哈尔滨工业大学运筹学教案排队论的应用案例分析2009[1].6

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排队规则：乘客到达楼梯和自动扶梯口处，若楼 梯和自动扶梯没被占用时，乘客立即使用楼梯和 自动扶梯，若楼梯和自动扶梯被占用，不能为乘 客提供服务时，乘客就会在此等候楼梯和自动扶 梯的服务，而且服务次序为先到先服务。
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排队论模型的符号表示
通常由3-5个英文字母组成， 其形式为 A/B/C/n， 其中 A表示输入过程， B表示服务时间， C表示服务台数目， n表示系统空间数
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排队模型的表示： X/Y/Z/A/B/C X—顾客相继到达的间隔时 间的分布； Y—服务时间的分布； Z—服务台个数； A—系统容量限制（默认为 ∞）； B—顾客源数目（默认为 ∞）； C—服务规则 （默认为先到 先服务FCFS)。 M—负指数分布、D—确定 型、Ek —k阶爱尔朗分布。
D=Q t s 1 1 ( ) t 0 (t1 t 0 ) 134 65.72 73.38 2 2
min
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对一个排队系统来说，最大的排队乘客数为134人，排队 乘客的总的延误时间为73、38 min，而对整个站台来 说，有两个这样的排队系统，因此在一列车到来后的出站 乘客 将会有268人需要排队等候，排队中最大的延误时间为 65.72s，所有乘客总的排队时间为146.76 min。若排 队系统中最大延误时间大于列车发车间隔，则在楼梯和自 动扶 梯处总有乘客在排队等候，而且人数越来越多，这样就需 要重新设计楼梯和自动扶梯的宽度。
2.@pel(load,S)
该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且不 允许排队时系统损失的概率，也就是顾客得不到服务离开的概 率 3.@pfs(load,S,K)
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把每组楼梯和自动扶梯及其吸引的客流看作为 站台上的一个排队系统，则在这个排队系统中： 输入过程：乘客以一定的速度从站台行走到距 离自己最近的楼梯和自动扶梯处寻求服务，以 λ 表示乘客单位时间到达楼梯和自动扶梯的人 数，即排队系统的输入率λ (单位：人/s)。每 组楼梯和自动扶梯服务的乘客数为
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1 乘客排队系统推导
在一列车到站后的发车间隔内，把从列车下到站 台的乘客看作服务对象，出站的楼梯和自动扶梯 看作服务通道，并对站台上的楼梯和自动扶梯以 及乘客作一些基本的假设： (1)楼梯和自动扶梯沿着站台纵向均匀布置，且 这种均匀布置使乘客在站台上行走的距离最短。 (2)下车乘客平均分布于每节车厢中。 (3)所有下车乘客在站台上走行的速度是相等的， 并保持一定的速度。
3.系统的忙期与闲期
服务机构工作强度=由于服务顾客的时间/服务设施总的服务时间
=1-服务设施总的空闲时间/服务设施总的服务时间
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与排队论模型有关的LINGO函数
1.@peb(load,S)
该函数返回值是当到达负荷为load，系统中有S个服务台且允 许排队时系统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率
在这个排队系统中采用近似的计算得出一些重要的指标表 达式为： 最大排队乘客数： Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0 (4) 排队中最大延误时间： ts=t1-t0 (若ts≤0，则表示没有排队产生) (5)
平均排队乘客数：
Q 1 1 (Q1 Q2 ) ( ) t 0 2 2
t1 n = 2 2 =110.25s
2 w v 2 441 0.64 = =5人/s l 114
排队中最大延误时间为： ts=t1-t0=110.25-44.53=65.72s 最大排队乘客数： Q=Q1-Q0=λ×t0-μ×t0=(5-2)×44.53=134人(取整) 排队乘客总的延误时间：
1.损失制排队系统：顾客到达若所有服务台被占，服务 机构又不允许顾客等待，此时该顾客就自动离去。
2.等待制排队系统：顾客到达时若服务台均被占，他们 就排队等待。服务顺序有：先到先服务、后到先服务、 随机服务、有优先权的服务
3.混合制排队系统：损失制与等待制的混合。队长（容 量）有限的混合；等待时间有限的混合；逗留时间有 限的混合
w t1 n
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(2)
(3)
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通过上面的假设和分析，每一组楼梯和自动扶梯 所组成的服务系统是一个定长输入、定长输出的 单通道排队系统，由n组楼梯和自动扶梯布置在 站台形成的乘客排队系统则是一个定长输入、定 长输出、多通道的排队系统即：d/d/n排队系统。
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学生实验城市轨道交通进站检票机分析 教学目的：要求学生学会应用排队论的思想分析 实际问题 调查方案设计 统计特征分析 *排队系统参数分析 *排队系统仿真 背景介绍
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通过对站台上客流状态进行假设，建立了楼梯和 自动扶梯处客流延时的d／d／n排队系统模型， 并推导出客流延时的指标公式。通过预测的客流 以及乘客在站台上行走的实际速度，可估算出车 站内最大乘客延误数量及延误时间，有利于比较 清楚地把握车站内乘客延时状况。 讨论：改变参数（1）下车人数比例为60%； （2）平面通道的通行时间分析
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在 一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人 数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
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排队服务系统的基本概念
排队规则：指服务系统是否允许排队，顾客是否愿意排队
排 队 论 应用
2009年5月
地铁车站楼梯和自动扶梯处客流延时分析
教学目的：利用排队论建立轨道交通车站楼梯和 自动扶梯处客流延时模型，得出客流延时的指标 公式，可为更清楚地了解车站楼梯和自动扶梯处 的乘客延时状况提供一定的理论依据。 楼梯和自动扶梯是轨道交通车站中主要的升降设 施，在客流高峰时，由于楼梯和自动扶梯的通过 能力有限，大量的乘客将会在楼梯和自动扶梯口 处排队等候，造成乘客进出站时间延长，弄清乘 客在楼梯和自动扶梯处的延时状况，有利于车站 运营效益的充分发挥。
(6) (7) (8)
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排队平均延误时间：
排队乘客总的延误时间：
t
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(t1 t 0 ) 2
1 ( ) t 0 (t1 t 0 ) 2
D=Q t s
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车站楼梯和自动扶梯处客流延时实例
以发车间隔2 min，6节编组的B型车为例，列车长度 114m，车厢定员245人，到站后30％ 的乘客下车出站， 乘客在站台上的走行速度取0.64 m/s。每1m宽的自动扶 梯 通过能力7 200人/h。 站台上布置两组自动扶梯供乘客出站，自动扶梯在站台上的 布置位置满足上面假设的原则，则自动扶梯在站台上的布置 位置如示意图2所示：
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μ—— 排队系统的输出率 C自动扶梯——自动扶梯的通过能力 d自动扶梯——自动扶梯的净宽度 C楼梯——楼梯的通过能力 d楼梯——楼梯的净宽度 输出时间 t1表达式为：
c自动扶梯 d自动扶梯 c楼梯 d楼梯
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管理运筹学课程组 ftp://211.71.69.239 图2 两组自动扶梯布置位置示意图
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此时站台上两组自动扶梯和下车乘客是一个d/d/2系统，对于每一个排队系统，其输入 率和输出率为：

μ=c自动扶梯×d自动扶梯+c楼梯×d楼梯=2×1=2人/s 输入时间t0为： l 114 t0 = =44.53s 2 n v 2 2 0.64 输出时间t1为： w 441
图1
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d／d／n排队系统图形表示
图中参数的含义为： t0——排队系统中输入结束时间 t1——排队系统中输出结束时间 λ——自动扶梯和楼梯口的输入率 μ——自动扶梯和楼梯口的输出率 Q0——输入时间结束时自动扶梯和楼 梯的输出量 Q1——自动扶梯口的全部输入量
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排队服务系统的基本概念
服务机构：
1.服务台的数目
2.顾客所需的服务时间服从怎样的概率分布 (常见顾客的服务时间分布有:定长分布、负 指数分布、超指数分布、k阶Erlang分布、 几何分布、一般分布)
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排队系统的描述
服务系统
顾客总体
输入
队伍
服务台
输出
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排队服务系统的基本概念
输入过程：描述顾客来源是按怎样的规律抵达排队 系统。 1.顾客源总体:有限还是无限 2.到达类型：单个到达还是成批到达 3.相继顾客到达的时间间隔：相互独立、同分布的; 等时间间隔的;服从Poisson分布的； k阶Erlang分 布
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上述这个d/d/n排队系统可以近似的用图l来描述，横轴 表示时间，纵轴表示累 计输入或输出乘客数；排队系统 输入量曲线和输出量曲线分别如图所示，它们对应的纵轴 坐标就分别是累计输入乘客数和累计输出乘客数，阴影部 分的面积表示排队乘客总的延误时间。
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乘客从站外经检票进入车站付费区，通过楼梯和自 动扶梯到站台，这是一个随机的过程。由于检票口 与楼梯和自动扶梯的通过能力相当，乘客进入站台， 先受检票口通过能力约束，使得超过检票口通过能 力的客流被暂时堵在检票口外排队等候检票，因此 通过检票口的乘客不会因为楼梯和自动扶梯的通过 能力的约束而需要排队。 但乘客在出站时，特别是在客流高峰，大量的乘客 从列车上下来，并且在较短的时间内通过楼梯和自 动扶梯到达站厅出站，必然存在一部分乘客在楼梯 和自动扶梯处排队等候。 若乘客排队等候时间超过了列车发车间隔，则等候 的乘客越来越多，造成楼梯和自动扶梯处越来越堵。
w q n
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输入的时间
t0
l 2 n v
其输入率λ的具体表达式为：


2 w v l
(1)
λ——排队系统的输入率 W——列车到站后下车或换乘的人数 v——下车乘客在站台上的行走速度 l——站台的有效长度 n——站台上楼梯和自动扶梯的组数
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描述排队论系统的主要数量指标
1.队长(Ls) ：指在系统中顾客的平均数
等待队长(Lq)：指系统中等待的顾客的平均数
2.顾客的平均等待时间(Wq)：指顾客进入系统的时刻起到开始接 受服务止的平均时间
与平均逗留时间(Ws)：指顾客在系统中平均等待时间与平均服务 时间之和
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输出过程： 由于楼梯和自动扶梯的通过能力是一 定的，以μ 表示楼梯和自动扶梯的输出率μ (单 位：人／s)。则排队系统的输出率 与楼梯和自动 扶梯的宽度相关，当楼梯和自动扶梯的宽度确定 后，每一组楼梯和自动扶梯的输出过程是一个定 长输出过程，其输出率μ 的具体表达式为：