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中等专业学校2022-2023-2教案
教学内容一、情景引入
在日常生活中，我们见到的建筑物、机械构件、生活用具等物体大都是由柱、锥、球等基本几何体组合而成的，如图所示，这样的几何体称为简单组合体．而在工程领域，通常用三视图完整地表达几何体的结构形状．大家想一想，如何画出图的几何体的三视图？
教学内容二、探索新知
大家回忆以下，在义务教育阶段我们学习了直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等基本几何体的三视图，那么，我们就知道简单几何体的三视图可由平行投影得到．
观察图中所示的投影，从前向后、从左向右、从上向下三个方向对长方体平行投影，分别得到A、B、C三个投影．投影A、B、C的形状分别对应长方体的前、后面，左、右面和上、下面的形状．
图形A是从物体的正面向后投影所得的视图，称为主视图，又称为正视图，它反映物体的正面、背面形状以及物体的长度与高度，选择哪个方向画主视图，由观察者确定．图形C是从物体的上面向下投影所得的视图，称为俯视图，它反映物体的顶面、底面形状以及物体的长度与宽度．侧视图可以是左侧视图，即从物体的左侧面向右投影所得到的视图，也可以是右侧视图．通常选择左侧视图，简称左视图，如图所示图形B，它反映物体的左、右侧面形状以及物体的高度与宽度．主视图、俯视图、左视图统称为三视图．。
考点22 空间几何题的面积与体积一、考纲要求1. 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,对柱、锥、台、球的概念的理解不作过高要求,复习时不要过分挖深.2. 多面体与旋转体表面上两点间的最短距离问题,要适当强化,体现了空间问题向平面问题转化.3. 柱、锥、台、球的表面积与体积的计算可能会在高考填空题中出现,注意体现不同几何体之间的联系,同时注意与平面几何中的面积等进行类比.二、近五年江苏高考立体几何中的计算作为江苏考纲必考知识点，每年都会考查，但是江苏高考对立体几何中的运算要求比较简单，近要求计算简单几何体的体积与表面积等简单的运算。
从近五年江苏高考试题可以发现主要考查柱、锥、球的表面积与体积，因此，在复习中要注意把握深度。
三、考点总结：把握空间几何体的结构特征是认识几何体的一个重要方面,也是进一步学习立体几何的基础. 在学习过程中,要通过互相对比的方式来把握它们的实质与不同,既要看到它们之间的不同,也要理解它们之间的联系,这样才能理解它们之间的共性和个性,做到心中有数,心中有图. 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题. 即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托,因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式. 同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解.四、近五年江苏高考题1、（2019江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.2、（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．3、（2017江苏卷）如图，圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．4、（2016江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？5、（2015江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．五、三年模拟题型一柱的表面积与体积1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是3 5 cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3.2、(2019常州期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．3、(2019苏锡常镇调研（一））已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．4、(2019南京三模）有一个体积为2的长方体，它的长､宽､高依次为a，b，1．现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为．5、(2018南京学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.6、(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．7、(2018苏北四市期末）已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是35cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.8、(2018苏中三市、苏北四市三调）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1S ,2S ,则12S S 的值为 ．9、(2017南通一调）如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.10.(2017常州期末）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．题型二 锥的表面积与体积1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．2、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．3、(2019泰州期末） 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．4、(2019苏北三市期末）已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为________．5、(2018苏州暑假测试）如图，正四棱锥PABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ，侧面积为8 3 cm 2，则它的体积为________cm 3.6、(2018常州期末） 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．7、(2018镇江期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________． 8、(2018扬州期末） 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．9、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．（图1） （图2）10、(2018苏锡常镇调研（一））若正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面积为8 cm 2，则它的体积为________cm 3.11、(2017苏锡常镇调研（一）） 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________．题型三 球的表面积与体积1、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．2、(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，则球O的表面积为________m2.3、(2018无锡期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．4、(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．。
第九单元立体几何一教学要求1．了解平面的概念，理解平面的基本性质．2．了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．3．理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．4．了解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的概念．5．理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．6．理解柱、锥、球及简单组合体的结构特征及其面积、体积的计算．7．培养和发展学生的空间想象能力，提高运用图形语言进行交流的能力．二教材分析和教学建议（一）编写思路立体几何是在学习平面几何知识的基础上，进一步研究空间点、线、面间的关系、性质以及空间几何体的结构特征和面积、体积的计算．本单元教材的主要内容包括：平面的基本性质、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及他们之间平行与垂直的判定与性质定理，柱、锥、球及简单的组合体的结构特征与表面积和体积的计算．本教材通过实物和模型，在观察、实验与思辨的基础上为学生提供了一个逐步培养空间想象能力和数学思维能力的平台，并通过对常见几何体结构特征的认识，培养学生进行几何体面积、体积的计算能力，并进一步体会本单元知识有效地为生产实践服务的必要性．本单元共分四节：空间的直线和平面是立体几何理论基础知识的主要内容，是学好立体几何的基础，第一节给出平面基本性质的三个公理，奠定了立体几何的基础，是本节知识的重点．第二节介绍了直线、平面之间的相互位置关系，把直线、平面的相互平行的判定与性质作为重点内容加以研究．其中直线与直线平行的性质，是平面几何中关于平行直线知识的拓展，是学生克服平面几何学习中的思维定势并转向空间想象思维的关键．异面直线介绍的是空间两条直线一种全新的位置关系，对异面直线位置的刻画——两条异面直线所成的角，则是通过平移知识转化为平面几何中角的概念来认识，初步渗透了“转化”教学思想在学习立体几何知识中的作用，直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理通过日常生活实践知识观察而得到的．第三节主要研究直线、平面相互垂直的判定与性质，这是直线与直线、直线与平面、平面与平面的一种特殊位置关系，在介绍了直线与平面所成的角和二面角的概念之后，为我们研究直线、平面的垂直知识提供了方便．第四节介绍了柱、锥、球及其简单的几何体的结构特征及其面积、体积的计算．教材通过对空间几何体的整体观察，帮助学生认识结构特征，运用这些特征去描述现实生活中的一些简单物体的结构．柱、锥、球及其简单的几何体的面积计算是在给出侧面展开图的基础上让学生领会思路、掌握公式运用．对于体积计算则是给出公式，要求学生会用即可．常见几何体的面积与体积计算应引导学生理解它们的统一性，加强联系与对比，掌握常用简单几何体的面积与体积的计算方法．本单元教材的重点内容是平面的基本性质，直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定和性质，柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积计算．在教学中要渗透“转化”的思维方法，逐步培养学生会用“类比”的学习方法，会较熟练地运用面积、体积公式进行相关计算．本单元教材的难点是使学生建立空间的概念，教学中要注意从学生熟悉的事例引出，要多运用教具、模型进行演示分析，指导学生画出图形，培养学生认识空间图形的能力，逐步提高学生的空间想象能力，教材中异面直线的概念和异面直线所成的角、二面角的平面角是学生难以接受的概念，第三节中平面与平面平行与垂直的判定和性质是本章的难点．（二）课时分配本单元教学约需14课时，分配如下（仅供参考）：9．1平面的基本性质约1课时9．2直线、平面平行的判定性质约3课时9．3直线、平面垂直的判定性质约4课时9．4空间几何体的结构特征约4课时归纳与总结约2课时（三）内容分析与教学建议9．1平面的基本性质本节教材首先通过对生活中的一些常见物体的认识，抽象出几何中“平面”的概念．在此基础上，介绍了平面的画法以及表示方法．最后，教材详细介绍了平面的基本性质（三个公理）以及如何用集合语言来描述点、直线、平面之间的关系．通过本节的学习，要使学生了解平面的概念，理解平面的画法和表示方法，掌握平面的基本性质以及集合语言的运用．本节的重点是平面的基本性质．教学的难点是自然语言与数学图形语言和符号语言之间的相互转化与应用．1．本节内容既是立体几何的“入门”教学，又是立体几何重要的理论基础部分．通过对“平面”的概念的引进，要让学生意识到学习观念上的变化，即今后不再只局限在平面内，而是进入了空间研究几何体．所以建立空间观念、培养空间想象能力和进一步发展逻辑思维能力，是这一节的教学目标之一．2．平面是立体几何的基本元素，是不加定义的最原始的概念．要使学生“冲破”日常接触的很多有限平面实例的局限，抽象、概括出数学中的“平面”，指出“平面是无限延展而没有边界的”，可以理解成它把整个空间分成了两个部分．（1）要使学生真正理解和掌握平面的“无限延展性”决非易事，所以在教学中不要满足于通过实例让学生承认并记住这一性质，而应当使学生养成习惯：只要一见到平面的有关词语、符号、图形，就能想到它是可以延展的．（2）平面可以看成是直线运动的轨迹，所以平面也是空间点的轨迹或点的集合．3．在讲授平面的画法时，要引导学生注意：（1）用平行四边形表示整个平面．（2）有时根据需要，可以用其他平面图形来表示平面，如三角形、矩形等．（3）为增强立体感，当一个平面或直线的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画．（4）教学中要特别强调：在以前的平面几何中，凡是后引的辅助线我们都画成虚线，而在立体几何中，凡是被平面遮住的线，都画成虚线，凡是不被平面遮住的线都画成实线（无论是题中原有的，还是后引的辅助线）．（5）我们所画的平面的图形，只是平面的一部分，它可以根据需要画的大些或小些，就像画直线，可以画的长些、短些一样．总之，需要用有限的图形来表示无限的平面．由于学生刚接受平面的无限延展性，马上又强调用有限图形来表示，这可能会冲淡学生刚刚形成的概念，教师在教学中应正视这个问题．4．平面的基本性质，是通过引入公理的方法来确定的．其性质的内容是点、直线和平面之间的从属关系，而不是平面自身的性质．对于平面的基本性质，教学时注意以下几点：（1）作为平面的基本性质的三个公理，是建立在大量的实践的基础上，其事理极为明显，不需要任何论证就能被人们承认的真理，因而被用来作为一切推理论证的基础．这三个公理是整个立体几何学的理论基础，没有它们，便没有一整套的立体几何的理论和思想，所以是这一节的重点内容．教学中，除了要大量引进实例外，还要充分重视直观模型的作用，要启发引导学生把直观模型抽象到数学上的点、线、面组成的图形，从而逐步培养空间观念．（2）公理1告诉我们：只要直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点就都在这个平面内，从而这条直线就在这个平面内．以公理1为依据，还可以知道，如果一个多边形的所有顶点都在同一个平面内，那么这个多边形的各边也都在这个平面内，此多边形称之为平面多边形．反之，如果一个多边形的所有顶点不都在同一个平面内，那么这个多边形的各边也不都在这个平面内，这样的多边形称之为空间多边形．（3）公理1告诉我们：如果能够找到两个平面的一个公共点，根据平面的无限延展性，那么这两个平面就有一条并且只有一条经过该点的公共直线，即两个平面相交与通过该点的一条直线．在公理2中，学生首次遇到“有且只有一条”一词，它和“确定一条”是同义词．“有”说明图形是存在的，“只有一条”说明图形是惟一的．所以“有且只有一条”说明图形是存在的并且是惟一的，这一点必须向学生交代清楚．对“有且只有一个”，“确定一个”，“可以做并且只能做一个”这样的数学语言，要说明其等效性．它们都同样包含两层意思，即存在性与惟一性．（4）公理3给出了确定一个平面的条件．可以帮助学生做如下分析，过空间一个点、两个点或在同一条直线上的三个点都可以做无数个平面，只有过不在同一条直线上的三个点才能确定一个平面，可以确定一个平面的条件是“不在同一条直线上”和“三个点”，二者缺一不可．5．立体几何中借用集合的符号来表示点、线、面之间的位置关系，简单、明了．以点为元素，直线、平面都是由点构成的集合．但在读法上仍然使用几何语言，而一般不使用集合的语言，如“A∈l”读成“点A在直线l上”，“α∩β＝l”读成“平面α与平面β相交于直线l”．9．2直线、平面平行的判定与性质本节内容的处理遵循“直观感知—操作确认—度量计算”的认识过程展开．教材首先通过对正方体模型的观察，得到了空间两条直线的三种位置关系，并介绍了平行线公理、异面直线及其所成的角；其次，根据直线与平面的公共点的个数，给出了直线与平面的位置关系，并详细介绍了直线与平面平行的判定与性质；最后，教材介绍了两个平面的位置关系以及两个平面平行的判定与性质．通过本节的学习，要使学生了解空间的两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，理解平行线公理以及异面直线及其所成的角，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质．本节的重点是异面直线、直线与平面平行以及平面与平面平行的判定与性质．教学的难点是异面直线及其所成的角以及平面与平面平行的判定．1．教材以正方体为载体，介绍空间两条直线的位置关系，从而引出异面直线的定义，教学中，教师可列举生活中的实例，加深学生的理解．异面直线的理解是本节的难点，教学中注意结合正反两方面例子，深刻理解定义中“任何”的含义．可以利用反证法的思想，向学生指出，两条直线是异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交．在画异面直线时，一般要以平面为衬托，可以显得更加直观和清楚，否则，就容易画成图9－12．公理4是初中平面几何中的平行公理在空间的推广，它表示平行性在空间具有传递性．要注意的是由于空间图形和平面图形有所区别，所以平面图形的性质不一定能适合空间图形，只有经过检验后确认是正确的，才能在空间图形中使用．初中平面几何中的平行公理是公理4的特殊情况，三条直线平行，它们即可以在一个平面内，也可以两两共面．教学公理4时，应启发学生通过观察（如三棱镜的三条棱、教室里的墙缝），经过类比，使学生认识到对于空间的三条直线，也存在着平行线的传递性，并归纳出公理4：“平行于同一条直线的两条直线互相平行”．3．空间四边形本节所给例题第一次涉及到空间四边形，这是一个非常重要的空间图形，应在教学中给以足够重视．首先，要教给学生画空间四边形的方法，一般可先画一个，再在所在平面外取一点，然后连结，即得空间四边形．当然，也可以把空间四边形看做是由不在同一平面的有一条公共边的两个三角形拼成的．其中是空间四边形的一条对角线，另一条对角线一般都不画出来，为了增强立体感，有时也画出所在平面．其次，应逐步启发学生认识空间四边形的有关性质：（1）四条线段首尾相接所得的封闭图形一定是平面图形吗？为什么？（得出空间四边形概念）（2）空间四边形的四边中点是否在同一个平面内？为什么？（例题所要证明的结论）（3）空间四边形的四边中点是一个平行四边形的顶点．（由学生自己证明）在给出异面直线所成的角后，根据学生具体情况，可以继续研究下述问题：（4）空间四边形的两条对角线是异面直线．（5）空间四边形的对边是异面直线．（6）如果空间四边形对角线互相垂直，则四边中点是一个矩形的顶点．4．由公理4可以推出等角定理，为研究异面直线所成的角打下基础．等角定理不仅是建立两条异面直线所成的角的依据，而且还为研究二面角做了必要的准备．在等角定理中，如果把角的两边反向延长，则可以得到下述结论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．这个结论揭示了两条相交直线所成的锐角（或直角）在空间进行任意的平移变换，角的大小保持不变．5．异面直线所成的角，是教学上的一个难点，学生不易接受．应从实际例子引入，通过实例表明客观存在，而且有研究的必要．（1）在平面几何中，对于两条相交直线，可以用它们夹角的大小来确定其相互位置关系．同样，在立体几何中，也需要确定两条异面直线之间的相互位置关系．（2）从异面直线所成角的定义知，它是用作图的方法构造出两条相交直线，把两条直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角．这种方式的定义就是构造性定义．在立体几何中定量地描述两个元素之间位置关系的概念经常是构造性定义．这种定义方式并不直接指出概念的本质属性，而是指出所要定义的对象的构造方法．因此应在教学中充分揭示构造的过程：①给出异面直线a ，b ；②在空间任取一点O ，过O 做直线a ′∥a ，b ′∥b ，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；③规定直线a ′和b ′相交构成的一对邻补角中的锐角（或直角）是异面直线a ，b 所成的角；④异面直线a ，b 所成的角的大小，只与a ，b 的相对位置有关，而与所取点O 的位置无关；⑤有时为了方便，常把点O 取在异面直线中的一条上．（3）应从平行线公理及等角定理说明异面直线所成角的定义的合理性与唯一性．（4）两条异面直线所成的角是专指用来刻画异面直线相互关系的角，但不能叫做“交角”，以防止和相交直线的交角混淆．（5）如果两条异面直线所成的角是直角，则说明两条异面直线相互垂直．由此可知在立体几何中，两条直线相互垂直，但它们不一定是相交的，也可能是异面直线．（6）异面直线所成的角的变化范围是（0，π2]． 6．异面直线所成的角只作为了解知识向学生讲解，不要求对异面直线所成的角为一般角时的求解．7．空间中直线与平面的位置关系根据公共点的情况进行分类，有三种情况：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．这三种情形的实例处处都可以找到，要充分发挥实例的作用，并在引用实例后，向学生指出实例只给我们以某种形象，要善于把它们抽象成数学中所说的直线与平面．另外，还可分为以下二种情况：直线在平面内，直线在平面外．直线在平面外，用符号表示为a⊄α，包含a∥α，a∩α＝A，两种情况．8．直线与平面平行的判定定理和性质定理，不要求学生会证明，只要求学生“直观感知，加以确认”，并能简单应用．教学时，注意使学生掌握符号语言，并会熟练使用．判定定理是判定直线与平面平行的依据，它把判定直线与平面平行的问题转化成判定直线与直线平行的问题．可以简单写成：线、线平行⇒线、面平行．在理解和应用判定定理时，一定要注意两点：（1）平面外的一条直线一定要平行于平面内的一条直线；（2）平面内的直线可以是任意的一条，只要能在平面内找一条与平面外一条直线平行，就可以证明平面外一条直线与平面平行，这是最基本的方法．判定直线与平面平行主要有以下几种方法：①利用定义；②利用直线与平面平行的判定定理，从直线与直线平行得到直线与平面平行；③在学习了平面与平面平行的性质后，通过证明平面与平面平行也可以得到直线与平面平行．9．对直线与平面平行性质的研究，就是研究在直线与平面平行的条件下，能够推出什么结论．注意防止学生错误地认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”．在理解性质定理时，应明确下述几点：（1）当a∥α时，过直线a可以做无数多个平面和平面α相交，则交线就有无数多条，且它们和直线a相互平行．（2）若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b，而且在平面α内，除了与直线b平行的那些直线外，其他直线都和直线a是异面直线．（3）与平面α平行的任意两条直线可能相交、平行或是异面直线．性质定理是证明直线和直线平行的依据，它由线、面平行⇒线、线平行．所以也提供了证明两条直线平行的又一种方法．10．结合教材中的“试一试”、“议一议”，给学生充分的时间动眼、动脑，进行观察和探索，在学生“直观感知，加以确认”的基础上，归纳出直线与平面平行的判定和性质定理．11．两个平面是指不重合的两个平面．两个平面的位置关系应从实际引入，除教材上的方法，还可以让学生观察生活里的其他实例，从中抽象出有且仅有平行与相交两种，这两个概念也以有无公共点来划分．同时，引出定义后，可与直线和直线平行、相交，直线和平面平行、相交进行类比．12．平面与平面平行的判定定理和性质定理是本节的重点内容之一．平面与平面平行的判定定理和性质定理，不要求学生会证明，只要求学生“直观感知，加以确认”，并能简单应用．教学时，注意使学生掌握符号语言，并会熟练使用．13．对于平面与平面平行的判定，如果按定义去证明很麻烦，可以通过回顾直线与平面平行的判定定理，引发学生思考：空间的两个平面，如果其中一个平面内有一条直线与另一个平面平行，是否可以判定这两个平面平行（不一定）；如果其中一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，是否可以判定这两个平面平行（不一定），据此启发学生提出严格的判定条件：“一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面”才可以推出两个平面平行．对于这个定理的证明不作要求．讲解平面与平面平行的判定定理时，引导学生注意“两条相交直线”这个条件．教师可以通过列举反、正例子加以强调．在分析判定定理的条件和结论时，重点突出“相交”和“都”这两个条件，如果两个条件不同时具备，两个平面就一定不平行．14．讲完两个平面平行的性质定理后，应该向学生指出：两个平行平面中的一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是不一定平行于另一个平面内的所有直线，他们可能是平行线，也可能是异面直线，但一定不会是相交直线．9．3直线、平面垂直的判定与性质本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—度量计算”的认识过程展开．教材首先给出了直线与平面垂直的定义、判定定理与性质定理；然后研究了直线与平面不垂直的情况——直线与平面所成的角的问题．其次，为了描述两个相交平面所构成的角的大小，教材引入二面角的概念，并研究了二面角的平面角的定义及其应用．最后，针对两个相交平面所构成的角为直角这一特殊情况，教材给出了平面与平面垂直的定义、平面与平面垂直的判定定理与性质定理．通过本节的学习，要使学生了解直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解直线与平面垂直以及平面与平面垂直的定义、判定与性质．本节的重点是直线与平面垂直以及平面与平面垂直的定义、判定与性质．教学的难点是二面角的平面角的定义及其应用．1．直线与平面垂直，是直线与平面相交的一种特殊情况．教材通过旗杆与地面的位置关系，打开的书直立在桌面上的位置关系等实例，让学生感知直线与平面垂直这种位置关系，从而引出相关概念．2．由定义可以判定一条直线与一个平面是否垂直，但要证明一条直线和平面内的任何一条直线垂直并非易事，由此需要寻找一种简单的判定方法．结合教材中的“折纸实验”，给学生充分的时间动手、动脑，进行探索，在学生“直观感知，加以确认”的基础上，归纳出直线与平面垂直的判定定理．3．要使学生明确“两条相交直线”的“相交”是判定定理不可忽略的条件．因为如果一条直线和一个平面内的两条、即使是一组平行直线都垂直，也不能断定这条直线和这个平面垂直（如图9－2）；而如果一条直线只和一个平面内的一条直线垂直，也同样不能断定这条直线和这个平面垂直．这可以通过用直角三角板演示的方法，加以说明（如图9－3）．图9－2图9－3 4．直线与平面垂直的性质定理体现了平行关系与垂直关系之间的联系，不要求对此定理进行证明．可以提出下面两个类似命题，让学生进行对比思考：（1）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线是否平行？（2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线是否平行？显然，两个问题的答案都是否定的，应让学生各举出一个反例加以说明．反例可在正方体模型中寻找．5．直线与平面所成的角是直线和平面位置关系中的一个重要内容，它可以精确地刻画直线和平面的位置关系．教材通过足球门的实例引出了相关概念，直线与平面所成的角的概念是学生接触到的第二个空间角的概念，与后面的二面角一起，构成了比较完整的空间角的概念，这些概念对于提高学生的空间位置关系的认识，发展学生的空间想象能力，起着重要的作用．6．直线与平面所成角变化范围是[0，π2]，但斜线与平面所成角变化范围是（0，π2）． 7．应使学生掌握确定直线与平面所成角的一般步骤，详见教材．在计算直线与平面所成的角时，教材只限于特殊角，如果是非特殊角，则求该角的某个三角函数值，而不用反三角函数表示该角．8．两个平面相交时，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定．讲解概念时应从实际问题引入或利用模型以减少抽象性，比如教材利用修筑堤坝、使用笔记本电脑这两个实例，引出二面角概念．教学时还可以再举一些实例，例如，教室的门在打开过程中与墙面。
空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.一、空间几何体的结构1．多面体①底面互相平行.②侧面都是平行四边形.③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.2之间满足关系式.1．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴O，Oy，再作O轴使∠O=90°，且∠yO=90°.②画直观图时，把它们画成对应的轴O′′，O′y′，O′′，使∠′O′y′=45°(或135°)，∠′O′′=90°，′O′y′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于轴、y轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于′轴、y′轴或′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.④已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.（3）直观图的面积与原图面积之间的关系①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，②直观图面积是原图面积的倍.考向一空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.典例1 给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】A1．正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是典例2 边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是A．10 cm B．cmC．cm D．cm【答案】D【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理．2．已知正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,为的中点,则从拉一条绳子绕过侧棱到达点的最短绳长为A．B．C．D．考向二空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例3 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是A B C D 【答案】B【解析】A选项三棱锥、C选项圆台、D选项的正视图都不是矩形，而B选项圆柱的正视图为矩形.故选B．3．如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的侧视图为典例4 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【答案】B4．某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为A．B．C． D．考向三空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”；“三不变”.典例5 如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为A．3 B．C．6 D．【答案】C【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.5．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是A． B．C．D．1．有下列三个说法：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有A．0个 B．1个C．2个 D．3个2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为A B C D 3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，则该正四棱锥的侧棱长是A． B．C．D．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原的图形是A．B．C．D．6．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的A．①②B．②③C．③④D．①④7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A．B．C．D．8．已知用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1∶4，截去的棱锥的高是，则棱台的高是A． B．C． D．9．一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为A．B．C． D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些梯形的面积之和为A．28 B．30C．32 D．3611．长方体中，，，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离是A． B．C．D．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为A．B．C．D．13．如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A'B'C'D'的面ADD'A'、面BCC'B'的中心,现给出图①~④的4个平面图形,则四边形BFD'E在该正方体的面上的射影可能是图.(填上所有正确图形对应的序号)14．如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字面相对的是“”.15．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_____________.（填序号）16．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为____________.17．正三棱锥P−ABC中，，，AB的中点为M，一小蜜蜂沿锥体侧面由M爬到C点，最短路程是____________.1．（2018新课标全国Ⅰ理科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A．B．C．3 D．22．（2018新课标全国Ⅲ理科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3．（2017新课标全国Ⅰ理科）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12C．14 D．164．（2017北京理科）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．3B．2C．2D．21．【答案】C【解析】正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对的面的高线,故C正确.4．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体的体对角线，为=，故选B．5．【答案】B【解析】根据斜二测画法，原的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，则原高为，而横向长度不变，且梯形是直角梯形，如图，，故选B.1．【答案】A【解析】本题主要考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．2．【答案】D【解析】所得几何体的正视图为一个长方形，且有一条从左下到右上的对角线，如下所示：故选D．5．【答案】A【解析】根据斜二测画法知，平行于轴的线段长度不变,平行于y的线段变为原的，由此得原的图形是A．故选A．6．【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B．7．【答案】D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D中图形.故选D．【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径．10．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为.故选C．11．【答案】A12．【答案】C【解析】由三视图可知：原三棱锥为，其中，，如图，∴这个三棱锥最长棱的棱长是.故选C．13．【答案】②③【解析】四边形BFD'E在正方体ABCD-A'B'C'D'的面BCC'B'上的射影是③;在面ABCD上的射影是②;易知①④的情况不可能出现.14．【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，∴与“数”字面相对的是“学”.15．【答案】①②③④16．【答案】【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为，又原图形与直观图的面积比为，所以原图形的面积为．17．【答案】【解析】由题意，将侧面PBC展开，那么点M到C的距离，就是在中的长度，由题中数据易得，，，如果将侧面PAC展开，同理可得.1．【答案】B【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2．【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A．3．【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B．【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.4．【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度为，故选B．【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.。
【课题】9.5 柱、锥、球及其简单组合体(一)
【教学目标】
知识目标：
（1）了解棱柱、棱锥的结构特征；
（2）掌握棱柱、棱锥面积和体积计算.
能力目标：
培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能.
【教学重点】
正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算．
【教学难点】
正棱柱、正棱锥的相关计算．
【教学设计】
教材首先介绍了多面体、旋转体的概念．然后通过观察模型，说明棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式．正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算公式经常使用，不要把侧面积、全面积计算公式记混了．
侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱．底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱．四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它一定是正四棱锥．如果棱锥的底面是正方形，那么它不一定是正四棱锥．
例1是求正三棱柱的侧面积和体积的题目，例2是求正三棱锥的侧面积和体积的题目，
要记住边长为a
的正三角形的面积为2
S ．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟) 【教学过程】
过 程
行为 行为 意图 间
球等几何体．
（1） （2） （3） （4）
图9−55
象直棱柱（图9−55（1））那样，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线.
像圆柱（图9−55（2））、圆锥（图9−55（3））、球（图9−55（4））那样的封闭几何体叫做旋转体． *创设情境 兴趣导入 【观察】
图9−56
观察图9−56所示的多面体，可以发现它们具如下特征： （1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形； （2）每相邻两个四边形的公共边互相平行． 质疑 讲解 说明 引导 分析
思考 思考
启发 学生思考 引导 学生 分析
10 *动脑思考 探索新知
【新知识】
有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱,互相平行的两个面，叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面．相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．两个底面间的距离，叫做棱柱的高．
图9−56所示的四个多面体都是棱柱．
表示棱柱时，通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，例如，图9−56(2)所示的棱柱，可以记作棱柱1111ABCD A B C D ，或简记作棱柱1AC ．
经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱，如图9−56所示
讲解 说明
思考
图9−57
观察正棱柱的表面展开图（图9−57），可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为
（
=
S ch
正棱柱侧
=+（
2
S ch S
过 程
行为 行为 意图 间
求这个正三棱柱的侧面积和体积．
解 正三棱锥的侧面积为
S 侧＝ch ＝3×4×5 ＝ 60（2
cm ）． 由于边长为4 cm 的正三角形面积为
2
34434
⨯=（2cm ），
所以正三棱柱的体积为
435V S h ==⨯底=203（3cm ）．
【小提示】
边长为a 的正三角形的面积为2
34
S a =
． 【软件连接】 利用几何画板可以方便地作出棱柱的直观图形．方法是：首先选中所以绘制棱柱的名称（图9−58），然后选择合适的位置，点击并拖动，即可得到棱柱的直观图形（图9−59），最后再标注字母．
图9−58
说明 强调 引领
讲解
说明
讲解
说明
观察 思考 主动 求解 思考 理解
通过例题进一步领会
带领学生 思考
过程行为行为意图间
图9−59
35
*创设情境兴趣导入
观察图9−60所示的多面体，可以发现它们具如下特征：
有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有
一个公共顶点．
质疑
引导分析思考
启发
学生
思考
40
*动脑思考探索新知
【新知识】
具备上述特征的多面体叫做棱锥．多边形叫做棱锥的底面（简称底），有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高．底面是三角形、四边形、……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、……．通常用表示底面各顶点的字母来表示棱锥．例如，图9−60（2）中的棱锥记作：棱锥S ABCD
．
底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形矩形的棱锥叫做正棱锥．图9−60中（1）、（2）分别表示正三棱锥、正四棱锥．
正棱锥有下列性质：
（1）各侧棱的长相等；
（2）各侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边上的高都叫做正棱锥的斜高；讲解
说明思考
带领
学生
分析
(3) 图9−60
图9−61
观察正棱锥的表面展开图（图9−61），可以得到正棱锥的侧面积、全面积（表面积）计算公式分别为
h c '=21
正棱锥侧 （9.4）
S h c +'=
1
. （9.5）
过 程
行为 行为 意图 间
其中, 底S 表示正棱锥的底面的面积，h 是正棱锥的高. 62
*巩固知识 典型例题
【知识巩固】
例 2 如图9−62，正三棱锥P-ABC 中，点O 是底面中心，PO ＝12 cm ，斜高PD ＝13 cm ．求它的侧面积、体积（面积精确到0.12cm ，体积精确到13cm ）．
图9−62
解 在正三棱锥P-ABC （图9−62）中，高PO ＝12 cm ，斜高PD ＝13 cm ．
在直角三角形POD 中， OD ＝22PD PO -＝221312- ＝5（cm ）． 在底面正三角形ABC 中，
CD ＝3OD ＝15（cm ）．
所以底面边长为
AC ＝10
3 cm ．
所以侧面积与体积分别约为
11
310313 22
S ch '==⨯⨯⨯侧≈337.7（2cm ）．
2111
(103)sin 6012332V S h ==⨯⨯⨯⨯正棱锥底≈520（3cm ）．
说明 强调 引领 讲解 说明
观察 思考 主动 求解
通过例题进一步领会
72 *运用知识 强化练习
1. 设正三棱柱的高为6，底面边长为4，求它的侧面积、全面积及体积.
2. 正四棱锥的高是a ，底面的边长是2a ，求它的全面积与体积.
提问 巡视 指导
思考 解答
及时了解 学生 知识 掌握 情况
80 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：
正棱柱的侧面积、全面积、体积公式，正棱锥的侧面积、
质疑
【教师教学后记】。
