浙江省2019年高考数学压轴卷含解析2019051401129

浙江省2019年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则()U A C B ⋂= A. ∅ B. {}5 C. {}3 D. {}3,52. 已知双曲线222211x y a a -=-（0a >）的离心率为2，则a 的值为（ ） A.12 B. 2 C. 13D. 33.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为422A +．2B ． 442C +．2D ．6+4 4. 若复数z 满足： ()1120z i ++=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A. 12-B. 12C. 12i -D. 12i 5. 函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.-221Oxy -221OxyA BC D6.已知平面α与两条不重合的直线,a b ，则“a α⊥，且b α⊥”是“//a b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.()()4511x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A. 4 B. -4 C. 6 D. -68. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查. 根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是25P ＝.现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，则期望()E X 和方差()D X 分别是（ ）.A.25，1825B. 65，1825C. 65，1625D. 65，12259.已知A ，B ，C 是球O的球面上三点，且3AB AC BC D ＝＝，＝为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D ­ABC 体积的最大值为（ ）．D. 27410. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若755,55a S ==-，则n nS 的最小值为（ ） A ．-343B ．-324C ．-320D ．-243非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．12. 已知,x y 满足条件0,40, 10,x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2x y +的最大值是_____，原点到点(),P x y 的距离的最小值是_____．13．在ABC ∆中，若2,120b A ==o，三角形的面积S =c =________；三角形外接圆的半径为________.14.已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______.15.已知实数()(),0lg ,0xe xf x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的方程()()20f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．16. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种17. 已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O为坐标原点），若椭圆的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知等差数列n 的前项和为n，若*12401)4(2m m m S S S m m N ≥∈－＋＝－，＝，＝，且．(1)求m 的值； (2)若数列{}n b 满足*22()nn a log b n N ∈＝，求数列6{()}·n n a b ＋的前n 项和．20.如图，已知四棱锥，底面为菱形，，, ABCD平面ABCD ， ,M N 分别是,BC PC 的中点. （1）证明： AM PAD ⊥平面；（2）若H 为上的动点，与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角M AN C --的余弦值.21.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为5.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由. 22.已知函数()()2ln R f x x ax x a =-+-∈.（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.2019 浙江省高考压轴卷 数学（Word 版含解析）1．【答案】D【解析】∵{}1,2,3,4,5,6U =， {}1,2B =， ∴{}3,4,5,6U B =ð，∴(){}{}{}1,3,53,4,5,63,5U A B ⋂=⋂=ð.选D.2. 【答案】B【解析】因为2222112c a a a =+-==，所以2212e a==，解得22a =，故选B. 3.【答案】D 【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱'''ABC A B C -， 底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2、斜边是2， 且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积1221222226422S =⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=+， 故选：D ． 4. 【答案】B【解析】()1120z i ++= ()1111i 12i 2z -⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭,所以复数z 的虚部是12,选B. 5. 【答案】D【解析】设()22e xf x x =-，由()()228e 0,1f =-∈，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D. 6.【答案】A【解析】若,a b αα⊥⊥，则必有//a b ，但//a b 时，直线,a b 与平面α可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“,a b αα⊥⊥”是“//a b ”的充分不必要条件，故选A ． 7.【答案】B 【解析】()()()()450122334401223344554444455555511x x C C x C x C x C x C C x C x C x C x C x-+=-+-++++++ ()()234234514641510105x x x x x x x x x -+-++++++，所以3x 的项为3223311041065414x x x x x x x ⨯-⨯+⨯-⨯=-，故3x 的系数为4-，故选B.8.【答案】B【解析】由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率25P ＝.从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，所以33223(3,()()0123.555()()i i iX B P X i C i -～)，＝＝＝，，，X 的分布列为均值()355E X np ⨯＝＝＝， 方差()2218135525()D X np p ⨯⨯＝－＝(1-)＝. 9.【答案】D 【解析】如图，在△ABC 中，∵3AB AC BC ＝＝，＝ ∴由余弦定理可得2223312332cosA +-⨯⨯＝＝－，∴2sinA .设△ABC 外接圆O ′的半径为r ，则33233r r ＝，得＝. 设球的半径为R ，连接OO ′，BO ′，OB ，则222)32R R ＝(＋，解得23R ＝. 由图可知，当点D 到平面ABC 的距离为32R时，三棱锥D ­ABC 的体积最大， 1393332ABC S ∆⨯⨯⨯Q ＝＝，∴三棱锥D ­ABC 体积的最大值为19327334⨯⨯3=.10. 【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵755,55a S ==-，∴()11a 65{5a 2d 55d +=+=-解得1a 19{4,d =-=∴()2n n n 1S 19n 42n 21n,2-=-+⨯=-32n nS 2n 21n ∴=-， 设()()()()32f x 2x 21xx 0,f x 6x x 7=->=-',当 07x <<时，()f x 0'<,当7x >时，()f x 0'>,故n nS 的最小值为()7343f =-. 故选：A.11.【答案】7,53 【解析】 设共有人，由题意知 8874x x -=+， 解得7x =，可知商品价格为53元. 即共有7人，商品价格为53元. 12.【答案】2【解析】不等式组对应的可行域如下：当动直线20x y t +-=过时，2x y +有最大值，又()2,2B ，故2x y +的最大值为6． 原点到P 的距离的最小值即为()()2201012OA =-+-=213．【答案】 2 2 【解析】1321202S csin ==⨯︒，解得c=2. ∴2222222212012a cos =+-⨯⨯⨯︒=， 解得3a =∴23243a R sinA ===， 解得R=2. 故答案为：2;2. 14.【答案】 4 5【解析】设向量,a b vv 的夹角为θ，由余弦定理有：2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-vv ，()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+vv ，则： 54cos 54cos a b a b θθ++-=+-v vv v令54cos 54cos y θθ=+-[]221022516cos 16,20y θ=+-，据此可得： ()()maxmin2025,164a b a ba b a b++-==++-==v vv vv v v v ，即a b a b ++-v vv v 的最小值是4，最大值是515.【答案】(],2-∞-【解析】原问题等价于()()2f x f x t +=-有三个不同的实根，即y t =-与()()2y f x f x =+有三个不同的交点，当0x ≥时，()()22x x y f x f x e e =+=+为增函数，在0x =处取得最小值为2，与y t =-只有一个交点.当0x <时，()()22lg ()lg()y f x f x x x =+=-+-，根据复合函数的单调性，其在(),0-∞上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需2t -≥，解得2t ≤-. 16.【答案】A【解析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有42648⨯⨯=种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有32636⨯⨯=种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有336A =种安排方法，则此时有32636⨯⨯=种编排方法；则符合题意要求的编排方法有363648120++=种；故选A ． 17.【答案】2【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由222211y x x y a b=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222222()20a b x a x a a b +-+-=，42222244()()0a a b a a b ∆=-+->，221a b +>，2122222212222a x x a ba ab x x a b ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∵OA OB ⊥，∴12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r，即12122()10x x x x -++=，∴222222222()210a a b a a b a b --+=++，整理得22222a b a b +=，2222222()a a c a a c +-=-，222222222()a a e a a a e -=-，2222212111e a e e -==+--，∵1[,22e ∈，∴272[,5]3a ∈，即2a ==最大．19.【答案】（1）5；（2）1*12()()2n n T n n N ⨯∈－＝－＋．【解析】(1)由已知得，14m m m a S S －＝－＝，且12214m m m m a a S S ＋＋＋＋＝－＝， 设数列{}n a 的公差为d ，则有2314m a d ＋＝， 2.d ∴＝由0m S ＝，得1(1)202m m ma -⨯＋＝，即11a m ＝－， 11()214m a a m m ∴⨯＝＋－＝－＝，5m ∴＝.(2)由(1)知14226n a d a n ∴＝－，＝，＝－，3232n n n n log b b ∴－－＝，得＝，322(62)2n n n n a b n n ∴⋅⨯⨯－－＋＝＝.设数列6{()}·n n a b ＋的前n 项和为n T ， 则1032(1222122)n n n T n n ⨯⨯⋯⨯⨯－－－＝＋＋＋－＋，① 0121(2122212)2n n n T n n ⨯⨯⋯⨯⨯－－＝＋＋＋－＋，②①－②，得10212222n n n T n ⋯⨯－－－－＝＋＋＋－112(12)212n n n --⨯-－＝－111222n n n ⨯－－＝－－， 1*()112()2n n T n n N ∴⨯∈－＝－＋． 20.【答案】（1）详见解析（2）15 【解析】(1)证明：由四边形ABCD 为菱形， 120BAD ∠=︒，可得60ABC ABC ∠=︒n ，为正三角形。