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排队论详解及案例

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带优先权排队论模型简介应用案例

带优先权排队论模型简介应用案例

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案例求解 3
即
W1
=W
= Wq
+
1 m
=
Lq l
+
1 m
=
P0(l m)s r s!(1- r)2 l
+
1 m
其中
r= l sm
åé s-1 (l / m)n (l / m)s 1 ù
➢ 非强占性优先权(Nonpreemptive Priorities)——虽然一种高优先级
旳顾客到达，也不能强制让一种正在接受服务旳低优先级顾客返回排队。
➢ 强占性优先权(Preemptive Priorities)——若有高优先级旳顾客到达，
服务员即中断对低优先级顾客旳服务，并立即开始为高优先级顾客服务。
N
l = å li
i=1
r= l m
k
å 【注:】这里假设了 li < sm，
i=1
从而使其能到达稳定状态。
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计算公式 2
抢占性优先权(基于M/M/1)
1/ m
Wk = Bk-1Bk
for k=0,1,2,…,N
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案例求解 3
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案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求解 3
W1-1/μ W2-1/μ W3-1/μ
Preemptive Priorities
s=1
s=2
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0.154 hour

排队论

排队论

排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布

运筹学排队论-文档资料

运筹学排队论-文档资料

系统服务类型 银行储蓄
飞机着陆或起飞 电话通话
卸货或装货 工序安排
计算机系统 机器维护
1
排队论的研究内容： （1）性态问题：研究排 各队 种系统的概率性， 规主 律要研究队长分等 布待 、时间 的分布和忙期分布等； （2）最优化问题：分态 为最 静优和动态最优者 ，指 前最优设计，后现 者有 指排队
Pn (t )表示在时刻 t、系统状态为 n的概率。
含 Pn (t )的关系式一般为微分差 分方程，其解成为瞬态 （ transient state ）解 ;
lim
t
Pn
(t)
P（n 如果存在）称为稳态
（ steady state ）解，或称统计平衡状
3、排队模型的分类 按排队系统中的 影三 响个 最特 大征进1行 95年 分 3 ， 类 D.G（ .Kend） a:ll （1）相继顾客到间 达的 间分 隔布 时； （2）服务时间的分布； （3）（并列）服数 务。 台的个
7
相应的模型用 Kendall 记号表示： X /Y /Z
其中， X , Y , Z分别表述上述三个特征 。 例如： M — 负指数分布（ M 为 Markov 的首字母） D — 确定型（ determinis tic ） E k — k阶爱尔朗（ erlang ）分布 GI — 一般相互独立（ general independen t）的间隔时间的分布 G — 一般（ general ）服务时间的分布 M / M / 1， D / M / c（ c个并列服务平台，但顾 客是一队）
需要知道单位时间内的 顾客到达数或相继到达 的间隔时间分布。
4）顾客的到达可以是相 互独立的，也可以是有 关联的。
5）输入过程可以是平稳 的，或称对时间是齐次 的，是指相继到达的间 隔时间分布和

排队论模型专业知识课件

排队论模型专业知识课件
排队等待旳顾客数，其期望记为
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/

排队论案例

排队论案例

第五节 排队论在生产中的应用
例三 降低在制品库存
方案1 是略微降低冲压机的压力（ 方案1 是略微降低冲压机的压力（这会导致冲压一套机翼组件的平均时间 增加到1 小时） 使得质检员可以更好地跟上它们的产出速度。 增加到1.2小时），使得质检员可以更好地跟上它们的产出速度。这还 会将每一台冲压机的成本（运作成本加折旧成本）从每小时7 会将每一台冲压机的成本（运作成本加折旧成本）从每小时7美元降低 到6.5美元。（相反，增大最大压力会使成本上升到7.5美元每小时， 美元。 相反， 增大最大压力会使成本上升到7 美元每小时， 冲压一套机翼组件的平均时间减低到0 小时。 冲压一套机翼组件的平均时间减低到0.8小时。） 方案2 是用一个年纪较轻的质检员做这项工作。他的工作速度比较快（ 方案2 是用一个年纪较轻的质检员做这项工作。他的工作速度比较快（尽 管由于缺少经验，检查时间有一些波动），因此他能够更好地跟上冲 管由于缺少经验， 检查时间有一些波动） 压机的产出速度。 他的检查时间服从均值为7 分钟， 压机的产出速度 。 （ 他的检查时间服从均值为 7 . 2 分钟 ， 服从指数分 这个质检员的工作等级要求每小时的收入为19 美元（ 19美元 布 ） 。 这个质检员的工作等级要求每小时的收入为 19 美元 （ 包括奖 现在地质检员由于工作等级较低，每小时17美元。 17美元 金），现在地质检员由于工作等级较低，每小时17美元。 你是杰里的工作人员中的管理科学专家， 你是杰里的工作人员中的管理科学专家，被要求对这个问题进行分 他要求你“ 析。他要求你“用最先进的管理科学技术分析每一个方案能够降低多 少在制品库存，然后提出你的建议。 少在制品库存，然后提出你的建议。”
第五节 排队论在生产中的应用
c. 方案 的求解结果 方案2的求解结果 系统1 系统 在制品库存(张, 件) 在制品库存 张 在系统中的数量 等待时间(h) 等待时间 一件产品在系统中的 时间(h) 时间 成本(美元 美元/h) 成本 美元 0.52 7.52 0.074 1.074 130.14 系统2 系统 4.41 5.25 0.63 0.75 61 合计 4.93 12.77 0.7 1.82 191.14

排队论(Lingo方法)

排队论(Lingo方法)

线性规划
01
Lingo方法是线性规划的一种求解算法，可以用于求解排队论中
的优化问题。
迭代法
02
对于一些复杂的问题，可以使用迭代法结合Lingo方法进行求解，
以逐步逼近最优解。
启发式算法
03
对于一些大规模问题，可以使用启发式算法结合Lingo方法进行
求解，以提高求解效率。
04
Lingo方法在排队论中的 案例分析
Lingo方法在排队论中的优化问题
最小化等待时间
通过Lingo方法，可以优化等待时间，以最小化顾 客或任务的等待时间。
最小化队列长度
通过Lingo方法，可以优化队列长度，以最小化等 待空间的使用。
最大化服务台效率
通过Lingo方法，可以优化服务台效率，以提高服 务台的工作效率。
Lingo方法在排队论中的求解算法
等问题。
计算机科学
排队论用于研究计算机 网络的性能分析、负载 均衡和分布式系统等问
题。
排队论的发展历程
1903年，费尔南多·柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化 体系，为排队论奠定了理论基础。
1950年代，肯德尔提出了肯德尔模型，为多服务台排 队模型奠定了基础。
1930年代，厄兰格和朱伯夫提出了厄兰格模型，为单 服务台排队模型奠定了基础。
Lingo方法的适用范围
Lingo方法适用于各种线性规划问题，包括生产计划、资源分 配、运输问题等。
尤其适用于具有大量约束条件和决策变量的复杂问题，能够 有效地解决这些问题的最优解。
Lingo方法的优势和局限性
Lingo方法的优势在于它能够处理大规模的线性规划问题，并且具有较高的计算效率和精度。此外，Lingo方法还具有灵活性 和通用性，可以应用于各种不同的领域和问题。

遗传算法在排队论问题中的应用案例研究

遗传算法在排队论问题中的应用案例研究

遗传算法在排队论问题中的应用案例研究引言：排队论是一门研究人们在排队等待服务过程中效率和性能的学科。

在现实生活中，我们经常会遇到排队等待的情况，如超市收银台、医院候诊室等。

为了提高排队系统的效率，减少等待时间，研究者们一直在探索各种方法。

其中，遗传算法作为一种优化算法，被广泛应用于排队论问题的研究中。

本文将通过介绍一个具体的应用案例，探讨遗传算法在排队论问题中的应用。

一、排队论问题简介排队论问题是研究排队系统中的等待时间、服务能力等性能指标的学科。

在实际应用中，我们常常需要优化排队系统的性能，以提高服务效率和用户满意度。

排队论问题的核心是如何合理分配资源和调度顾客，使得整个系统的性能最优。

二、遗传算法在排队论问题中的原理遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。

它通过模拟自然界的选择、交叉和变异等过程，逐步搜索最优解。

在排队论问题中，遗传算法可以用来寻找最优的资源分配和顾客调度方案。

三、案例研究：超市收银台排队优化以超市收银台排队优化为例，介绍遗传算法在排队论问题中的应用。

1.问题描述：假设一个超市有多个收银台，每个收银台的服务时间和到达顾客的间隔时间都是随机的。

我们的目标是设计一个最优的顾客调度方案，使得整个超市的平均等待时间最短。

2.遗传算法的应用：首先，我们需要定义适应度函数，用来评估一个顾客调度方案的优劣。

适应度函数可以根据等待时间、服务时间、顾客数量等指标来进行评估。

然后，我们使用遗传算法来搜索最优解。

具体步骤如下：（1）初始化种群：随机生成一组初始的顾客调度方案。

（2）选择操作：根据适应度函数，选择一部分优秀的个体作为父代。

（3）交叉操作：对选出的父代进行交叉操作，生成新的子代。

（4）变异操作：对子代进行变异操作，引入新的基因组合。

（5）评估适应度：计算子代的适应度值。

（6）选择操作：根据适应度函数，选择一部分优秀的个体作为下一代的父代。

（7）重复步骤（3）-（6），直到达到终止条件。

运筹学排队论

运筹学排队论

降低平均服务时间
降低服务时间旳可变性
增长服务人员
降低平均到达人数
经过顾客预约等方法来降低到达旳可变性
集中使用服务资源
更加好地计划和调度
23
处理排队问题旳措施
2.其他措施
服务场合提供娱乐设施
医生等待室放报纸杂志
自动维修间用收音机或电视
航空企业提供空中电影
等待电梯处放镜子
超级市场把冲动性商品摆放在收款台附
排队论
1
2
•
排队论，又称随机服务系统理论(,是一
门研究拥挤现象(排队、等待)旳科学。详细
地说，它是在研究多种排队系统概率规律性
旳基础上，处理相应排队系统旳最优设计和
最优控制问题。
•排队论是1923年由丹麦工程师爱尔朗
(A.K．Erlang)在研究电活系统时创建旳.
3
案例-1 银行排队系统
4
案例-2 医院排队系统
用更快旳服务人员、机器或采用不同旳设施布局和政
策来影响顾客旳到达时间和服务时间。
9
1 排队论旳基本问题
1.1 排队论旳主要研究内容
• 数量指标
– 研究主要数量指标在瞬时或平稳状态下旳
概率分布及其数字特征，了解系统旳基本
运营特征。
• 统计推断
– 检验系统是否到达平稳状态；检验顾客到
达间隔旳独立性；拟定服务时间分布及参
数。
• 系统优化
– 系统旳最优设计和最优运营问题。
10
1.2排队论旳经济含义
• 排队问题旳关键问题实际上就是对不同
原因做权衡决策。管理者必须衡量为提
供更快捷旳服务（如更多旳车道、额外
旳降落跑道、更多旳收银台）而增长旳

排队论及应用举例PPT精选文档

排队论及应用举例PPT精选文档

0.78
2.0
0.14
0.86
5
5. 第二种情况:泊松分布。主要针 对某一时段T内有n人到达的概 率，到达过程是随机的，则服 从泊宋分布。如图5-5所示。计 算公式为：
时间T内
有n人到
.224
达的概率
.20 .149
期望值 3
.224
方差
.168
平滑曲线
PT(n)(T)nn!eT
（6-2）
.10
.102
2. 无限总体。对于服务系统来说顾客数量足够大，由于人数增减而引起的总体规模的变化不会对 系统的概率分布产生显著的影响。
3. 顾客到达的分布。这是一个到达率或单位时间到达数的问题。固定到达的分布呈周期性的，即 相继到达的两个顾客之间的时间间隔几乎相同。在生产系统中，通常运用一些技术控制顾客在固 定的时间间隔内到达。多数情况下，顾客的到达呈随机分布。
1
一、排队问题的经济含义
在日常经济生活中，经常遇到排队现象，如：在超市等待结帐、工厂中等待加工 的工件或待修理的机器、开车上班等，排队论是运作管理中重要的方法，它是计 划、工作设计、存货控制以及其他问题的基础。
每一个排队事例的核心问题就是对不同因素作权衡决策，管理者必须衡量为提供 更快捷服务而增加的成本和等待费用之间的关系。
表的第二栏是下一个到达的顾客时间间隔超
过 t分钟的概率；第三栏为下一个顾客到
达时间小于 t 分钟的概率。
（1）
t分钟
0 0.5 1.0
（2）
（3）
下一个顾客将在 大于t分钟内 到达的概率
下一个顾客将在小于t 分钟内到达的概率 (3)=(1)-(2)
1.00
0
0.61
0.39

运筹学——排队论

运筹学——排队论

1 对于泊松流， λ表示单位时间内平均到 达的顾客数，因此， 就表示
λ
相继顾客到达的平均间 隔时间，这与 E[T ] =
1
λ
的意义正好相符。
18
服务时间v的分布 对一顾客的服务时间（也即在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间） 有时也服从负指数分布。这时设它的分布函数和密度函数分别为 Fv (t ) = 1 − e − µt , v的期望值 E (v) = 1 f v (t ) = µe − µt
期望值和方差相等，是泊松分布的一个重要特征，可以由此对一个 经验分布是否是泊松分布进行初步的识别。
16
3、负指数分布（negtive exponential distribution）
随机变量T的概率密度若是 λe −λt , t ≥ 0 fT (t ) = 0, t < 0 则称T服从负指数分布。T 分布函数是 1 − e −λt , t ≥ 0 FT (t ) = 0, t < 0 E[T ] = 1
∞
∑ P (t , t + ∆t ) = o( ∆t )
n=2 n
15
通过建立Pn (t )与Pn (t + ∆t )之间的关系方程并求解，得到
( λ t ) n − λt Pn (t ) = e n! t > 0, n = 0,1,2,L
Pn (t ) = Pn (0, t )表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率，并称随机变量 N (t )服从泊松分布，其数学期望和方差分别为 E[ N (t )] = λt Var[ N (t )] = λt
第12章 12章
排队论
排队论（随机服务系统理论）是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的 排队系统的理论。

运筹学 100排队论

运筹学 100排队论

第10章排队论第一节排队服务系统的基本概念一、排队系统的特性排队问题的实例：超市付款，自动取款机取款，医院门诊，乘公交车，设备修理。

排队服务系统的要素：顾客源，等待队列，服务机构。

要素的特性：1. 顾客源顾客到达的间隔时间：确定、随机(分布类型)；一次到达人数：单个到达，成批到达；顾客源：数量无限，数量有限。

2. 等待队列等待规则：损失制，等待制，混合制；接受服务顺序：先到先服务，后到先服务，按优先权服务，随机服务。

3. 服务机构服务台数量：单个，多个；排列方式：串联、并联、混合排列。

服务时间：固定，随机(分布类型)；一次服务人数：单人，成批。

三、排队服务系统的分类按上面所讨论的排队系统各项的特性，可对排队系统作出分类。

通常按如下6方面的特性对排队系统进行分类：(a／b／c) : (d／e／f)每个字母代表一个特征，它们分别是：a：顾客到达间隔的分布，有：M──负指数分布；D──确定型；E k ──k 阶爱尔郎分布； GI ──一般相互独立的分布。

b ：服务时间的分布有：M 、D 、E k 、Gc ：系统中并联的服务台数，记为Sd ：系统中最多可容纳的顾客数，∞~1e ：顾客源总数，为∞~1f ：排队服务规则 FCFS ──先到先服务 LCFS ──后到先服务 用这6个参数我们可以表示出某种类型的排队系统，如：M ／M ／1／10／∞／FCFS其中后三项可以省略，这时表示的是：a ／b ／c ／∞／∞／FCFS三、排队系统的状态及参数系统状态N (t )——排队系统中的顾客数，包括等待的和正在被服务的。

其与系统运行的时刻t 相关，且是一个随机变量。

稳定状态——当系统状态与时刻t 无关时，称系统处于稳定状态。

在系统开始运行的一段时间内，系统状态随时间而变化，在运行一段时间之后，系统的状态将不随时间变化，此时系统即进入稳定状态。

排队论主要研究系统处于稳定状态的工作情况，以下参数也都针对于稳定状态进行定义。

排队论详解及案例

排队论详解及案例
9.2.3 负指数分布
负指数分布具有下列性质：
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.3 负指数分布
负指数分布具有下列性质：
cmLiu@shufe
Operations Research
当 N (t满) 足下列三个条件时，我们说顾客的到达符合泊松分布 （1）平稳性：在时间区间 [t0,t0 + ∆t) 内到达的顾客数 N (t ) ，只与区间长度
有关而与时间起点 t0 无关。
（2）无后效性：在时间区间 [t0,t0 + ∆t) 内到达的顾客。 数 N (t ) ，与 t0 以前
到达的顾客数独立。 （3）普通性：在充分短的时间区间 ∆t 内，到达两个或两个以上顾客的概率
• 如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。
cmLiu@shufe
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（1）排队系统工作状况的衡量 一个排队系统运行状况的好坏不仅会影响顾客的利益，也会影响服务 机构的利益，甚至会影响到社会效果的好坏。通过研究运行系统在平 衡状态下的概率分布及其数字特征，了解排队系统运行的效率、服务 质量等等，进而可以判断系统运行状况的优劣。
cmLiu@shufe
Operations Research
第九章
排队论
9.1 基本概念 9.2 几个常用的概率分布 9.3 单服务台负指数分布的排队系统 9.4 多服务台负指数分布排队系统模型 9.5 一般服务时间M/G/1模型 9.6 排队系统的建模与优化 9.7 电子表格建模和求解 9.8 案例分析 办公室设施公司（OEI）服务能力分析
cmLiu@shufe

第八章排队论

第八章排队论

课堂练习
❖ 某储蓄所只有一个服务窗口。根据分析，顾客的到达过 程服从泊松分布，平均每小时36人；储蓄所的服务时 间服从负指数分布，平均每小时能处理 48位顾客的业 务。求：
（1）储蓄所空闲的概率； （2）储蓄所有n个顾客的概率； （3）储蓄所内顾客的平均数； （4）储蓄所内等待服务的顾客平均数； （5）顾客在储蓄所内的平均逗留时间； （6）顾客在储蓄所内的平均等待时间；
3、M/M/1/N/∞/FCFS模型
1、与M/M/1模型的区别 (1)系统只有 N＋1 种状态； (2)顾客的实际到达率为：
，当n < N时；
0，当n ≥ N时； 2、状态转移图
系统运行指标
(1)
(2) (3)
课堂练习
❖ 某修理站只有1 个修理工，且站内最多只能停放3 台待 修理的机器。设待修理的机器按泊松流到达，平均每小 时到达1 台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25 小时可修理1 台。试求： （1）站内空闲率； （2）顾客损失率； （3）站内平均队长；
P0 = 0.625 Ls = 0.6（人） Lq = 0.225（人） Ws = 2.00（分钟） Wq = 0.75（分钟）
❖ 如果在第二种方法中把排队规则变一下，在储蓄所里只 排一个队，这样的排队系统就变成了 M /M / 2 排队 提法：
泊松输入/负指数分布/C个服务台/系统无限制/顾客源无限制
从以上的数据，我们知道储蓄所这个排队系统并不尽 人意，到达储蓄所有 75％ 的概率要排队，排队的长度 平均为 2.25 人，排队的平均时间为 3.75 分钟，是平 均服务时间 1.25 的 3 倍…
❖ 要提高服务水平，减少顾客在系统里的平均逗留时间， 一般可采用两种措施： 第一，减少服务时间，提高服务率； 第二，增加服务台即增加服务窗口。

运筹学 排队论

运筹学 排队论

运筹学排队论引言排队论是运筹学中的一个重要分支，它研究的是如何优化排队系统的设计和管理。

排队论广泛应用于各个领域，如交通流量控制、银行业务流程优化、生产线调度等，对于提高效率和降低成本具有重要意义。

本文将介绍排队论的基本概念、排队模型以及应用案例，帮助读者了解运筹学中排队论的基本原理和应用方法。

什么是排队论排队论是一门研究排队现象的数学理论，它通过定义排队系统的各个要素，如顾客到达率、服务率、队列容量等，建立数学模型分析和优化排队系统的性能指标。

排队论主要研究以下几个方面：•排队系统的模型：包括单服务器排队系统、多服务器排队系统、顾客数量有限的排队系统等。

•排队系统的性能指标：包括平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。

•排队系统的优化方法：包括服务策略优化、系统容量规划等。

排队论的基本概念到达过程排队论中的到达过程是指顾客到达排队系统的时间间隔的随机过程。

常用的到达过程有泊松过程、指数分布等。

到达过程的特征决定了顾客到达的规律。

服务过程排队论中的服务过程是指服务器对顾客进行服务的时间间隔的随机过程。

常用的服务过程有指数分布、正态分布等。

服务过程的特征决定了服务的速度和效率。

排队模型排队模型是排队论中的数学模型，用于描述排队系统的性能和行为。

常用的排队模型有M/M/1模型、M/M/s模型等。

这些模型分别表示单服务器排队系统和多服务器排队系统。

性能指标排队系统的性能指标用于评估系统的性能，常见的性能指标有平均等待时间、系统繁忙率、系统容量利用率等。

这些指标可以帮助决策者优化排队系统的设计和管理。

排队模型与分析M/M/1模型M/M/1模型是排队理论中最简单的排队系统模型，它是一个单服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。

M/M/1模型的性能指标可以通过排队论的公式计算得出。

M/M/s模型M/M/s模型是排队理论中的多服务器排队模型，它是一个多个服务器、顾客到达过程和服务过程均为指数分布的排队系统。

第九章排队论

第九章排队论

第九章排队论1、某混凝土搅拌站只有一套搅拌设备，一直平均每小时有4辆浇灌车来装搅拌好的混凝土，并且每车混凝土平均需要6分钟搅好装上车。

浇灌车的到达次数服从泊松分布，服务时间服从负指数分布。

试求：（1）搅拌站空闲时间的概率；（2）站上有三辆车的概率；（3）站上至少有一辆车的概率；（4）在系统中的平均车辆；（5）在系统中的平均等待装车的车辆；（6）平均逗留时间；（7）车辆平均到达间隔时间；（8）平均等待时间。

2、某建筑工地修理部只有一个修理工人，来修理的顾客到达数服从泊松分布，平均每小时5人，修理时间服从负指数分布，平均需8分钟。

试求修理部不空闲的概率，修理部至少有一个顾客的概率，修理部顾客的平均数，在修理部内平均逗留时间，必须在修理部内逗留12分钟以上的概率。

3、某建筑公司自设卫生所。

每小时到达该所看病的病人平均为4人，而所中仅一位医生，给病人诊断治病的速率平均为每小时5人。

若到达过程为泊松过程。

服务时间服从负指数分布。

试计算平均在卫生所里等待看病及看病的人数，平均在卫生所里等待看病的人数，平均每位来看病的职工需消耗的时间，平均每位来看病的职工需消耗的等待看病时间，没有职工来看病的概率。

4、设有两个售票亭，现考虑每分钟平均到达6.4人的最简单流，服务时间服从负指数分布，平均每分钟可服务4人。

试求系统中无人的概率，系统中的平均人数，排队等候的平均人数，顾客等候的平均时间。

5、某电信局准备在新建成的国际机场装设电话亭，而电信局的目标是每一个等候电话的概率不超过0.10；使用电话的平均需求率为每小时30人，且为最简单流，使用电话的平均时间为5分钟，且为负指数分布。

应该置多少个电话亭？6、设有两个修理工人，其责任是保证5台灵敏的机器能正常运行。

每台机器平均损坏率为每小时一次，这两位工人能以相同的平均修复率4小时修理机器，求⑴等待修理的机器平均数；⑵机器在系统中的平均台逗留时间。

7、设某电话间顾客按泊松流到达，平均每小时到达6人，每次通话时间平均为8分钟，方差为16分钟，通话时间服从爱尔朗分布。

排队论及应用举例-

排队论及应用举例-
上述形式的选择，一方面依赖于被服务顾客数；另一方面，依赖于服务顺序的特殊要求。
单阶段
单通道
多阶段
单阶段 队列结构 多通道 多阶段 单阶段 从多通道到单通道 混合式 交 错 通 道 多阶段
图6-6 5-6 队列结构
顾客离开
顾客接受服务后，离 开的情况可能有两种
“经常发生事件（recurring-common-cold case）”：顾客回到顾 客源，马上成为一名新的顾客要求服务。如：机器例行修理后重新 使用，可能再次出现故障而需要修理。
“只发生一次事件（appendectomy-only once case）”：顾客 重新要求服务的可能性极小，即不可能重新要求服务。如：机器 进行彻底检查和修理后，在一段时间内不会重新维修。
顾客源有限时，对回头客服务的任何改变都会改变顾客到达率，引起排队问题的特征的改变。
三、排队模型
问题一：顾客等待。 银行希望知道有多少顾客在等待其服务到车（drive-in）出纳员的服务？出纳员的效率 是多少？如果要求在95%的时间内，任一时刻系统中不超过三辆车，则其服务率应达到什 么水平？ 问题二：设备选择。 公司有三中不同的设备可以提供同一种服务，设备功率越大，成本也越高，但服务速度 越快。因此作决策时，成本与收入是紧密相联的。 问题三：服务人数决策。 经销公司的一个销售部门必须决定一个柜台雇佣多少职员。职员越多，成本也越高，但 服务等待时间的减少能带来部分成本的节约。 问题四：有限总体。 前述都是无限总体，而对于有限顾客总体，如：车间有若干台设备，一名维修工负责4 台设备的运转，在充分考虑设备闲置成本和维修工的服务成本的基础上，决定应该雇佣多 少名维修工？
（3） 下一个顾客将在小于t 分钟内到达的概率 (3)=(1)-(2) 0 0.39 0.63 0.78 0.86

排队论_运筹学

排队论_运筹学

排队论例1题目：某火车站的售票处设有一个窗口,若购票者是以最简单流到达,平均每分钟到达1人,假定售票时间服从负指数分布,平均每分钟可服务2人,试研究售票窗口前排队情况解:由题设λ=1(人/分),μ=2(人/分),ρ=λμ=12平均队长L=1ρρ-=1(人)平均等待队长Lq=21ρρ-=12(人)平均等待时间Wq=λμμ（-1）=12(分)平均逗留时间W=1μλ-=1(分)顾客不需要等待的概率为P o=12,等待的顾客人数超过5人的概率为P(N≥6)=1766666111111()(1)()()()()222222n n nnn n n nPρ-∞∞∞∞=====-===∑∑∑∑1例2题目：在某工地卸货台装卸设备的设计方案中,有三个方案可供选择,分别记作甲、乙、丙。

目的是选取使总费用最小的方案，有关费用（损失）如下表所示设货车按最简单流到达，平均每天（按10小时计算）到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布，每辆车停留1小时的损失为10元。

解：平均到达率λ=1.5车/小时,服务率μ依赖于方案μ甲=1000/500/袋小时袋车=2车/小时μ乙=2000/500/袋小时袋车=4车/小时μ丙=6000/500/袋小时袋车=12车/小时由(7.2.6),1辆车在系统内平均停留时间为W甲=12-1.5=2(小时/车)W乙=14-1.5=0.4(小时/车)W丙=112-1.5=0.095(小时/车)每天货车在系统停留的平均损失费为W⨯10⨯15,每天的实际可变费用(如燃料费等)为(可变操作费/天)⨯设备忙的概率=c p(元/天)而ρ甲=0.75 , ρ乙=0.375 , ρ丙=0.125,所以每个方案的费用综合如下表所示:23例3 题目：要购置计算机,有两种方案.甲方案是购进一大型计算机,乙方案是购置n 台小型计算机.每台小型计算机是大型计算机处理能力的1n设要求上机的题目是参数为λ的最简单流,大型计算机与小型计算机计算题目的时间是负指数分布,大型计算机的参数是μ.试从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案 解：设ρ=λμ，按甲方案，购大型计算机 平均等待时间 q W 甲=ρμρ（1-）=λμμλ（-）平均逗留时间 W 甲=1μλ- 按乙方案，购n 台小型计算机，每台小计算机的题目到达率为n λ，服务率为nμ, ρ=//n n λμ=λμ平均等待时间 W q 乙=nρμρ（1-）=n ρμρ（1-）=nW q 甲平均逗留时间 W 乙=1n nμλ-=n μλ-=nW 甲所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应该购置大型计算机4例4题目：设船到码头，在港口停留单位时间损失c 1 元，进港船只是最简单流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布，服务费用为c μ2，c 2是一个正常数.求使整个系统总费用损失最小的服务率μ 解:因为平均队长L λμλ=-,所以船在港口停留的损失费为1c λμλ-,服务费为c μ1,因此总费用为 1c F c λμμλ=+-2 求μ使F 达到最小,先求F 的导数12()c dF c d λμμλ=-+-2 让dF d μ=0,解出2μλ=因为 22F u μμ*=∂∂=22()c λμλ*-1>0 (μ>λ) 最优服务率是μ*,当μμ*=时, 12()[c F c c λμλ*=+5例5题目：一个理发店只有一个理发师,有3个空椅供等待理发的人使用,设顾客以最简单流来到,平均每小时5人,理发师的理发时间服从负指数分布,平均每小时6人.试求L ,q L ,W ,q W解:λ=5(人/小时) , μ=5(人/小时) , k =4 , 56ρ= 用公式(7.2.10),(7.2.11),(7.2.12),(7.2.13)得到565555[16()5()]666 1.9715[1()]66L -+==- 5555(1)[16()]66 1.97 1.2251()6q L -=+=- 55555()[1()]660.101()6P -==- 5(1)z LLW P λλ==-=1.9750.9=0.438(小时)0.271qq zL W λ==(小时)6例6题目：给定一个//1/M M k 系统,具有λ=10(人/小时), μ=30（人/小时），k =2.管理者想改进服务机构.方案甲是增加等待空间,使k =3.方案乙是将平均服务率提高到μ=40(人/小时),设服务每个顾客的平均收益不变,问哪个方案获得更大收益,当λ增加到每小时30人,又将有什么结果?解:由于服务每个顾客的平均收益不变,因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数k n 成正比(注意,不考虑成本)!(1)(1)1k k k k n p λρλρ+-=-=- 方案甲:k=3, λ=10, μ=3033411()310[]11()3n -=-=9.75 方案乙: k=2, λ=10, μ=40223110(1())311()4n -=-=9.5 因此扩大等待空间收益更大 当λ增加到30人/小时时,λρμ==1.这时方案甲有3330()31n =+=22.5(人/小时) 而方案乙是把μ提高到μ=40人/小时. λρμ==3040<1, k=2 2233(1())430[]31()4n -=-=22.7(人/小时) 所以当λ=30人/小时时,提高服务效益的收益比扩大等待空间的收益大7例7题目：一个大型露天矿山,考虑建设矿山卸矿场,是建一个好呢?还是建两个好.估计矿车按最简单流到达,平均每小时到达15辆,卸车时间也服从负指数分布,平均卸车时间是3分钟,每辆卡车售价8万元,建设第二个卸矿场需要投资14万元解:平均到达率 λ=15(辆/小时) 平均服务率 μ=20(辆/小时) 只建一个卸矿场的情况:1ρρ==1520=0.75 在卸矿场停留的平均矿车数0,,,,,,q q q q p p L L W W λμL λμλ=-=152015-=3(辆)建两个卸矿场的情况:ρ=0.75,2μ=2λμ=0.375 2101220[10.75(0.75)]0.452!22015P -=++=- 220.451520(0.75)0.750.120.750.871!(22015)L +=+=+=-因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为:3-0.87=2.13辆.就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石.而每辆卡车的价格为8万元,所以相当于增加2.13⨯8=17.04万元的设备,建第二个卸矿场的投资为14万元,所以建两个卸矿场是合适的.8例8题目：有一个///M M c ∞系统,假定每个顾客在系统停留单位时间的损失费用为c 1元,每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c 2元.要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小解:单位时间平均损失费为F c L c c μ=+12要求使F 达到最小的正整数解c *,通常用边际分析法:找正整数c *,使其满足{()(1)()(1)F c F c F c F c ****≤+≤-由()(1)F c F c **≤+,得到122()(1)(1)c L c c c c L c c c μμ****+≤+++所以 21()(1)c L c L c c μ**-+≤ 同样,由()(1)F c F c **≤-得到21(1)()c L c L c c μ**--≥因此c *必须满足不等式21()(1)c L c L c c μ**-+≤≤(1)()L c L c **-- 取c =1,2,…,计算()L c 与(1)L c +之差,若21c c μ落在()(1)L c L c **-+,(1)()L c L c **--之间,c *就是最优解9例9题目：某公司中心实验室为各工厂服务,设做实验的人数按最简单流到来.平均每天48(人次/天),1c =6(元).作实验时间服从负指数分布,平均服务率为μ=25(人次/天),2c =4(元),求最优实验设备c *,使系统总费用为最小. 解:λ= 48(人次/天)，μ=25(人次/天)，λμ＝1.92 按///M M c ∞计算0P ,()L c 等(注意以下公式只对0 1.92cρ=<1成立). 201100(1.92)(1.92)[]!(1)!( 1.92)n P n c c ρ--==+--∑12(1.92)() 1.92(1)!( 1.92)c L c P c c +=+-- 将计算结果列成下表21c c μ=1006=16.67 所以取c *=3,总费用最小10例10题目：设有2个工人看管5台自动机,组成//2/5/5M M 系统,λ=1(次/运转小时),μ=4(次/小时),求平均停止运转机器数L 、平均等待修理数q L 以及每次出故障的平均停止运转时间W 、平均等待修理时间q W解：14λμ=，18c λμ=由（7.3.1）,(7.3.2)有 0P =0.3149 1P =0.391 2P =0.197 由（7.3.3）,(7.3.4)有 q L =0.118,L =1.094,c λ=3.906 由（7.3.5）,(7.3.6)有W =0.28(小时),q W =0.03(小时)实际上,这些数量指标有表可查例11题目：设某厂有自动车床若干台,各台的质量是相同的,连续运转时间服从负指数分布,参数为λ,工人的技术也差不多,排除故障的时间服从负指数分布,参数为μ.设λμ=0.1,有两个方案.方案一:3个工人独立地各自看管6台机器.方案二,3个工人共同看管20台机器,试比较两个方案的优劣解:方案一.因为是分别看管,可以各自独立分析,是3个//1/6M M 系统.由上面的公式可求出01P -=0.5155,c =0.5155, a =5.155Lq =0.3295, L =0.845,(1)q =0.4845,(1)r =0.0549方案二.m =20,c =3,λμ=0.1,可求得c =1.787,a =17.87,q L =0.339 L =2.126,(3)q =0.4042,(3)r =0.01695机器损失系数,修理工人损失系数都小于方案一,所以方案二较好11例12题目：某露天铁矿山,按设计配备12辆卡车参加运输作业(每辆载重160吨,售价72万元),备用车8辆,要求保证同时有12辆车参加运输的概率不低于0.995.设每辆平均连续运输时间为3个月,服从负指数分布.有两个修理队负责修理工作,修理时间服从负指数分布.平均修复时间为5天.问这个设计是否合理.解:由假设知,这是////M M c m N m +系统,m =12,1λ=3,1μ=6(月)c =2我们有m c λμ=0.3333,c μλ=36用c N ≤的公式,求N ,要求00.995Nn n p =≥∑设N =2,有Nnn p=∑=0.9474,当N =3时,有Nnn p=∑=0.9968.所以3辆备用车就能达到要求,原设计用的备用车太多当N =3时,卡车的利用律(2)q =0.793712例13题目：假定例2.1中工人的到达服从泊松分布，λ=8人/小时，试分别计算1h 内到达4，5，6，…，12个工人的概率。

运筹学课件排队论

运筹学课件排队论
长分布、负指数分布、K级爱尔良分布、
一般分布(所有顾客的服务时间都是独 立同分布的)等等。
1.基 本 概 念
（三）排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输 入过程、排队规则和服务机制的变化对 排队模型进行描述或分类，可给出很多 排队模型。为了方便对众多模型的描述， 肯道尔（D．G．Kendall）提出了一种 目前在排队论中被广泛采用的 “Kendall记号”，完整的表达方式通 常用到6个符号并取如下固定格式：
前言
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不 能立即获得服务而又允许排队等待，则加 入等待队伍，待获得服务后离开系统，见 图1至图5。
图1 单服务台排队系统
前言
图2 单队列——S个服务台并联的排队系统 图3 S个队列——S个服务台的并联排队系统
前言
图4 单队——多个服务台的串联排队系统 图5 多队——多服务台混联、网络系统
一般来说，排队论所研究的排队系统中， 顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长 短都是随机的，因此这样的服务系统被称为 随机服务系统。
1.基 本 概 念
一 排队系统的描述
（一）系统特征和基本排队过程 实际的排队系统虽然千差万别，但是它们 有以下的共同特征：
(1)有请求服务的人或物——顾客； (2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；
队长和排队长一般都是随机变量。 我们希望能确定它们的分布，或至少能 确定它们的平均值(即平均队长和平均 排队长)及有关的矩(如方差等)。队长 的分布是顾客和服务员都关心的，特别 是对系统设计人员来说，如果能知道队长
的分布，就能确定队长超过某个数的概率， 从而确定合理的等待空间。
1.基 本 概 念
2．等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段
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9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
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9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
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9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
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9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
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9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。
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9.1.1 排队系统的描述和组成
（2）排队及排队规则 描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序，一 般包括损失制、等待制和混合制三种。 ①损失制：指排队空间为零的系统，即当顾客到达排队系统时，若所有 的服务台均被占用（正在进行服务），则顾客离开系统，永不再来。 ②等待制：当顾客到达排队系统时，若所有的服务台均被占用（正在进 行服务），则顾客就加入排队行列等待服务，服务台按照下面的规则 对顾客进行服务：先到先服务（FCFS）、后到先服务（FCLS）、随 机服务（SIRO）、有优先权的服务（PR） ③混合制：是等待制和损失制系统的结合，一般是指允许排队，但又不 允许队列无限长下去。具体来讲，分为以下三种： • 队长有限，即系统的等待空间是有限的； • 等待时间有限，即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T， 当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来； • 逗留时间有限（等待时间和服务时间之和）。
（2）统计推断问题的研究 在建立实际问题的排队系统模型时，首先 要对现实数据进行收集、处理，然后分析 顾客相继到达的间隔时间是否相互独立， 确定其分布的类型和相关参数，研究服务 时间的独立性以及服务时间的分布等，在 此基础上，选择适合该系统的排队模型， 再用排队模型进行分析和研究。
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9.1.1 排队系统的描述和组成
（3）服务机构及服务规则 指服务机构服务设施的个数、排列方式及服 务方式，一般从以下几个方面进行描述： • • • • 服务台（员）的数目：服务机构可以没有服务员，也可以有一个或者 多个服务员； 服务台的排列情况：有单队—单服务台、单队—多服务台、多对—多 服务台、串联多服务台及混合多服务台等多种形式； 服务台（员）的服务方式：对顾客是单个服务还是成批进行服务，本 章只研究对顾客进行单个服务的方式； 服务时间：同输入过程一样，对顾客的服务时间也分确定型的还是随 机型的，如果是随机分布，需要知道单位时间内服务的顾客数或者是 对顾客相继服务的时间间隔的概率分布。服务时间的分布是平稳的， 是指服务时间的分布参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的。 本章主要讨论服务时间的分布是平稳的情形。 在排队论中，一般假设顾客相继到达的间隔时间和服务时间至少有一 个是随机的。
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9.1.3 排队论研究的基本问题
其常用的主要衡量指标如下： 4）等待时间 （Wq）：一个顾客在系统中排队等待的平均时间。显然有 逗留时间＝等待时间＋服务时间 5）忙期：是指从顾客到达空闲着的服务机构，到服务机构再次成为空闲的 这段时间，即服务机构连续忙碌的时间，它代表了服务员的工作强度。 6）闲期：即服务机构连续保持空闲的时间。 7）服务设备利用率：服务设备工作时间占总时间的比例，这也是衡量服务 机构利用效率的指标。
负指数分布具有下列性质：
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9.1.3 排队论研究的基本问题
（1）排队系统工作状况的衡量 一个排队系统运行状况的好坏不仅会影响顾客的利益，也会影响服务 机构的利益，甚至会影响到社会效果的好坏。通过研究运行系统在平 衡状态下的概率分布及其数字特征，了解排队系统运行的效率、服务 质量等等，进而可以判断系统运行状况的优劣。 其常用的主要衡量指标如下： 1）队长（Ls）：排队系统中顾客的平均数（期望值），它是正在服务的 顾客和等待接受服务的顾客总数的期望值。 2）队列长（Lq）：排队系统中平均等待服务顾客数的期望值。显然有 队长＝排队长＋正被服务的顾客数 3）逗留时间（Ws）：一个顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留 时间的期望值。
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第九章 排队论
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第九章

排队论
在生产和日常生活中，人们会遇到很多排队现象，比如去火车站购 票、到医院就诊、上银行办理业务以及要求起降的飞机、进港待泊 的船只、工厂待修的机器等等。在这些问题中，售票员与买票人、 医生与患者、银行工作人员与顾客、机场跑道与起降的飞机、港口 的泊位与进港的船只、维修工与待修的机器等等，均构成一个排队 系统或服务系统。 在排队系统中，如果服务员（服务台）过少，会引起顾客的不满， 影响排队系统的服务效率；如果服务员（服务台）过多，会增加服 务机构的运营、维护成本。如何协调二者之间的关系，就需要用排 队论的知识加以解决。 排队论就是研究排队系统（又称随机服务系统）的一门数学理论和 方法。它是在对各种排队系统概率规律性进行研究的基础上，解决 排队系统的最优设计和最优控制问题。
则称T服从负指数分布。 用 F ( t ) 表示
t 的概率分布函数，则有
t − µt 0 − µt − µt −∫ d = − dt = e 1 e 0 t
F (t ) = P {T ≤ t} = ∫ µe
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9.2.3 负指数分布
∑ P ( ∆t ) = o ( ∆t )
n=2 n
∞
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9.2.பைடு நூலகம் 泊松分布
在满足上述三个条件下，可以推出在t时间段内有n个顾客到达服务系统的 概率为
Pn ( t )
λt ) ( =
n!
n
e − λt
n = 0,1, 2,
其中 t ≥ 0， λ > 0 为一常数，表示单位时间到达的顾客数，即为到达率。


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第九章
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8
排队论
基本概念 几个常用的概率分布 单服务台负指数分布的排队系统 多服务台负指数分布排队系统模型 一般服务时间M/G/1模型 排队系统的建模与优化 电子表格建模和求解 案例分析 办公室设施公司（OEI）服务能力分析
[t , t + ∆t ]时间内没有顾客到达的概率为
由于最简单流与实际顾客到达流的相似性，更由于最简单流容易处理，因 此到目前为止排队论中大量的研究都是基于最简单流的情况。
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9.2.3 负指数分布
若随机变量T的概率密度函数为
µ e − µt , t ≥ 0 f (t ) = t<0 0,
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•
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9.1.2 排队模型的分类
Kendall符号——X/Y/Z/A/B/C X表示顾客相继到达的间隔时间分布 Y表示服务时间的分布 Z表示并列的服务台个数 A表示系统容量限制 B表示顾客源中的顾客数目 C表示服务规则（如先到先服务FCFS，后到先服务LCFS） • 如略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。
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9.1.3 排队论研究的基本问题
这里的服务水平是指服务机构提供服务方面的能力，如服 务台的个数、服务率等，服务费用是指达到相应服务水平 所付出的费用，包括增加服务内容、提高服务率、组织动 态服务台服务及管理支出的总费用，它一般随着服务水平 的提高而上升；等待费用是指在相应的服务水平下，由于 等待服务而产生的顾客及系统费用，包括顾客由于等待服 务造成的损失费用、系统损失的顾客对系统造成的机会损 失费用等，一般来讲它随着服务水平的提高而减少。