆≅∆（SAS ） ∴F E ∠=∠ ∴BF DE ∥OEF ABC DOEF ABCD方法三．连接BD ，交AC 于O ，连接DF ，BE 由方法二知．OF OE =，OB OD = ∴四边形BEDF 为平行四边形 ∴BF DE ∥５．如图，已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，38AC =cm ，24BD =cm ，14AD =cm ，那么OBC ∆的周长为＿＿＿＿＿ODCBA解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知14BC AD ==cm ，11241222OB BD ==⨯=cm ，11381922OC AC ==⨯=cm∴OBC ∆的周长为14121945BC OB OC ++=++=cm６．如图平行四边形ABCD 中，EF AB ∥，GH AD ∥，EF 与GH 交于O ，则该图形中的平行四边形的个数共有（ ）Ａ．7 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ． 10FED CB AGHO由题意可知图中的平行四边形分别是：DEOH ，EAGO ，HOFC ，OGBF ，DAGH ，HGBC ，DEFC ，EABC ，DABC 所以共有9个７.如图，平行四边形ABCD 中，AF 平分DAB ∠交CD 于N ，交BC 的延长线于F ，DE AF ⊥，交AB 于M ，交CB 延长线于E ，垂足为O ，试证明：BE CF =ON MF EABCD证明：四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD BC ∥，AB CD ∥，AB CD =∴DAF F ∠=∠，ADE E ∠=∠，EDC AMD ∠=∠DE AF ⊥，∴90AOM AOD ∠=∠=︒ AF 平分DAB ∠，∴DAF BAF ∠=∠ OA OA = ∴AOM AOD ∆≅∆（ASA ）∴ADM AMD ∠=∠，BAF F ∠=∠，EDC E ∠=∠ ∴AB BF =，CD CE =BF CE ∴=∴BE CF =８．如图，已知：D ，E ，F 分别在ABC 的各边上，DE AF ∥，DE AF =，延长FD 到G ，使2FG FD =．求证：AG 与DE 互相平分．ABCDEFGABC D EF G证明：连接AD ，EG DE AF ∥，DE AF =∴四边形AEDF 是平行四边形 ∴DF AE =，DF AE ∥又2FG FD =∴12DG DF FG ==∴DG AE =，而DF AE ∥ ∴四边形AEGD 为平行四边形 ∴AG 与DE 互相平分９．如图，已知D 是ABC ∆的边AB 的中点，E 是AC 上的一点DF BE ∥，EF AB ∥试说明：AE 与DF 互相平分ABCDEFABCDE F证明：连接AF ，DE DF BE ∥，EF AB ∥∴四边形BDFE 为平行四边形，∴EF BD = D 是AB 中点 ∴BD AD =∴AD EF =，AD EF ∥ ∴四边形ADEF 为平行四边形 ∴AE 与DF 互相平分10．如图，点M ，N 分别在平行四边形ABCD 的边BC ，AD 上，且BM DN =，ME BD ⊥，NF BD ⊥，垂足分别为E ，F ，求证：MN 与EF 互相平分MNABCDEF MNABCDE F证明：连接EN ，MF四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC AD ∥，∴CBD ADB ∠=∠90MEF NFE ∠=∠=︒，90MEB NFD ∠=∠=︒ ∴ME NF ∥BM DN = ∴BME DNF ∆≅∆()AAS∴ME NF =∴四边形EMFN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴MN 与EF 互相平分11．如图，AF 与BE 互相平分，交点为M ，EC 与DF 互相平分，交点为N ，那么，四边形ABCD 是平行四边形么？你是怎么判定的？NM EFABCDNM EFABCD解：四边形ABCD 是平行四边形证明：连接AE ，BF ，EF ，DE ，CF AF 与BE 互相平分∴四边形ABFE 是平行四边形 ∴EF AD ∥，EF AD = EC 与DF 互相平分∴四边形BCEF 是平行四边形 ∴EF BC ∥，EF BC = ∴AD BC =，AD BC ∥∴四边形ABCD 是平行四边形12.如图，已知BE ,CF 是ABC ∆的高，D 是BC 的中点．求证：DE DF =ABCDEF证明：BE ，CF 是ABC ∆的高，∴BFC ∆，BEC ∆均为直角三角形 D 是BC 的中点∴DF 是Rt BFC ∆斜边上的中线，DE 是Rt BEC ∆斜边上的中线∴12DF BC =，12DE BC =∴DE DF =13.如图，先将矩形纸片ABCD 对折一次折痕为EF ，展开后又将纸片折叠使点A 落在EF 上，此时折痕为BM ，求NBC ∠度数的大小MNABCDEF GFEDCBAN M提示：根据题意得111222AE BE DF FC CD AB BN ======过点N 作NG BC ⊥，垂足为G则12NG BN =，∴30NBC ∠=︒（直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）14.过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF AC ⊥分别交AB ，DC 于E ,F ，点G 为AE 的中点，若30AOG ∠=︒，求证：13OG DC =GFEAB CDOODCBAEFG证明：连接CE四边形ABCD 是矩形 ∴OA OC = EF AC ⊥∴EF 是线段AC 的垂直平分线 ∴EA EC =30AOG ∠=︒ ∴60ACB ∠=︒，30OCE ∠=︒∴30BCE ∠=︒ ∴12BE EC =G 是AE 中点∴1122OG AG GE AE CE ==== ∴OG AG GE EB ===∴13OG DC =15.在矩形ABCD ，6AB =,8BC =，将矩形折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，在展开，求折痕EF 的长FEDCBAO解：6AB =,8BC = ∴由勾股定理可得10AC =根据题意有AF CF =，设AF CF x ==，8BF x =-由勾股定理222AB BF AF +=，即2226(8)x x +-= 解得254x = ∴254FC =2575642AFCESCF AB =⨯=⨯=，12AFCES AC EF =⨯ ∴152EF =（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） 16．已知：如图，O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分BAD ∠，120AOD ∠=︒，求AEO ∠的度数EODC BA答案：提示ABE ∆为等腰直角三角形，OAB ∆为等边三角形，OBE ∆为等腰三角形 30OBE ∠=︒，75OEB ∠=︒，754530OEA ∠=︒-︒=︒17.如图，MN 为过Rt ABC ∆的直角顶点A 的直线，且BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于点E ，AB AC =，F 为BC 的中点，求证：DF EF =ABCDEFNMABCDEFNM证明：连接AFABC ∆为直角三角形，F 为斜边BC 的中点 ∴BF AF CF ==90BAC ∠=︒ ∴90BAM NAC ∠+∠=︒BD MN ⊥，CE MN ⊥∴90BAM DBA ∠+∠=︒，90BDA AEC ∠=∠=︒ ∴DBA EAC ∠=∠，又AB AC = ∴DBA EAC ∆≅∆（AAS ）∴DB AE =AB AC =，90BAC ∠=︒，F 为BC 的中点 ∴45ABC FAC ∠=∠=︒∴DBA ABC CAF CAN ∠+∠+∠+∠，即DBF FAE ∠=∠又DB AE =，AF BF = ∴DBF EAF ∆≅∆（SAS ）∴DF EF =总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线18．如图E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于G ，求证：AB 与EF 互相平分GHA BC DEFFEDCBAHG证明：四边形ABCD 是菱形∴BAC DAC ∠=∠ AC EG ⊥，AH AH = ∴AHE AHG ∆≅∆（ASA ）∴AE AG = 12AE AD =∴12AG AB = AD BC ∥ ∴F AEG ∠=∠BGF AGE ∠=∠ ∴AGE BGF ∆≅∆（AAS ） ∴EG FG =，AG GB = 即AB 与EF 互相平分方法二：连接AF ，BE由12AE AD =，12AG AB =得AGE AEG BGF BFG ∠=∠=∠=∠，则AE AG BG BF === ∴AE BF ∥且AE BF =∴四边形AFBE 为平行四边形 ∴AB 与EF 互相平分19．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是A ∠的平分线，交BC 于点D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ．求证：四边形CDEF 是菱形 ABCDEFH证明：AD 是A ∠的平分线 ∴CAD EAD ∠=∠ 90ACB ∠=︒，CH AB ⊥∴90CAD CDA ∠+∠=︒，90FAH AFH ∠+∠=︒ ∴CDA AFH ∠=∠ AFH CFD ∠=∠∴CFD CDF ∠=∠ ∴CF CD = AD 是A ∠的平分线，CD AC ⊥，DE AB ⊥ ∴CD DE = ∴CF DE = CH AB ⊥，DE AB ⊥∴CH DE ∥∴四边形CFED 是平行四边形 CD CF = ∴平行四边形CFED 是菱形20．菱形ABCD 中，120DAB ∠=︒，如果它的一条对角线长为12cm ，求菱形ABCD 的边长 解：AB CDODCBA若对角线12AC =cm ，如图四边形ABCD 为菱形，且120DAB ∠=︒∴60DAC BAC ∠=∠=︒则ADC ∆为等边三角形 ∴菱形ABCD 的边长为12cm 若对角线12BD =cm ，如图四边形ABCD 为菱形，且120DAB ∠=︒∴60DAC BAC ∠=∠=︒则ADC ∆为等边三角形 又OD OB =∴6OD OB ==cm 设OA x =，2AD x =， 由勾股定理可得222(2)6x x =+，解得x =∴AD =cm 综上所述：菱形ABCD 的边长为12cm或cm22．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，F 是BC 上的一点，且3BF FC = 求证：AE EF ⊥ABCDEFABCDEF证明：连接AF ，设FC k =，则4BC k =四边形ABCD 是正方形 ∴90B C D ∠=∠=∠=︒，4AB BC CD AD k ==== E 为CD 中点 ∴2DE EC k ==在Rt ABF ∆中，222225AF AB BF k =+=在Rt ECF ∆中，22225EF EC FC k =+= 在Rt ADE ∆中，222220AE AD DE k =+= 则222AE EF AF +=，∴AEF ∆是直角三角形∴90AEF ∠=︒ ∴AE EF ⊥（到初三的时候此题还有额外的证明方法）23．如图，过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE BC ⊥于E ，作PF CD ⊥于F ，连接AP ，EF ．求证：AP EF =，AP EF ⊥FEPABCDH DCBAPEF证明：连接PC ，延长AP 交EF 于点H四边形ABCD 是正方形∴45ABP CBP ∠=∠=︒，AB BC =BP BP = ∴ABP CBP ∆≅∆（SAS ） ∴AP CP =，BAP BCP ∠=∠PE BC ⊥，PF CD ⊥，BC CD ⊥∴四边形PECF 为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形） ∴PC EF = ∴PA EF =PF EC =，90EPF PEC ∠=∠=︒ ∴PEF EPC ∆≅∆（HL ）∴PFE PCE ∠=∠ ∴PFE BAP ∠=∠AB BC ⊥，PE BC ⊥ ∴AB PE ∥ ∴BAP EPH ∠=∠90PFE PEH ∠+∠=︒ ∴90EPH PEH ∠+∠=︒ ∴AP EH ⊥24．如图正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN DM ⊥，BN 平分CBE ∠，交MN 于N 求证：DM MN =NABCDEMFM EDCBAN证明：取线段AD 的中点F ，连接FM 四边形ABCD 为正方形∴AB AD =，90A ABC ∠=∠=︒ F 为AD 中点，M 为AB 中点 ∴DF AF AM MB ===∴45AFM AMF ∠=∠=︒ ∴135DFM ∠=︒ BN 平分CBE ∠ ∴45CBN EBN ∠=∠=︒ ∴135MBN ∠=︒ ∴DFM MBN ∠=∠ DM MN ⊥ ∴90DMA NMB ∠+∠=︒ 90DMB ADM ∠+∠=︒ ∴ADM MBN ∠=∠在DMF ∆与MNB ∆中MDF NMB DF MB DFM MBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DMF MNB ∆≅∆()ASA ∴DM MN =思考：若点M 是线段AB 上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？M EDCB ANFM EDCBAN请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了25．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC <，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF BC ⊥，求证：梯形ABCD 为等腰梯形AB CDEF M NAB CDEF证明：过E 分别作AB ，DC 的平行线交BC 于M ，N ，易知四边形ABME 和四边形DCNE都是平行四边形∴AE BM =，DE NC =，AB EM =，DC EN =E ，F 分别是AD ，BC 的中点 ∴AE DE =，BF CF =∴BM CN = ∴BF BM CF NC -=- ∴MF NF ⊥EF BC ⊥ ∴EM EN = ∴EF 是线段MN 的垂直平分线 ∴ME NE = ∴AB CD = 故梯形ABCD 是等腰梯形26．已知等腰梯形ABCD 中，AB CD =，60B ∠=︒，15AD =cm ，49BC =cm ，求它的腰长DC B AEAB CD解：方法一：过点A 作AE DC ∥，交BC 于点E AD BC ∥ ∴四边形AECD 为平行四边形∴AD EC =，DC AE = AB DC = ∴AE AB =60B ∠=︒ ∴四边形ABCD 为等边三角形∴BE AB = 15AD =，49BC = ∴491534BE BC CE BC AD =-=-=-= ∴34AB CD ==cm 方法二MNABCD过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，过点D 作DN BC ⊥，垂足为N 四边形ABCD 为等腰梯形 ∴AB CD =，B C ∠=∠ 90AMB DNC ∠=∠=︒ ∴ABM DCN ∆≅∆（AAS ） ∴BM CN =90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒∴四边形AMND 为矩形 ∴AD MN = 49BC =，15AD =∴11()(4915)1722BM CN BC AD ==-=-=60B ∠=︒ ∴30BAM ∠=︒ ∴234AB BM ==cm27．如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，点E 是BC 的中点求证：①DE AB ∥ ②1()2DE AB AC =-ABCD EFE DCBA证明：①延长CD 交AB 于点F AD CD ⊥，∴90ADC ADF ∠=∠=︒ AD 平分BAC ∠ ∴DAC DAF ∠=∠ AD AD =∴ADC ADF ∆≅∆（ASA ）（AD 又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”） ∴AC AF =，FD DC = 点E 是BC 的中点∴DE 是三角形CBF ∆的中位线∴DE BF ∥，12DE BF =②AB AF BF -=∴BF AB AC =-∴1()2DE AB AC =-28．如图，在梯形ABCD 中，DC AB ∥，BC DC AB =+，E 是AD 中点 求证：90CEB ∠=︒ABCDEABCDEF证明：取BC 中点F ，连接EF 由梯形中位线性质可知EF DC AB ∥∥且1()2EF DC AB =+BC DC AB =+ ∴2EF BC = ∴EF CF FB == ∴90CEB ∠=︒ 基础知识达标一、精心选一选（每小题3分，共30分）1、在□中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）A ．1：2：3：4B ．1：2：2：1C ．2：2：1：1D ．2：1：2：1 2、菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线互相平分且相等 3、下列命题中的假命题是（ ）A ．等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B ．对角线相等的四边形是等腰梯形C ．等腰梯形是轴对称图形D ．等腰梯形的对角线相等 4、四边形的对角线、交于点O ，能判定它是正方形的是（ ）A ．＝，＝B ．＝＝＝，⊥C ．＝，＝，⊥D ．＝＝＝ 5、给出下列四个命题⑴一组对边平行的四边形是平行四边形 ⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形中点⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。
平行四边形平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的定义、性质：（1）平行四边形对边平行且相等。
（2）平行四边形两条对角线互相平分。
（菱形和正方形）（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。
（可视为矩形）（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。
（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。
（9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。
（10）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。
（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质1．矩形的四个角都是直角,对边相等2．矩形的对角线相等3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）。
5．对边平行且相等6．对角线互相平分7.矩形具有平行四边形的所有性质判定1．有一个角是直角的平行四边形是矩形2．对角线相等的平行四边形是矩形3．有三个角是直角的四边形是矩形4．四个内角都相等的四边形为矩形5．关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形6．对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形7．对角线互相平分且相等的四边形是矩形8．对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形四边形由四条线段围成的平面图形叫四边形。
四边形知识点：关系结构图：、知识点讲解：1．平行四边形的性质（重点）（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；ABCD是平行四边形？（3）两组对角分别相等;（4）对角线互相平分；（5）邻角互补.2. 平行四边形的判定（难点）3. 矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性;因为ABCD是矩形？（2）四个角都是直角；（3）对角线相等.（4）是轴对称图形. 它有两条对称轴．4 矩形的判定：矩形的判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形;（2）有三个角是直角的四边形;（3）对角线相等的平行四边形;（4）对角线相等且互相平分的四边形. ？四边形ABCD是矩形•5. 菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性;因为ABCD是菱形？（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且平分对角.6. 菱形的判定：1）平行四边形一组邻边等（2）四个边都相等？四边形四边形ABCD是菱形•3）对角线垂直的平行四边形7. 正方形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性；ABCD是正方形？（2）四个边都相等，四个角都是直角;（3）对角线相等垂直且平分对角.8. 正方形的判定：（1）平行四边形一组邻边等一个直角（2）菱形一个直角？四边形ABCD是正方形.（3）矩形一组邻边等二.精典例题解答：1. 已知：如图.E、F是平行四边形ABCD勺对角线AC上的两点.AE=CF。
求证：(1)△ ADF^A CBE( 2) EB// DF。
证明：(1)v AE=CF ••• AE+EF=CF+FE即AF=CE又ABCD是平行四边形• • AD= // BC • / DAF=Z BCE 在厶ADF与厶CBE中• △ADF^A CBE( SAS(2)v △ADF^A CBE • / DFA玄BEC • DF // EB例1图例2图2. 如图•平行四边形ABCD勺对角线AC BD相交于点、F是直线AC上的两点•并且AE=CF求证：四边形BFDE 是平行四边形。
