妙用均值定理求多元函数的最值

均值定理求最大值公式好的，以下是为您生成的文章：咱们在数学的世界里呀，经常会碰到各种各样求解最值的问题。

这时候，均值定理就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开最值的大门。

先来说说均值定理到底是啥。

简单来讲，对于任意两个正实数 a 和b，都有算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。

当且仅当 a = b 时，等号成立。

举个例子哈，比如说咱要围一个矩形的菜园子。

已知菜园子的周长是固定的，比如说 20 米，那怎么围才能让这个菜园子的面积最大呢？这时候均值定理就派上用场啦。

假设这个矩形的长是 x 米，宽就是 (10 - x) 米，那它的面积就是 S = x(10 - x) 。

根据均值定理，x + (10 - x) = 10 ，所以√[x(10 - x)] ≤ 10 / 2 = 5 ，也就是 x(10 - x) ≤ 25 。

当且仅当 x = 10 - x ，也就是 x = 5 时，等号成立，此时菜园子是个正方形，面积最大，就是 25 平方米。

再比如说，咱要生产一批无盖的长方体盒子，每个盒子的体积要固定，比如说是 8 立方米。

那怎么设计这个盒子才能让用料最省呢？设长方体的长、宽、高分别是 a 米、b 米、c 米，那体积 V = abc = 8 。

表面积 S = ab + 2ac + 2bc 。

根据均值定理，ab + 2ac + 2bc ≥ 3׳√(a²b²×4ac×4bc) = 3׳√(16a²b²c²) 。

因为 V = 8 ，所以 c = 8 / (ab) ，代入上式可得ab + 2ac + 2bc ≥3׳√(16×64) 。

当且仅当 ab = 2ac = 2bc 时，等号成立，此时可以求出长、宽、高的具体值，也就得到了用料最省的方案。

均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。

它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。

本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。

一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。

在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。

2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。

具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。

二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。

具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。

2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。

首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。

接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。

用均值定理解决函数的最大值\最小值问题作者：张宏颖
来源：《读写算》2011年第16期
应用均值定理求最值，要注意满足三个条件：正值、定值、等号成立。

在有的题目中不能直接使用均值定理，主要是因为应用定理后，和或积不是定值(常数)，所以必须要将题目先进行一些适当变形。

点评：在推导中用到了凑配技巧，以使得“积、和”分别为定值，这是常用的解题策略。

另外，中，等号不能成立，也值得注意，否则推出结论不正确。

利用判别式法可求得xy的最大值。

但因为x有范围0
点评：解法1的变形是具有通用效能的方法，值得学习。

解法2抓住了问题的本质，所以更为简捷。

例3：甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/每小时。

已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度V（千米/小时）的平方成正比，比例常数为b；固定部分为a元。

（1）把全程运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？
点评：此题再一次表明，务必注意“等号”成立的条件。

当年高考中有不少考生得出的是不准确的结论，“当v=a/b时, y取最小值”。

说明用均值定理求最值时有陷阱，解题时要谨防掉入陷阱。

点评：这类问题中，简单的问题是将条件和待求结论分别应用均值定理可以找到条件和结论的内在联系（两次应用均值定理时，等号成立的条件一致）。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。

本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。

1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。

例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。

2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。

如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。

如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。

对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。

3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。

例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。

我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。

同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。

4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。

当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。

我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。

5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。

在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。

综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。

通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。

多元函数的极值与最值的求法摘要：在实际问题中, 往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.求多元函数极值, 一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似, 可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值，但是由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性. 这里主要讨论二元函数, 对于二元以上的函数极值可以类似加以解决.求多元函数的极值,本文主要采用以下方法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值；（2）拉格朗日乘数法求极值；（3）用几何模型法求解极值;（4）通过Jacobi 矩阵求条件极值；(5)利用参数方程求极值;(6)利用方向导数判别多元函数的极值;(7)用梯度法求极值.对多元函数的最值问题,我们主要采用的方法有：（1）消元法；（2）均值不等式法；（3）换元法；（4）数形结合法；（5）柯西不等式法；（6）向量法.除此之外，很重要的一种就是：考虑极值与最值的关系，运用极值法求最值.关键词:多元函数，极值，最值，方法、Methods for Calculating Extremum and the most Value of MultivariableFunctionAuthor：Chenlong Class: 20XX-2 Mathematics and Applied MathematicsSupervisor: Huang JunhuaAbstractIn practical problems, we often encounter maximum and minimum problems of multivariable function. Both of them have a close relationship with maximum, minimum values.Similar to monad function, we can use the extremum of Function to seek the maximum and minimum value of function, but due to the increased number of independent variable which make the issue more plicated. Usually, we can use the partial derivatives to get the extremum of multivariable function. Here, the thesis mainly discusses the duality function so that we can use the similar way to solve the extremum of duality function to the above.To get the extreme of multivariable function, the thesis adopts the following ways: (1)Using the partial derivative of duality function to get the extreme; (2)Lagrangian multiplier method to calculate the extremum; (3)Geometric modeling method for solving extremum; (4) Using Jacobi matrix to get the conditional extremum; (5) Using parameter equation to calculate the extremum; (6)Using directional derivative to identify the extremum of multivariable function; (7) Using gradient method to get the extremum.To calculate the most value of multivariable function, the thesis takes several main ways as follow: (1) Elimination method (2) The mean value inequality method (3) Substitution method (4) Method of numerical and shaping bination (5) Cauchy inequality method (6) Vector method.Besides, a very important method we should take into consideration is to consider the relations of extremum and most value, using extremum method to calculate most values.Key words: multivariable function, extremum, the most value, method目录引言 (1)1 多元函数的极值的求法 (1)1.1 利用二元函数的偏导数求二元函数极值 (1)1.2 利用拉格朗日（Lagrange）乘数法求极值 (2)1.3 利用几何模型法求解极值 (3)1.4 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值 (5)1.5 利用参数方程求解条件极值 (11)1.6 利用方向导数判别多元函数的极值 (12)1.7 用梯度法求极值 (15)2 多元函数最值的求法 (17)2.1 消元法 (18)2.2均值不等式法 (18)2.3 换元法 (19)2.4 数形结合法 (20)2.5 柯西不等式法 (21)2.6 向量法 (22)2.7 利用极值求最值 (23)小结 (25)致谢 (25)参考文献 (25)引言多元函数的极值及其求法是高等数学学习过程中的一大难点,主要原因有：（1）对拉格朗日乘数法中参数的困惑；（2）求可能极值点过程中繁琐的计算；（3）对极值存在的必要条件及其充分条件的理解.最值问题是中等数学中永恒的话题,也是每年高考必不可少的热门考点.因此,怎样求最值,是师生们非常关注和必须解决的问题,也是学生必须具备的解题技能.而在最值求解中,尤以求多元函数的最值问题因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性,成为最值求解中的难点和热点.1 多元函数极值的求法1.1 利用二元函数的偏导数求二元函数极值例1.1.1 求由方程222224100x y z x y z ++-+--=, 所确定的函数(,)z f x y =的极值.解: 将方程两边分别对,x y 求偏导数22240x x x zz z +--= (1)22240y y y zz z ++-= (2)解出 12x x z z -=-, 12y y z z +=- 令0,0x y z z ==,求得x =1, y =-1将他们带入原方程得126,2z z ==-.下面考察函数(,)z f x y =在点（1，-1.6）及点（1，-1，-2）的邻域内取值情况. 令(),,F x y z = 22222410x y z x y z ++-+--.由于(1,1,6)0,(1,1,2)0x y F F -≠--≠, 所以原方程分别在点(1,-1,6)和（1，-1，-2）的邻域内确定函数12(,),(,)z f x y z f x y ==.又方程（1）对x 求偏导:2120xx x xx zz z x ++-=,得1(1,1,6)4xx z -=-，1(1,1,2)4xx z -=. 方程（1）对y 求偏导:20x y xy xy z z zz x +-=,得(1,1,6)0,(1,1,2)0xy xy z z -=--=.方程（2）对y 求偏导:2120y yy yy z zz z ++-=,得1(1,1,6)4xx z -=-，1(1,1,2)4xx z -= 在点（1，-1,6）有20B AC -<，且A<0，所以6z =是极大值。

利用均值不等式求最值的方法均值不等式是数学中常见的一种不等式形式，可以用于求解各种最值问题。

该不等式提供了一种有效的方法来估算函数的最大值和最小值。

均值不等式最常见的形式是算术平均数和几何平均数之间的关系，即对于任意一组非负实数$x_1,x_2,...,x_n$，有以下不等式成立：$\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$其中，算术平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的和除以$n$，而几何平均数是$x_1,x_2,...,x_n$的乘积开$n$次方。

均值不等式的证明可以通过数学归纳法和对数函数的单调性来完成，具体证明过程超出本文篇幅，不过可以查阅相关数学教材进行学习。

步骤1：确定题目要求求解的最值问题，明确自变量和因变量。

一般来说，最值问题都是求解一些函数的最大值或最小值。

步骤2：将问题转化为均值不等式的形式。

利用均值不等式，可以将函数中的一些项转化为均值的形式，进而简化问题求解过程。

步骤3：确定均值的形式。

根据函数中的项，可以选择合适的均值形式，如算术平均数、几何平均数、调和平均数等。

步骤4：利用均值不等式进行变换。

将问题中的需要求解的部分，利用均值不等式进行变换，得到简化后的表达式。

步骤5：求解均值不等式中的最值问题。

根据均值不等式，可以得到简化后的表达式的最值。

具体求解方法，根据实际问题采取不同的手段，如求导法、取等法等。

步骤6：将最值结果回代到原始问题中。

将得到的最值结果回代到原始问题中，得到最终的结果。

下面通过一个简单的例子来说明利用均值不等式求最值的方法。

例题：已知$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$，求$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。

解答：步骤1：确定题目要求求解的最值问题。

题目要求求解函数$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}$的最大值。

巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。

本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。

一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。

推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。

2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。

对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。

注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。

3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。

二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。

本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。

1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。

解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。

大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。

在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。

一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。

对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。

最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。

二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。

该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。

2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。

其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。

3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。

该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。

三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。

以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。

2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。

3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。

通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。

四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。

多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。

因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时，“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等";② 熟悉一个重要的不等式链:ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。

一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数,拼凑定和，求积的最大值。

例１ （1) 当时,求(82)y x x =-的最大值.(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值.解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-,即13x =时，上式取“=".故max 3227y =。

评注:通过因式分解,将函数解析式由“和"的形式,变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积"的最大值。

例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。

解:()()2242214122x x y x x x =-=•••-。

高中数学丨用12种方法求多元函数的最值，学霸都掌握的解
题技巧
在高中数学里，多元函数的最值问题就是在多个约束条件下,某一个问题的最大和最小值.在所列的式子之中,有多个未知数.求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法.解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法等
最终得到了12种处理多元函数的最值问题的方法，并通过高考真题来进行详细讲解，普通人和学霸之间差距就是学习方法和解题技巧，今天老师就把这些方法分享给同学们，掌握以后，大大提升了解题速度，你也你能轻松变学霸。