高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量 3.2.2 空间线面
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3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
3.2.2 空间线面关系的判定(一)
学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量
思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
梳理 (1)用向量表示直线的位置
条件 直线l上一点A
表示直线l方向的向量a(即直线的________)
形式 在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝________
作用 定位置 点A和向量a可以确定直线的________
定点 可以具体表示出l上的任意________
(2)用向量表示平面的位置
①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：
条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
形式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝xa＋yb
②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的________________叫做平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
(3)直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的________向量a，叫做直线l的一个方向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的______，n叫做平面α的法向量
(4)空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行 l∥m⇔________⇔a＝kb(k∈R)
线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔________
面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔________
知识点二 利用空间向量处理平行问题
思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
例1 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
引申探究
若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB→，AC→.
(3)列方程组：由 n·AB→＝0，n·AC→＝0列出方程组.
(4)解方程组： n·AB→＝0，n·AC→＝0.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形.∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量.
类型二 利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
1.若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是________.
2.已知向量n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是________.(填序号)
①n1＝(0，－3,1)；②n2＝(－2,0,4)；
③n3＝(－2，－3,1)；④n4＝(－2,3，－1).
3.已知向量n＝(－1,3,1)为平面α的法向量，点M(0,1,1)为平面内一定点.P(x，y，z)为平面内任一点，则x，y，z满足的关系式是________.
4.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为1，12，2，则m为________.
5.在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________.
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R).
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP→来表示.我们把向量OP→称为点P的位置向量.
(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
②对于直线l上的任一点P，在直线上取AB→＝a，则存在实数t，使得AP→＝tAB→.
(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝xa＋yb.
②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.
梳理 (1)方向向量 tAB→ 位置 一点
(2)②方向向量 (3)非零 方向向量n
(4)a∥b a·μ＝0 μ＝kv(k∈R)
知识点二
思考 (1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.
(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.
题型探究
例1 解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，3，0)，E(0，32，12)，B(1,0,0)，C(1，3，0)，
于是AE→＝(0，32，12)，AC→＝(1，3，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则 n·AC→＝0，n·AE→＝0，即 x＋3y＝0，32y＋12z＝0，
所以 x＝－3y，z＝－3y，
令y＝－1，则x＝z＝3.
所以平面ACE的一个法向量为n＝(3，－1，3).
引申探究
解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，3，0)，
所以PC→＝(1，3，－1)，
即为直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
因为D(0，3，0)，所以PD→＝(0，3，－1).
由 n·PC→＝0，n·PD→＝0，即 x＋3y－z＝0，3y－z＝0，
所以 x＝0，z＝3y，令y＝1，则z＝3.
所以平面PCD的一个法向量为n＝(0,1，3).
跟踪训练1 解 连结PF，CF，AC.
因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，
又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB.
所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，
所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.
以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意得F(0,0,0)，P(0,0，32)，D(－1，32，0)，C(0，32，0)，E(0，34，34).
所以FE→＝(0，34，34)，
FD→＝(－1，32，0).
设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z).
则 m·FE→＝0，m·FD→＝0，即 34y＋34z＝0，－x＋32y＝0.
所以 z＝－y，x＝32y，令y＝2，
则x＝3，z＝－2.
所以平面DEF的一个法向量为m＝(3，2，－2).
例2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2，2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1).
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥DA→，n1⊥AE→，
即 n1·DA→＝2x1＝0，n1·AE→＝2y1＋z1＝0，
得 x1＝0，z1＝－2y1，
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2).
因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，
