5.3 第1课时 正方形的判定
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5.3 第1课时 正方形的判定
一、选择题
1.下列命题中,正确的是 ( )
A. 四条边相等的四边形是正方形
B.四个角相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
2.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是 ( )
A. ∠D=90° B.AB=CD
C.AD=BC D.BC=CD
3.如图1,把一个长方形纸片对折两次,然后沿图中虚线剪下一个角,为了得到一个正方形,剪切线与折痕所成的角的度数为 ( )
图1
A. 30° B.45° C.60° D.90°
4.[2018·新疆] 如图2,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE折叠,使得点B落在边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为 ( )
图2
A. 6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
5.如图3,在同一平面内,以A,B两点为顶点作位置不同的正方形,一共可作正方形的个数为( )
图3
A. 1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
6.黑板上画有一个图形,学生甲说它是多边形,学生乙说它是平行四边形,学生丙说它是菱形,学生丁说它是矩形,老师说这四名同学的答案都正确,则黑板上画的图形是 .
7.▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,请添加一个条件: ,使得▱ABCD为正方形.
8.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连结DE,DF,要使四边形DECF是正方形,只需增加一个条件: .
图4
9.在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的是 (填序号).
10.如图5,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是BM,CM的中点,当AB∶AD= 时,四边形MENF是正方形.
图5
三、解答题
11.如图6,在△ABC中,∠ABC=90°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.
图6
12.如图7,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G.现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C.
求证:四边形ABCD是正方形.
图7
13.如图8,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD∶AB= 时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明).
图8
14 探究:如图9①,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,AE⊥CD于点E.若AE=10,求四边形ABCD的面积.
应用:如图9②,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于点E.若AE=19,BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积是多少?
图9
详解详析
1.[解析] D A.错误,四条边相等的四边形是菱形;
B.错误,矩形的四个角相等,但它不一定是正方形;
C.错误,对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
D.正确,符合正方形的判定定理.
故选D.
2.[答案] D
3.[答案] B
4.[解析] D ∵沿AE折叠,点B落在边AD上的点B1处,
∴∠B=∠AB1E=90°,AB=AB1.
又∵∠BAD=90°,
∴四边形ABEB1是正方形,
∴BE=AB=6 cm,
∴CE=BC-BE=8-6=2(cm).
故选D.
5.[答案] C
6.[答案] 正方形
7.[答案] 答案不唯一,如∠BAD=90°
8.[答案] 答案不唯一,如AC=BC
[解析] ∵D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
∴DE∥BC,DE=12BC.
∵∠ACB=90°,
∴∠DEC=90°.同理∠DFC=90°,DF=12AC,
∴四边形DECF是矩形.
又∵AC=BC,∴DE=DF,
∴四边形DECF为正方形.
9.[答案] ①③④
[解析] ①∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
又∵AB⊥AD,
∴四边形ABCD是正方形,故正确.
②∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,AB⊥BD,
∴▱ABCD不可能是正方形,故错误.
③∵四边形ABCD是平行四边形,OB=OC,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
又∵OB⊥OC,即对角线互相垂直,
∴四边形ABCD是正方形,故正确.
④∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
又∵AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形,故正确.
故答案为①③④.
10.[答案] 1∶2
11.证明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEB=∠DFB=90°.
又∵∠ABC=90°,
∴四边形DEBF为矩形.
∵BD是△ABC的角平分线,且DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF,
∴四边形DEBF为正方形.
12.证明:∵AG⊥EF,∴∠AGE=∠AGF=90°.
∵将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,
∴∠AGE=∠B=90°,∠AGF=∠D=90°,∠EAG=∠BAE,∠GAF=∠FAD,AB=AG=AD.
∵∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠FAD=45°,
∴∠BAD=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
又∵AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠A=∠D=90°.
∵M为AD的中点,
∴AM=DM.
在△ABM和△DCM中,
{𝐴𝑀=𝐷𝑀,∠𝐴=∠𝐷,𝐴𝐵=𝐷𝐶,
∴△ABM≌△DCM(SAS).
(2)四边形MENF是菱形.
证明:∵N,E,F分别是BC,BM,CM的中点,
∴NE∥CM,NE=12CM,FM=12CM,
∴NE=FM,NE∥FM,
∴四边形MENF是平行四边形.
∵△ABM≌△DCM,
∴BM=CM.
∵E,F分别是BM,CM的中点,
∴EM=FM,
∴四边形MENF是菱形.
(3)当AD∶AB=2∶1时,四边形MENF是正方形.
14解:探究:如图①,过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F.
∵AE⊥CD,∠BCD=90°,
∴四边形AFCE为矩形,
∴∠FAE=90°,
∴∠FAB+∠BAE=90°.
又∵∠EAD+∠BAE=90°,
∴∠FAB=∠EAD.
又∵AB=AD,∠F=∠AED=90°,
∴△AFB≌△AED,∴AF=AE,
∴四边形AFCE为正方形,
∴S四边形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100.
应用:如图②,过点A作AF⊥CD,交CD的延长线于点F,连结AC,
则∠ADF+∠ADC=180°.
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABC=∠ADF.
在△ABE和△ADF中,
{∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐹,∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐹=90°,𝐴𝐵=𝐴𝐷,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴AF=AE=19,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12BC·AE+12CD·AF
=12×10×19+12×6×19
=95+57
=152.
