第2课时 正方形的判定
1．掌握正方形的判定条件；(重点)
2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)
一、情境导入
老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．
小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？
小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
二、合作探究
探究点一：正方形的判定
【类型一】
利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可． 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．
方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形
如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形BECF是菱形；
27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定（2)
【三维目标】
1.知识与技能
了解“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理。了解该定理的证明.能运用该定理解决具体问题。
2.过程与方法
经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的演绎推理能力。
3.情感态度与价值观
培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力，形成推理、说明的科学态度。
【教学重点】
“三边成比例两个三角形相似”的判定定理及其应用。
【教学难点】
判定定理的证明。
【教学方法】
自主探究 合作交流
【教学过程】
一、复习回顾，情境导入。
1.学习过哪些判定三角形相似的方法？
2、全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ 3、两个三角形全等有哪些常用的判定方法？
4、判定两个三角形全等我们有SSS，SAS，ASA，AAS等方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
【教学说明】设置疑问，引导学生思考，尝试用类似的思路来判定两个三角形相似，激发求知欲望.
二、思考探究，获取新知
探究：任意画一个三角形，再画另一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的k倍，这两个三角形相似吗？
1. 画一个三角形使边长为：6cm、5cm、4cm ，再画一个三角形，使它的各边长都是这个三角形各边长的 倍。通过测量，比较它们的对应角相等吗？这两个三角形相似吗？
2.由此你得到什么规律及结论？
3.证明这个结论：
学生结合图形写已知、求证；引导学生证明。
如图，在△ABC和△A′B′C′中，CAACCBBCBAAB,则
△ ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
【教学说明】“问题1”可让学生自主完成, 并相互交流，获得“两个三角形三边成比例时，这样的两个三角形相似”的感性认识.而对于“探究”中的问题，教师应引导学生通过合理推理进行说明.这时12可在A′B′上截取A′D=AB，再过D作DE//B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C′.这种构造△A′DE作为过渡三角形在以往的学习中很少见，因此教师应做好引导.
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第2课时 正方形的判定
1．掌握正方形的判定条件；(重点)
2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)
一、情境导入
老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．
小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？
小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
二、合作探究
探究点一：正方形的判定
【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．
方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形
如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
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解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形BECF是菱形；
正方形的性质与判定(第2课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题中,是真命题的是 (
)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【解析】选C.由对角线判定平行四边形、矩形、菱形、正方形,对角线互相平分且相等是矩形,故选项A错误;对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形,故选项B错误;对角线互相平分的四边形是平行四边形,选项C正确;对角线互相平分且互相垂直、相等的四边形是正方形,故选项D错误.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是
( )
A.BC=AC B.CF⊥BF
C.BD=DF
D.AC=BF
【解析】选D.∵EF垂直平分BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形.
当BC=AC时,∠A=45°,
∵∠ACB=90°,∴∠EBC=45°,
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°,
∴菱形BECF是正方形.
故添加BC=AC能证明四边形BECF为正方形;
当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故添加CF⊥BF能证明四边形BECF为正方形;
当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故添加BD=DF能证明四边形BECF为正方形;
当AC=BF时,无法得出菱形BECF是正方形.
3.已知四边形ABCD,对角线AC与BD互相垂直.顺次连接其四条边的中点,得到新四边形的形状一定是 ( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【解题指南】四边形对角线互相垂直→四个角都是直角→矩形.
【解析】选B.如图:
