宁夏银川市第一中学2021届高三第三次月考数学(理)试题 Word版含答案

银川一中2021届高三年级第二次月考理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2 .作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A = |x| -1 < % < 2}, B = |x| log3 % < 1},则A B =A. |x|O<x< 2}B. |x| -1 < x< 2}C. |x|l < x< 2}D. |x|O<x<3}71 712.如果一<a<一,那么下列不等式成立的是4 2A. sin a < cos a < tan aB. tan(z< sin(z< cost/C. cosa<sina<tanaD. cos a < tan « < sin «3.要将函数/(%) = log2 %变成g(x) = log2(2x),下列方法中可行的有①将函数/"(x)图像上点的横坐标压缩一半②将函数/'(X)图像上点的横坐标伸长一倍③将函数/'(%)的图像向下平移一个单位④将函数/'(X)的图像向上平移一个单位A.①③B.①④C.②③D.②④4.1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin、tan、sec (正割)，1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos、cot、CSC (余割)，但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中secO = ^^, csc0 = L.若ac(0/),且cos。

sin。

3 2-------- 1 ----- = 2 ,则tan a =.esc a sec a5.已知角a和角"的终边垂直，角"的终边在第一象限，且角a的终边经过点则sin /3 =3 34 4A. - —B. —C.——D.—5 5 5 56.设函数/•(x)=e"-3x (e为自然底数)，则使f (x) < 1成立的一个充分不必要条件是A. 0<x<lB. 0<x<4C. 0<x<3D. 3<x<47.已知Ov 月<5<。

银川一中2021届高三年级第一次月考理 科 数 学命题人：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合22(,)14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4xB x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．函数()xx x f 2log 12-=的定义域为A ．()+∞,0B ．()+∞,1C ．()1,0D ．()()+∞,11,03．下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1>0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为A ．128.5米B ．132.5米C ．136.5米D ．110.5米5．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是A ．1ln||y x = B ．()ln(1)ln(1)f x x x =--+C ．e e ()2x xf x -+=D ．e 1()e 1x x f x -=+6．设函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是 A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)7．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．1-B ．12-C ．12D ．28．函数)1(1)(-+=x x e x e x f 的图像大致为A B C D 9．若x x f 2)(=的反函数为)(1x f-，且4)()(11=+--b fa f，则ba 11+的最小值是 A ．1B ．21 C ．31 D ．41 10．设0.51()2a =，0.50.3b ＝，0.3log 0.2c ＝，则a b c 、、的大小关系是A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b <<11．已知定义在(0，+∞)上的函数)(x f 满足0)()('<-x f x xf ，且2)2(=f ，则0)(>-x x e e f的解集是 A ．)2ln ,(-∞B ．),2(ln +∞C ．),0(2eD ．),(2+∞e12．已知函数1,0,()ln 1.0.x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解..a b c ()a b c <<，则()a b c +的取值范围是A.]25,2[B.22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.]25,2(D.)25,2(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分,13．若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知1)(-=x xx f 为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 14．若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 15．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-,函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-,1[2,2]x ∀∈-,总0[2,2]x ∃∈-,使得01()()g x f x =成立,则实数a 的取值范围为________________.16．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

()R A B ð=（D ．(2,2)-是虚数单位，则|a +3D 所在平面内一点，3BC CD =，则（．1433AD AB AC =-+ ．1433AD AB AC =-．4133AD AB AC =+ ．4133AD AB AC =-．函数πsin(2)y x =-在区间的简图是（ ）A ．B ．C ．D ．．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==，则对任意的正实数1ta b c ++，的最小值是D ．4122)(2)x x -的取值范围是（(9,21) 分．x v x()（1）求曲线C 的极坐标方程（2）若直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【选修4—5：不等式选讲】23．已知函数|(|)f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]1,5-．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．S=ABC∴3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得：2a =； （Ⅱ）∵|(()(5)2||3||3)|2)(5f x f x x x x x ++=-++≥---=．又()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，∴5m ≤．宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（理科）试卷解析1．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行运算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1或x＞5}，∴A∩（∁R B）={x|﹣2＜x≤﹣1}=（﹣2，﹣1]．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴由，得﹣a﹣2i=1+bi，∴，则a=﹣1，b=﹣2．∴|a+bi|=|﹣2﹣i|=．3．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，4．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；5．【分析】根据函数解析式可得当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin0=0，故排除C，从而得解．【解答】解：当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]=﹣sin（）=sin=＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin（2×﹣）=sin0=0，故排除C；6．【分析】先利用正弦定理化简得c=2b，再由可得a2=7b2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由及正弦定理可得c=2b，再由可得a2=7b2 ．再由余弦定理可得cosA===，故A=30°，7．【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a ＞0.【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0.8．【分析】直接利用奇函数的性质求出列出方程，然后求解即可．【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3+2﹣x，f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3+22=﹣4．即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣4．9．【分析】依题意，可求得{a n}是以3为周期的数列，且S3=2+﹣1=，从而可求得S2017的值．【解答】解：∵a1=2，a n+1=1﹣，∴a2=1﹣=；∴a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2，…，∴数列{a n}是以3为周期的数列，又S3=2+﹣1=，2017=3×672+1，∴S2017=672×+2=1010．10．【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（﹣2016）＞g（0）＞g＜=e2016f（﹣2016），e2016f（0）＞f已知，是两个互相垂直的单位向量，且•=•=1，则对任意的正实数t，|+t+|的最小值是（）11．【分析】利用=0，，．建立如图所示的直角坐标系，取，．设，可得（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．即可得到．再利用数量积的性质、基本不等式即可得出．【解答】解：∵=0，，．建立如图所示的直角坐标系，取，．设，∴（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．∴x=y=1．∴．∴．∵t＞0.∴===，当且仅当t=1时取等号．12．【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．【解答】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．13．【分析】根据诱导公式求得sinα=﹣，结合α的取值范围易得cosα=，将其代入求值即可．【解答】解：∵，∴sinα=﹣，∴cosα==，∴==﹣．14．【分析】由题意结合函数的单调性可得，函数的图象和y轴的交点在y轴的非正半轴上，故有+m ≤0，由此解得m的范围．【解答】解：由于函数y=+m 在R上是减函数，图象不经过第一象限，故函数的图象和y轴的交点在y轴的非正半轴上，故有+m≤0，解得m≤﹣2，．【分析】根据三角形三边长成公比为的等比数列，根据等比数列的性质设出三角形的三边为a，a ，2a ，根据2a 为最大边，利用大边对大角可得出2a所对的角最大，设为θ，利用余弦定理表示出cosθ，将设出的三边长代入，即可求出cosθ的值．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．【解答】解：∵T[]﹣T[]组成的数列为：1000010000100001…（2）由（1）知b n==32n﹣1=，再利用等比数列的定义及其通项公式、求和公式即可得出．a q{}【分析】（1）由已知利用三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理可得=，结合sinC≠0，可得cosA=，进而可求A．方法二：选择①③，可求C=，由正弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．A ctan2【分析】（1）由已知条件得S n=n2（S n﹣S n﹣1）﹣n（n﹣1），从而=+1，由此能证明数列{S n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而得到S n=n×=．（2）由b n====，利用裂项求和法能证明b1+b2+…+b n＜．1（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．。

银川一中2021届高三年级第四次月考理 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}23404135A x x x B =--<=-，，，，，则A B ⋂= A ．{}-41，B ．{}15，C ．{}35，D ．{}13，2．设312iz i-=+，则z = A ．2B 3C 2D ．13．若平面上单位向量,a b 满足3+=2a b b ⋅（），则向量,a b 的夹角为 A ．6π B ．3π C ．2πD ．π4．已知直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内． 命题p ：直线a ，b 中至多有一条与直线l 相交； 命题q ：直线a ，b 中至少有一条与直线l 相交； 命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交． 则下列命题中是真命题的为 A ．p q ∨⌝B ．p s ⌝∧C ．q s ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为),1,0(),1,(),1,(),1,0(D C B A ππ--正弦曲线()sin f x x =和余弦曲线()cos g x x =在矩形ABCD内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点 落在阴影区域内的概率是 A 12+ B 12+ C ．1πD ．12π6．函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，的部分图象如图所示，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．26-B ．3 C ．22 D ．2-27．设2222tan121cos 48cos 12-sin 121-tan 122a b c -===，，，则有 A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<8．已知函数()2121x x f x -+＝，若不等式()()22120f a a m f a --+-<对任意的[]-14a ∈，均成立，则m 的取值不可能是 A ．9B ．8C ．7D ．69．已知函数()3sin ()f x x x x R +∈＝，函数()g x 满足()()20()g x g x x R +-=∈，若函数()()()1-h x f x g x -＝恰有2021个零点，则所有这些零点之和为 A ．2018B ．2019C ．2020D ．202110．公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”， 重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有 2个六边形，每行比上一行多一个六边形六边形均相同，设图 中前n 行晶格点数n b 满足+1-=25,n n b b n n N *+∈，则10=bA ．101B ．123C ．141D ．15011．已知函数()32(4)4,0,0x x a x a x f x a x ⎧+-+->⎪⎨≤⎪⎩＝是单调递增函数，则实数a 的取值范围是A ．(12)，B ．(]13，C ．[]23，D ．[)3+∞，12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误．．的个数是 (1)AC BE ⊥．(2)若P 为1AA 上的一点，则P 到平面BEF 的距离为22． (3)三棱锥-A BEF 的体积为定值．(4)在空间与1DD ，AC ，11B C 都相交的直线有无数条．(5)过1CC 的中点与直线1AC 所成角为40并且与平面BEF 所成角为50的直线有2条． A ．0B ．1C ． 2D ．3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若1=1a ，且1233,2,S S S 成等差数列，则4=a ___． 14．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(cos sin )3b a C C =+，3a =，1c =，则角C ______．15．已知矩形ABCD 中，2,B 3,AB C E ==是CD 边的中点．现以AE 为折痕将ADE ∆ 折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为______． 16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()=ln xf x x， 若()()2-240fx mf x m +=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

银川一中2021届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由题意，集合A 表示椭圆，集合B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.【详解】集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 则()2214=,14x y x A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎭，画出图形如图：由图可知，A B 的元素有2个，则A B 的子集有22=4个，故选：A【点睛】本题考查交集及其运算，考查集合的性质，用数形结合的思想将问题转为图象交点的个数，属于基础题. 2. 函数()221log x f x x-=的定义域为（ ） A. ()0,∞+B. ()1,+∞C. ()0,1D.()()0,11,+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意，2log 00x x ≠⎧⎨>⎩，解得0x >且1x ≠，即函数()221log x f x x-=的定义域为()()0,11,+∞.故选：D.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型. 3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，则A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或1x =-，则“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++”，故C 错误．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定．4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5米 B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米【答案】C 【解析】 【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．5. 下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ） A. 1ln||y x = B. ()ln(1)ln(1)f x x x =--+C. e e ()2x xf x -+=D. e 1()e 1x xf x -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，A 选项，1()ln()||f x f x x -==是偶函数，不符合条件； B 选项，定义域{|1}x x >不关于原点对称，不符合条件；C 选项，e e ()()2x xf x f x -+-==是偶函数，不符合条件；D 选项中，因为()()1111x xxxe ef x f x e e -----====-++，所以函数()11x x e f x e -=+为奇函数，将函数式变为()211xf x e =-+，随着x 增大函数值也增大，()f x 是单调递增函数，符合条件， 故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，要考虑函数的定义域. 6. 设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3(1,log 2)--B. 3(0,log 2)C. 3(log 2,1)D.3(1,log 4)【答案】C 【解析】试题分析：∵单调函数32()log x f x a x+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0 又则解得，故选Ｃ．考点：函数零点的判定定理．7. 已知函数(),1log ,1x aa x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 1- B. 12-C.12D.2【答案】C 【解析】 【分析】由()12f =可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.【详解】函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），()12f a ==，则()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，121212f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11222112log 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C【点睛】本题考查分段函数求函数值问题，考查计算能力，属于基础题.8. 函数1()||(1)x x e f x x e +=-的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．【详解】函数1()||(1)x xe f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ， 又11()()(1)(1)x xx x e e f x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法． 9. 若()2xf x =的反函数为()1fx -，且()()114f a f b --+=，则11ab+的最小值是（ ） A. 1 B.12C.13 D.14【答案】B 【解析】 【分析】 先求出()1fx -，根据题中条件，求出16ab =，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】由2xy =得2log x y =，所以()12log f x x -=，又()()114fa fb --+=，所以22log log 4a b +=，即2log 4ab =，所以16ab =，因此112142a b +≥==， 当且仅当11a b=，即4a b ==时，等号成立. 故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求和的最小值，涉及反函数以及对数的运算，属于基础题型.10. 设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）． A. b a c << B. a b c <<C. a b c >>D. a c b <<【答案】A【解析】 【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题. 11. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<'，且()22f =，则()0x x f e e ->的解集是（ ）A. (),ln2-∞B. ()ln2,+∞C. ()20,eD. ()2,e +∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()g x =()f x x，求导确定其单调性，()0xxf ee->等价为()()2x g e g >，利用单调性解不等式即可 【详解】令()g x =()()()()()2,0,g x f x xf x f x g x xx-=<∴'' 在()0,+∞上单调递减，且()()221,2f g ==故()0xxf e e ->等价为()()2,2x xf e f e>即()()2xg e g >,故2xe<,解x<ln2,故解集为(),ln2-∞ 故选A【点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题12. 已知函数1,0,()ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c <<，则()a b c +的取值范围是（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出m 以及a +b 的值和c 的范围，进一步求出答案. 【详解】画出()f x 的图像，因为方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c << 可知m 的范围(]0,1由题可知a +b =-2，0ln 11c <+≤ 所以11c e<≤ 所以()22-≤+<-a b c e. 故选：B.【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.二、填空题13. 若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知()1xf x x =-为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 【答案】2. 【解析】【分析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f （x ）的对称点，即可得到结论． 【详解】由()(2)2f x f a x b +-=知“准奇函数”()f x 关于点(,)a b 对称； 因为()1xf x x =-=111x +-关于(1,1)对称，所以1a =，1b =，2a b +=. 故答案为2.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性的表示方式，属于基础题． 14. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 【答案】51[,)8+∞ 【解析】【详解】函数()323f x x tx x =-+，()2'323f x x tx =-+又函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减∴23230x tx -+≤在区间[]1,4上恒成立即323048830t t -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得:518t ≥， 当518t =时，经检验适合题意． 故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】f (x )为增函数充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 15. 已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x），函数()1=-g x ax ，2,2x ，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________. 【答案】55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可.【详解】因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，又函数()1=-g x ax ，2,2x，因此，当0a =时，{}1B =-，不满足题意；当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.16. 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线2x =对称； ③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】试题分析：由()()20f x f x ++=，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由()()4f x f x -=，得的图像关于直线对称；由()()4f x f x -=与，得，即，即函数为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 一、必考题：17. 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-. 【解析】 【分析】（1）由()()23f f >，得到240m m -<，从而得到04m <<，又由m Z ∈，得出m 的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到122a a -<+且120,20a a -≠+≠，由此即可求解实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数， 所以240m m -<，解得04m <<， 又由m Z ∈，且函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =， 所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18. 已知函数()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩满足()298f c =.（1）求常数c的值； （2）解不等式()18f x >+. 【答案】（1）12c =；（2）58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到01c <<，所以2c c <，再由函数解析式，根据()298f c=，得到3918c +=，求解，即可得出结果； （2）先由（1）得到4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，分102x <<，112x ≤<两种情况，解对应的不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为01c <<，所以2c c <；由()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩，()298f c =，可得3918c +=，解得：12c =；（2）由（1）得4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，由()1f x >+得， 当102x <<时，11128x +>+，解得4x >，则142x <<； 当112x ≤<时，42118x -+>+，解得58x <，则1528x ≤<；所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由分段函数值求参数，考查根据分段函数解不等式，属于基础题型. 19. 已知函数()21log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101xx +>-，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数()21log 1axf x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax axx x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101xx +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >；（2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=. 因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立， 所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.20. 已知函数22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅. （1）求曲线()y f x =在()0,2处的切线方程； （2）若23a =，证明：()2f x ≥. 【答案】（1）2y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出()00f '=，再由导数的几何意义，即可求出切线方程； （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）得到()2(1)e 13x f x x x '⎡⎤=-⋅+⎣⎦，设函数()(1)e 1xg x x =-⋅+，对()g x 求导，研究()g x 单调性，求出()()00g x g ≥=，判定()f x 单调性，求出最小值，即可得出结果.【详解】（1）由22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅得()()()()()2222e (22)2121e 21x x x f x ax x ax e a x a x ax a x '⎡⎤=-++-+⋅+-=-+⋅+-⎣⎦，所以()00f '=，由导数的几何意义可知：曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =， 曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=⨯-，即2y =. （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）可知，()22222e (1)e 13333x x f x x x x x x ⎛⎫'⎡⎤=-+⋅+=-⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭，设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，则()e xg x x '=⋅，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+单调递增， 故()()00g x g ≥=，又()()23f x xg x '=⋅， 故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增， 故()()02f x f ≥=.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法证明不等式，熟记导数的几何意义，根据导数的方法判定单调性，求函数最值即可，属于常考题型. 21. 已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a R =-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值. 【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据结果分0a >、0a =、0a <三种情况，令导函数等于0，分别求出每种情况的单调区间即可； （2）结合第一问的单调性，分2e a ≤-、122e a -<<-和102a -≤<两种情况，分别讨论每一段的最小值即可.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+， （Ⅰ）.()()()2222x a x a x ax a f x x x+-+-'==， （1）当0a =时，()0f x x '=>，所以()f x 在定义域为()0,∞+上单调递增； （2）当0a >时，令()0f x '=，得12x a =-（舍去），2x a =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,a 单调递减，在区间(),a +∞上单调递增； （3）当0a <时，令()0f x '=，得12x a =-，2x a =（舍去）， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （Ⅱ）.由Ⅰ知当0a <时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （1）当2a e -≥，即2ea ≤-时，()f x 在区间[]1,e 单调递减， 所以()f x 的最小值为()22122f e a ea e =-++；（2）当12a e <-<，即122e a -<<-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，在区间()2,a e -单调递增，所以()f x 的最小值为()()222ln 2f a a a -=--，（3）当21a -≤，即102a -≤<时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，所以()f x 的最小值为()112f a =+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、最值问题．二、选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为133x ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长. 【答案】（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a .【解析】 【分析】（1）化简得到直线方程为33y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案 . 【详解】（1）由133x ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t 得，30x y -=即3y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生计算能力和应用能力.[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()|31||33|f x x x =-++ （1）求不等式()10f x ≥的解集； （2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()f x a b ≥++，即证min ()f x a b ≥++min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥.综上，不等式()10f x≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞.（2）证明：因为,a b ≥等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立. 又因()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤，12a b+≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.。

宁夏银川市第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}05|2>-=x x x A ，则C R A = A ．{}50|≤≤x xB ．{}0|<x xC ．{}5|>x xD ．{}05|≤≤-x x2．设复数z 满足z （2-i ）=1+i (i 为虚数单位)，则z 的共轭的虚部为 A ．53B ．53-C ．i 53D ．i 53-3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B = A ．4 B ．13C ．40D ．414．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51 C ．28 D ．185．已知)3,2(=a ，)1,(-=m m b ，)3,(m c =，若b a //，则c b ⋅= A ．-5B ．5C ．1D ．-16．甲、乙、丙三人参加银川一中招聘老师面试，最终只有一人能够被银川一中录用，得到面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”。

若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了7．已知3tan 3,cos(2)2πθθ=+=则 A ．45- B ．35- C ．45D ．358．若0,0,21m n m n >>+=，则11m m n++的最小值为A ．4B ．5C ．7D ．69．已知m , n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是A ．,m m αβ⊂⊥若则B ．,,m n m n αβ⊂⊂⊥若则C ．,,m n m n αβα=⊥⊥若则D ．若β⊥α⊄m m ,，则α//m10．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是侧面AA 1D 1D 与底面ABCD 的中心，则下列说法错误的个数为 ①DF ∥平面D 1EB 1；②异面直线DF 与B 1C 所成的角为600； ③ED 1与平面B 1DC 垂直; ④ 1112F CDB V -=A ． 0B ．1C ．2D ．311．已知函数()f x 在0x >上可导且满足()()0f x f x '->，则下列一定成立的为A ．23(2)(3)e f e f > B ．()()2332e f e f <C ．()()3223e f e f <D ()()2323e f e f <12．黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为 36°，底角为 72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m =2cos 72°，若n =cos 360cos 720cos 1440，则mn = A ．-1 B ．81 Ｃ．81- Ｄ．1 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．曲线y =2lnx 在点（1，0）处的切线方程为________.14．设x ，y 满足约束条件240,10,210,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-+的最大值是______.15．已知数列{}n a 满足S n =n 2+2n +1，则a n =________. 16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的半径为______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(12分)如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点。

宁夏银川一中2021届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x∈R|x2+x﹣6＜0}，N={x∈R||x﹣1|≤2}．则M∩N=( )A．（﹣3，﹣2]B．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A．2 B．1 C ．D．﹣18．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c．若sinB=2sinC，a2﹣b2=bc，则角A等于( )A ．B ．C ．D ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的表面积为（单位：m2）( ) A．（11+）πB．（12+4）πC．（13+4）πD．（14+4）π11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB 的斜率为，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C．2 D．412．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx，α∈R，又f（α）=﹣，f（β）=．若|α﹣β|的最小值为，则正数ω的值为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k ，）．若与共线，则k=__________．14．若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=__________．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为__________．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知等差数列{a n}的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为S n，且a1，a4，a13分别是等比数列{b n}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）证明．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．19．甲、乙、丙三个同学一起参与某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录用生（可在2021届高考中加分录用），两次考试过程相互独立．依据甲、乙、丙三个同学的平常成果分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录用的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E（ξ）．20．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在上的最大值及相应的x值；（2）当x∈时，争辩方程f（x）=0根的个数．（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈，都有，求实数a的取值范围．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．宁夏银川一中2021届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x∈R|x2+x﹣6＜0}，N={x∈R||x﹣1|≤2}．则M∩N=( )A．（﹣3，﹣2]B．∴====﹣，故选：D．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，属于基础题．5．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有( )A．11种B．20种C．21种D．12种考点：排列、组合及简洁计数问题．专题：概率与统计．分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路学问分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的状况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解答：解：依据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种状况，其中全部断开的有1种状况，则其至少有1个接通的有4﹣1=3种状况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种状况，其中全部断开的有1种状况，则其至少有1个接通的8﹣1=7种状况，则电路接通的状况有3×7=21种；故选C．点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的状况，关键是分析出电路解题的条件．6．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y ）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是( )A．B．C．D．考点：简洁线性规划的应用；平面对量数量积的运算．专题：数形结合．分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面对量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为故选：C点评：本题考查的学问点是线性规划的简洁应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面对量数量积公式，进而推断出结果是解答本题的关键．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A．2 B．1 C ．D．﹣1考点：程序框图．专题：函数的性质及应用．分析：题目首先给循环变量i赋值1，给输出变量a赋值2，通过几次替换发觉，输出变量a在每隔3次重复消灭，由推断框知程序共运行了2021次，从而可得结论．解答：解：由分析知，该程序框图共执行了2021次替换，虽然赋值i=1，a=2，但i=1时执行了一次替换，用﹣1替换了a，到i=3时，a的值又等于2，所以在2021次替换过程中a的值成周期消灭，周期为3，所以，2021次替换得到的a=2故选A．点评：本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先推断再执行，满足条件进入循环体，不满足条件算法结束．8．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1考点：相关系数．专题：计算题．分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以具体的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．解答：解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72 ∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，其次组数据的相关系数小于零，故选C．点评：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图推断两个变量之间是否有相关关系．9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c．若sinB=2sinC，a2﹣b2=bc，则角A等于( )A ．B ．C ．D ．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：由条件利用正弦定理求得b=2c，再由余弦定理以及a2﹣b2=bc，求得cosA的值，从而求得A的值．解答：解：在△ABC中，sinB=2sinC，由正弦定理可得b=2c．由余弦定理，cosA=，a2﹣b2=bc，可得cosA===﹣，由0＜A＜π，可得A=．故选C．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，依据三角函数的值求角，属于中档题．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的表面积为（单位：m2）( )A．（11+）πB．（12+4）πC．（13+4）πD．（14+4）π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体，分别求出各个面的面积，相加可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和圆锥组成的组合体，圆柱的底面直径为2，故底面周长为2π圆柱的高为4，故圆柱的侧面积为8π，圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，底面面积S=4π，圆锥的高h=2，故母线长为2，故圆锥的侧面积为：4，组合体的表面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积及圆柱侧面积的和，故组合体的表面积S=（12+4）π，故选：B点评：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB 的斜率为，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C．2 D．4考点：双曲线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），由中点坐标公式求出M、N坐标关于x1、y1的表达式．依据直径所对的圆周角为直角，得=（4﹣）﹣=0．再由点A在双曲线上且直线AB 的斜率为，得到关于x1、y1、a、b的方程组，联解消去x1、y1得到关于a、b的等式，结合b2+a2=c2=4解出a=1，可得离心率e的值．解答：解：依据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M （（x1+2），y1），N （（﹣x1+2），﹣y1）．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM=90°，可得=（4﹣）﹣=0．…①又∵点A在双曲线上，且直线AB 的斜率为，∴，…②．由①②联解消去x1、y1，得﹣=，…③又∵F（2，0）是双曲线的右焦点，可得b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣8a2+7=0，解之得a2=1或7，由于a2＜c2=4，所以a2=7不合题意，舍去．故a2=1，得a=1，离心率e==2．故选：C点评：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简洁几何性质等学问，属于中档题．娴熟把握双曲线的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式，是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx，α∈R，又f（α）=﹣，f（β）=．若|α﹣β|的最小值为，则正数ω的值为( )A ．B ．C ．D ．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，进而f（α），f（β）求得2ωα﹣和2ωβ﹣，进而二者相减求得2ωα﹣2ωβ的表达式，进而依据|α﹣β|的最小值为代入，依据ω为正整数，则可取k1=k2=1，求得答案．解答：解：f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=cos（2ωx ﹣）+f（α）=﹣，∴cos（2ωα﹣）=﹣1；∴2ωα﹣=（2k1+1）π；∵f（β）=∴cos（2ωβ﹣）=0；∴2ωβ﹣=k2π+；∴2ωα﹣2ωβ=（2k1﹣k2）π+；∴2ω•|α﹣β|=（2k1﹣k2）π+；∵|α﹣β|≥，则∴2ω≤=ω≤取k1=k2=1，则可知ω=．故选：B．点评：本题主要考查了两角和公式和二倍角公式的化简求值．考查了同学综合分析问题和基本的运算力量，属于基本学问的考查．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k ，）．若与共线，则k=1．考点：平面对量共线（平行）的坐标表示．专题：平面对量及应用．分析：利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．解答：解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．点评：本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．14．若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=2．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值．解答：解：由y=xα+1，得y′=αxα﹣1．所以y′|x=1=α，则曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=α（x﹣1），即y=αx﹣α+2．把（0，0）代入切线方程得，α=2．故答案为：2．点评：本题考查了利用导数争辩曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：作出x大于0时，f（x）的图象，依据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．解答：解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，机敏运用数形结合思想是解本题的关键．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为1．考点：不等式的综合；基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：先依据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．解答：解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．∴V P﹣ABC =××3×2×1=1=+x+y即x+y=则2x+2y=1=（）（2x+2y）=2+2a++≥2+2a+4≥8解得a≥1∴正实数a的最小值为1故答案为：1点评：本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．已知等差数列{a n}的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为S n，且a1，a4，a13分别是等比数列{b n}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）证明．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，利用a1，a4，a13分别是等比数列{b n}的b2，b3，b4，求出公差，即可求出数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出前n项和，可得数列通项，利用裂项法求数列的和，即可证得结论．解答：（Ⅰ）解：设等比数列的公比为q，则∵a1，a4，a13分别是等比数列{b n}的b2，b3，b4．∴∵a1=3，∴d2﹣2d=0∴d=2或d=0（舍去）∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1∵，∴b n=3n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知∴==（）∴===＜∵≤=∴≥∴点评：本题考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查同学分析解决问题的力量，确定数列的通项是关键．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为的菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=，M，N分别为PB，PD的中点．（1）证明：MN∥平面ABCD；（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（1）连接BD，利用三角形的中位线的性质，证明MN∥BD，再利用线面平行的判定定理，可知MN∥平面ABCD；（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，求出平面AMN 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值；方法二：证明∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角，在△AED中，求得AE=，QE=，AQ=2，再利用余弦定理，即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值．解答：（1）证明：连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在△PBD中，MN∥BD．又MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴MN∥平面ABCD；（2）方法一：连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=，BD=∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC在直角△PAC 中，，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，由此知各点坐标如下A （﹣，0，0），B（0，﹣3，0），C （，0，0），D（0，3，0），P （），M （），N （）Q （）设=（x，y，z）为平面AMN 的法向量，则．∴，取z=﹣1，，同理平面QMN 的法向量为∴=∴所求二面角A﹣MN﹣Q 的平面角的余弦值为．方法二：在菱形ABCD中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA=，BD=∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD，∴PB=PC=PD，∴△PBC≌△PDC而M，N分别是PB，PD的中点，∴MQ=NQ，且AM=PB==AN取MN的中点E，连接AE，EQ，则AE⊥MN，QE⊥MN，所以∠AEQ为二面角A﹣MN﹣Q的平面角由，AM=AN=3，MN=3可得AE=在直角△PAC中，AQ⊥PC得QC=2，PQ=4，AQ=2在△PBC中，cos∠BPC=，∴MQ=在等腰△MQN中，MQ=NQ=．MN=3，∴QE=在△AED中，AE=，QE=，AQ=2，∴cos∠AEQ=∴所求二面角A﹣MN﹣Q 的平面角的余弦值为．点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是利用线面平行的判定定理，把握面面角的两种求解方法，属于中档题．19．甲、乙、丙三个同学一起参与某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录用生（可在2021届高考中加分录用），两次考试过程相互独立．依据甲、乙、丙三个同学的平常成果分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（2）设经过两次考试后，能被该高校预录用的人数为ξ，求随机变量ξ的期望E（ξ）．考点：相互独立大事的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种状况，这三种状况是互斥的，分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为大事A1、A2、A3，表示出满足条件的大事，由互斥大事的概率和相互独立大事同时发生的概率得到结果．（2）分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为大事A，B，C，由题意知变量ξ可能的取值是1、2、3，结合变量对应的大事写出分布列，做出期望．解答：解：（1）甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种状况，这三种状况是互斥的，分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为大事A1、A2、A3；E表示大事“恰有一人通过笔试”由互斥大事的概率和相互独立大事同时发生的概率得到=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38．（2）分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为大事A，B，C，则P（A）=P（B）=P（C）=0.3由题意知变量ξ可能的取值是0，1、2、3，结合变量对应的大事写出分布列，∴P（ξ=0）=0.73=0.343P（ξ=1）=3×（1﹣0.3）2×0.3=0.441，P（ξ=2）=3×0.32×0.7=0.189，P（ξ=3）=0.33=0.027．∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．点评：本题的其次问也可以这样解，由于甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为p=0.3，得到ξ～B（3，，03），依据二项分布的期望公式得到E（ξ）=np=3×0.3=0.9．20．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标，可得c，再求出b的值，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）分类争辩，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点，∴…又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，∴b=1，∴椭圆的方程为…（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：y=k（x﹣1）代入椭圆方程，消去y，可得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则…∵∴=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2===…==…当，即时，为定值…当直线l 的斜率不存在时，由可得，∴综上所述，当时，为定值…点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量学问的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在上的最大值及相应的x值；（2）当x∈时，争辩方程f（x）=0根的个数．（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈，都有，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数推断；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0争辩打哦函数的单调性，特殊是当a＜0时，求出函数f （x）在上的最小值及端点处的函数值，然后依据最小值和F（e）的值的符号争辩在x∈时，方程f（x）=0根的个数；（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+＜f（x1）+，构造帮助函数G（x）=f（x）+，由该帮助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分别a后利用函数单调性求a的范围．解答：解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．．当x ∈时，f′（x）0，所以函数f（x ）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，所以函数f（x）在上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e；（2）由f（x）=alnx+x2，得．若a≥0，则在上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=．若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，所以方程f（x）=0在上有1个实数根；若，即﹣2e2＜a＜﹣2，f（x ）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．=．当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在上的根的个数是0．当a=﹣2e时，方程f（x）=0在上的根的个数是1．当﹣e2≤a＜﹣2e 时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在上的根的个数是2．当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在上的根的个数是1；（3）若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在上为增函数，不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+＜f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在单调递减，所以G′（x）=≤0对x∈恒成立，即a对x∈恒成立，而在单调递减，所以a．所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈，都有成立的实数a的取值范围不存在．点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了根的存在性及根的个数的推断，考查了分类争辩的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有肯定难度题目．22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．23．选修4﹣4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，依据由于曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos （+φ），再依据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos （+φ）cosφ=8cos，计算求得结果．解答：解：（Ⅰ）C1：即ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，由于曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，；φ；；=2cos（+φ），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos=8×=4．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和差的余弦公式，属于基础题．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．考点：带确定值的函数；确定值不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，再利用确定值不等式的解法去掉确定值，结合条件得出a值；（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），化简φ（n）的解析式，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，只须m大于等于φ（n）的最大值即可，从而求出实数m的取值范围．解答：解：（1）由|2x﹣a|+a≤6得|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，即a﹣3≤x≤3，∴a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1，令φ（n）=f（n）+f（﹣n），则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2=∴φ（n）的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．点评：本题考查确定值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，利用分段函数化简函数表达式是解题的关键．。

银川一中2021届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合()22,14yA x y x⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4xB x y y⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B的子集的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】由题意，集合A表示椭圆，集合B表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.【详解】集合()22,14yA x y x⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4xB x y y⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()2214=,14xyxA B x yy⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎭，画出图形如图：由图可知，A B的元素有2个，则A B的子集有22=4个，故选：A【点睛】本题考查交集及其运算，考查集合的性质，用数形结合的思想将问题转为图象交点的个数，属于基础题. 2. 函数()221log x f x x-=的定义域为（ ） A. ()0,∞+B. ()1,+∞C. ()0,1D.()()0,11,+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意，2log 00x x ≠⎧⎨>⎩，解得0x >且1x ≠，即函数()221log x f x x-=的定义域为()()0,11,+∞.故选：D.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型. 3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，则A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或1x =-，则“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++”，故C 错误．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定．4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5米 B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米【答案】C 【解析】 【分析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案．属于常规题型．5. 下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ） A. 1ln||y x = B. ()ln(1)ln(1)f x x x =--+C. e e ()2x xf x -+=D. e 1()e 1x xf x -=+【答案】D 【解析】 【分析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，A 选项，1()ln()||f x f x x -==是偶函数，不符合条件； B 选项，定义域{|1}x x >不关于原点对称，不符合条件；C 选项，e e ()()2x xf x f x -+-==是偶函数，不符合条件；D 选项中，因为()()1111x xxxe ef x f x e e -----====-++，所以函数()11x x e f x e -=+为奇函数，将函数式变为()211xf x e =-+，随着x 增大函数值也增大，()f x 是单调递增函数，符合条件， 故选：D.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，要考虑函数的定义域. 6. 设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3(1,log 2)--B. 3(0,log 2)C. 3(log 2,1)D.3(1,log 4)【答案】C 【解析】试题分析：∵单调函数32()log x f x a x+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0 又则解得，故选Ｃ．考点：函数零点的判定定理．7. 已知函数(),1log ,1x aa x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 1- B. 12-C.12D.2【答案】C 【解析】 【分析】由()12f =可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.【详解】函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），()12f a ==，则()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，121212f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11222112log 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C【点睛】本题考查分段函数求函数值问题，考查计算能力，属于基础题.8. 函数1()||(1)x x e f x x e +=-的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．【详解】函数1()||(1)x xe f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ， 又11()()(1)(1)x xx x e e f x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式选取函数图象．这类问题可研究函数的性质，求定义域，值域，研究奇偶性，单调性，对称性等，研究特殊值，特殊点（如顶点，与坐标轴交点），函数值的正负，变化趋势等，采取排除法． 9. 若()2xf x =的反函数为()1fx -，且()()114f a f b --+=，则11ab+的最小值是（ ） A. 1 B.12C.13 D.14【答案】B 【解析】 【分析】 先求出()1fx -，根据题中条件，求出16ab =，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】由2xy =得2log x y =，所以()12log f x x -=，又()()114fa fb --+=，所以22log log 4a b +=，即2log 4ab =，所以16ab =，因此112142a b +≥==， 当且仅当11a b=，即4a b ==时，等号成立. 故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求和的最小值，涉及反函数以及对数的运算，属于基础题型.10. 设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）． A. b a c << B. a b c <<C. a b c >>D. a c b <<【答案】A【解析】 【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A【点睛】本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题. 11. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<'，且()22f =，则()0x x f e e ->的解集是（ ）A. (),ln2-∞B. ()ln2,+∞C. ()20,eD. ()2,e +∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()g x =()f x x，求导确定其单调性，()0xxf ee->等价为()()2x g e g >，利用单调性解不等式即可 【详解】令()g x =()()()()()2,0,g x f x xf x f x g x xx-=<∴'' 在()0,+∞上单调递减，且()()221,2f g ==故()0xxf e e ->等价为()()2,2x xf e f e>即()()2xg e g >,故2xe<,解x<ln2,故解集为(),ln2-∞ 故选A【点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题 12. 已知函数1,0,()ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c <<，则()a b c +的取值范围是（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出m 以及a +b 的值和c 的范围，进一步求出答案. 【详解】画出()f x 的图像，因为方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c << 可知m 的范围(]0,1由题可知a +b =-2，0ln 11c <+≤ 所以11c e<≤ 所以()22-≤+<-a b c e. 故选：B.【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.二、填空题13. 若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知()1xf x x =-为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 【答案】2. 【解析】 【分析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f （x ）的对称点，即可得到结论．【详解】由()(2)2f x f a x b +-=知“准奇函数”()f x 关于点(,)a b 对称； 因为()1xf x x =-=111x +-关于(1,1)对称，所以1a =，1b =，2a b +=. 故答案为2.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性的表示方式，属于基础题． 14. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 【答案】51[,)8+∞ 【解析】【详解】函数()323f x x tx x =-+，()2'323f x x tx =-+又函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减∴23230x tx -+≤在区间[]1,4上恒成立即323048830t t -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得:518t ≥， 当518t =时，经检验适合题意． 故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 15. 已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x），函数()1=-g x ax ，2,2x，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________.【答案】55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可.【详解】因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，又函数()1=-g x ax ，2,2x，因此，当0a =时，{}1B =-，不满足题意；当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.16. 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线2x =对称； ③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】试题分析：由()()20f x f x ++=，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由()()4f x f x -=，得的图像关于直线对称；由()()4f x f x -=与，得，即，即函数为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 一、必考题：17. 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-. 【解析】 【分析】（1）由()()23f f >，得到240m m -<，从而得到04m <<，又由m Z ∈，得出m 的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到122a a -<+且120,20a a -≠+≠，由此即可求解实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数， 所以240m m -<，解得04m <<， 又由m Z ∈，且函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =， 所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18. 已知函数()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩满足()298f c =.（1）求常数c 的值；（2）解不等式()1f x >. 【答案】（1）12c =；（2）58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到01c <<，所以2c c <，再由函数解析式，根据()298f c=，得到3918c +=，求解，即可得出结果； （2）先由（1）得到4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，分102x <<，112x ≤<两种情况，解对应的不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为01c <<，所以2c c <；由()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩，()298f c =，可得3918c +=，解得：12c =；（2）由（1）得4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，由()1f x >+得，当102x <<时，11128x +>+，解得4x >，则142x <<；当112x ≤<时，42118x -+>+，解得58x <，则1528x ≤<；所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题主要考查由分段函数值求参数，考查根据分段函数解不等式，属于基础题型. 19. 已知函数()21log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101xx +>-，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数()21log 1axf x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax axx x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101xx +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >； （2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=.因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立， 所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.20. 已知函数22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅. （1）求曲线()y f x =在()0,2处的切线方程； （2）若23a =，证明：()2f x ≥. 【答案】（1）2y =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出()00f '=，再由导数的几何意义，即可求出切线方程； （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）得到()2(1)e 13x f x x x '⎡⎤=-⋅+⎣⎦，设函数()(1)e 1xg x x =-⋅+，对()g x 求导，研究()g x 单调性，求出()()00g x g ≥=，判定()f x 单调性，求出最小值，即可得出结果.【详解】（1）由22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅得()()()()()2222e (22)2121e 21x x x f x ax x ax e a x a x ax a x '⎡⎤=-++-+⋅+-=-+⋅+-⎣⎦，所以()00f '=，由导数的几何意义可知：曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =， 曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=⨯-，即2y =. （2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）可知，()22222e (1)e 13333x x f x x x x x x ⎛⎫'⎡⎤=-+⋅+=-⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，则()e xg x x '=⋅，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+单调递增， 故()()00g x g ≥=，又()()23f x xg x '=⋅， 故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增， 故()()02f x f ≥=.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法证明不等式，熟记导数的几何意义，根据导数的方法判定单调性，求函数最值即可，属于常考题型. 21. 已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a R =-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值. 【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，根据结果分0a >、0a =、0a <三种情况，令导函数等于0，分别求出每种情况的单调区间即可； （2）结合第一问的单调性，分2e a ≤-、122e a -<<-和102a -≤<两种情况，分别讨论每一段的最小值即可.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+， （Ⅰ）.()()()2222x a x a x ax a f x x x+-+-'==， （1）当0a =时，()0f x x '=>，所以()f x 在定义域为()0,∞+上单调递增； （2）当0a >时，令()0f x '=，得12x a =-（舍去），2x a =， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,a 单调递减，在区间(),a +∞上单调递增； （3）当0a <时，令()0f x '=，得12x a =-，2x a =（舍去）， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （Ⅱ）.由Ⅰ知当0a <时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增. （1）当2a e -≥，即2ea ≤-时，()f x 在区间[]1,e 单调递减， 所以()f x 的最小值为()22122f e a ea e =-++；（2）当12a e <-<，即122e a -<<-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，在区间()2,a e -单调递增，所以()f x 的最小值为()()222ln 2f a a a -=--，（3）当21a -≤，即102a -≤<时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，所以()f x 的最小值为()112f a =+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、最值问题．二、选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox中，方程(1sin)aρθ=-（0a>）表示的曲线1C就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中.已知曲线2C的参数方程为133x ty t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t为参数）.（1）求曲线2C的极坐标方程；（2）若曲线1C与2C相交于A、O、B三点，求线段AB的长.【答案】（1）6πθ=（ρ∈R）；（2）2a.【解析】【分析】（1）化简得到直线方程为33y x=，再利用极坐标公式计算得到答案.（2）联立方程计算得到,26aAπ⎛⎫⎪⎝⎭，37,26aBπ⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】（1）由133x ty t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t得，30x y-=即33y x=，2C是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R）.（2）由6(1sin)aπθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26aρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26aAπ⎛⎫⎪⎝⎭，由76(1sin)aπθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276aρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26aBπ⎛⎫⎪⎝⎭，∴3||222a aAB a=+=.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生计算能力和应用能力.[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()|31||33|f x x x =-++ （1）求不等式()10f x ≥的解集； （2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()f x a b ≥++，即证min ()f x a b ≥++min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥.综上，不等式()10f x≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞.（2）证明：因为,ab≥等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立. 又因()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤，12a b+≤=，当且仅当1a b ==时等号成立. 成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.。

2021年宁夏银川一中高三上学期第三次月考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．不等式（1+x ）（1-|x|）>0的解集是 （ ） A ．{}11x x -<< B ．{}1x x <C ．{}11x x x <->或 D ．{}11x x x <≠-且2．等差数列}{n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．2203．已知向量(12)(21)a x b ＝－，，＝，，则“x ＞0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞-B ．[)2,-+∞C ．[]2,2-D ．[)0,+∞ 5．命题p ：x R ∀∈，210ax ax ++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4] B ．[0,4]C ．(,0][4)-∞⋃+∞D ．(,0)(4)-∞⋃+∞6．设点P()00,x y 是函数tan y x =与()0y x x =-≠的图象的一个交点，则()()2011cos2xx ++的值为 （ ）A ．2B ．C ．D ．因为0x 不唯一，故不确定7．7．已知x 、y 为正实数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则的取值范围是 （ ）A ．RB ．C ．D ．8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆C 的方程为 （ ） A ． B ．C ．D ．9．已知数列{}n a 的通项公式为n a =anbn c+，其中a 、b 、c 均为正数，那么n a 与1n a +的大小是 （ ）A ．n a >1n a +B ．n a <1n a +C ．n a =1n a +D ．与n 的取值有关 10．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 （ ）A ．1B ．2C ．D ．11． 函数()12sin 1f x x xπ=--在区间[]2,4-上的所有零点之和等于 （ ） A ． 2 B ． 6 C ． 8 D ． 1012．已知以4T=为周期的函数(1,1](){12,(1,3]x f x x x ∈-=--∈，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．8)3B ．C ．48(,)33D ．4(3二、填空题13．直线ax ＋y ＋1＝0与连接A (2,3)、B (－3,2)的线段相交，则a 的取值范围是__________ 14．过点(1,2)M 的直线l 与圆C ：22(3)(4)25x y -+-=交于A 、B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 .15．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则的最小值为 ．16．已知M m 、分别是函数2224()2cos x x xf x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值、最小值，则M m += ．三、解答题 17．知函数f(x)=√32sin2x −cos 2x −12,(x ∈R)（1）当x ∈[−π12,5π12]时，求函数f(x)的值域.（2）设ΔABC 的内角A,B,C 的对应边分别为a,b,c ，且c =√3,f(C)=0，若向量m ⃗⃗ =(1,sinA).与向量n ⃗ =(2,sinB)共线，求a,b 的值.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n a c b =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）． 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 20．已知圆C 过点P （1，1），且与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称．⑴求圆C 的方程；⑵设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；⑶过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）设，求的单调区间；（Ⅱ） 设，且对于任意，．试比较与的大小．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．（1）求证：； （2）求的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为12{ 42x y t=-=-（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值． 24．选修4—5：不等式选讲 已知()352244f x x x =-++． （1）关于x 的不等式()2f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设,R m n +∈，且1m n +=参考答案1．D 【解析】试题分析：当0x ≤时，原不等式为2(1)0x +>，1x ≠-，所以01x x ≤≠-且，当0x >时，原不等式为(1)(1)0x x +->，即(1)(1)0x x -+<，11x -<<，所以01x <<，综上原不等式的解为11x x <≠-且，故选D ． 考点：解绝对值不等式． 2．B 【解析】 试题分析：由等差数列的性质知1202193181231819201()3a a a a a a a a a a a a +=+=+=+++++1(2478)3=-+18=，所以1202020()1802a a S +==，故选B ． 考点：等差数列的性质，等差数列的前n 项和． 3．C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 【详解】充分性：当x ＞0时，2(1)220a b x x ⋅=-+=>；但是当x ＝5时，(42)a ＝，，与b 共线，a 与b 夹角为0°，故充分性不成立， 必要性：a 与b 夹角为锐角，则2(1)220a b x x ⋅=-+=>， 解得x ＞0，故必要性成立， 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件. 4．B 【解析】 【详解】当0x =时，得任意实数a 均满足题意，当0x ≠时，211x a x x x--≥=--，又12x x ⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当1x =±取得等号，故2a ≥- 5．D 【解析】试题分析：若p ⌝是真命题，即2,10x R ax ax ∃∈++<，当0a <时显然满足题意，当0a =时，不满足题意，当0a >时，240a a ∆=->，解得04a a 或，综上有04a a 或，故选D ．考点：二次函数的性质，一元二次不等式问题． 6．A【解析】试题分析：由题意00tan x x =-，所以()()()222000011cos2tan 12cos x x x x ++=+⋅()22002sin cos 2x x =+=，故选A ．考点：同角三角函数的关系． 7．C【解析】试题分析：由已知12a a x y +=+， 12b b xy =，所以()()221212a a x yb b xy++=224x y y x =++≥=，当且仅当x y =时取等号，故选C ． 考点：等差数列与等比数列的性质，基本不等式． 8．C 【解析】试题分析：设圆心为(,0)C a （0a >）2=，2a =或7a =-（舍去），所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，故选C ． 考点：圆的方程． 9．B【解析】试题分析： ()()111n n a n ana ab n cbn c ++-=-+++ ()()0ac bn b c bn c =>+++，所以1n n a a +>，故选B ．考点：比较大小，数列的单调性． 10．C 【解析】试题分析：设a b +与c 的夹角为θ，由于，是平面内两个互相垂直的单位向量，所以2a b +=，由得2()0a b a b c c ⋅-+⋅+=，即2()cos c a b c a b c θ=+⋅=+⋅，所以2cos c θ=，最大值为2，故选C ．考点：向量的数量积． 11．C 【解析】试题分析：作出函数11y x=-与2sin y x π=的图象，如图，由于这两个函数的图象都关于点(1,0)对称，因此它们的交点也关于点(1,0)对称，由图象知它们在[1,4]上有四个交点，因此在[2,1]-上也有四个交点，且对应点的横坐标之和为2，所以()f x 在[2,4]-上的所有零点之和为248⨯=，故选C ．考点：函数的零点．【名师点晴】本题考查函数的零点问题，解题的关键是把函数零点转化为函数图象的交点，从而利用函数图象的对称性，把零点两两配对，它们的和为2，再根据图象（函数的周期性与单调性）确定出在给定区间内零点的个数，最终求得结论． 12．B 【详解】因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(y 0)y x m+=≥，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(y 0)y x m -+=≥相交，而与第三个半椭圆222(8)1(y 0)y x m-+=≥无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)1(y 0)y x m-+=≥得2222(91)721350,m x m x m +-+=令29(0)t m t =>，则有2(1)8150t x tx t +-+=由22(8)415(1)0,15,915,0t t t t m m m ∆=-⨯+>>>>>得由且得同样由3x y =与第三个半椭圆222(8)1(y 0)y x m-+=≥无交点，由∆<0可计算得m <综上知m ∈．13．a ≤－2或a ≥1. 【解析】试题分析：直线ax +y +1=0过定点P(0,−1)，k PA =3−(−1)2−0=2，k PB =2−(−1)−3−0=−1，−3<0<2，所以−a ≥2或−a ≤−1，即a ≤−2或a ≥1． 考点：直线的斜率． 14．30x y +-= 【解析】试题分析：由于点(1,2)M 在圆C ：22(3)(4)25x y -+-=的内部，由于直线AB 和圆相交的性质可得，当ACB ∠最小时，圆心C 到直线AB 的距离最大，此时直线AB 与直线MC 垂直，由于直线MC 的斜率42131-=-，则所求直线的斜率为1-，由直线的点斜式方程得2(1)y x -=--，即30x y +-=.考点：直线与圆的位置关系. 15．7 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:0l ax by +=，把直线l 向上平移时z 增大，即l 过点(3,4)A 时，z 取最大值7，所以347a b +=，因此34134(34)()7a b a b a b+=++112121(25)(25777b a a b =++≥+=，当且仅当1212a b b a =时等号成立，故所求最小值为7．考点：简单的线性规划问题，基本不等式．【名师点晴】本题把简单的线性规划问题与基本不等式结合在一起，考查简单线性规划中已知目标函数的最值反求参数的值得出的关系，巧妙利用整体代换思想把最值问题转化为基本不等式，是一道典型的知识交汇题，考查了我们的分析问题解决问题的能力． 16．2 【解析】试题分析：222sin cos 2sin ()12cos cos 2x x x x x x f x x x x x ++++==+++，显然函数2sin ()cos 2x xg x x x +=+是奇函数，设其最大值为A ，则其最小值为A -，所以1M A =+，1m A =-+，从而2M m +=．考点：函数有奇偶性与最值．【名师点晴】本题考查函数的最值，求函数的最值一般方法有：一是利用函数的单调性，如二次函数，指、对数函数，三角函数等，二是利用不等式的性质，三是利用导数确定函数的单调性，确定最值．而本题的关键是构造奇函数，利用奇函数的的最大最小值互为相反数，从而求得题中函数的最大与最小值之和． 17．（1）最小值是，最大值是0；（2）．【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变形将f(x)化成形如y =Asin(ωx +φ)的性质，再根据三角函数的性质即可求解；（2）利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理可得到a ，b 所满足的一个方程，再结合余弦定理可得到a ，b 所满足的另一个方程，联立即可求解． 试题解析：（1）f(x)=√32sin2x −1+cos2x2−12=√32sin2x −12cos2x −1=sin(2x −π6)−1，∵−π12≤x ≤5π12，∴−π3≤2x −π6≤2π3，∴−√32≤sin(2x −π6)≤1，从而−1−√32≤sin(2x −π6)−1≤0，即值域为[−1−√32,0]；（2）f(C)=sin(2C −π6)−1=0，则sin(2C −π6)=1，∵0<C <π，∴−π6<2C −π6<11π6，∴2C −π6=π2⇒C =π3，又∵向量m ⃗⃗ =(1,sinA)与向量n ⃗ =(2,sinB)共线，∴sinB =2sinA ，由正弦定理得，b =2a ①，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcos π3，即a 2+b 2−ab =3②，联立①②解得a =1，b =2．考点：1．三角恒等变形；2．y =Asin(ωx +φ)的图象和性质；3．平面向量共线坐标表示；4．．正余弦定理解三角形．18．（1）42n a n =-，112()4n n b -=⋅；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由已知得2111822n n n S a a =++，这是n S 与n a 的关系，求通项的方法是利用1n n n a S S -=-把此关系式转化为n a 与1n a -的关系，从而求得通项，数列{}n b 的关系式实质上是11114n n n n b b a a ++==-，是一个等比数列；（2）由（1）知1(21)4n n n n a c n b -==-⋅，它是一个等差数列与等比数列相乘构成的新数列，其前n 项和用错位相减法可求和n T ，可证得结论．试题解析：（1）由已知条件得2111822n n n S a a =++， ① 当2n ≥时，2111111822n n n S a a ---=++， ②①－②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=-+-，即1111()()4n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥）， 又12a =，∴42n a n =-；∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=， ∴1112,4n n b b b +==，∴112()4n n b -=⋅； （2）∵1(21)4n nn na c nb -==-， ∴22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅，两式相减得21555312(444)(21)4(2)4333n n n n T n n --=++++--=---⋅<-，∴59n T >． 考点：等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法． 19．（1）3=y 或者01243=-+y x ；（2【解析】试题分析：（1）求圆的切线方程，首先要求出圆的方程，本题已知圆的半径为1，因此要求出圆心坐标，由已知把两直线方程联立方程组可解得圆心坐标，得圆方程，由此可知过点A 的切线斜率一定存在，故可设其方程为3y kx =+，由圆心到切线距离等于圆的半径可求得k 值；（2）平面上满足2MA MO =的点M 的轨迹是圆4)1(22=++y x ，因此题设就变为圆C 与圆4)1(22=++y x 有公共点，由两圆位置关系可得圆心C 的横坐标a 的取值范围． 试题解析：（1）由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为（3,2），∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为：1)2()3(22=-+-y x （1分）显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ，即03=+-y kx∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者∴所求圆C 的切线方程为：3=y 或者即3=y 或者01243=-+y x （3分）（2）解：∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为（a,2a-4） 则圆C 的方程为：[]1)42()(22=--+-a y a x （2分）又∵MO MA 2=∴设M 为（x,y ）整理得：4)1(22=++y x 设为圆D （3分）∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即圆C 和圆D 有交点2分）解得，a 的取值范围为：1分） 考点：直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系．20．（1）222x y +=；（2）－4；（3）平行．【解析】试题分析：（1）由于两圆关于某直线对称，则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等；所以可先由圆C 与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称，求出圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标（x 0,y 0），进而写出圆C 的方程，再由圆C 过点P （1，1）就可求出半径r 的值，从而得圆Ｃ的方程；其中求圆心Ｃ的坐标（x 0,y 0）这样进行：因为圆M 的圆心M(-2,-2),所以有MC 的中点在直线x+y+2=0上，且MC 与直线x+y+2=0垂直，可列出关于x 0,y 0的方程组，解此方程组就可求得x 0,y 0的值；（2）设出点Q 的坐标,则可用点Q 的坐标表示出来,再由点Q 在圆C 上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;（3）由于直线PA 和直线PB 的倾斜角互补且PA 与PB 是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为900,从而两直线的斜率都存在,若设PA 的斜率为k ，则PB 的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程，与圆C 的方程结合起来就可用k 的式子表示出A ，B 两点的从标，从而就可求出直线AB 的斜率，又OP 的斜率可求，从而就可判断直线OP 和AB 是否平行了． 试题解析：（1）设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为(x 0,y 0）,由于圆M 的圆心M(-2,-2),则有:,所以圆C 的方程为:,又因为圆C 过点P（1，1）,所以有,故知:⊙C 的方程为：（2）设Q （x 、y ），则，从而可设则(1)(2)(1)(2)22sin()24PQ MQ x x y y x y πθ⋅=-++-+=+-=+-所以PQ MQ ⋅的最小值为-4. （3）设PA 的方程为：，则PB 的方程为：由得，同理可得：OP ∥AB ．考点：１．圆的方程；２．向量的数量积；３．直线和圆的位置关系． 21．（Ⅰ）当，时，函数的单调递减区间是，当，时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）函数定义域为，求出导函数，由于，分两种情况，和，时，，当时，恒成立，当时，的解为，可得单调区间，当时，有两根，可得（或）的解集，即单调区间；（Ⅱ）由已知得是的极小值，由（1）得，即，因此问题为比较与的大小，为此研究函数，通过导数得绵最大值为且，因此得．试题解析：（Ⅰ）由，得．（1）当时，①若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是②若，当时，，函数的单调递减，当时，，函数的单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）当时，，得，由得显然，当时，，函数的单调递减，当时，，函数的单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，综上所述当，时，函数的单调递减区间是当，时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（Ⅱ）由，且对于任意，，则函数在处取得最小值，由（Ⅰ）知，是的唯一的极小值点，故，整理得即．令，则令得，当时，单调递增；当时，单调递减．因此，故，即，即．考点：导数与函数的单调性、极值，比较大小．【名师点晴】本题主要考查导数与函数单调性、函数的极值，比较大小等基础知识，属于难题，解答此题关键在于第（Ⅰ）问要准确求出的导数后，要对其中的参数进行分类讨论，首先对的系数分和两类，在时，对的正负也要分类，当时，由于有两不等实根，故不需要再对分类了，第（Ⅱ）小题一是由已知得是的极小值，二是比较大小是通过构造新函数，研究的单调性来确定两数的大小关系． 22．（1）证明见解析；（2）45． 【解析】试题分析：（1）由切割线定理有2=EF EA EC ⋅，再由射影定理有2EB EF EC =⋅，从而AE EB =（2）因为BF EC ⊥，由射影定理得245EF FC BF ⋅==试题解析：解：（1）由以D 为圆心DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，∴EA 为圆D 的切线依据切割线定理得2=EF EA EC ⋅，另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线，同样依据切割线定理得2EB EF EC =⋅，故AE EB =（2）连结BF ，∵BC 为圆O 直径，∴BF EC ⊥，由1122BCE S BC BE CE BF ∆=⋅=⋅得5BF == 又在BCE Rt ∆中，由射影定理得245EF FC BF ⋅== 考点：切割线定理，射影定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 23．（1）()2224x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标互化公式；（2）写出过点M 的直线l 的标准参数方程为22{12x y =-+=+，代入圆的方程，得：210t -=，利用参数的几何意义表示MA MB +，从而求解．试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为()2224x y +-=，（2）直线l 的普通方程为3y x =+，点M 在直线上l的标准参数方程为22{ 12x y =-+=+．代入圆方程得：210t -=．设A B 、对应的参数分别为12t t 、，则12t t +=，121t t =．于是1212MA MB t t t t +=+=+=考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．24．（1）12a -≤≤；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）不等式()2f x a a ≥-恒成立，不等式或两个字母x 与a 是分离的，因此有2a a -小于或等于()f x 最小值，由绝对值的几何意义可求得()f x 的最小值（()f x 表示数轴上的点(2)P x 与点3()4A 和点5()4B -的距离之和，最小值为2），解不等式22a a -≤即得a 的取值范围；（2≤12m n ==时，等号成立，由此我们凑出基本不等式，即22122133342222m n m n m n +++++=+++=++=，结论得证．试题解析：（1）依据绝对值的几何意义可知函数()352244f x x x =-++表示数轴上点P （2x ）到点A （34）和B （54-）两点的距离，其最小值为()min 2f x =∴不等式恒成立只需22a a ≥-，解得12a -≤≤（2）∵()min 2f x=∴≤()221322m m ++≤=+()221322n n ++=+．333422m n m n≤+++=++=≤故要证明的不等式成立．考点：不等式恒成立问题，不等式的证明．。

宁夏银川一中2021届高三第三次月考数学（文）试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}=02,B x x x R ≤≤∈，则A B 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．7 D ．8 2．下列命题中错误的是( )A ．若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“()p q ∨⌝”为真命题B ．命题“若7a b +≠,则2a ≠或5b ≠”为真命题C ．命题“若20x x -=,则0x =或1x =”的否命题为“若20x x -=,则0x ≠且1x ≠”D ．命题p :00x ∃>,00sin 21x x >-,则p ⌝为0x ∀>,sin 21x x ≤-3．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O (O 为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个；②函数2()ln(f x x =可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形．A ．①④B ．①③④C ．②③D ．①③ 4．对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是（ ）A ．若 a b >，则22ac bc >B ．若22ac bc >，则 a b >C ．若0a b <<，则11a b <D ．若0a b <<，则b a a b<5．若函数()22ln f x x x a x =++在()0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≤ B ．4a ≥ C ．4a ≤- D ．4a ≥- 6．将函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．cos 2y x =B ．1cos2y x =+C ．1si π24n y x =++⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．cos21y x =-7．设向量(0,1)b =，11,22a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为34πD ．b 在a方向上的投影为28．已知正项数列{}n a 满足：11a =，2212n n a a +-=，则使7n a <成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．24D ．259．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞） 10．已知函数()cos()f x x ωϕ=-(04,0)ωϕπ<<<<的部分图象如图所示，(0)cos2f =，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为4B ．函数()f x 的图象关于直线61x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(1,0)4π+对称D ．函数()f x 的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象11．在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F .若23AF xAB y AD =+，则x y +=（ ）A ．1B ．718C ．13- D ．59- 12．若函数()sin x xf x e e x x -=-+-，则满足2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1ln 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题 13．已知2()3(2)f x x xf '=+，则(2)f '=________.14．已知复数342i z i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限.15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若tan C =，cos 8A =，b =ABC 的面积为________.16．已知正项等比数列{}n a （*n N ∈）满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a 使得14a =，则15m n+的最小值为____________.三、解答题 17．在递增的等比数列{}n a 中，316a =，2468a a +=，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，11b a =，22S a =.（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列的前n 项和n T .18．在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A A B =-=，角C 为钝角， 5.b =（1）求sin B 的值；（2）求边c 的长.19．已知数列{}n a 满足114a =，112n n n n a a a a ---=⋅（2n ≥，*n N ∈），0n a ≠ （1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭*()n N ∈为等比数列，求出{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前项和为n T ，求证：对任意*n N ∈，23n T <. 20．已知函数()()22cos 1f x p x x =-+，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求bc 的取值范围．21．已知函数2()ln 3()f x x ax x a R =+-∈.（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值； （2）若1a =，对于任意12,[1,10]x x ∈，当12x x <时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为22212cos ρθ=-，射线()π03θρ=≥与曲线C 交于点P ，点Q 满足23PQ PO =，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，当α为何值时，QM QN ⋅最大？求出此最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数()225f x x =+-.（1）解不等式：()|1|f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.。

宁夏银川市第一中学2019届高三上学期第三次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数(2)12i i i+-等于A ．iB ．i -C ．1D ．—12．设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜12x x +-0≥｝，B ＝｛x ｜1＜2x＜8｝，则（C U A ）∩B 等于A ．[－1，3）B ．（0，2]C ．（1，2]D ．（2，3）3．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．设{n a }是公比为正数的等比数列，若a 3＝4，a 5＝16，则数列{n a }的前5项和为A ．41B ．15C ．32D ．315. 函数321()2f x x x =-+的图象大致是6．曲线ln y x x =在点),(e e 处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为A ．2B.-2C.12D.12-7．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是孤AB 的三等分点，M 、Nxy OA. BCD xyOxyO xyO 1是线段AB 的三等分点，若OA=6，则MD NC ⋅的值是A ．2B ．5C ．26D ．29 8．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于A.21+B.21-C.223+D.223-9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 A ．2sin 2cos 2αα-+ B．sin 3αα+ C．3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+10．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 部分图象如图所示,若2||=⋅,则ω等于 A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π11．已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则 A ．c a b << B. a b c << C. a c b << D. c b a <<12．定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y )是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()OB OA ON λλ-+=1，若不等式k ≤||恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在 [1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 A. [0,)+∞ B. 1[,)12+∞C. 3[)2++∞D. 3[)2+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数)(',sin cos )(')(x f x x f x f +=π是)(x f 的导函数，则⎰π)(dx x f = 。

宁夏银川一中2021届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞]B．（﹣∞，0）∪[1，2]C．（﹣∞，0]∪[1，2]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2021，则化简得z=（）A．0B．﹣1 C．1D．1+i3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D ．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M 满足等于（）A．2B．3C．4D．66．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B．C．D．f（x）=e x+e﹣x8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D ．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D ．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．22012．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）在△ABC 中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n 的最小值为．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy ﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C 的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC ﹣csinA，求c的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，争辩函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②假如函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．宁夏银川一中2021届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞]B．（﹣∞，0）∪[1，2]C．（﹣∞，0]∪[1，2]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，依据全集M求出N的补集即可．解答：解：由M中不等式变形得：2x≤4=22，即x≤2，∴M=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即N=（0，1），则∁M N=（﹣∞，0]∪[1，2]．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，娴熟把握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2021，则化简得z=（）A．0B．﹣1 C．1D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵i4=1，∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2021===0．故选：A．点评：本题考查了复数的周期性、等比数列的前n项和公式，属于基础题．3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以依据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．解答：解：依据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，依据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．点评：本题考查等差数列通项公式，求和计算．合理利用性质求解，应是本题的立意所在．4．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a ，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M 满足等于（）A．2B．3C．4D．6考点：平面对量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，留意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．解答：A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x﹣1有一个零点时，a=﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a=﹣1或a=0；∴命题错误．故选：B．点评：本题通过命题真假的判定考查了简洁的规律关系的应用，是基础题．7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B．C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项推断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln =ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查同学对新问题的分析理解力量及解决力量，属中档题．8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D ．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，娴熟把握公式是解本题的关键．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D ．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：依据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又由于a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b1•22n﹣2=22n﹣2．设c n =，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是娴熟把握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用平方关系与二倍角的正弦将y=sin4x+cos4x化为y=1﹣×sin22x，再利用降幂公式可求得y=+×cos4x，从而可求其周期和值域．解答：解：∵y=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣×sin22x=1﹣×=+×cos4x，∴其周期T==，其值域为[，1]故选：C．点评：本题考查三角函数的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦与余弦，降幂是关键，属于中档题．11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得C n（n，n+），D n （，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．解答：解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n （，n+）；∴|A n B n|=n ﹣（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n ﹣）+2（n+）=4n．∴a n+1﹣a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．点评：本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算力量，属于中档题．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1B．2C．3D．4考点：函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．解答：解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．点评：本题考查了函数的零点，擅长转化及娴熟利用导数推断方程的根的个数是解决问题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y 的最大值为8．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A （5，2）将A 的坐标代入目标函数z=2x ﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：依据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出结论．解答：解：由余弦定理，得12=b2+c2﹣bc．又S=bcsinA=bc；而b2+c2≥2bc⇒bc+12≥2bc⇒bc≤12，（当且仅当b=c时等号成立）所以S=bcsinA=bc≤3．即△ABC的面积S的最大值为：3．故答案为：3．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题．解决本题的关键在于依据余弦定理以及基本不等公式得到bc≤12．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n 的最小值为﹣4．考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出a n再依据通项的结构求出数列的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案解答：解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，学问转换快，解题时要严谨认真，莫因变形消灭失误导致解题失败．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy ﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式sh2x﹣ch 2=﹣1，ch2x ﹣sh2x=1．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：留意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项，即可得到新的关系式．解答：解：sh2x=（e2x+﹣2）ch2x=（e2x++2）∴sh2x﹣ch2=﹣1∴ch2x﹣sh2x=1故答案为：sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1点评：本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的力量．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，由已知条件，列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出a n与b n．（2）由（1）及c n=|b n﹣a5|，推导出c n=|3n﹣1﹣15|=，由此利用分组求和法能求出{c n}的前项和T n．解答：（本题满分14分）解：（1）∵等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{a n}中，a1=3，∴，即，解得q=3，或q=﹣4（舍），d=3，∴a n=3n，（7分）（2）∵c n =|b n﹣a 5|，∴c n=|3n﹣1﹣15|=，∴当n≤3时，=，当n ≥4时，T n=﹣15n+2T3=．∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，留意公组求和法的合理运用．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC ﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，依据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）依据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）依据（1）求出数列的递推公式，得出a n ，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n 项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数推断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为争辩函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值状况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可争辩函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值状况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，留意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，争辩函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过争辩a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过争辩x1，x2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．解答：解：（1）f（x）=x2+（a﹣2）x﹣2alnx（x＞0），f′（x）=x+a﹣2﹣=（x＞0），①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．②当﹣2＜a≤0时，f（x）在（0，﹣a）上是增函数；在（﹣a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．③当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．④当a＜﹣2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，﹣a）上是减函数；在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a恒成立，当x1＞x2时，等价于f（x2）﹣f（x1）＜a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1恒成立．令g（x）=f（x）+ax=x2﹣2alnx﹣2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成马上可．又g′（x）=x ﹣﹣2+2a=，只要x2+（2a﹣2）x﹣2a≥0在（0，+∞）恒成马上可．设h（x）=x2+（2a﹣2）x﹣2a，则由△=4（a﹣1）2+8a=4a2+4＞0及得，a∈∅，当x1＜x2时，等价于f（x2）﹣f（x1）＞a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1恒成立，g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成马上可，a∈∅，综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有＜a．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等学问，属于中档题．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简洁曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D 的极坐标为点A，B，C，D 的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②假如函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带确定值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观看可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观看可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有确定值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

2021届宁夏银川一中高三三模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}0,1,2|,M N x x a a M ===-∈，,则集合M N ⋃= A ．{}2,1,0,1,0,2-- B ．0 C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【答案】D【详解】试题分析：由题意得，{}{}{}0,1,2|,0,1,2M N x x a a M ===-∈=--，，所以M N ⋃={}2,1,0,1,2--，故选D. 【解析】集合的运算.2．若复数z 满足()25,z i ⋅-=（i 是虚数单位），则z 在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【详解】试题分析：由题意得，()()()5252222i z i i i i --===------，所以2z i =-+，所以复数z 对应的点位于第二象限，故选B. 【解析】复数的运算及其表示. 3．已知991sin()cos cos()sin 1471473x x ππππ-+-=，则cos x 等于（ ）A ．13B ．13-C ．3D ．3±【答案】B【分析】根据两角和的正弦公式和诱导公式，准确运算，即可求解. 【详解】由9991sin()cos cos()sin sin[()]sin()cos 14714714723x x x x x πππππππ-+-=-+=-=-=，所以1cos 3x =-. 故选：B.4．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是A ．5B ．15C ．23D ．31【答案】D【详解】试题分析：7,1m n ==，进入循环结构，11,3m n ==，否，循环，13,7m n ==，否，循环，5,15m n ==，否，循环，35,31m n =-=，输出31n =. 【解析】算法与程序框图．5．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C 为正态分布()0,1N 的密度曲线）的点的个数的估计值为附：若2(,)XN μδ，则()()0.6826P X μδμδ-<≤+=，(22)0.9544P X μ-δ<≤μ+δ=A ．3413B ．1193C ．2718D ．6587【答案】D【详解】由题意1(01)0.68260.34132P X <≤=⨯=, ∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，∴落入阴影外部（曲线C 为正态分布N （0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为10000-3413=6587． 故选D ．6．各项均为正数的数列{}n a 中，n S 为前n 项和，()22111++=++n n n n na n a a a ，且3a π=，则tanS 4= A．BC．D【答案】B【分析】根据题设中的递推关系式和a 3的值，分别求得a 1,a 2,a 4，则可求得数列n a 的前4项和 4s ，代入4tan s 即可. 【详解】()22111n n n n na n a a a ++=++()2211n n n n n na na a a a ++∴-=+()()()111n n n n n n n n a a a a a a a +++∴+-=+数列{}n a 各项均为正数()1n n n n a a a +∴-=11n n a n a n+-∴= 又3a π=24124,,333a a a πππ∴===， 4103s π=410tan tan 3s π⎛⎫==⎪⎝⎭故选B【点睛】本题考查数列递推关系的综合应用，属于基础题型，解题中关键是合理利用递推关系求解出前四项.7．三名同学去参加甲、乙、丙、丁四个不同的兴趣小组，去哪个兴趣小组可以自由选择，但甲小组至少有一人参加，则不同的选择方案共有 A ．16种 B ．18种C ．37种D ．48种【答案】C【详解】试题分析：三名同学去参加四个不同的兴趣小组，总共有种选择方法，又甲小组必须得有人参加，可先求出没有人参加甲小组的选法，即三人选三个兴趣小组，有种选法；则至少有一人参加甲小组的选法有种，故本题的正确选项为C. 【解析】组合与组合的运用.8．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【答案】A【详解】球心O 为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为112SC =，所以4S π=球,故选A.9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与x 轴负半轴交于点A ，P 为椭圆第一象限上的点，直线OP 交椭圆于另一点Q ，椭圆的左焦点为F ，若直线PF 平分线段AQ ，则椭圆的离心率等于 A ．13B ．3 C ．3D ．12【答案】A【详解】试题分析：如图所示，连接,OM AP ，因为 PF 平分 AQ ，即 M 为 AQ 的中点，所以 OM 为 APQ 的中位线，所以~OMF APQ ，所以12OF OM AF PA ==，即132c a c a c =⇒=-，所以 13c e a ==，故选A.【解析】椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、离心率的而求解，属于中档试题，解题时注意认真审题，同时注意椭圆对称性和三角形中位线的灵活运用，同时着重考查了数形结合的思想方法的应用，本题的解答中，推得M为AQ的中点，得出OM为APQ的中位线，从而~OMF APQ，在借助三角形相似的比例关系，即可得到的关系式，从而求解离心率的值.10．设1 (1,)2OM=，()0,1ON=，点O为坐标原点，动点(),P x y满足01OP OM≤•≤，01OP ON≤•≤，则z y x=-的最大值是（）A．－1 B．1 C．－2 D．32【答案】D【分析】将数量积约束条件转化为不等式组01201yxy⎧+⎪⎨⎪⎩，，再利用直线截距的几何意义，即可得答案；【详解】01OP OM≤•≤，01OP ON≤•≤，∴01201yxy⎧+⎪⎨⎪⎩，，作出约束条件所表示的可行域，如图所示，令z y x =-，当直线过点1,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时， max 13122z y x =-=+=， 故选：D.11．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()'f x 为其导函数，且0x >时，'()()0xf x f x -<，记0.2220.222(2)(0.2)(log 5)20.2log 5f f f a b c ===，，，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】C【分析】构造函数()()f x g x x=，可得()g x 在(0,)+∞的单调性，可得答案. 【详解】解：令()()f x g x x =，得''2()()()xf x f x g x x-=， 由0x >时，'()()0xf x f x -<，得'()0g x <，()g x 在(0,)+∞上单调递减， 又22log 5>log 42=，0.2122<<，20.04100.2=<<，可得0.222log 5>20.2＞，故0.222(log 5)(2()0.2g g g <<)，故c a b <<， 故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，关键在于由已知条件构造出合适的函数，属于中档题.12．若点(),P a b 在函数23ln y x x =-+的图象上，点(),Q c d 在函数2y x =+的图象上，则()()22a cb d -+-的最小值为 A．B ．8C．D ．2【答案】B【详解】分析：先求出与直线2y x =+平行且与曲线23ln y x x =-+相切的直线y x m =+，再求出此两条平行线之间的距离的平方即可得出.详解：设直线y x m =+与曲线23ln y x x =-+相切于()00,P x y ，由函数233ln ,'2y x x y x x=-+∴=-+，令00321x x -+=，又00x >， 解得01x =，013ln11y ∴=-+=-，可得切点()1,1P -，代入11m -=+，解得2m =-，可得与直线2y x =+平行且与曲线23ln y x x =-+相切的直线2y x =-，而两条平行线2y x =+与2y x =-的距离d ==()()22a cb d ∴-+-的最小值为(28=，故选B.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.二、填空题 13．已知sin α=，()sin 10αβ-=，α、β均为锐角，则cos 2β=______________.【答案】0【分析】本题首先可根据同角三角函数关系得出cos α=、()cos αβ-=然后根据两角差的余弦公式得出cos β=，最后通过二倍角公式即可得出结果. 【详解】因为sin α=，()sin αβ-=，α、β均为锐角，所以cos 5α=，()cos 10αβ-=，则()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦⎛== ⎝⎭ 222cos 2β2cos β1210，故答案为：0.【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数关系、两角差的余弦公式以及二倍角公式，可通过()βααβ=--进行简便计算，考查计算能力，是中档题.14．双曲线2214y x -=的顶点到其渐近线的距离等于__________.【详解】试题分析：由题意得，双曲线的上顶点为(0,2)A ，其中一条渐近线的方程为2y x =，即20x y -=，则上顶点到渐近线的距离为5d ==． 【解析】双曲线的几何性质.15．已知向量a 是单位向量，向量()=2,23b ，若2a ab ，则a ,b 的夹角为___________. 【答案】23π 【详解】22(2)(2)020211,0a ab a a b a a b a b ⊥+∴⋅+=∴+⋅=∴⨯+= 12cos ,,23a b a b π∴=-∴=． 点睛：两向量垂直的判断方法及应用(1)若,a b 为非零向量，则0⊥⇔⋅=a b a b ；若非零向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则12120a b a b x x y y ⊥⇔⋅=+=.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．16．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，()2f x x x =-+.若不等式()2log a f x x x-≤（0a > 且1a ≠）对任意的0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】114a ≤< 【分析】先求出0x >时()f x 的解析式，再利用对数的运算性质参变分离后结合导数可求参数的取值范围.【详解】设0x >，则0x -<，故()()2f x f x x x =--=+，故不等式()2log a f x x x -≤（0a > 且1a ≠）对任意的20,2x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦恒成立即为： 22log a x x ≤对任意的20,x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦恒成立即22ln ln x x a ≥对任意的20,x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦恒成立.设()2ln x g x x=，则()()22ln 1ln x x g x x -'=，因为20,x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，故()0g x '<，故()0g x <在20,⎛⎤ ⎥⎝⎦为减函数， 故()min 22ln g x =，故2ln 22ln a ≤，整理得到()ln ln 4ln 0ln 0a a a ⎧+≤⎨≠⎩， 故114a ≤<. 故答案为：114a ≤<.【点睛】方法点睛：与对数有关的不等式的恒成立问题，我们可以利用对数的函数的图象，也可以利用对数的性质把底数分离出来，再结合导数求新函数的最值，从而求出参数的取值范围.三、解答题17．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积53,21S a ==，求b c +的值． 【答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：(1)利用ABC ∆内角互补,将角统一,再统一名称,解方程可得; (2)已知A a ，,故公式选择1sin 2S bc A =,2222cos a b c bc A =+-,最后用正弦定理将角化为边即可求解.试题解析：（1）由()22sin 3cos 0A B C ++=，得22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=， 解得：1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）由11sin 22S bc A bc ====20bc =. 由余弦定理，得()22222cos 321a b c bc A b c bc =+-=+-=，所以9b c +=.18．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：（1）根据调查数据，判断是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由； 参考数据：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（2）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据.且以频率估计概率，若从该市70后公民中（人数很多）随机抽取3位.记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】(1)有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”；(2)分布列见解析；2. 【分析】(1)根据22⨯列联表中数据计算K 2的观测值即可得解；(2)先求出100个人的样本中，70后生二胎的频率即可得对应概率，写出X 的所有可能值，计算各个值的概率即可得解. 【详解】(1)依题意得K 2的观测值：22100(30104515)100 3.030 2.7067525455533K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”；(2)100个人的样本数据中，70后公民生二胎的频率为302453=，由此估计从该市70后公民中随机抽取1人，生二胎的概率为23， 随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，2(3,)3XB ,3321()()()(0,1,2,3)33k k k P X k C k -==⋅⋅=，所以1248(0),(1),(2),(3)279927P X P X P X P X ========， 随机变量X 的分布列为 X 01 2 3P127 2949 827X 的数学期望()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，PD CD ⊥.E 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面DBE ；（2）求锐．二面角B DE C --的余弦值﹒ 【答案】（1）证明见解析；（27【分析】（1）连结AC 交BD 于点1O ，连结1EO ，则1//EO PA ，由此能证明//PA 平面DBE ．（2）取BC 中点M ，以O 为坐标原点，分别以,,,,OA OM OP x y z 为轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B DE C --的余弦值． 【详解】（1）连结AC 交BD 于点1O ，连结1EO ， 因为底面ABCD 是正方形，所以1O 是AC 的中点．又因为E 为PC 中点，所以1//EO PA ，PA ⊂平面DBE ，1EO ⊂平面DBE ， 所以//PA 平面DBE ．（2）取BC 中点M ，AD 中点O ，以O 为坐标原点， 分别以,,OA OM OP 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系．设AD a =，(0,0,0),(,0,0),(,,0),(,,0)222a a aO A B a C a -，(,0,0)2a D -，33(0,0,),(,0,)4a P a E a -，3(,0,)44a a F -，取PD 的中点为F ，得AF ⊥平面PCD ，则33(,0,)44a aAF =-， ∴可取平面CDE 的一个法向量为(3,0,1)n =-，设平面BDE 的一个法向量为(m x =，y ，)z ， (BD a =-，a -，0)，3(,,)42a a aDE =， ∴·03·0424m BD ax ay a a a m DE x y z ⎧=--=⎪⎨=++=⎪⎩，取1a =，得(1m =，1-，3)， 3373cos ,||||723n mn m n m -<>===，由图知二面角B DE C --是锐二面角，所以二面角B DE C --的余弦值为77．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用．20．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y轴上，离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-. 直线l 与y 轴交于点()0,P m ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3AP PB =.（1）求椭圆C 的方程； （2）求m 的取值范围．【答案】（1）22112x y +=； （2）11(1,)(,1)22--.【分析】（1）由椭圆C的离心率e =，焦点的最短距离为1-，列出方程组，求得,a b 的值，即可求解；（2）设:l y kx m =+，联立方程组，求得212122221,22km m x x x x k k --+==++，根据3AP PB =，消去2x 得到22224220k m m k +--=，结合20k ≥和0∆>，即可求解.【详解】（1）设椭圆的方程为2222:1(0)C bb x a a y +>>=，因为椭圆C的离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1- 可得c e a ==1a c -=1,a c ==， 则22212b ac =-=，所以椭圆的方程为22112x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率显然存在，设:l y kx m =+，与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=，所以22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∆=-+-=-+>，且212122221,22km m x x x x k k --+==++， 因为3AP PB =，所以123x x -=，可得122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩， 消去2x 得212123()40x x x x ++=，即2222213()4022km m k k --⨯+⨯=++，整理得22224220k m m k +--=，即222(41)22m k m -=-，当214m =时上式不成立， 当214m ≠时，可得2222241m k m -=-， 由3AP PB =，可得0k ≠，所以22222041m k m -=>-，解得112m -<<-或112m <<， 经验证此时2222k m >-成立，即0∆>成立， 所以实数m 的取值范围为11(1,)(,1)22--.【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 21．已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈. （1）若(1)0f =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值 【答案】（1）()1,+∞；（2）2 【详解】试题分析：（1）由()10f =可求得2a =，求导后令()0f x '<解不等式可得单调递减区间．（2）构造函数()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，则问题等价于()0g x <在()0,+∞上恒成立．当0a ≤时，求导可得()g x 在()0,+∞上单调递增，又()31202g a =-+>，故不满足题意．当0a >时，可得()g x 的最大值为11ln 2g a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1ln 2h a a a =-单调递减，且()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2a ≥时，()0h a <，从而可得整数a 的最小值为2． 试题解析： （1）因为()1102af =-=， 所以2a =，故()2ln ,0f x x x x x =-+>，所以()2121(1)(21)21x x x x f x x x x x-++-+=-+==-'(0)x >， 由()0f x '<，解得1x >，所以()f x 的单调减区间为()1,+∞． （2）令()()()()211ln 112g x f x ax x ax a x =--=-+-+，0x >， 由题意可得()0g x <在()0,+∞上恒成立．又()()()21111ax a x g x ax a x x-+-+=-+-='．①当0a ≤时，则()0g x '>． 所以()g x 在()0,+∞上单调递增， 又因为()()2131ln11112022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．②当0a >时，()()()21111a x x ax a x a g x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-'， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减．故当1x a=时，函数()g x 取得极大值，也为最大值，且最大值为()2111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln ,02h a a a a=->， 则()h a 在()0,+∞上单调递减， 因为()1102h =>，()12ln204h =-<． 所以当2a ≥时，()0h a <， 所以整数a 的最小值为2．22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 在极坐标系中，设点P 为曲线1C ：2cos ρθ=上的任意一点，点Q 在射线OP 上，且满足||||6OP OQ ⋅=，记Q 点的轨迹为2C ． （1）求曲线2C 的直角坐标方程； （2）设直线l ：3πθ=分别交1C 与2C 交于A 、B 两点，求||AB ．【答案】（1）3x =； （2）5.【分析】（1）利用点P 为曲线1:2cos C ρθ=上的任意一点，||||6OP OQ ⋅=，求得62cos θρ=，即可求得曲线2C 的直角坐标方程；（2）将直线l ：3πθ=分别代入1C 和2C ，求得,A B 对应的12,ρρ 即可求得||AB ．【详解】（1）设点1(,),(,)P Q ρθρθ，由||||6OP OQ ⋅=，可得16ρρ=，因为点P 为曲线1C ：2cos ρθ=上的任意一点，所以62cos θρ=，即cos 3ρθ=，所以曲线2C 直角坐标方程为3x =. （2）将直线l ：3πθ=代入曲线1:2cos C ρθ=，可得11ρ=，即1OA =将直线l ：3πθ=代入曲线2:cos 3C ρθ=，可得26ρ=，即6OB =所以5AB OA OB OA OB =-=-=.23．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}|12x x -；（2）()()1,03,4-【分析】（1）通过对自变量x 的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式()6f x ≤的解集；（2）不等式22()(3)2f x log a a -->恒成立⇔22(3)2()min log a a f x -+<恒成立，利用绝对值不等式的性质易求()4min f x =，从而解不等式22(3)2log a a -<即可．【详解】解：（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-⎪⎨⎪+--⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--⎩， 解得：322x <或1322x -或112x -<-， ∴不等式()6f x 的解集为{}|12x x -．（2）不等式22()(3)2f x log a a -->恒成立，22(3)2()|21||23|log a a f x x x ∴-+<=++-恒成立，∴22(3)2()min log a a f x -+<恒成立，|21||23||(21)(23)|4x x x x ++-+--=，()f x ∴的最小值为4，∴22(3)24log a a -+<，即2230340a a a a ⎧->⎨--<⎩， 解得：10a -<<或34a <<．∴实数a 的取值范围为()()1,03,4-．【点睛】本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查函数的单调性与解不等式组的能力，属于中档题．。