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(完整版)2017年浙江省温州市高考数学模拟试卷(2月份)(解析版)

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2017年浙江省温州市高考数学模拟试卷（2月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|≤1}，B={x|0＜x≤1}，则A∪B=（）A．（0，3]B．（0，1]C．（﹣∞，3]D．{1}2．（4分）设复数z1=﹣1+2i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1•z2=（）A．﹣4 B．3i C．﹣3+4i D．﹣4+3i3．（4分）已知空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，下列命题正确的是（）A．若m∥α且n∥α，则m∥nB．若m⊥β且m⊥n，则n∥βC．若m⊥α且m∥β，则α⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α则m不垂直于n4．（4分）若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，]5．（4分）设离散型随机变量X的分布列为X123P P1P2P3则EX=2的充要条件是（）A．P1=P2B．P2=P3C．P1=P3D．P1=P2=P36．（4分）若二项式（+）n的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x的系数为（）A．1 B．5 C．10 D．207．（4分）要得到函数y=sin（3x﹣）的图象，只需将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位8．（4分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与BCD均为等于直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．（0，）B．[0，]C．（，） D．（，）9．（4分）记max{a，b}=，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ，μ≥0，且λ+μ=1，则当max{•，•}取最小值时，||=（）A．B．C．1 D．10．（4分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+1）=+，则f（0）+f（2017）的最大值为（）A．1﹣B．1+C．D．二、填空题（本小题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11．（6分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=2，C=60°，则c=，△ABC的面积S=．12．（6分）若实数x，y满足，则y的最大值为，的取值范围是．13．（6分）如图，一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积是，表面积是．14．（6分）在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为，乙丙两名同学都选物理的概率是．15．（6分）在等差数列{a n}中，若a22+2a2a8+a6a10=16，则a4a6=．16．（6分）过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F直线交该抛物线与A，B两点，若|AF|=8|OF|（O为坐标原点），则．17．已知a，b，c∈R，若|acos2x+bsinx+c|≤1对x∈R成立，则|asinx+b|的最大值为．三、解答题（本大题5小题，共74分）18．（14分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）若﹣＜α＜0，f（α）=，求sin2α的值．19．（15分）在四菱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．（I）求证：PA⊥AB；（II）求直线AD与平面PCD所成角的大小．20．（15分）设函数f（x）=，证明：（I）当x＜0时，f（x）＜1；（II）对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．21．（15分）已知直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若直线l′：y=﹣x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．22．（15分）设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），S n为{a n}的前n项和．证明：对任意n∈N*，（I）当0≤a1≤1时，0≤a n≤1；（II）当a1＞1时，a n＞（a1﹣1）a1n﹣1；（III）当a1=时，n﹣＜S n＜n．2017年浙江省温州市高考数学模拟试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）（2017•温州模拟）设集合A={x||x﹣2|≤1}，B={x|0＜x≤1}，则A∪B=（）A．（0，3]B．（0，1]C．（﹣∞，3]D．{1}【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x||x﹣2|≤1}={x|1≤x≤3}，B={x|0＜x≤1}，∴A∪B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：A．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2．（4分）（2017•温州模拟）设复数z1=﹣1+2i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1•z2=（）A．﹣4 B．3i C．﹣3+4i D．﹣4+3i【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z1•z2=（﹣1+2i）（2+i）=﹣4+3i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）（2017•温州模拟）已知空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，下列命题正确的是（）A．若m∥α且n∥α，则m∥nB．若m⊥β且m⊥n，则n∥βC．若m⊥α且m∥β，则α⊥βD．若m不垂直于α，且n⊂α则m不垂直于n【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，n∥β或n⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m可以垂直于n．【解答】解：由空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，知：在A中，若m∥α且n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥β且m⊥n，则n∥β或n⊂β，故B错误；在C中，若m⊥α且m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n⊂α，则m可以垂直于n，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．（4分）（2017•温州模拟）若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，]【分析】由题意利用点到直线的距离小于等于半径，求出b的范围即可．【解答】解：由题意可知圆的圆心坐标为（0，0），半径为1，因为直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点，所以≤1，解得﹣≤b≤．故选D．【点评】本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．5．（4分）（2017•温州模拟）设离散型随机变量X的分布列为X123P P1P2P3则EX=2的充要条件是（）A．P1=P2B．P2=P3C．P1=P3D．P1=P2=P3【分析】当EX=2时，由离散型随机变量X的分布列的性质列出方程组得P1=P3，当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1能求出EX=2．从而得到EX=2的充要条件是P1=P3．【解答】解：由离散型随机变量X的分布列知：当EX=2时，，解得P1=P3，当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1．EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2．∴EX=2的充要条件是P1=P3．故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望为2的充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用．6．（4分）（2017•温州模拟）若二项式（+）n的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x的系数为（）A．1 B．5 C．10 D．20【分析】令x=1，则2n=32，解得n=5，再利用通项公式即可得出．【解答】解：令x=1，则2n=32，解得n=5，∴的通项公式：T r==，+1令=1，解得r=1．∴该展开式中含x的系数为=5．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（4分）（2017•温州模拟）要得到函数y=sin（3x﹣）的图象，只需将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：函数y=sin（3x﹣）=cos[﹣（3x﹣）]=cos（3x﹣），故将函数y=cos3x的图象向右平移个单位，可得y=cos（3x﹣）=sin（3x ﹣）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（4分）（2017•温州模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与BCD均为等于直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A．（0，）B．[0，]C．（，） D．（，）【分析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PA长的取值范围．【解答】解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，1，1），B（0，2，0），C（0，0，0），设Q（q，0，0），=（0，λ，﹣λ），则=﹣==（q，0，0）﹣（0，1，1）﹣（0，λ，﹣λ）=（q，﹣1﹣λ，λ﹣1），∵异面直线PQ与AC成30°的角，∴cos30°====，∴q2+2λ2+2=，∴，∴，解得0，∴||=∈[0，]，∴线段PA长的取值范围是[0，]．故选：B．【点评】本题考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9．（4分）（2017•温州模拟）记max{a，b}=，已知向量，，满足||=1，||=2，•=0，=λ+μ（λ，μ≥0，且λ+μ=1，则当max{•，•}取最小值时，||=（）A．B．C．1 D．【分析】由题意画出图形，设，则，由已知求得λ的范围，把•，•均用含有λ的代数式表示，求出分段函数的值域，得到max{•，•}的最小值，进一步求得||．【解答】解：如图，设，则，∵λ，μ≥0，λ+μ=1，∴0≤λ≤1．又=λ+μ，∴=λ；=4﹣4λ．由λ=4﹣4λ，得．∴max{•，•}=．令f（λ）=．则f（λ）∈[]．∴，此时，∴=．∴．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，训练了分段函数值域的求法，属中档题．10．（4分）（2017•温州模拟）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+1）=+，则f（0）+f（2017）的最大值为（）A．1﹣B．1+C．D．【分析】由已知可得f（x+1）﹣f2（x+1）+f（x）﹣f2（x）=，令g（x）=f（x）﹣f2（x），则g（0）+g（2017）=，结合基本不等式和二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+1）=+，∴f（x）＞0且f2（x+1）=++f（x）﹣f2（x），则f（x+1）﹣f2（x+1）=+﹣[++f（x）﹣f2（x）]=﹣[f（x）﹣f2（x）]，故f（x+1）﹣f2（x+1）+f（x）﹣f2（x）=，令g（x）=f（x）﹣f2（x），则g（x+1）+g（x）=，则g（0）=g（2）=…=g（2016）；g（1）=g（3）=…=g（2017）；g（0）+g（2017）=，∴f（0）﹣f2（0）+f（2017）﹣f2（2017）=，f（0）+f（2017）=+f2（0）+f2（2017）≥+，即2[f（0）+f（2017）]2﹣4[f（0）+f（2017）]+1≤0，解得：f（0）+f（2017）∈[1﹣，1+]，故选：B【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数求值，基本不等式的应用，难度中档．二、填空题（本小题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11．（6分）（2017•温州模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=2，C=60°，则c=，△ABC的面积S=．【分析】由已知利用余弦定理可求c，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a=1，b=2，C=60°，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：c2=1+4﹣2×=3，∴c=，===．∴S△ABC故答案为：，．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．12．（6分）（2017•温州模拟）若实数x，y满足，则y的最大值为2，的取值范围是[，] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：可知A的纵坐标取得最大值：2．∵z=，则z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣2，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则z的最大为：=，最小为：=，即≤z≤，则z=，的取值范围是[，]，故答案为：2；[，]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键．13．（6分）（2017•温州模拟）如图，一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积是，表面积是3．【分析】易得此几何体为四棱锥，利用相应的三角函数可得四棱锥的高，把相关数值代入即可求解．【解答】解：由主视图和左视图为等腰三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为四边形可得此几何体为四棱锥，∵主视图为边长为1的正三角形，∴正三角形的高，也就是棱锥的高为，俯视图的边长为1，∴四棱锥的体积=×1×1×=，表面积是1+4×=3．故答案为，3．【点评】解决本题的关键是得到该几何体的形状，易错是确定四棱锥的底面边长与高的大小．14．（6分）（2017•温州模拟）在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，若同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为15，乙丙两名同学都选物理的概率是．【分析】同学甲必选物理，则甲选物理后还要从另外6门学科中再任选两门，由此能求出甲的不同选法种数；乙丙两名同学7门学科中任选3门，基本事件总数n=，乙丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m=，由此能求出乙丙两名同学都选物理的概率．【解答】解：在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门，同学甲必选物理，则甲的不同选法种数为：=15，乙丙两名同学7门学科中任选3门，基本事件总数n=，乙丙两名同学都选物理，包含的基本事件个数m=，∴乙丙两名同学都选物理的概率是p===．故答案为：15，．【点评】本题考查排列组合的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．15．（6分）（2017•温州模拟）在等差数列{a n}中，若a22+2a2a8+a6a10=16，则a4a6= 4．【分析】利用等差数列的性质，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a22+2a2a8+a6a10=16，∴a22+a2（a6+a10）+a6a10=16，∴（a2+a6）（a2+a10）=16，∴2a4•2a6=16，∴a4a6=4，故答案为4．【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（6分）（2017•温州模拟）过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F直线交该抛物线与A，B两点，若|AF|=8|OF|（O为坐标原点），则7．【分析】由题意，|AF|=4p，设|BF|=x，由抛物线的定义，可得，求出x，即可得出结论．【解答】解：由题意，|AF|=4p，设|BF|=x，则由抛物线的定义，可得，解得x=p，∴=7，故答案为7．【点评】本题考查抛物线的定义，考查方程思想，正确转化是关键．17．（2017•温州模拟）已知a，b，c∈R，若|acos2x+bsinx+c|≤1对x∈R成立，则|asinx+b|的最大值为2．【分析】由题意，设t=sinx，t∈[﹣1，1]，则|at2﹣bt﹣a﹣c|≤1恒成立，不妨设t=1，则|b+c|≤1；t=0，则|a+c|≤1，t=﹣1，则|b﹣c|≤1，再分类讨论，利用绝对值不等式，即可得出结论．【解答】解：由题意，设t=sinx，t∈[﹣1，1]，则|at2﹣bt﹣a﹣c|≤1恒成立，不妨设t=1，则|b+c|≤1；t=0，则|a+c|≤1，t=﹣1，则|b﹣c|≤1若a，b同号，则|asinx+b|的最大值为|a+b|=|a+c+b﹣c|≤|a+c|+|b﹣c|≤2；若a，b异号，则|asinx+b|的最大值为|a﹣b|=|a+c﹣b﹣c|≤|a+c|+|b+c|≤2；综上所述，|asinx+b|的最大值为2，故答案为2．【点评】本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题（本大题5小题，共74分）18．（14分）（2017•温州模拟）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）若﹣＜α＜0，f（α）=，求sin2α的值．【分析】（I）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（II）由条件求得sin（2α+）的值以及2α+的范围，可得cos（2α+）的值，再根据sin2α=sin（2α+﹣），利用两角差的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，∴函数f（x）的最小正周期为=π．（II）若﹣＜α＜0，则2α+∈（﹣，），∴f（α）=sin（2α+）+=，∴sin（2α+）=，∴2α+∈（0，），∴cos（2α+）==，∴sin2α=sin（2α+﹣）=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin=﹣=．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于中档题．19．（15分）（2017•温州模拟）在四菱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．（I）求证：PA⊥AB；（II）求直线AD与平面PCD所成角的大小．【分析】（I）取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，证明PA⊥平面ABCD，即可证明：PA⊥AB；（II）求出A到平面PCD的距离，即可求直线AD与平面PCD所成角的大小．【解答】（I）证明：取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE．∵PA⊂平面PAE，∴CD⊥PA，∵PA⊥AD，AD∩CD=D，∴PA⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB；（II）解：由题意，AD=PE=．设A到平面PCD的距离为h，则由等体积可得=，∴h=∴直线AD与平面PCD所成角的正弦值为=，大小为30°．【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（15分）（2017•温州模拟）设函数f（x）=，证明：（I）当x＜0时，f（x）＜1；（II）对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．【分析】（Ⅰ）原不等式等价于xf（x）﹣x＞0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，（Ⅱ）当0＜x＜ln（1+a）时，f（x）﹣1＜a，等价于e x﹣1﹣（a+1）x＜0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，同理可证﹣ln（1+a）＜x＜0，问题得以证明【解答】解：（Ⅰ）∵当x＜0时，f（x）＜1，等价于xf（x）＞x，即xf（x）﹣x ＞0，设g（x）=xf（x）﹣x=e x﹣1﹣x∴g′（x）=e x﹣1＜0，在（﹣∞，0）上恒成立，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，∴g（x）＞g（0）=1﹣1﹣0=0，∴xf（x）﹣x＞0恒成立，∴x＜0时，f（x）＜1，（Ⅱ）要证明当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a，即整0＜x＜ln（1+a）时，f（x）﹣1＜a，即证＜a+1，即证e x﹣1＜（a+1）x即证e x﹣1﹣（a+1）x＜0，令h（x）=e x﹣1﹣（a+1）x，∴h′（x）=e x﹣（a+1）＜e ln（a+1）﹣（a+1）=0，∴h（x）单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，同理可证当x＜0时，结论成立∴对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查学生的计算能力．21．（15分）（2017•温州模拟）已知直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）若直线l′：y=﹣x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．【分析】（I）联立直线与椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式为0，再将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y=b﹣x和椭圆方程，消去y，可得x 的方程，运用判别式大于0，韦达定理，再由A，B在直线上，代入直线方程，由垂直的条件，运用向量的数量积为0，化简整理，解方程可得b的值．【解答】解：（I）联立直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0），可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，由题意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即为9mn=m+n，又P在椭圆上，可得4m+n=1，解方程可得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y=b﹣x和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，判别式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，x1+x2=，x1x2=，y1+y2=2b﹣（x1+x2）=，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2=，由PA⊥PB，即为•=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1=﹣2•+﹣+5=0，解得b=3或，代入判别式，成立．则b=3或．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立方程组，运用判别式和韦达定理，同时考查两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（15分）（2017•温州模拟）设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣a n+1（n∈N*），S n为{a n}的前n项和．证明：对任意n∈N*，（I）当0≤a1≤1时，0≤a n≤1；（II）当a1＞1时，a n＞（a1﹣1）a1n﹣1；（III）当a1=时，n﹣＜S n＜n．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法能证明当0≤a1≤1时，0≤a n≤1．﹣a n=（）﹣a n=（a n﹣1）2≥0，知a n+1≥a n．从而=a n （Ⅱ）由a n+1≥a1，由此能证明当a1＞1时，a n＞（a1﹣1）a1n﹣1．（Ⅲ）当时，S n＜n，令b n=1﹣a n（n∈N*），则b n＞b n+1＞0，（n∈N*），由，得．从而，（n∈N*），由此能证明当时，．【解答】证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明．①当n=1时，0≤a n≤1成立．②假设当n=k（k∈N*）时，0≤a k≤1，则当n=k+1时，=（）2+∈[]⊂[0，1]，由①②知，．∴当0≤a1≤1时，0≤a n≤1．﹣a n=（）﹣a n=（a n﹣1）2≥0，知a n+1≥a n．（Ⅱ）由a n+1若a1＞1，则a n＞1，（n∈N*），从而=﹣a n=a n（a n﹣1），即=a n≥a1，∴，∴当a1＞1时，a n＞（a1﹣1）a1n﹣1．（Ⅲ）当时，由（Ⅰ），0＜a n＜1（n∈N*），故S n＜n，令b n=1﹣a n（n∈N*），由（Ⅰ）（Ⅱ），b n＞b n+1＞0，（n∈N*），由，得．∴=（b1﹣b2）+（b2﹣b3）+…+（b n﹣b n+1）=b1﹣b n+1＜b1=，∵≥，∴nb n 2，即，（n∈N*），∵==，∴b1+b2+…+b n[（）+（）+…+（）]=，即n﹣S n ，亦即，∴当时，．【点评】本题考查数列不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法、数列性质、放缩法的合理运用．第21页（共21页）。

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【数学】2017年高考真题——浙江卷(解析版)

【数学】2017年高考真题——浙江卷(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：球的表面积公式 锥体的体积公式24S R =π13V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 343V R =π台体的体积公式其中R 表示球的半径 1()3a b V h S S =+柱体的体积公式 其中S a ，S b 分别表示台体的上、下底面积 V =Shh 表示台体的高其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知}11|{<<-=x x P ，}02{<<-=x Q ，则=Q P A ．)1,2(- B ．)0,1(-C ．)1,0(D ．)1,2(--2．椭圆22194x y +=的离心率是A．3B．3C ．23D ．593．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．π2+1 B ．π2+3 C ．3π2+1 D ．3π2+3 4．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x +2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，+∞]D ．[4,+∞]5．若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关6．已知等差数列[a n ]的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6”>2S 5的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是8．已知随机变量ξ1满足P （1ξ=1）=p i ，P （1ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ9．如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面较为α,β,γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB ＝，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则A ．I １<I ２<I ３B ．I １<I ３<I ２C ． I ３<I １<I ２D ．I ２<I １<I ３非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省温州州市2016-2017学年高三数学仿真试卷(理科)Word版含解析

浙江省温州州市2016-2017学年高三数学仿真试卷(理科)Word版含解析

浙江省温州州市2016-2017学年高三仿真试卷（理科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．集合A={0，2，3}，B={x|y=3x ﹣x 0}，则A∩B=（ ）A ．{0}B ．{8，26}C ．{8}D ．{2，3}2．若函数f （x ）=3sin （2x+θ）（0＜θ＜π）是偶函数，则f （x ）在[0，π]上的递增区间是（ ）A ．[0，]B ．[，π]C ．[，]D ．[，π]3．已知a ，b 是两条互相垂直的异面直线，下列说法中不正确的是（ ）A ．存在平面α，使得a ⊂α且b ⊥αB ．存在平面β，使得b ⊂β且a ∥βC ．若点A ，B 分别在直线a ，b 上，且满足AB ⊥b ，则一定有AB ⊥aD ．过空间某点不一定存在与直线a ，b 都平行的平面4．设F 1、F 2是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若|PF 2|=2|PF 1|，∠F 1PF 2=60°，则双曲线离心率等于（ ）A ．B ．C ． +D ．﹣5．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知x ，y 满足的最大值为3a+9，最小值为3a ﹣3．则a 的取值范围是（ ）A ．[0，1]B ．[﹣1，1]C ．[﹣1，0]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）7．设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设坐标原点为O ，若（m ，n ∈R ），且mn=，则该双曲线的渐近线为（ ）A ．B ．C ．D ． 8．若函数f （x ）=x 2+ax+b 有两个零点x 1，x 2，且3＜x 1＜x 2＜5，那么f （3），f （5）（ ）A ．只有一个小于1B ．都小于1C ．都大于1D ．至少有一个小于1二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．若点A（0，1）落在圆C：x2+y2+2x﹣4y+k=0（C为圆心）的外部，则|AC|= ，实数k的取值范围是．10．设，为单位向量，且，的夹角为60°，若=+3， =2，则|+|等于，向量在方向上的投影为．11．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和等于，棱锥的体积等于．12．已知数列{an}为首项为a的等差数列，数列{+2n}是公比为q的等比数列，则q= ，实数a的取值范围是．13．抛物线x2=﹣8y的准线交y轴于点A，过A作直线交抛物线于M，N两点，点B在抛物线的对称轴上，若（2+）⊥，则||的取值范围是．14．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM的长是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．15．△ABC中，AB=5，AC=2，BC上的高AH=4， =x+y，则= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足=，b=，cos2C=．（Ⅰ）求B，a的值；（Ⅱ）若A＞，如图，D为边BC中点，P是边AB上动点，求|CP|+|PD|的最小值．17．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．（Ⅰ）求证：AD ⊥BM ；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E ﹣AM ﹣D 大小为时，求λ 的值．18．已知数列{a n }的前n 项和记为S n ，且满足S n =2a n ﹣n （n ∈N *）．（1）求a 1，a 2的值，并证明：数列{a n +1}是等比数列；（2）证明：．19．已知中心在原点O 的椭圆左，右焦点分别为F 1，F 2，F 2（1，0），且椭圆过点（1，）（1）求椭圆的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．20．已知函数f （x ）=ax 2+bx+c ，当|x|≤1时，|f （x ）|≤1恒成立．（Ⅰ）若a=1，b=c ，求实数b 的取值范围；（Ⅱ）若g （x ）=|cx 2﹣bx+a|，当|x|≤1时，求g （x ）的最大值．浙江省温州州市2016-2017学年高三数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．集合A={0，2，3}，B={x|y=3x﹣x0}，则A∩B=（）A．{0} B．{8，26} C．{8} D．{2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={0，2，3}，B={x|y=3x﹣x0}={x|x≠0}，∴A∩B={2，3}，故选：D．2．若函数f（x）=3sin（2x+θ）（0＜θ＜π）是偶函数，则f（x）在[0，π]上的递增区间是（）A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，π]【考点】正弦函数的奇偶性．【分析】利用诱导公式，余弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+θ）（0＜θ＜π）是偶函数，∴φ=，f（x）=3sin（2x+）=3cos2x，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ，可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z．则f（x）在[0，π]上的递增区间为[，π]，故选：B．3．已知a，b是两条互相垂直的异面直线，下列说法中不正确的是（）A．存在平面α，使得a⊂α且b⊥αB．存在平面β，使得b⊂β且a∥βC．若点A，B分别在直线a，b上，且满足AB⊥b，则一定有AB⊥aD．过空间某点不一定存在与直线a，b都平行的平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据异面直线的性质进行逐项分析判断．【解答】解：对于A，设a，b的公垂线为AB，其中A∈a，B∈b．过B作a的平行线a′，设直线a与a′确定的平面为平面α，则AB⊂α，a⊂α，a′⊂α，∵b⊥AB，b⊥a，∴b⊥α．故A正确；对于B，过b上一点C作a′∥a，设b与a′所确定的平面为β，则a∥β，故B正确．对于C，设a，b的公垂线为CB，且C∈a，B∈b．在a上取异于C的点A，则b⊥平面ABC，∴AB⊥b，但显然AB与a不垂直，故C错误；对于D，当空间一点在直线a或直线b上时，显然不存在与直线a，b都平行的平面，故D正确．故选：C．4．设F 1、F 2是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若|PF 2|=2|PF 1|，∠F 1PF 2=60°，则双曲线离心率等于（ ）A ．B ．C ． +D ．﹣【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，结合双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得，|PF 2|﹣|PF 1|=2a ，由|PF 2|=2|PF 1|，可得|PF 2|=4a ，|PF 1|=2a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2=|PF 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 2|•|PF 1|cos ∠F 1PF 2，即为4c 2=16a 2+4a 2﹣2•4a•2a•=12a 2，即有c=a ，则e==．故选：B ．5．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】由 a 7=a 6+2a 5 求得q=2，代入求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n }满足 a 7=a 6+2a 5，可得，∴q 2﹣q ﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n ﹣2=16，∴2m+n ﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于， 故选A ．6．已知x ，y 满足的最大值为3a+9，最小值为3a ﹣3．则a 的取值范围是（ ）A ．[0，1]B ．[﹣1，1]C ．[﹣1，0]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出x、y满足约束条件图形，由图形判断出最优解，列出关于a的不等关系，再由不等式求出a的取值范围即可．【解答】解：画出x、y满足约束条件所围成的图形，有3个顶点（3，9），（3，﹣3），（﹣3，3），把它们分别代入ax+y得（3，9）⇒z=3a+9（3，﹣3）⇒z=3a﹣3（﹣3，3）⇒z=﹣3a+3由题意得，解得﹣1≤a≤1．故选B．7．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，若（m，n∈R），且mn=，则该双曲线的渐近线为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出A、C坐标，然后求出P的坐标，代入双曲线方程，利用mn=，即可求出双曲线的离心率，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意可知A（c，），B（c，），代入=（（m+n）c，（m﹣n）），得P（（m+n）c，（m﹣n）），代入双曲线方程=1，整理可得4e2mn=1，因为mn=，所以可得e=，所以=，所以1+=，所以=，所以双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：B．8．若函数f（x）=x2+ax+b有两个零点x1，x2，且3＜x1＜x2＜5，那么f（3），f（5）（）A．只有一个小于1 B．都小于1C．都大于1 D．至少有一个小于1【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2），利用基本不等式可得f（3）•f（5）＜1，从而得出结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2），∴f（3）=（3﹣x1）（3﹣x2）=（x1﹣3）（x2﹣3），f（5）=（5﹣x1）（5﹣x2），∴f（3）•f（5）=（x1﹣3）（x2﹣3）（5﹣x1）（5﹣x2）=[（x1﹣3）（5﹣x1）][（x2﹣3）（5﹣x2）]＜（）2（）2=1×1=1，即 f（3）•f（5）＜1．故f（3），f（5）两个函数值中至少有一个小于1，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9．若点A（0，1）落在圆C：x2+y2+2x﹣4y+k=0（C为圆心）的外部，则|AC|= ，实数k的取值范围是（3，5）．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆的圆心坐标，利用距离公式求解|AC|，列出不等式求解实数k 的取值范围．【解答】解：圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+k=0，C 为圆心（﹣1，2），半径为：．则|AC|==．点A （0，1）落在圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+k=0（C 为圆心）的外部，，可得：k ∈（3，5）．故答案为：10．设，为单位向量，且，的夹角为60°，若=+3， =2，则|+|等于 3 ，向量在方向上的投影为 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量的运算和向量模的即可求出，利用向量在向量方向上的投影公式求得答案．【解答】解：∵设，为单位向量，且，的夹角为60°，=+3， =2，∴|+|2=2+2+||||cos60°=1+1+1=3，∴|+|=，∴+=3+3=3（+），∴|+|=3，∵•=（+3）•2=6•+22=6×1×1×+2=5，||=|2|=2，∴向量在方向上的投影为=，故答案为：，．11．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的所有棱长之和等于 4+4 ，棱锥的体积等于 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，在对应的正方体中作出此三棱锥，利用正方体的长度和位置关系求出各个棱长，利用分割法和椎体的体积公式求出此三棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥A ﹣BCD ，如图：图中的正方体的棱长是2，其中A 、B 、E 、F 分别是对应边的中点，C 、D 是对应面的中心，由图得，AB ⊥平面CDE ，AB=CD=2，CF=AE=BE=1，又BF=，则BC==，即AD=BD=AC=BC=所以棱锥的各棱长之和：4+4，又DE=EC=BF=，CD=2，所以几何体的体积V=V A ﹣DEC +V B ﹣DEC =2×=2×=，故答案为：．12．已知数列{a n }为首项为a 的等差数列，数列{+2n }是公比为q 的等比数列，则q= 1，或2 ，实数a 的取值范围是 a ≠﹣1 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∴a 2+2=a+2+d ，a 4+4=a+3d+4，a 8+8=a+7d+8，∵数列{+2n }是公比为q 的等比数列，∴（a+3d+4）2=（a+2+d ）（a+7d+8），化为：d=﹣1或d=a ．①d=﹣1时，a 2+2=a+1，a 4+4=a+1，a 8+8=a+1，a ≠﹣1时，q=1．②d=a，a 2+2=2a+2，a 4+4=4a+4，a 8+8=8a+8，a ≠﹣1时，q=2．综上可得：q=1，2，a ≠﹣1．故答案分别为：q=1，2；a ≠﹣1．13．抛物线x 2=﹣8y 的准线交y 轴于点A ，过A 作直线交抛物线于M ，N 两点，点B 在抛物线的对称轴上，若（2+）⊥，则||的取值范围是 （6，+∞） ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可设直线MN 的方程为y=kx+2，M （x 1，x 2），N （x 2，y 2），MN 的中点E （x 0，y 0），联立方程可得x 2+8kx+16=0，由△＞0可求k 的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN 的中点E ，由即BE ⊥MN 即M 在MN 的垂直平分线，则MN 的垂直平分线与y 轴的交点即是B ，令x=0可求B 的纵坐标，结合K的范围可求||的范围【解答】解：由题意可得A （0，2），直线MN 的斜率k 存在且k ≠0设直线MN 的方程为y=kx+2，M （x 1，x 2），N （x 2，y 2），MN 的中点E （x 0，y 0），联立方程可得x 2+8kx+16=0则可得，△=64k 2﹣64＞0，即k 2＞1，x 1+x 2=﹣8k ，y 1+y 2=k （x 1+x 2）+4=4﹣8k 2∴x 0=（x 1+x 2）=﹣4k ，y 0=（y 1+y 2）=2﹣4k 2即E （﹣4k ，2﹣4k 2）又2+=2+2=2，∵（2+）⊥，即BE ⊥MN 即M 在MN 的垂直平分线则MN 的垂直平分线y+4k 2﹣2=﹣（x+4k ）与y 轴的交点即是B ，令x=0可得，y=﹣2﹣4k 2则||=2+4k 2＞6故答案为（6，+∞）．14．如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列命题正确的是 ①②④ ．（写出所有正确的命题的编号） ①线段BM 的长是定值；②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；由余弦定理可得MB 2=MF 2+FB 2﹣2MF•FB•cos∠MFB ，所以MB 是定值，M 是在以B 为球心，MB 为半径的球上，可得①②正确．A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，可得③不正确．【解答】解：①取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，∴平面MBF ∥平面A 1DE ，∴MB ∥平面A 1DE ，故D 正确由∠A 1DE=∠MFB ，MF=A 1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB 2=MF 2+FB 2﹣2MF•FB•cos∠MFB ，所以MB 是定值，故①正确．②∵B 是定点，∴M 是在以B 为球心，MB 为半径的球上，故②正确，③∵A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，∴存在某个位置，使DE ⊥A 1C 不正确，故③错误．④取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；故正确的命题有：①②④，故答案为：①②④．15．△ABC 中，AB=5，AC=2，BC 上的高AH=4， =x +y ，则= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可过H 作AC 的平行线交AB 于D ，作AB 的平行线，交AC 于E ，这样根据正弦定理及平行线的知识、三角函数的诱导公式即可得出，而由条件容易求出cosC ，cosB 的值，进而得出．由向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义可得到，进而可以求出x ，y ，从而得出的值．【解答】解：如图，过H 分别作AC ，AB 的平行线，分别交AB 于D ，AC 于E ；则四边形ADHE 为平行四边形；由正弦定理，；在Rt △ABH 中，AB=5，AH=4；∴BH=3，cosB=；同理cosC=； ∴；∵=；又；∴；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足=，b=，cos 2C=．（Ⅰ）求B ，a 的值；（Ⅱ）若A ＞，如图，D 为边BC 中点，P 是边AB 上动点，求|CP|+|PD|的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosB ，将得出关系式代入求出cosB 的值，确定出B 的度数，由题意确定出sinC 的值，再由b 与sinB 的值，利用正弦定理求出c 的值，再利用余弦定理求出a 的值即可；（Ⅱ）由A ＞，知a=2，作C 关于AB 的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，如图所示，由余弦定理求出C′D 的长，利用两点之间线段最短即可确定出|CP|+|PD|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得： ==，整理得：a 2+c 2﹣b 2=ac ，∴cosB==，∵B为△ABC的内角，∴B=；由cos2C=，得到sinC=，∵b=，sinB=，由正弦定理得： =，即=，解得：c=3，由b2=a2+c2﹣ac，得7=a2+9﹣3a，即a2﹣3a+2=0，解得：a=1或a=2；（Ⅱ）由A＞，知a=2，作C关于AB的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，由余弦定理得：|C′D|2=|BD|2+|BC′|2+|BD|•|BC′|=12+22+2=7，|CP|+|PD|=|C′P|+|PD|≥|C′D|=，当C′，P，D共线时取等号，则CP+PD的最小值为．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出BM⊥AM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明AD⊥BM．（Ⅱ）法一：过点E作MB的平行线交DM于F，过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，由此能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ的值．法二：以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴BM⊥AM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM．又AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．解：（Ⅱ）（方法一）过点E作MB的平行线交DM于F，由BM⊥平面ADM，得EF⊥平面ADM，在平面ADM中过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，大小为．设FM=x，则，在Rt△FHM 中，由∠EFH=90°，∠EHF=60°，则．由EF∥MB，MB=2，则，即，解得x=4﹣2．故当二面角E﹣AM﹣D 大小为时，，即．（方法二）以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，M（0，0，0），，，，且，所以，，设平面EAM 的法向量为，则，，所以，．又平面DAM 的法向量为，所以，，解得，或（舍去）．所以，．18．已知数列{a n }的前n 项和记为S n ，且满足S n =2a n ﹣n （n ∈N *）．（1）求a 1，a 2的值，并证明：数列{a n +1}是等比数列；（2）证明：．【考点】数列的求和．【分析】（1）分别令n=1，2，计算即可得到所求；由当n ≥2时，S n =2a n ﹣n ，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（n ﹣1），相减再由构造数列，即可得证；（2）先证得﹣•≤＜，累加再由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）当n=1时，2a 1﹣1=S 1，解得a 1=1，当n=2时，S 2=2a 2﹣2⇒a 1+a 2=2a 2﹣2⇒a 2=a 1+2=3，当n ≥2时，S n =2a n ﹣n ，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（n ﹣1），两式相减得：a n =2a n ﹣2a n ﹣1﹣1，即a n =2a n ﹣1+1，两边同加1得到：a n +1=2（a n ﹣1+1），所以{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）证明：，，求和得到不等式：，因为，所以原不等式成立．19．已知中心在原点O 的椭圆左，右焦点分别为F 1，F 2，F 2（1，0），且椭圆过点（1，）（1）求椭圆的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）方法一、求得c=1，将已知点代入椭圆方程，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；方法二、运用椭圆的定义，结合两点的距离公式，求得a=2，再由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设y 1＞0，y 2＜0，设△F 1AB 的内切圆的半径R ，可得三角形的面积为4R ，可设直线l 的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求最大值及此时直线的方程．【解答】解：（1）法一：由题意可设椭圆方程为+=1（a ＞b ＞0）．由题意可得c=1，即a 2﹣b 2=1，将（1，）代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，可得椭圆方程为+=1；法二：直接用椭圆的定义，由椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0）且过（1，），可得，即a=2，c=1，b==，得到椭圆方程为为+=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设y 1＞0，y 2＜0，设△F 1AB 的内切圆的半径R ，由椭圆的定义可得△F 1AB 的周长为4a=8，可得，因此△F 1AB 面积最大，R 就最大，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x=my+1，由得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9=0，得y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，则S =|F 1F 2|•（y 1﹣y 2）===，令t=，则m 2=t 2﹣1，代入得=≤=3，即当t=1，m=0时，S ≤3，又因为S =4R ，所以R max =，这时所求内切圆面积的最大值为πR 2=， 故存在直线方程为x=1，△F 1AB 内切圆面积的最大值为．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．（Ⅰ）若a=1，b=c，求实数b的取值范围；（Ⅱ）若g（x）=|cx2﹣bx+a|，当|x|≤1时，求g（x）的最大值．【考点】二次函数的性质；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，b=c，则|f（1）|=|1+b+b|≤1，f（x）的对称轴，进而求得实数b的取值范围；（Ⅱ）由当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（﹣1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，利用放缩法，可得当x=0时，g（x）=|﹣x2+2|取到最大值2．【解答】解：（Ⅰ）由a=1且b=c，得，…当x=1时，|f（1）|=|1+b+b|≤1，得﹣1≤b≤0．…故f（x）的对称轴，所以当|x|≤1时，，…解得…综上，实数b的取值范围为．…（Ⅱ）由当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立，可知|f（﹣1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，…且由 f（﹣1）=a﹣b+c，f（0）=c，f（1）=a+b+c，解得，，c=f（0）．…故≤1+1=2…且当a=2，b=0，c=﹣1时，若|x|≤1，则|f（x）|=|2x2﹣1|≤1恒成立，且当x=0时，g（x）=|﹣x2+2|取到最大值2．所以，g（x）的最大值为2．…。

浙江省2017年高考数学二模试卷

浙江省2017年高考数学二模试卷

浙江省2017年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．“ab＜0”是“|a﹣b|=|a|+|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γD．∀b⊂β，b∥γ3．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到4．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足=1，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B． C．D．5．若a，b，c＞0，且a（a+b+c）+bc=16，则2a+b+c的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知向量，，满足||=2，||==3，若（﹣2）（﹣）=0，则|﹣|的最小值是（）A．2+B．2﹣C．1 D．27．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9．（6分）（2016浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为．10．（6分）（2016浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=；=．11．（6分）（2016浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为．12．（6分）（2016浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为；表面积为．13．（4分）（2016浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为．14．（4分）（2016浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．15．（4分）（2016浙江二模）已知函数，若函数y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA ﹣bsinB，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．17．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．18．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．19．已知椭圆L：=1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．20．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．2017年浙江省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

2017年高考数学浙江卷及答案解析

2017年高考数学浙江卷及答案解析

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.参考公式：球的表面积公式椎体的体积公式24πS R =1h3V S = 球的体积公式其中S 代表椎体的底面积24π3V R =h 表示椎体的高其中R 表示球的半径 台体的体积公式柱体的体积公式()b b1h +3a a V S S S =h V S =其中的a S ，b S 分别表示台体的 h 表示柱体的高上、下底面积h 表示台体的高选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}-1<1Q=02P x x x x =<<<，，那么PUQ = A .(-1，2)B .(0，1)C .(-1，0)D .(1，2)2.椭圆2214x y+=的离心率是AB C .23 D .593.某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是第3题图A .π+12B .π+32C .3π+12D .3π+32 4.若x ，y 满足约束条件0+-30-20x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，则z 2x y =+的取值范围是A .[0]6,B .[0]4,C .[6+)∞,D .[4+)∞,5.若函数2()=f x x ax b ++在区间[0]1，上的最大值是M ，最小值是m ，则-m M A .与a 有关，且与b 有关 B .与a 有关，但与b 无关 C .与a 无关，且与b 无关D .与a 无关，但与b 有关6.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是465"+2"S S S >的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.函数()y f x =的导函数()y f x'=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是第7题图毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）ABCD8.已知随机变量i ξ满足i 1()i P p ξ==，i ()01P pi ξ==-，12i =，.若12201p p <<<，则 A .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＜ B .12E()E()ξξ＜，12D()D()ξξ＞ C .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＜ D .12E()E()ξξ＞，12D()D()ξξ＞9.如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==.分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面角为αβγ，，，则A .γαβ<<B .αγβ<<C .αβγ<<D .βγα<<10.如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB ＝，2I OB OC ＝，3I OC OD ＝，则A .123I I I <<B .132I I I <<C .312I I I <<D .213I I I <<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6=S ________.12.已知a b R ∈，，2i 34i a b +=+（）(i 是虚数单位)，则22a b +=________，ab =________.13.已知多项式()()5432123453212=x x x a x a x a x a x a +++++++，则4=a ________，5=a ________.14.已知ABC △，4AB AC ==，2BC =.点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连接CD ，则BDC △的面积是________，cos BDC ∠=________.15.已知向量a ,b 满足1=a ，2=b ，则+-a +b a b 的最小值是________，最大值是________.16.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法.(用数字作答)17.已知a ∈R ，函数4()f x x a a x =+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数()22()sin cos 23sin cos R f x x x x x x =--∈.(I)求2()3f π的值； (II)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.（第9题图）（第10题图）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）19.(本题满分15分) 如图，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. (I)证明：CE ∥平面PAB ；(II)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.20.(本题满分15分)已知函数(1()e 2x f x x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭≥.(I)求()f x 的导函数；(II)求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）21.(本题满分15分)如图，已知抛物线2x y =，点1124A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，3924B ⎛⎫⎪⎝⎭，，抛物线上的点()12,32P x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜＜，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(I )求直线AP 斜率的取值范围；(II )求PA PQ 的最大值.22.(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.2017年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】A【解析】根据集合的并集的定义,得2(1)PUQ =-，. 2.【答案】B【解析】根据题意知,3a =,b2=,则c=∴椭圆的离心率c e a =故选B . 3.【答案】A【解析】由几何体的三视图可得,该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的,故该几何体的体积1111ππ3+213=+132322V =⨯⨯⨯⨯⨯⨯,故选A .4.【答案】D数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z 2x y =+,得1y=22zx -+,∴2z 是直线1=22z y x -+在y 轴上的截距,根据图形知,当直线1=22z y x -+过A 点时,2z取得最小值.由20+30x y x y -=⎧⎨-=⎩,得2x =,1y =,即21A （，）,此时,4z =,∴4x ≥,故选D .5.【答案】B【解析】22()=++b 24a af x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,①当012a ≤-≤时,min ()=m =()2a f x f -{}{}2max +b ()max (0)(1)max b ++b 4a f x M f f a =-===，，1，∴22max 1+44a a M m a ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭，与a 有关,与b 无关；②当02a-＜时,()f x 在[]01，上单调递增,∴(1)(0)1M m f f a -==+-与a 有关,与b 无关；③当12a-＞时,()f x 在[]01，上单调递减,∴(0)(1)1f f M m a -=---=与a 有关,但与b 无关,故选B . 6.【答案】C【解析】因为{}n a 为等差数列,所以46111+=466151021a a a S S d d d +++=+,512=1020a S d +,465+2=S S S d -,所以4650+2d S S S ⇔＞＞,故选C .7.【答案】D【解析】根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数()f x 在这些零点处取得极值,排除A 、B ；记导函数()f x '的零点从左到右分别为123x x x ，，,又在()1x -∞，()0f x '＜,在()12x x ，上()0f x '＞,所以函数()f x 在()1x -∞，上单调递减,排除C ,故选D .8.【答案】A【解析】根据题意得,1()i E p ξ=，11(-)i i p D p ξ=（），12i =，,∵12102p p ＜＜＜,∴12()()E E ξξ＜,令()f x 在102（，）上单调递增,所以12(p )(p )f f ＜,即12()()D D ξξ＜,故选A . 9.【答案】B【解析】如图1,设O 是点D 在底面ABC 的射影,过O 作OE PR ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥,垂足分别为E 、F 、G ,连接ED 、FD 、GD ,易得ED PR ⊥,∴OED ∠就是二面角D PR Q --的平面角,∴=OED α∠,tan =OD OE α,同理tan =OD OF β,tan =ODOGγ.底面的平面图如图2所示,以P 为原点建立平面直角坐标系,不妨设2AB =,则0,1)A（,,0)B （1,C （,O （,∵AP PB =,2BQ CRQC RA ==,∴13Q（,23R （-,则直线RP的方程为y =,直线PQ的方程为y =,直线RQ的方程为y ,根据点到直线的距离公式,知OE,OF =,13OG =,∴OE OG OF ＞＞,∴tan tan tan αγβ＜＜,又α，β，γ为锐角,∴αγβ＜＜，故选B .10.【答案】C【解析】如图所示,四边形ABCE 是正方形,F 为正方形的对角线的交点,易得AO ＜AF ,而90AFB ∠=︒,∴AOB ∠与COD ∠为钝角,AOD ∠与BOC ∠为锐角,根据题意,12()cos 0I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA AOB -=-=-==∠＜,∴12I I ＜,同理得23I I＞,作AG BD ⊥于G ,又AB AD =,∴OB BG GD OD =＜＜,而OA AF FC OC =＜＜,数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）∴OA OB OC OD ＜,而cos =cos 0AOB COD ∠∠＜,∴OA OB OC OD ＞,即13I I ＞,∴312I I I ＜＜,故选C .非选择题二.填空题. 11.【答案】332【解析】如图,单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成,所以,正六边形的面积61333=61=222S ⨯⨯⨯. 12.【答案】5 2【解析】∵222+2bi 2i 34i a a b ab =-+=+（）,∴22324a b ab ⎧-=⎨=⎩,∴21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩,∴225a b +=,2ab =.13.【答案】16 4【解析】由题意知4a 为含x 的项的系数,根据二项式定理得222233143232121216a C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,5a 是常数项,所以3322532124a C C =⨯⨯⨯=.14.【答案】152104【解析】在ABC △中,4AB AC ==,2BC =,由余弦定理得2222224241cos ABC=22424AB BC AC AB BC +-+-==⨯⨯∠,则15sin ABC=sin 4CBD =∠∠,所以BDC 115=BD BCsin 22S CBD =△∠.因为2BD BC ==,所以12CDB ABC =∠∠,则cos 110cos =24ABC CDB +=∠∠. 15.【答案】425【解析】解法一：()()()222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b++-=++-++-=+++-=10+2a b a b+-,而()()223a b a b a b a b a b +-+-=-=≥,∴()216a b a b ++-≥,即4a b a b ++-≥,即a b a b ++-的最小值为4.又()()2222522a b a ba b a b a b +-++-=+=≤,∴a b a b ++-的最大值为25.解法二：由向量三角不等式得,()()24a b a b a b a b b ++-+--==≥,又()()2222522a b a ba b a b a b ++-++-=+=≤,∴a b a b ++-的最大值为25.16.【答案】660【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有448655C C -=种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有2412A =种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55 12 660⨯=种不同的选法.17.【答案】(92⎤-∞⎥⎦，【解析】∵[]1,4x ∈,∴[]44,5x x +∈,①当92a ≤时,max ()=555f x a a a a -+=-+=,符合题意,②当分92a ＞时,max ()=4245f x a a a -+=-=,∴92a =(矛盾),故a 的取值范围是(92⎤-∞⎥⎦，.三、解答题.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）18.【答案】（Ⅰ）2π()23f = （Ⅱ）()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】(Ⅰ)由2π3sin32=,2π1cos 32=-,222π3131()2332222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2π()23f =. (Ⅱ)由22cos2cos sin x x x =-与sin22sin cos x x x =得π()cos 23sin 22sin 26f x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期是π.由正弦函数的性质得ππ3π2π22π262k x k +++≤≤,k Z ∈, 解得π2πππ63k x k ++≤≤,k Z ∈,所以()f x 的的单调递增区间是()π2ππ,π63k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.19.【答案】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . （Ⅱ）直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28【解析】(Ⅰ)如图,设PA 中点为F ,连接EF ,FB .因为E 、F 分別为PD ,PA 中点,所以EF AD ∥且1=2EF AD ,又因为BC AD ∥,1=2BC AD ,所以EF BC ∥且=EF BC ,即四边形BCEF 为平行四边形,所以CE BF ∥,因此CE ∥平面PAB . (Ⅱ)分别取BC ,AD 的中点为M ,N .连接PN 交EF 于点Q ,连接MQ .因为E 、F 、N 分别是PD ,PA ,AD 的中点,所以Q 为EF 中点,在平行四边形BCEF中,MQ CE ∥.由PAD ∆为等腰直角三角形得PN AD ⊥. 由DC AD ⊥,N 是AD 的中点得BN AD ⊥. 所以AD ⊥平面PBN ,由BC AD ∥得BC ⊥平面PBN ,那么平面PBC ⊥平面PBN . 过点Q 作PB 的垂线,垂足为H ,连接MH .MH 是MQ 在平面PBC 上的射影,所以QMH ∠是直线CE 与平面PBC 所成的角.设1CD =.在PCD △中,由2PC =,1CD =,2PD =得2CE =,在PBN △中,由1PN BN ==,3PB =得14QH =,在t R MQH △中,14QH =,2MQ =,所以2sin =8MQH ∠,所以,直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28.20.【答案】(Ⅰ)因为()121121x x x '--=--,()e e x x --'=-, 所以()()()1212e 11()1e 21e 22121x x xx x f x x x x x x ------⎛⎫⎛⎫'=----=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭＞.(Ⅱ)由()()1212e ()=021x x x f x x ----'=-,解得1x =,52x =. 因为又()()21211e 02x f x x -=--≥,数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）所以()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(Ⅰ)因为(1x '=-,()e e x x --'=-,所以(()12e 1()1e e 2x x xx f x x x ----⎛⎫'=-=⎪ ⎭⎝＞.(Ⅱ)由()12e ()x x f x --'=,解得1x =,52x =. 因为又())211e 02x f x -=≥,所以()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,e 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.【答案】（Ⅰ）()1,1-（Ⅱ）2716【解析】(Ⅰ)设直线AP 的斜率为k ,2114122x k x x -==-+, 因为1322x -＜＜,所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.(Ⅱ)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是()224321Q k k x k -++=+.因为)1x+12PA k ⎫==+⎪⎭,)2xQPQ x -=所以()()311PA PQ k k =--+. 令()()()311f k k k =--+, 因为()()2()421f k k k '=--+,所以()f k 在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增,1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,因此当12k =时,PA PQ 取得最大值2716.22.【答案】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x xf x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫--⎪⎝⎭≥＞,数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥, 故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明：0n x ＞. 当1n =时,110x =＞. 假设n k =时,0k x ＞,那么+1n k =时,若10k x +≤,则()110=+ln 1+0k k k x x x ++≤＜,矛盾,故10k x +＞. 因此()n 0N*x n ∈＞.所以()111=+ln 1+n n n n x x x x +++＞. 因此()10N*n n x x n +∈＜≤. (Ⅱ)由()11=+ln 1+n n n x x x ++得,()()2111111x -4=+2=22ln 1+n n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-++.记函数()()()2()22ln 1+0f x x x x x x =-++≥,()()22()ln 1+001x x f x x x x +'=++＞≥,函数()f x 在[)0+∞，上单调递增,所以()(0)=0f x f ≥,因此 ()()211111x 22ln 1+=()n n n n n x x x f x +++++-++≥0,故()112N*2n n n n x x x x n ++-≤∈. (III )因为()11111x ln 1+2n n n n n n x x x x x +++++=+≤+=, 所以112n n x -≥. 由1122n n n n x x x x ++-≥得111112022n n x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥＞, 所以1-21111111-22=2222n n n n n x x x --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥…≥,故212n n x -≤.综上,()1211N*22n n n x n --∈≤≤.。