高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

江苏省泰兴中学高一数学教学案(38)必修4_01 弧度制班级姓名目标要求1．理解弧度的意义;2．掌握弧度制与角度制互化公式，能熟练地进行弧度与角度的互化;3．理解角的集合与实数集R是一一对应的．重点难点重点：弧度与角度的互化难点：弧度制的理解教学过程：一、问题情境：在本章引言中,我们曾考虑用(r, l)来表示点P,那么r, l与α之间具有怎样的关系呢?二、数学建构1、角度制：2、弧度制：3、度与弧度的换算公式：4、弧长公式：扇形面积公式：一、 典例剖析例1 将下列弧度数化为角度数：（1）35π； （2）3.5例2 将下列角度数化为弧度数：（1）252°； （2）11°15’例3 把下列各角化为2k πα+()02,k Z απ≤<∈的形式，并指出它们是第几象限角.（1）－1500°； （2）2008π； （3）－6例4 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，求该扇形的面积．引申：扇形的周长为a ，当扇形的圆心角α和半经r 各取何值时，扇形的面积最大．例 5 如图，已知圆上一点A(1,0)按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角)0(πθ≤<，经过2秒种到达第三象限，经过14秒钟又转到与最初位置重合，求角θ的弧度数．四、课堂练习1、用弧度制表示：（1）终边在x 轴上的角的集合_____________________（2）第二象限的角的集合_______________________________2、若α=1rad ，则角α终边在第____象限，若α=2，则角α终边在第____象限，若α=3，则角α终边在第____象，限若α=4，则角α终边在第____象限，若α=6，则角α终边在第____象限．3、已知扇形周长为6cm ，面积为2cm 2 , 则扇形圆心角的弧度数为__________．4、把下列各角化成2(02,)k k Z απαπ+≤<∈的形式，并指出它们是第几象限角：（1）236π； （2）1500-o五、课堂小结1. 弧度的定义、弧度与角度之间的转化,以及弧度制下弧长公式及扇形的面积公式.2. 会应用所学的知识来处理实际问题,同时,要注重方程思想及消元思想的应用.江苏省泰兴中学高一数学作业(38)班级 姓名 得分1、若α是第四象限角，则απ-一定在第 象限。

§1.1.2 弧度制（一）学习目标：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数学习重点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.学习难点：弧度的概念及其与角度的关系.学习过程：一、自学质疑：（A）问题1 我们已经学习了“角的概念的推广”，请简述“角”的概念，并说明什么是“正角”、“负角”、“零角”.（A）问题2 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？初中我们是如何计算弧长的，其公式是怎么样的？（B）问题3 请研究30°、60°的圆心角，当半径r为1，2，3时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比。

你可以得到什么结论？（B）问题 4 弧度的定义____________________________________________它的单位是rad 读作______，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做______．如下图，用弧度制表示其圆心角大小依次为______、_______、______、______、二、数学运用：1 把'3067化成弧度 2 把rad π53化成度3 用弧度制表示：1 终边在x 轴上的角的集合2 终边在y 轴上的角的集合3 终边在坐标轴上的角的集合三、巩固练习： 1．完成下表，并熟记.A.πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B.－3π和322πC.－97π和911πD. 9122320ππ和3． (用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 . 4． 7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 . 5．圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .6．已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .7．现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.。

1.1.2 弧度制（1）教学目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。

教学重、难点弧度与角度之间的换算。

教学过程复习：uiu初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？新课讲解1．弧度角的定义：规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ． 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是rl =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。

说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r rπαπ-=-=-=-． 3．角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．例2 把35πrad 化成度。

例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。

（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。

（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。

例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。

（1）193π； （2）315-； （3）1485-．课堂练习P9 1,2,3,4,5,6课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别。

第2课时 §1.2 弧度制【教学目标】 一、知识与技能（1）理解1弧度的角、弧度制的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算； （3）熟记特殊角的弧度数。

（4）掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。

二、过程与方法：（1）通过比较引入“弧度制”的概念；（2）通过小组活动，熟练进行角度和弧度的换算。

（3）培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力三、情感、态度与价值观：进一步加强对辩证统一思想的理解。

【教学重点】弧度的意义 【教学难点】弧度与角度的换算 【教学过程】一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

它的单位是rad 读作弧度如图： radrad周角=2 rad 平角=rad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角的弧度数的绝对值rl=α（l 为弧长，r 为半径）3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算 注意：360=2o l=rC 2rad1rad r l=2ro AA Bradrad 01745.0180≈π '185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例1、 （1）把'3067化成弧度 （2）把rad π53化成度注意： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad表示rad 角的正弦2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见下表）3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合 实数集R例2、 用弧度制表示：终边在x 轴上的角的集合；终边在y 轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角的集合例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π⑵ 165例4、利用弧度制证明扇形面积公式lRS 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。

1．1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键是弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度．三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度的换算．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．推进新课新知探究弧度制 1．1°的角 周角的1360为1°的角． 2．1弧度的角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 3．弧度数正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.一扇形的半径为R ，弧长为l ，则l ＝|α|R，S ＝12lR ＝12R 2|α|.4．角度制与弧度制的换算关系 π弧度＝180°，1°＝π180弧度，1弧度＝(180π)°≈57°18′. 教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即lr＝1.我们已学习过角的度量，规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(degree measure)．除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制．长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，记作1 rad(图1)．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian measure)．图1用弧度表示角的大小时，只要不产生误解，可以省略单位．例如1 rad ，2 rad ，π rad，可分别写成1,2，π.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.若圆半径为r ，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2r ，那么∠AOB 的弧度数就是2rr ＝2(图2)．图2教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．若圆半径为r ，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2πr，则∠AOB 的弧度数就是2πrr＝2π(图3)．故有360°＝2π rad，图31°＝π180 rad≈0.017 45 rad，1 rad ＝(180π)°≈57.30°.如图4给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系，需熟记．图4弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad＝(180απ)°，n°＝n×π180(rad)．可让学生填写下列的表格，找出某种规律．的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向r 1 2r －2 －π 0 180°360°由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋π3或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z )的形式．如图5为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图5与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR，S ＝12αR 2，S ＝12lR.应用示例例1将下列弧度数化为角度数： (1)3π5；(2)3.5.解：(1)3π5 rad ＝3π5×180°π＝108°；(2)3.5 rad ＝3.5×180°π≈200.54°.例2将下列角度数化为弧度数： (1)252°；(2)11°15′.解：(1)252°＝252×π180 rad ＝7π5 rad ；(2)11°15′＝11.25°＝11.25×π180 rad ＝π16rad.点评：以上两例的目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义的目的．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住.例3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α〔k∈Z ，α∈[0,2π)〕的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3.活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是{β|β＝kπ，k∈Z }、{β|β＝π2＋kπ，k∈Z }，第一、二、三、四象限角的集合分别为{β|2kπ<β<2kπ＋π2，k∈Z }、{β|2kπ＋π2<β<2kπ＋π，k∈Z }、{β|2kπ＋π<β<2kπ＋3π2，k∈Z }、{β|2kπ＋3π2<β<2kπ＋2π，k∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角． 点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α〔k∈Z ，α∈[0,2π)〕的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限．例4见课本本节例3.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结由学生总结弧度制的定义、角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．作业①课本习题1.1 6、8、10.②课后探究训练：课本习题1.1 12.设计感想本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后做题会更困难．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″.密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．1D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．kπ＋π4与2kπ＋π4(k∈Z ) B.kπ2与kπ＋π2(k∈Z )C ．kπ－2π3与kπ＋π3(k∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3kπ(k∈Z )4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________. 5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．参考答案：1.A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π3.5．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R＝1，α＝4或R ＝2，α＝1.∴α＝4或1.6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上．三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．[例题] 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360π min ，分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x)，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)． 点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。

1.1.2 弧度制教学目标：1．理解1弧度的角及弧度的定义；2．掌握角度与弧度的换算公式并熟练进行角度与弧度的换算；3．理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．教学重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；熟练进行弧长和面积公式的应用． 教学难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．教学方法：问题链导学法．教学过程：一、问题情境探究：l 、α、r 三者之间关系. 二、学生活动1．改变α、r ,观察l 的变化 2．改变l ，r ，观察α的变化 3．分析原因 三、建构数学1．弧度角的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2．记法：1rad ． 3．引入弧度制的概念4．通过问题构建弧长，半径，圆心角之间的关系：l = |α| r 5．通过问题引导学生进行角度制与弧度制的互换．A360°＝2πrad 180°= πrad1801π=︒rad ≈0.01745rad 1rad =︒)180(π≈57.30°6．通过问题引导学生推导出弧度制下的扇形面积公式． 四、数学应用 1．例题．例1 把下列各角从度化为弧度．（1）135° （2）-75° （3）11°15′例2 把下列各角从弧度化为度． （1）53πrad （2）34πrad例3 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，求该扇形的面积.2．练习． （1）填表说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算． （2）用弧度制写出终边落在y 轴上和x 轴上的角集合．（3）周长为20的扇形，当圆心角为多少弧度时，其面积最大？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1． 弧度制的定义； 2． 角度与弧度的换算公式； 3． 特殊角的弧度数．。

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2 弧度制1．了解弧度制．2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．（难点、易错点）[基础·初探］教材整理1 弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题．1．角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．判断(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )（2）圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．（)（3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．（)【答案】(1)×(2）×(3)×教材整理2 角度制与弧度制的换算阅读教材P8的全部内容,完成下列问题．1．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2π rad＝360°180°＝πradπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45rad1 rad＝错误!度≈57.30°2.角度0°1°30°45°60°90°弧度0错误!错误!错误!π3错误!角度120°135°150°180°270°360°弧度错误!3π4错误!π错误!2π3.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0。

弧度制崔恩华教学目标：1．理解弧度的意义；2．能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；3．掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决简单的实际问题．教学重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；教学难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．教学过程：1、在生活中，度量长度可以用米、尺、寸等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨等不同的单位制，并且这些单位制之间可以相互转化，那么度量角除了用“度”还有其它单位制吗？如果有，它们之间又如何转化？2、初中角度制是如何定义的？3、探究：如图所示，圆O 的半径为r ， 360的圆心角所对应的弧长为 1的圆心角所对应的弧长为 反之，弧长为r 180π的弧所对应的圆心角的度数为1 那么，弧长为l 的弧所对应的圆心角的度数为 度 rl180πα= 上述公式表明，我们可以用r 180π 作为一个长度单位去度量弧长，从而求出该弧所对应的圆心角的度数！ 练习：若4=l ，2=r ，则=α 度（结果保留一位小数）因为180π是一个无理数，所以用r 180π作为一个长度单位不方便计算，那么你认为长度单位应A该选什么呢？4、弧度角的定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角 记作：1rad ．只要不引起误解，单位可以省略不写，例如1rad 可以写成1 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制。

角度制下：r l180πα=， 弧度制下：rl =α 5、1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？6、因为旋转方向不同，任意角分为正角、负角和零角，那么它们对应的弧度数分别是什么？7、在弧度制下，请写出α与l 、r 之间的关系式。

8、例题．例1 把下列各角从度化为弧度．（1）5111' （2） 75-例2 把下列各角从弧度化为度．（1）53πrad （2）12π-rad 填表9、角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系。

即：每一个角都对应唯一的一个实数（该角的弧度数或者度数），反过来 每一个实数也都对应唯一的一个角。

弧度制教学设计江苏省太湖高级中学〔214125〕翟洪亮1创设情景，引入新制师：上一课，我们学习任意角，通过旋转将角的范围由初中所学的到，推广到任意角，知道角不但可以推广到大于的任意正角，还可以推广到零角、负角，第一次颠覆了我们对角的已有认识,今天将在此根底上再次颠覆大家对角的认识请大家看投影中姚明的简介，结合表格，联系生活，在常用的度量衡有国际公制、英制和中国市制，你能想到长度、质量的单位有哪些？生：毫米〔mm〕、厘米〔cm〕、米〔m〕、千米〔m〕，中国市制有：寸、尺、丈等生：在度量质量的国际公制中常用的单位有：克〔g〕、千克〔g〕等，英制由磅，中国市制有：钱、两、斤等师：这说明在不同地域内不同的单位进制会给人们解决生活问题带来方便，对于角你知道它的单位有哪些？单位之间又是如何进行换算的？生：角的单位有度、分、秒，1度=60分，1分=60秒师：我们知道周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，那么角是否还有其他换算进制呢？生：也应该有！设计意图通过对长度和质量在不同的区域都有不同换算进制，从而引导学生想到角也应该有不同的换算进制，旨在激发学生去探索新知2探究比值，以旧促新师：在初中学了弧长公式，哪位同学能表达一下？生：在半径为的圆中，圆心角为度的扇形所对的弧长为，所以圆心角为度的扇形所对的弧长为师：很好！在弧长公式中当圆心角确定后，如图1，改变图1半径的大小，你能发现什么？生：发现半径越小，扇形的弧长越短；半径越大，扇形的弧长越长师：请大家计算，，你能发现什么？生：发现为定值，当角不变，的值被唯一确定〔教师用几何画板演示〕师：由此发现：弧长与半径的比值也能确定圆心角的大小再看= 度？生：要将除以60得，所以师：要先除以60，再转化为十进制，因此有人提出，角度制给十进制的运算带来不便，需要创立新的度量角的单位，你认为如何定义最合理呢？生：可以用圆的半径去度量弧师：你的想法与数学家欧拉的想法不谋而合，瑞士数学家欧拉在他1748年出版的?无穷小分析概论?第八章引入弧度概念但是弧度的名字——radian首次出现在正式印刷物上是在1875年 ,由爱尔兰的詹姆斯•汤姆森将半径〔radiu〕和角〔ange〕两个英语单词组合而成欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制设计意图两大原因：〔1〕弧长与半径的比值可刻画角的大小；〔2〕60进制给十进制换算带来不便让学生感受到要创立新的进制与十进制接轨的迫切性，从而让学生意识到最合理的方法就是用半径去刻画角的大小，说明弧度制产生的合理性3动手操作，强化概念师：请大家用圆规和纸条或棉线〕作出的角生：如图2，在平面上以点为圆心，以长为半径作圆，Array在圆周上用纸条截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：请大家再用圆规和纸条作出的角生：在圆周上用纸条截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：请大家再用圆规和纸条作出的角生：在圆周上用纸条顺时针截取，那么为的角〔几何画板演示〕师：从上面作法可知，用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位，例如，，可分别写成，，为了便于国际交流，不同进制的度量单位之间，可以互相换算如在长度单位中有：1米=3尺；在质量单位中有：1斤=500克那么角的角度制与弧度制之间又该如何进行换算呢？先请大家用量角器度量一下角约为多少度？生：大约是57度设计意图通过动手作图去理解弧度制概念，用量角器测量1弧度的角，既让学生感受1弧度角的大小，也为引出角度制与弧度制的换算做好准备5两制互化，发现规律师：为什么呢？生：由公式可知，当时，其中圆心角度师：由此可见，度，那么1度等于多少弧度呢？生：师：对此，如何理解更好呢？生：半径为圆的圆的周长，由弧度制定义得，所以，即，度师：通过整个圆周角来理解，既直观，又形象这符合我们思维的习惯，在角度制中，整个圆周角是，因此角为圆周角的360分之一；同样，在弧度制中，整个圆周对应的角是，所以，所以，度设计意图先从学生熟悉的弧长公式中寻找新知的生长点，后利用弧度制定义，从特殊情形圆周角整体入手，利用直观加深学生理解，便于学生接受师：把以下角从弧度化为度：〔1〕；〔2〕3生：〔1〕；〔2〕师：我们既要能将角从弧度化为度，也要能将角从度化为弧度请把以下各角从度化为弧度：〔1〕；〔2〕；〔3〕生：〔1〕；〔2〕；〔3〕师：请大家完成下表：上述问题中，大家能发现什么？生：随着角的范围推广到任意角，发现正角对应正实数；零角对应实数0；负角对应负实数同样任给一个实数，也对应惟一的一个角师：这说明，在弧度制下角的集合与实数集之间构成图3一一对应关系：每一个角都对应惟一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角〔如图3〕这是不是再一次颠覆我们对角的认识生：是！真的想不到啊！设计意图通过角度制与弧度制的互化，强化所学新知，利用表格中所填数值的对称性，就象设置在数轴上一样，便于学生直观感受到在弧度制下角的集合与实数集之间的对应关系6公式优化，追根溯源师：因为角有正负，而，所以角所对的弧之间关系应为如图4图4，能用哪些方法求出的弧度数？生1：用量角器量出角度，由计算弧长，计算可得弧度数生2：用量角器量出角度，通过可得弧度数生3：用圆规，以点为圆心，以为半径作圆弧，分别交于点，交于点计算师：既然同一个圆心角所对的弧长与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关，那么作圆时，取时，那么，此时弧长即为的弧度数，可简化计算设计意图通过对公式的两次优化，首先说明加绝对值得必要性，然后要求学生用不同方法得到的弧度，旨在拓展学生思维，提升学生能力取半径为单位长度，既可简化计算，也为用单位圆作为工具去研究任意角的三角函数、诱导公式，以及三角函数图象和性质奠定根底师：在初中时，我们已经学习弧长公式为，扇形的面积公式为学习弧度制后，弧长公式变为，很简洁那么扇形的面积公式又是什么呢？生：扇形的面积公式为师：怎么理解呢？生：按扇形所占圆的比例来理解前者占圆面积的，是角度值的比；后者占圆面积的，是弧度值的比师：很好！还能怎么理解呢？生：扇形的面积公式，可以把扇形视为三角形，把视为三角形的底边，半径视为高，很容易记忆师：你是怎么想到的？图5生：从公式形式想到的，如果扇形很小，也可以当作三角形！师：这就是数学直觉！如图5，我们把扇形分成份，当趋向无穷大时，每一份所对应的扇形可以近似地看成一个以半径为腰，弧长为底的等腰三角形，它们的高都为半径，所以扇形的面积，这是极限分割的数学思想因此，可把扇形直观地视为三角形来记忆它的面积．下面请大家思考例题：扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积．生：设扇形的半径为，弧长，那么解得故扇形的面积为．设计意图将角度制下扇形的面积公式与弧度制下扇形的面积公式进行比照，再次体会弧度制的优越性．然后由扇形的面积公式启发学生联想到三角形的面积公式，从而探究出极限分割的思想是两者面积公式形式上一致的根源所在．师：本节课我们共同学习了哪些内容，谁来总结一下？生：1弧度概念；2弧度制与角度制相互转化；3弧长公式与扇形面积公式在弧度制下的优化．从中体会到化归与转化，数形结合和分论讨论等数学思想．师：课后作业完成相应练习，下课，谢谢大家，再见！。