第2课时 正方形的判定
1．掌握正方形的判定条件；(重点)
2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)
一、情境导入
老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．
小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？
小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
二、合作探究
探究点一：正方形的判定
【类型一】
利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可． 证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．
方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形
如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形BECF是菱形；
第2课时 正方形的判定
1．掌握正方形的判定条件；(重点)
2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)
一、情境导入
老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．
小明剪完后，这样检验它：比拟了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？
小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？
小英剪完后，比拟了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
二、合作探究
探究点一：正方形的判定
【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形〞证明四边形是正方形
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
解析：要证四边形CEDF是正方形，那么要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．
方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形〞证明四边形是正方形
如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请答复并证明你的结论．
解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形〞，∴四边形BECF是菱形；
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第2课时 正方形的判定
1．掌握正方形的判定条件；(重点)
2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)
一、情境导入
老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．
小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？
小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？
小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？
你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
二、合作探究
探究点一：正方形的判定
【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．
解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．
方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形
如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
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解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形BECF是菱形；
正方形的性质与判定(第2课时)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题中,是真命题的是 (
)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【解析】选C.由对角线判定平行四边形、矩形、菱形、正方形,对角线互相平分且相等是矩形,故选项A错误;对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形,故选项B错误;对角线互相平分的四边形是平行四边形,选项C正确;对角线互相平分且互相垂直、相等的四边形是正方形,故选项D错误.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是
( )
A.BC=AC B.CF⊥BF
C.BD=DF
D.AC=BF
【解析】选D.∵EF垂直平分BC,
∴BE=EC,BF=CF,
∵BF=BE,∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形.
当BC=AC时,∠A=45°,
∵∠ACB=90°,∴∠EBC=45°,
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°,
∴菱形BECF是正方形.
故添加BC=AC能证明四边形BECF为正方形;
当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故添加CF⊥BF能证明四边形BECF为正方形;
当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故添加BD=DF能证明四边形BECF为正方形;
当AC=BF时,无法得出菱形BECF是正方形.
3.已知四边形ABCD,对角线AC与BD互相垂直.顺次连接其四条边的中点,得到新四边形的形状一定是 ( )
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【解题指南】四边形对角线互相垂直→四个角都是直角→矩形.
【解析】选B.如图:
