高中数学平面向量-综合测试题

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1__________________________________________________ 平面向量 综合测试题

（时间：120分钟 满分：150分）

学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 向量a，b，c，实数λ,下列命题中真命题是( )

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λ a＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c

2．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，3)，则向量a与b的夹角是( )

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

3. 设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( )

A.PA→＋PB→＝0 B.PC→＋PA→＝0

C.PB→＋PC→＝0 D.PA→＋PB→＋PC→＝0

4．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝( )

A．－2 B．2

C．－12 D.12

5．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )

A．4 B．3 C．2 D．0

6．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为( )

A.322 B.3152

C．－322 D．－3152 __________________________________________________

2__________________________________________________ 7. 已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )

A．[0，π6] B．[π3，π]

C．[π3，2π3] D．[π6，π]

8. 已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为( )

A．[1,2] B．[2,4]

C.14，12 D.12，1

9. 下列命题中正确的个数是( )

①若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b的方向相同；

②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e；

③a·a·a＝|a|3；

④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；

⑤若平面内有四点A，B，C，D，则必有AC→＋BD→＝BC→＋AD→.

A．1 B．2

C．3 D．4

10．已知向量a＝(x＋1,1)，b＝(1，y－2)，且a⊥b，则x2＋y2的最小值为( )

A.13 B.23

C.12 D．1

11．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )

A．2 B.2 C．1 D.22

12．设a,b是两个非零向量，下列结论一定成立的是( )

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb

D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上 ） __________________________________________________

3__________________________________________________ 13．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于________．

14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

15．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λ a＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.

16．在△ABC中，若∠A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|BC→|的最小值是________．

三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知O、A、B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2AC→＋CB→＝0，

(1)用OA→、OB→表示OC→；

(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．

18．（10分）设a，b是不共线的两个非零向量．

(1)若OA→＝2a－b，OB→＝3a＋b，OC→＝a－3b，求证：A，B，C三点共线．

(2)若AB→＝a＋b，BC→＝2a－3b，CD→＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．

19．（10分）已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．

(1)求3a＋b－2c；

(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n；

(3)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k.

20．（10分）已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标与|AD→|．

21．（10分）已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的投影为－1，求

(1)a与b的夹角θ；

(2)(a－2b)·b.

22.（10分）已知a＝( 3，－1)，b＝13,22，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求k＋t2t的最小值．

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参考答案

一、选择题 1~6 BCBCDA 7~12 BDACBC

提示：

1.若a·b＝0，表明a，b垂直，并不是a＝0或b＝0；若a2＝b2，表明|a|2＝|b|2，并不是a＝b或a＝－b；若a·b＝a·c，则有|a||b|cos α＝|a||c|cos β，α，β分别是向量a，b和c，a的夹角，不只会是b＝c.故只有B正确．

2 .cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－11·2＝－12.所以〈a，b〉＝2π3.

3.由BC→＋BA→＝2BP→知，点P是线段AC的中点，则PC→＋PA→＝0.

4.由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得mn＝－12.

5.因为a⊥c，所以a·c＝0，又因为a∥b，则设b＝λa，所以c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.

6．AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，向量AB→＝(2,1)在CD→＝(5,5)上的投影为|AB→|cos〈AB→，CD→〉＝|AB→|AB→·CD→|AB→||CD→|＝AB→·CD→|CD→|＝1552＝322，故选A.

7．Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2·cos〈a，b〉≥0.

所以cos〈a，b〉≤12，〈a，b〉∈[0，π]．所以π3≤〈a，b〉≤π.

8．由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2，

1－|b|cos θ－2|b|2＝0，所以cos θ＝1－2|b|2|b|，因为－1≤cos θ≤1，所以－1≤1－2|b|2|b|≤1，

所以12≤|b|≤1.

9.易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC→＋BD→＝BC→＋AD→，所以AC→－AD→＝BC→－BD→，即DC→＝DC→，所以⑤正确．

10.因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋1＋y－2＝0，整理得x＋y＝1，所以x2＋y2＝x2＋(1__________________________________________________

5__________________________________________________ －x)2＝2x2－2x＋1＝2x－122＋12≥12，所以x2＋y2的最小值为12.

11．因为(a＋b)⊥a，|a|＝1，所以(a＋b)·a＝0，所以|a|2＋a·b＝0，所以a·b＝－1.

又因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0.所以2a·b＋|b|2＝0.所以|b|2＝2.所以|b|＝2，选B.

12.利用排除法可得选项C是正确的，因为|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.

选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．

二、填空题 13.5 14.－1 15. 5 16.6

提示：

13．因为|a＋b|＝5 2，所以(a＋b)2＝50，即a2＋b2＋2a·b＝50，

又|a|＝5，a·b＝10，所以5＋|b|2＋2×10＝50. 解得|b|＝5.

14．由题意知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.

15．|b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b||a|＝51＝5.

16．因为AB→·AC→＝－1，所以|AB→|·|AC→|cos 120°＝－1，即|AB→|·|AC→|＝2，所以|BC→|2＝|AC→－AB→|2＝AC→2－2AB→·AC→＋AB→2≥2|AB→|·|AC→|－2AB→·AC→＝6，所以|BC→|min＝6.

三、解答题

17.解：(1)2AC→＋CB→＝0，2(OC→－OA→)＋(OB→－OC→)＝0.

2OC→－2OA→＋OB→－OC→＝0，所以OC→＝2OA→－OB→.