高中数学平面向量、复数(解析版)

1 热点04 平面向量、复数

复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算。一般出现在填空题的第二或者是第三题。

平面向量也是新高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。

本专题也是学生必会的知识点。通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量。

【满分技巧】

复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。

平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。

平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。

平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解。

【考查题型】选择题，填空，解答题

【常考知识】复数的概念和几何意义、复数的运算、向量的概念和意义、平面向量的线性运算、平面向量的数量积

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O是正三角形ABC内部的一点，230OAOBOC，则OAC的面积与OAB的面积之比是

A．32 B．23 C．2 D．1

【答案】B 2 试题分析：如下图所示，D、E分别是BC、AC中点，由230OAOBOC得2OAOCOBOC即2OEOD，所以2OEOD，设正三角形的边长为23a，则OAC底边AC上的高为13AChBEa，OAB底边AB上的高为1322ABhBEa，所以123221332322ACOACOABABAChSaaSABhaa，故选B.

考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积.

2．（2020·上海高三二模）设12,zz是复数，则下列命题中的假命题是（）

A．若120zz，则12zz

B．若12zz，则12zz

C．若12zz，则1122zzzz

D．若12zz，则2212zz

【答案】D

试题分析：对（A），若120zz，则12120,zzzz，所以为真；

对（B）若12zz，则1z和2z互为共轭复数，所以12zz为真；

对（C）设111222,zabzaibi，若12zz，则22221122abab，

222211112222,zzabzzab，所以1122zzzz为真；

对（D）若121,zzi，则12zz为真，而22121,1zz，所以2212zz为假．

故选D．

考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用． 3 3．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z是复数，则“z是虚数”是“3z是虚数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．

【详解】充分性：取1322zi，故31z是实数，故充分性不成立；

必要性：假设z是实数，则3z也是实数，与3z是虚数矛盾，∴z是虚数，故必要性成立．

故选：B．.

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．

4．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z=52i，则|z|=（ ）

A．1 B．5 C．5 D．55

【答案】B

【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i求模可得结果

【详解】|z|=5||2i=5|2i|=5，

故选：B.

【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题

5．（2020·上海高三一模）设12,zz为复数,则下列命题中一定成立的是( )

A．如果120zz,那么12zz B．如果12zz,那么12zz

C．如果121zz,那么12zz D．如果22120zz,那么12 0zz

【答案】C

【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.

【详解】对于A,取13zi,21zi时,120zz,即31ii,但虚数不能比较大小, ,故A错误;

对于B,由12zz,可得2222abcd,不能得到12zz,故B错误;

对于C,因为121zz,所以12zz,故C正确;

对于D,取11z,2zi,满足22120zz,但是12 0zz,故D错误. 4 故选:C.

【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.

6．（2020·上海高三二模）关于x的实系数方程2450xx和220xmxm有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（ ）

A．5 B．1 C．0,1 D．0,11

【答案】D

【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.

【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为2i，设对应的两点分别为A，B，

得A（2，1），B（2，﹣1），

设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），

（1）当△＜0，即0＜m＜1时，220xmxm的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；

（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且122xx＝﹣m，

故此圆的圆心为（﹣m，0），

半径221212122424222xxxxmmxxrmm，

又圆心O1到A的距离O1A＝222(2)1mmm，

解得m＝﹣1，

综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.

故选：D.

【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.

二、填空题

7.（2020•上海卷）已知复数z满足12zi（i为虚数单位），则z_______

【答案】5

8．（2019·上海高考真题）在椭圆22142xy上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有121FPFP，则 5 1FP与2FQ的夹角范围为____________

【答案】1arccos,3

【分析】通过坐标表示和121FPFP得到21,2y；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos322yyy；利用2y的范围得到cos的范围，从而得到角的范围.

【详解】由题意：12,0F，22,0F

设,Pxy，,Qxy，因为121FPFP，则2221xy

与22142xy结合 224221yy，又2,2y 21,2y

222212222222221222cos22222FPFQxyxyFPFQxyxyxyx

与22142xy结合，消去x，可得：

2222381cos31,223yyy

所以1arccos,3

本题正确结果：1arccos,3

【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.

9.（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点10A，、20B，，E、F是y轴上的两个动点，且2EF，则的AEBF最小值为____．

【答案】-3

【分析】

据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得2AEBFab， 6 将a=b+2带入上式即可求出AEBF的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出AEBF的最小值．

【详解】

根据题意，设E（0，a），F（0，b）；

∴2EFab；

∴a=b+2，或b=a+2；

且12AEaBFb，，，；

∴2AEBFab；

当a=b+2时，22222AEBFbbbb；

∵b2+2b﹣2的最小值为8434；

∴AEBF的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AEBF的最小值为﹣3．

故答案为：﹣3．

【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．

10．（2020·上海高三三模）设点O为ABC的外心，且3A，若,RAOABAC，则的最大值为_________.

【答案】23

【分析】利用平面向量线性运算整理可得1OAOBOC，由此得到1；由3A可求得cosBOC，设外接圆半径为R，将所得式子平方后整理可得213，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值.

【详解】

AOABACOBOAOCOA 7 1OAOBOC 10，即1，

1cos2A 1coscos22BOCA，

设ABC外接圆半径为R，

则22222222222212cosRRRRBOCRRR，

整理可得：22321313124，

解得：23或2（舍）,当且仅当13时，等号成立，

的最大值为23.

故答案为：23.

【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.

11．（2020·上海高三一模）已知非零向量a、b、c两两不平行，且abc，//bac，设cxayb，,xyR，则2xy______.

【答案】－3

【分析】先根据向量共线把c用a和b表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．

【详解】解：因为非零向量a、b、c两两不平行，且//abc，//bac，

,0ambcm，

1cabm

,0bnacn

1cban

1111mn，解得11mn

cxayb