高中数学(平面向量)综合练习含解析

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专业资料 高中数学 (平面向量 )综合练习含解析

1．在 △ABC 中， AB c ， AC b ．若点 D 满足 BD 2DC ，则 AD （ ）

A． 2 1

b c B．

3 3 5 2

c b C．

3 3 2 1

b c D．

3 3 1 2

b c

3 3

2．已知 OA 1, OB 3 ， OA OB 0 ，点 C 在 AOB 内，且 AOC 30 ，

OC mOA nOB m,n R ，则 m

n 等于（ ）

A．3 B． 1

3 C． 3

3 D． 3

3．若向量 a,b,c 满足 a∥b，且 a c，则 c a 2b （ ）

A．4 B．3 C．2 D．0

4．已知向量 m (a, 2), n (1,1 a) ，且 m∥n，则实数 a （ ）

A． 1 B．2 或 1 C．2 D． 2

5．已知向量 a (1,2) ，向量 b (x, 2) ，且 a (a b) ，则实数 x等于

A． 4 B． 4 C．0 D． 9

6．已知 | a| ＝1，| b | ＝ 2 ，且 a (a b)，则向量 a与向量 b 的夹角为（ ）

A． B ． C ． D ．

6 4 3 2

3

7．已知平面向量 a，b 满足 a a b 3 ，且 a 2 ， b 1，则向量 a与b 夹角的

正弦值为（ ）

A． 1

2 B ． 3

2 C ． 1

2 D ． 3

2

8．在平行四边形 ABCD 中，AD 2 ， BAD 60 ，E为CD 的中点．若 AD BE 1，

则 AB 的长为 ( )

A． 6 B ．4 C ．5 D ． 6

9 ． O 为 平 面 上 的 定 点 ， A ， B ， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 若

(OB OC ) (OB OC 2OA) 0，则 ABC 是（ ）

A．以 AB为底面的等腰三角形

B．以 BC为底面的等腰三角形

C．以 AB为斜边的直角三角形

D．以 BC为斜边的直角三角形 WORD格式

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专业资料 10．在 ABC 中，

则有（ ） 1

MB AB ，且对 AB边上任意一点 N，恒有 NB NC MB MC ，

4

A． AB BC B ． AB AC

C． AB AC D ． AC BC

11．点 P是 ABC 所在平面内的一点，若 CB PA PB( R) ，则点 P在（ ）

A． ABC 内部

B．AC边所在的直线上

C．AB边所在的直线上

D．BC边所在的直线上

12．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ，c，c b 6，c b a 2 ，

且 O 为此三角形的内心，则 AO CB （ ）

A．4 B ．5 C ．6 D ．7

13．在 ABC 中， BC a, AC b,| a| 2,| b| 3,a b 3则∠C的大小为（ ）

A．30 B ．60 C ．120 D ．150

14．在 ABC 中， A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c，且b cos C 3 aco s B cos B ，

BA BC 2，则 ABC 的面积为（ ）

A． 2 B ． 3

2 C ． 2 2 D ．4 2

15．若非零向量 a, b满足 | a b | | a b | 2 | a |，则向量 b与 a b 的夹角为 .

16．在平面直角坐标系中，设 M , N,T 是圆 C : 2 2

(x 1) y 4上不同三点，若存在正

实数 a,b，使得 CT aCM bCN ，则 3 2 2 1

a ab ab b

a 的取值范围为 ．

17．已知向量 a (1, 3) ，向量 a,c 的夹角是 3 ，a c 2，则 |c |等于 ．

18．已知正方形 ABCD ，过正方形中心 O的直线 MN 分别交正方形的边 AB ,CD 于点

2

MN

M、N ，则

最小值为 _________________．

2

BN

19．若 a,b均为非零向量， 且 a 2b a, b 2a b ，则 a,b的夹角为 ．

1

20．在等腰梯形 ABCD中，已知 AB//DC，∠ABC=60° ， BC=

2 AB=2，动点 E 和 F 分别在

线段 BC和 DC上，且 BE = BC ，DF

= 1

2 DC ，则 AE ·BF 的最小值为 ． WORD格式

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专业资料 21．已知 ABC 是边长为 1 的正三角形，动点 M 在平面 ABC内，若 AM AB 0，

|CM | 1，则 CM AB的取值范围是 ．

22．向量 a (1,1)，且 a与 a b 的方向相反，则 a b的取值范围是 ．

23．如图，在三棱锥中 D ABC 中，已知 AB 2，AC BD 3，设 AD a，BC b ，

CD c ，则 2

c

ab

1 的最小值为 ．

24．已知 A 点坐标为 ( 1,0) ，B 点坐标为 (1,0) ，且动点 M 到 A 点的距离是 4 ，线段 MB

的

垂直平分线 l 交线段 MA 于点 P ．

（1）求动点 P 的轨迹 C方程．

（2）若 P是曲线 C上的点，，求 k PA PB 的最大值和最小值．

25．△ABC中，内角为 A，B，C，所对的三边分别是 a，b，c，已知 2

b ac ，cos 3 B ． 4

（1）求 1 1

tan A tan C ；

（2）设 BA· 3

BC , 求a c． 2

26．已知函数 f x 1

x 1 ，点 O为坐标原点 , 点 An n, f n (n N * ) ,向量 i 0,1 ，

cos cos cos

n 是向量 OAn 与i 的夹角，则 1 2 2016

sin sin sin

1 2 2016 的值为 ．

27．已知向量 3

a (sin x, ),b (cos x, 1).

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专业资料 （1）当 a //b 时，求 2

2cos x sin 2x 的值；

（2）求 f (x) (a b) b 在 ,0

2 上的值域．

2 y2 DX Ey F

28．如图，在平面直角坐标系中，方程为 x 0 的圆 M 的内接四

边形 ABCD 的对角线 AC和BD 互相垂直，且 AC和BD 分别在 x轴和 y 轴上．

（1）若四边形 ABCD 的面积为 40，对角线 AC 的长为 8，AB AD 0 ，且 ADC 为

锐角，求圆的方程，并求出 B, D 的坐标；

（2）设四边形 ABCD 的一条边 CD 的中点为 G ， OH AB ，且垂足为 H ，试用平

面解析几何的研究方法判断点 O、G、H 是否共线，并说明理由．

29．在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1,1),B(2,3), C (3,2) ，点 P(x, y) 在 ABC 中三边

围成的区域（含边界）上，且 OP AB AC ( , R) ．

（1）若 2

3 ，求 OP ；

（2）用 x, y 表示 并求 的最大值．

30．已知椭圆 2 2

x y

C : 1(a b 0)

2 2

a b , 过左焦点 F1( 1,0) 的直线与椭圆 C 交于 M 、

N 两点，且 F2MN 的周长为 8 ；过点 P (4,0) 且不与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交

于 A 、 B 两点．

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）求 OA OB 的取值范围；

（3）若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点． WORD格式

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参考答案

1．C

【解析】

试题分析：如图所示，在 ABC 中， AD AB BD

又 BD 2DC ，

2 2 2 2 1

BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c

3 3 3 3 3

故选 C．

考点：向量加法

2．A

【解析】

试题分析：如图所示，建立直角坐标系．则 OA 1,0 ,OB 0, 3 ,

∴ , 3 , tan 30 3n 3 m 3

OC mOA nOB m n

m 3 n ．故选 B

考点：共线向量

【名师点睛】 本题主要考查了共线向量及向量的模等知识， 属基础题． 解题时对一个向量根

据平面向量基本定理进行分解， 关键是要根据平行四边形法则， 找出向量在基底两个向量方

向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．

3．D

【解析】

试 题 分 析 ： 设 a b ， 则 由 已 知 可 得

c (a 2b) c a c (2b) c a c (2 b) 2 1 c a 0

考点：向量的运算

4．B

【解析】

试题分析：由已知 m∥n，则 a (1 a) 2 1 a2 a 2 0 a 1,a 2

考点：共线向量

5．D

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