江苏省溧阳市戴埠高级中学高中数学 10等差数列前n项和(2)学案(无答案)苏教版必修5

等差数列的前n 项和(1) 班级 学号 姓名学习目标（1）理解用等差数列的性质推导等差数列的前n 项和的方法；（2）掌握等差数列的前n 项和的两个公式；（3）等差数列{}n a 中，在1a ，n a ，d ，n S ，n 五个量中如果知道其中三量，借助方程（组） 思想，用选定系数法可求另两个量（知三求二）.教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用；教学难点：会运用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的相关问题.课堂学习一、知识建构问题1：1.一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？问题2:计算1234100?+++++=L等差数列的前n 和：（1）问题：如何求1234?n +++++=L数列{}n a 的前n 项和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = .（2）等差数列的前n 和的求和公式：n S = = .说明：（1）等差数列的前n 和等于首末两项和的一半的n 倍；（2）在等差数列前n 项和公式及通项公式中有1a ，n a ，n ，d ，n S 五个量，已知其中三个可以求出另外两个.二、典型例题例1.在等差数列{}n a 中，⑴已知13a =，50101a =，，求50S ； ⑵已知13a =，12d =，求10S .例2.在等差数列{}n a 中，已知,215,23,21-===n n S a d 求1a 及n .例3.⑴在等差数列{}n a 中，若69121534a a a a +++=，求20S .⑵在等差数列{}n a 中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和.思考：从上例中我们发现：1020103020,,S S S S S --也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？课后复习1.已知下列等差数列，求各项的和：⑴1,5,9,,401L ⑵33,,0,,302--L⑶0.7,2.7,4.7,,56.7L ⑷10,9.9,9.8,,0.1----L .2.在等差数列{}n a 中，已知1107,43,a a ==-则10S = .3.在等差数列{}n a 中，已知1100,2,a d ==-则50S = .4.在等差数列{}n a 中，已知1510,2,a d =-=则20S = .5.已知数列的通项52,n a n =-+其前n 项和n S = .6.在等差数列{}n a 中，若4612,a a +=则9S = .7.在等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100,n S =则n = .8.在等差数列{}n a 中，已知11,512,1022,n n a a S ==-=-则公差d = .9.在等差数列{}n a 中，⑴已知120,54,999,n n a a S ===求d 及n ； ⑵已知1,37,629,3n d n S ===求1a 及n a ；⑶已知151,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ； ⑷已知2,15,10,n d n a ===-求1a 及n S .10. 已知等差数列{}n a 的通项公式是21,n a n =+求1a 及.n S11. 已知等差数列{}n a 的前4项和为2,前9项和为6,-求它的前n 项和.12. 在等差数列{}n a 中，⑴已知4141,a a +=求此数列前17项的和； ⑵已知1120,a =求此数列前21项的和；⑶已知该数列前11项的和1166,S =求第6项； ⑷已知482,6,S S ==求16.S13. 在等差数列{}n a 中，已知816100,392,S S ==试求24S .。

等差数列的前n 项和教学目标1．掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题. 教学重点等差数列n 项和公式的理解、推导及应用教学难点灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题.教学方法引导式教学教具准备投影片(钢管堆放示意图)教学过程(I)复习回顾师：经过前面的学习，我们知道，在等差数列中1）d a a n n =--1（n ≥1），d 为常数2）若b A a ,,为等差数列，则2b a A +=3）若q p n m +=+，则q p n a a a a m +=+（Ⅱ）讲授新课师：利用前面所学知识，今天我们来探讨一下等差数列的求和问题（放投影片） 生：看投影片（钢管堆放示意图），师：我们已经知道，这各层的钢管数可看作一个首项7,1,41===n d a 的等差数列，利用31)1(4+=⨯-+=n n a n 可以很快捷地求出每一层的钢管数。

如果现在要问：这一共有多少钢管呢？这个问题又该如何解决？生：积极思考，解决问题得：4+5+6+7+8+9+10=49（或=（4+10）+（5+9）+6+8）+7=7（4+10）/2）师：对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n 项和？设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即1231211121(2)(1)a a a a a a a a a a a S a a a S n n n n n n n n n +==+=+=+++=++=---ΛΘΛΛ或 ∴①+②可得：2)(1n n a a n S += ∴2)(1n n a a n S +=或利用定义可得：⎩⎨⎧--+-+=-++++=])1([)(])1([)(111d n a d a a S d n a d a a S n n n n n ΛΛ两式相加可得：)(21n n a a n S + 即2)(1n n a a n S += 将d n a a n )1(1-+=代入可得：d n n na S n 2)1(1-+= 综上所述：等差数列求和公式为： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= 师：下面来看一下求和公式的简单应用例1：一个堆放铅笔的V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为{}n a ，其中120,11201==a a ，根据等差数列前n 项和的公式，得72602)1201(120120=+⨯=S 答：V 形架上共放着7260支铅笔。

2.2.3等差数列的前n项和（二）n项和公式2会解等差数列前n项和【学习目标】1•进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前的最值问题.3•理解a n与S n的关系，能根据S n求a n.If问题导学------------------------------知识点一数列中a n与S n的关系思考1已知数列｛a n｝的前n项和S n= n2,怎样求a i, a n?梳理对任意数列｛a n｝, S n与a n的关系可以表示为_______ n= 1，a n= *I . n> 2, n € N .思考2在数列｛a n｝中，已知S= an2+bn+ c（a, b, c为常数）,这个数列一定是等差数列吗?知识点二等差数列前n项和的最值思考我们已经知道当公差d z 0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数S n =切2+⑻一d）n，类比二次函数的最值情况，等差数列的S何时有最大值？何时有最小值?梳理等差数列前n项和的最值与｛S n｝的单调性有关.（1）若a i>0, d<0,则数列的前面若干项为正项（或0），所以将这些项相加即得｛S n｝的最大值. ⑵若a i<0, d>0，则数列的前面若干项为负项（或0），所以将这些项相加即得｛S n｝的最小值.⑶若a i>0, d>0，则｛S n｝是递增数列，S1是｛S n｝的最小值；若a i<0 , d<0,则｛S n｝是递减数列, S i 是｛S n｝的最大值.题型探究类型一已知数列｛a n｝的前n项和S n求a n2 i例i已知数列｛a n｝的前n项和为S n= n2+ qn,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引申探究i例i中前n项和改为S n= n2+ ?n + i，求通项公式.反思与感悟已知前n项和S n求通项a n，先由n= i时，a i= S i求得a i,再由n>2时，a n =S n—S n-i求得a n,最后验证a i是否符合a n,若符合则统一用一个解析式表示. 不符合则分段. 跟踪训练i已知数列｛a n｝的前n项和S n= 3n，求a n.类型二等差数列前n项和的最值例2已知等差数列5,4^, 3专，…的前n项和为S n,求使得S n最大的序号n的值.反思与感悟在等差数列中，求S n的最大（小）值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正（负）值或零，而它后面的各项皆取负（正）值，贝U从第1项起到该项的各项的和为最大（小）.由于s n为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解.跟踪训练2在等差数列｛a n｝中，a n= 2n —14,试用两种方法求该数列前n项和S n的最小值.类型三求等差数列前n项的绝对值之和例3若等差数列｛ a n｝的首项a i = 13，d = —4，记T n= |+…+ |a n|，求T n.反思与感悟求等差数列｛a n｝前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.跟踪训练3已知数列｛a n｝中，s=—n2+ 10n，数列｛b n｝的每一项都有b n=釦，求数列｛b n｝的前n当堂训练项和T n的表达式.1 .已知数列｛a n｝的前n项和S n= n2+ n,贝V a* = __________ .2 .已知数列｛ a n｝为等差数列，它的前n项和为S n,若S n = (n+ 1)2+入贝V入的值是____________3 .首项为正数的等差数列，前n项和为S n,且S3= S8,当n= _____________ 时，S n取到最大值.4 .已知数列｛a n｝的前n项和S n= 3+ 2n，求a n.规律与方法■------------------------------ 11.因为a n= S n —S n—i只有n>2时才有意义，所以由S n求通项公式為=f(n)时，要分n= 1和n>2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.2 .求等差数列前n项和最值的方法：(1) 二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n € N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.工a n》0 , [a n W 0,(2) 通项法：当a i>0, d<0,当时，S n取得最大值；当a i<0 , d>0,当时,|a n+1W 0|a n+1》0££S n取得最小值.3. 求等差数列｛a n｝前n项的绝对值之和，关键是找到数列｛a n｝的正负项的分界点.答案精析问题导学知识点一思考 1 aS r = 1;1=当n》2 时，a n= S n—S n T= n2—(n —1)2= 2n—1,又n= 1时也适合上式，所以a n = 2n —1，n€ N*.梳理S1 3n —S n-1思考 2 当n= 1 时，a1 = Si = a+ b+ c;当n》2 时，a n= S n —S n -1 = (an? + bn + c) —[a(n —1) + b(n —1) + c]=2an—a + b.a+ b + c(n = 1),・・a n —| *pan—a+ b(n》2, n€N)只有当c= 0时，a1 = a+ b + c才满足a n —2an—a+ b,数列｛a n｝才是等差数列.C M0时，整个数列｛a n｝不是等差数列，但从第二项起，以后各项依次构成等差数列.知识点二思考由二次函数的性质可以得出：当a1< 0, d>0时，S n先减后增，有最小值；当a1>0, d<0时，S n先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，S n取到最值.题型探究例 1 解根据S n= a1+ a2+ …+ a n —1 + a n可知S n—1 —a1 + a2+ …+a n—1(n>1 , n€ N ),2 1 2 1 1当n>1 时，a n= S n—S n—1= n + ^n —[(n —1) + ?(n—1)] —2n —2,①2 1 3当n = 1时，a1 = S1 — 1 + 1 —2，也满足①式.二数列｛a n｝的通项公式为a n—2n —g—(n + ?n + 1) —[(n—1) + ?(n —1) + 1] —2n —?•①21 5当n = 1时，a i = S i = 1 +空+ 1 = 5不符合①式. 5，n = 1,a n = 1 * 2n — 2，n >2, n € N . 跟踪训练1 解当n = 1时，a 1 = 0 = 3; 当 n 》2 时，a n = S n — S n —1 = 3n — 3n —1= 2 3n — 1. 当 n = 1 时，代入 a n = 2 3n — 1,得 a 1 = 2工 3.3,n = 1, .a n = [2 3n — 1,n >2, n € N *. 例2解 方法一由题意知，等差数列 5,47, 37,…的公差为— n n — 1 5 5 15 2所以 S = 5n +2 —( — 4)=— 1^(n — 3)+ 于是，当n 取与亍最接近的整数即7或8时，S n 取最大值. 方法~二 a n = a 〔 + (n — 1)d = 5+ (n — 1) x4 40令 a n =— 7n + ~w 0,解得 n 》8,且 a $= 0, a 9<0. 故前n 项和是从第9项开始减小，而 S y = S 8, 所以前7项或前8项和最大.跟踪训练2 解•/ a n = 2n — 14 ,a 1 =— 12, d = 2..a 1<a 2<…<a 6<a 7 = 0<a 8<a 9<…•••当n = 6或n = 7时，S n 取到最小值. 易求 S 6 = S y = — 42, • • (S n )min = — 42・例 3 解•/ a 1 = 13, d = — 4, 1 125 5640 —7n+7 .--a n= 17—4n.当n W4 时，T n= |a i |+ |a2|+…+ |a n|=a i+ a2+ …+ a nn n—1 n n—1=na i+ 2—d = 13n + 2—x(—4)2=15 n—2n2;当n》5时，T n = |a11+ |a2|+ …+ |a n|=(a1 + a2 + a3 + a4)—(a5 + a6 + …+ a n)2n )2=56 + 2n2—15n.V 2 *15n —2n , n W 4, n € N ,• I T n =2 *2n —15n+ 56, n> 5, n € N .跟踪训练3 解由S n= —n? + 10n，得a n = S n—S n—1 = 11 —2n(n》2, n € N ). 验证a1 = 9也符合上式.二a n= 11 —2n, n € N .•••当n W 5 时，a n>0 ,此时T n= S n=—n2+ 10n；当n>5 时，a n<0,此时T n= 2S5 —S n= n2—10n+ 50.—n2+ 10n, n W 5, n€ N ,即T n=1n2—10n+ 50, n>5, n€ N .当堂训练1 . 2n 2.—1 3.5 或64. 解当n = 1 时，a1= S1= 3+ 2 =5.当n》2 时，S n—1= 3+ 2n—1,又 S n = 3+ 2n , ••• a n = S n — S n -1= 2“ 一 2n —1 = 2「1. 又当 n = 1 时，a i = 5工 21—1 = 1,3故数列｛ a n ｝是以3 *为首项，2为公差的等差数列. 引申探究解 当 n 》2 时，a * — S n — S n —12 1 2 1 1 …a n = n = 1, n >2, n € N .。

等差数列的前n 项和（第2课时）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究n S 的最值；3.掌握等差数列前n 项和中奇数项和与偶数项和的性质；4.使学生会运用等差数列前n 项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、过程与方法 经历公式应用的过程。

三、情感、态度与价值观通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

【教学重点与难点】：重点：等差数列前n 项和公式的应用。

难点：灵活应用求和公式解决问题。

【教学思路】：一、创设情景，揭示课题，研探新知1.（1）等差数列的定义；（2）等差数列的通项公式；（3）等差数列的求和公式。

2.等差数列的性质：已知数列{n a }是等差数列，则 （1）对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠； （2）若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （3）等差数列前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+⨯。

注意：①等差数列前n 项和公式又可化成式子：n da n d S n )2(212-+=，当0≠d ，此式可看作二次项系数为2d ，一次项系数为21da -，常数项为零的二次式。

②当0>d 时，n S 有最小值；当0<d 时，n S 有最大值。

③图象：抛物线x da x d y )2(212-+=上的一群独立点。

（4）利用n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩。

2.2.3 等差数列的前n 项和（2）【学习目标】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；提高学生的应用意识【重点难点】教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点 灵活应用求和公式解决问题.【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题1 求下列等差数列的各项和：（1）1，5，9，…，401. 各项和为________；（2）- 3，- 32，0，…，30. 各项和为_____； （3）0.7，2.7，4.7，…，56.7. 各项和为________；（4）-10，-9.9，-9.8，…，-0.1. 各项和为___________.问题2 求和：(其中121n i n i aa a a ==+++∑)（1）100(30.25)k k =+∑= ___________，（2）20012n n =-∑= ___________. 问题3 某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,这个剧场共有多少个座位?二、知识建构与应用例1 （1）若数列{}n a 的前n 项的和n S 满足n n S n 322-=,求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项的和n S 满足35-=n n S ,求数列{}n a 的通项公式.例2 已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数.例3 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm,满盘时直径120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm,问:满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到1m)?例4教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款,它享受整存整取利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年教育储蓄的月利率为2.1000.(1) 欲在3年后一次支取本息合计2万元,每月大约存入多少元?(2) 零存整取3年期教育储蓄每月至少存入多少元?此时3年后本息合计约为多少(精确到1元)?三、【巩固练习】1．求集合{}60,,12<∈-=*m N n n m m 且的元素个数，并求这些元素的和.2．已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5 的等差数列,且最小角为120 ,问它是几边形.3．某钢材库新到200根相同的圆钢,要把它们堆放成正三角形垛(如图),并使剩余的圆钢尽可能地少,那么剩余多少根钢管?。

223等差数列的前n项和(二)［学习目标］1•进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质2掌握等差数列前n项和的最值问题.3•理解a n与S n的关系，能根据S n求a n.自主学习尹知识梳理知识点一等差数列前n项和及其最值nfn—1 \ d 2 d1•前n 项和公式：S n= na i+ 2—d=空门+ (a i—2)n.2•等差数列前n项和的最值(1)在等差数列｛a n｝中，当a i>0, d v 0时，S n有最大值，使S n取到最值的n可由不等式组a n^ 0,确定；a n + 1 W 0a n W 0 ,当a1< 0, d>0时，S n有最小值，使S n取到最值的n可由不等式组确定•Ia n +1》0⑵因为S n= d n2 3 4+ a1 —d n,若0,则从二次函数的角度看：当d>0时，S n有最小值；当d v 0时，S n有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，S n取到最值.知识点二数列中a n与S n的关系对任意数列｛a n｝, S n与a n的关系可以表示为S 严5)a n= 1 ci S n S n-1 n》2 •思考若S n= n2+ n,贝U a n=.答案2n解析n》2 时，a n= S n —Si —1= n + n —[(n—1) + (n —1)] = 2n,当n= 1 时，a1 = S1 = 12+ 1 = 2= 2 x 1, /. a n= 2n.2 2a n = S n —S n—1 = 2n + 3n —2(n —1) —3(n —1) = 4n + 1.当n= 1 时，a1 = Si = 5= 4x 1 + 1.题型一已知S n求a n例1已知数列｛a n｝的前n项和为S n,若S n= 2n2+3n,试判断数列｛a.｝是不是等差数列解I S n= 2n2+ 3n，二当n》2 时，手点突菠戸题型探究••• n = 1 时，适合a n= 4n+ 1.•••数列的通项公式是a n = 4n+ 1.故数列｛a n｝是等差数列.S i, n= 1,反思与感悟(1)a n与S n的关系：a n =|S n—Sn—1 , n > 2.当n= 1适合于a n时，则a1可以统一到a n(n》2, n€ N)的形式中，而不用写成分段函数形式•若n = 1不适合a n,则通项公式应写成分段函数形式•2⑵等差数列｛a n｝中，若d M 0,则3可写成关于n的二次函数形式，反之，若S n= An + Bn,那么数列｛a n｝一定是等差数列.跟踪训练1例1中，若S n= 2n6+ 3n + 1，试判断该数列是不是等差数列.解•/ S n= 2n2+ 3n + 1. • n》2 时，a n= S n —S n-1 = 2n?+ 3n+ 1 —2(n —1)2 —3(n —1) —1=4n + 1.当n= 1 时，a1 = S f = 6M 4X 1 + 1.• a= >，(n= 1)…a n 一4n+ 1 (n》2 )故数列｛a n｝不是等差数列.题型二等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列｛a n｝中，若a1= 25,且0—命，求5的最大值.解方法一一T S9= S17, a1= 25,9(9 —1) 17(17—1)• 9X 25+ d = 17X 25+ d,6=—(n —13)2+ 169.•••当n—13时，S n有最大值169.方法二同方法一，求出公差d=—2.--a n = 25 + (n —1) X (—2) = —2n + 27.解得d=—2.• S n= 25 n+(—2) = —n2+ 26nT a i = 25>0,| an =— 2n + 27》0, 由|a n + 1= — 2n + 1 + 27w 0,1 n w 132， 得1 n 》122又N *, •••当n = 13时，S n 有最大值169. 方法三 •/ S 9= S 17 , …a 〔o + a 〔1 +…+玄仃=0.由等差数列的性质得 a 13 + a 14 = 0.T a 1>0, .• d<0.「. a 13>0 , a 14<0.•••当n = 13时，S n 有最大值169. 方法四设S n = An 2+ Bn.T S9= S 17 ,9+ 17• •二次函数对称轴为 x = 2— = 13,且开口方向向下， •••当n = 13时，S n 取得最大值169. 反思与感悟(1)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形:① 若a 1>0, d<0,则S n 存在最大值，即所有非负项之和 ② 若a 1<0, d>0,则S n 存在最小值，即所有非正项之和 (2)求等差数列前n 项和S n 最值的方法：①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ”a n W 0 或' 来寻找.an + 1》0 ②运用二次函数求最值的方法 .跟踪训练2 已知等差数列｛a n ｝中，a 1 = 9, a 4+ a ?= 0. (1)求数列｛ a n ｝的通项公式；"a n 》0&n + 1W 0⑵当n为何值时，数列｛a n｝的前n项和取得最大值?解（1）由a〔= 9, a4+ a7= 0,得a i + 3d + a i + 6d= 0,解得d= —2, --a n = a〔+ (n —1) d = 11 —2n.(2)方法一a1= 9, d=- 2,S n = 9n + 咛1(-2)=- n2+ 10n=- (n —5)2+ 25,•••当n= 5时，S n取得最大值.方法一二由(1)知a1 = 9, d = —2<0 , • ｛a n｝是递减数列.11令a n> 0,则11-2n》0,解得n<芋*n € N ,「.n W 5 时，a n>0 , n》6 时，a n<0.•••当n= 5时，S n取得最大值.题型三求数列｛|a n|｝的前n项和3 o 205例3已知数列｛a n｝的前n项和S n=-尹+ —^n,求数列｛|a n|｝的前n项和T n.解a1 = S1 = - |x12+ 225x 1= 101.当n》2 时，a n= Sn —Sn - 1)-3 2 205丿-|_-2(n― 1)+2(n- 1=-3n + 104.• n = 1也适合上式,•-数列｛a n｝的通项公式为a n = -3n+ 104(n € N ).由a n= —3n + 104》0，得n W 34.7.即当n W 34 时，a n>0 ;当n》35 时，a n<0.(1)当n W 34 时,T n= |a11+ |a2|+ …+ |a n|= a1 + a2 + …+ a n=S n=- 2n2+ 205n;(2) 当n》35 时,T n = |a i 1+ p 2|+ …+ |a 34|+ |a 35|+ …+ |a n | =(a i + a 2 +…+ a 34)— (a 35 + a 36 + …+ a n ) =2(a i + a 2+ …+ a 34)— (a i + a 2+ …+ a n )=2S 34 — S n3n 2— ^n + 3502, n 》35且n € N反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列｛|a n |｝.若原等差数列｛a n ｝中既有正项，也有负项，那么｛|a n |｝不再是等差数列，求和关键是找到数列｛a n ｝的正负项分界点处的 n 值，再 分段求和.跟踪训练3已知等差数列｛a n ｝中，若S 2= 16, S 4= 24,求数列｛|a n |｝的前n 项和T n . 解 设等差数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d , (2a i + d = 16, [a i = 9,即解得2a i + 3d = 12. d = — 2.* 所以等差数列｛a n ｝的通项公式为a n = 11 —2n(n € N ).① 当 n W 5时，T n = |a i |+ |a 2| + …+ |a n |= a i + a 2+ …+ a n = S n =— n + 10n. ② 当 n > 6 时，T n = |a i |+ |a 2|+…+ |a n |= a i + a 2+…+ a 5— a 6 — a 7—…一a n = 2S 5 — S n2 2 2=2 X (— 5 + 10X 5) — ( — n + 10n)=n — 10n + 50,—n 2 + 10n n W 5且 n € N ,故 T n = 2* 2*、n — 10n + 50(n >6且门€ N )34——3 2 205 2n +丁n3 2 =2n -2；5n + 3502. 故T n =—2n 2+205nn < 34且门€ N由 S 2= 16, S 4= 24 2a i +得 4a i +导=16d = 24. =2 -|x 342 + 205X已知S n求a n忽略n= 1的情况例4已知数列｛a n｝的前n项和为S n= n2—1,则数列｛a n｝的通项公式为a n=.错解a n = Sn —S n—1= (n?—1) —[(n —1)2 —1] = 2n —1.答案2n —1错因分析运用a n= S n—S n—1求通项公式时，要求n>2,只有验证n = 1满足通项公式后, 才能用一个式子来表示，否则必须分段表示•正解当n A 2 时，a n= S n—S n—1=(n2—1) —[(n—1)2—1] = 2n—1.当n= 1时，a1 = S1 = 12—1 = 0,不符合上式，0, n= 1,二a n =2n—1, n A 2.答案2n—1, n A 2误区警示根据前n项和S n= an2+bn+ c判断｛a n｝是不是等差数列时，只有当c= 0时是等差数列，否则不是•尹当堂检测_ 自查自纠1. 已知数列｛a n｝的前n项和Si = n2,则a n=.答案2n —1解析当n= 1 时，a1 = S1 = 1，当n A2 时，a n= S n —S n—1 = n2—(n —1)2= 2n —1,又因a1 = 1 符合a n= 2n —1,所以，a n = 2n—1(n € N ).2. 已知S n是等差数列｛a n｝的前n项和，且S6>S7>S5,有下列四个命题：①d<0 •，②Sn>0 :③尿<0;④数列｛S n｝中的最大项为S11,其中正确命题的序号是.答案①②解析T S3>S7, a7<0 ,t S7>S5,a6+ a7>0 ,二a6>0,二d<0,①正确.11又S11 = ~(a1 + an) = 11a6>0,②正确.次函数图象的对称性来确定S 12 = ~2(a i + a i2)= 6(a 6+ a 7)>0 ,③不正确. ｛S n ｝中最大项为S 6,④不正确. 故正确的是①②. 3.已知等差数列｛a n ｝中，|a 5|=|a 9|,公差d >0,则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数 n 的 值是.答案 6或7解析 由 l a 5|=曲|且 d > 0 得 a 5< 0, a ?> 0,且 a 5 + a ?= 0? 2a i + 12d = 0? a i + 6d = 0, 即卩a 7=0，故S 6 = S 且最小.4. 数列｛a n ｝为等差数列，它的前 n 项和为S n ,若S n = (n + 2)2 +1，则t 的值为. 答案 —4解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n = an 2+ bn , ••• t = — 4.5. 已知数列｛a n ｝的前n 项和S = 3+ 2n ,求a *. 解当 n = 1 时，a i = S i = 3+ 2= 5. 当 n 》2 时，S n —1 = 3+ 2n —i ,又 S n = 3+ 2n , • a n = S n — S n —1= 2n — 2n -」2n —i (n > 2). 又当 n = 1 时，a i = 21— 1= 1工 5,5(n = 1 ,…a n =2n — [n 》2 .「课堂少结 --------------------------------------- 1 1.因为a n = S n — S n — i 在n 》2时才有意义，所以由S n 求通项公式a n = f(n)时，要分n = 1和n 》2两种情况分别计算， 然后验证两种情况可否用统一解析式表示， 若不能，则用分段函数的形式表示.2. 求等差数列前n 项和最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n € N *，结合二a n 》0,a n W 0,⑵通项法：当a i >0, d<0,时，S n 取得最大值；当 a i <0, d>0 ,|a n + 1 W 0j a n + 1》0£7时,S n取得最小值.3•求等差数列｛a n｝前n项的绝对值之和，关键是找到数列｛a n｝的正负项的分界点.。

江苏省常州市溧阳市戴埠高级中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则=( )A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：B2. 若，则之间的大小关系为（）.A．<< B．<< C．<< D．<<参考答案：D3. 如图，已知的直观图是一个直角边长是1的等腰直角三角形，那么的面积是（）A. B. C. 1 D.参考答案：D【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图与还原为原几何图形，利用三角形面积公式可得结果.【详解】平面直观图与其原图形如图，直观图是直角边长为的等腰直角三角形，还原回原图形后，边还原为长度不变，仍为，直观图中的在原图形中还原为长度，且长度为，所以原图形的面积为，故选D.【点睛】本题主要考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与轴平行的线段仍然与与轴平行且相等；二是与轴平行的线段仍然与轴平行且长度减半.4. 已知两直线与平行,则的值为( )A. B. C. 或 D.参考答案：B5. 下列函数中，既是奇函数，又是定义域上单调递减的函数为（）A． B． C． D．参考答案：C6. 已知，，，则向量与向量的夹角是（）A. B. C. D.参考答案：C试题分析：由条件得，所以，所以，即．考点：向量的数量积运算．7. 集合{1，2}的子集共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】子集与真子集．【分析】直接由子集公式计算公式2n计算即可得出【解答】解：集合中有两个元素，故其子集的个数是22=4故选D．8. 当时，的值是 ( )A． B. C. D. 不确定。

参考答案：B略9. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（）A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数参考答案：A略10. 函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间A. (5,6)B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)参考答案：B试题分析：根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间（3，4）内，故选择B 考点：零点存在性定理二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若方程的解所在的区间是且，则▲.参考答案：2略12. ．参考答案：1略13. 下列三个命题，其中正确的有 ( ）①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个参考答案：A14. 已知向量的模为1，且满足，则在方向上的投影等于 .参考答案：-3略15. sin15︒cos15︒的值等于 .参考答案：16. 不等式的解集为______.参考答案：【分析】根据解一元二次不等式得规则进行解决问题. 【详解】解：因为不等式，所以， 即，故，所以不等式的解集为.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握一元二次不等式的解题规则为解题的关键，解决此类问题也可以结合一元二次函数图像解决问题. 17. 已知定义域为的偶函数在区间上是增函数,若,则实数的取值范围是参考答案：或三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市戴埠高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 程序：M=1 M=M+1 M=M+2 PRINT M END M的最后输出值为（）A． 1 B．2 C． 3D．4参考答案：D2. 已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是( )A、 B、4 C、5 D、2参考答案：B错误原因：忽视了条件中x的取值范围而导致出错。

3. 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是....参考答案：D4. 双曲线虚轴的长是实轴长的2倍，则A.B. C. D.参考答案：A略5. 设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则等于A．B．C．3 D．﹣3 参考答案：A6. 已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且( )A．4 B．2 C．－2 D．参考答案：C7. 下列说法正确的是（）．（）任意三点确定一个平面；（）圆上的三点确定一个平面；（）任意四点确定一个平面；（）两条平行线确定一个平面A．（）（）B．（）（）C．（）（）D．（）（）参考答案：C（）．错误，三点不共线才能确定一个平面．（）．正确，圆上三点不共线，可以确定一个平面．（）．错误，四个点也不能在同一条直线上，才能确定一个平面．（）．正确．故选．8. 将两个数a=﹣1，b=﹣2交换，使a=﹣2，b=﹣1，下列语句正确的是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】顺序结构．【分析】要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把a的值赋给中间变量c，再把b的值赋给变量a，c的值赋给变量b即可．【解答】解：先把a的值赋给中间变量c，这样c=a，再把b的值赋给变量a，最后把c的值赋给变量b，故选：B．9. 已知是定义在R上的偶函数，并且满足当时，则( )A．－2.5 B.2.5 C.5.5 D.－5.5参考答案：B10. 设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）A．13 B．35 C．49D． 63参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．则二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则B（2，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），=（2，2，0），=（0，1，1），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，1），平面DEC的法向量=（0，0，1），设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值是．故答案为：．12. 若﹣1，a，b，c，﹣9成等差数列，则b=___________，ac=___________．参考答案：b=﹣5 ，ac=21略13. 某项“过关游戏”规则规定：在地关要抛掷1颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数和大于，则算过关．（Ⅰ）此游戏最多能过__________关．（Ⅱ）连续通过第1关、第2关的概率是__________．（Ⅲ）若直接挑战第3关，则通关的概率是__________．（Ⅳ）若直接挑战第4关，则通关的概率是__________．参考答案：见解析解：（Ⅰ），，故此游戏最多能过关．（Ⅱ）第一关，抛掷一颗骰子，出现点数大于的概率：．第二关，抛掷次骰子，如果出现的点数和大于，就过关，分析可得，共种情况，点数小于等于的有：，，，，，，共种，则出现点数大于的有种，故通过第二关的概率为．∴连续通过第关，第关的概率是．（Ⅲ）若挑战第关，则掷次骰子，总的可能数为种，不能过关的基本事件为方程，其中，，，，，，的正整数解的总数，共有种，不能过关的概率为．故通关的概率为．（Ⅳ）若挑战第关，则投掷次骰子，总的可能数为种，不能通关的基本事件为方程，其中，，，，的正整数解的总数，当，，，共有种，当时，种，当时，种，当时，种，当时，种．当时，种．当时，种．当时，种．所以不能过关的概率为．能通关的概率为．14. 设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，，则方程实数根的个数为．参考答案：415. 不等式0的解集是，则不等式的解集是__________.参考答案：略16. 计算参考答案：2略17. 如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆心到直线的距离为，则圆的面积为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高中数学《等差数列的前n项和》教案苏教版必修一、教学目标1.掌握等差数列的定义和性质。

2.理解等差数列的通项公式和前n项和公式。

3.能够应用前n项和公式计算等差数列的和。

4.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学重点1.等差数列的定义和性质。

2.等差数列的通项公式和前n项和公式。

3.应用前n项和公式计算等差数列的和。

三、教学内容1. 等差数列的定义和性质•等差数列的定义：若一个数列中任意相邻两项的差等于同一个常数d，则称该数列为等差数列。

•等差数列的性质：–公差d是等差数列的一个重要属性，它确定了等差数列的变化规律。

–等差数列的第n项可以表示为：a n=a1+(n−1)d。

–等差数列的前n项和可以表示为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。

2. 等差数列的通项公式和前n项和公式•等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d，其中a n表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。

•等差数列的前n项和公式：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中S n表示等差数列的前n项和。

3. 应用前n项和公式计算等差数列的和•通过前n项和公式，我们可以方便地计算等差数列的前n项和。

•实际应用中，等差数列的前n项和常用于计算某项数值的总和，例如等差数列的总销售额、总花费等。

四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾等差数列的定义和性质，以及等差数列的通项公式。

2. 介绍前n项和公式的推导过程教师通过具体例子，引导学生思考前n项和公式的推导过程，并解释推导的原理和思路，强化学生对公式的理解。

3. 进一步练习教师出示一些实际问题，引导学生运用前n项和公式计算等差数列的和。

通过练习，巩固学生对公式的应用能力。

4. 拓展应用教师引导学生思考等差数列在实际问题中的应用，并组织学生进行小组讨论，分享彼此的思考和启发。

五、课堂练习1.已知等差数列的首项为5，公差为2，求前10项和。

2．2.3 等差数列的前n 项和(二)明目标、知重点 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题.3.理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .1．数列中a n 与S n 的关系对任意数列{a n }，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).2．由数列前n 项和S n 判断数列的类型由于等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .令A ＝d 2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn ，所以S n 是关于n 的常数项为0的二次函数．反过来，对任意数列{a n }，如果S n 是关于n 的常数项为0的二次函数，那么这个数列也是等差数列． 3．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值．[情境导学]如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？这就是本节我们探究的主要问题．探究点一 已知数列{a n }的前n 项和S n 求a n思考1 已知数列的通项公式a n 能求出S n ；反过来，已知数列{a n }的前n 项和S n ，如何求a n? 答 对所有数列都有S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥2)．因此，当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1；当n ＝1时，有a 1＝S 1.所以a n 与S n 的关系为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当a 1也适合a n 时，则通项公式要统一用一个解析式a n ＝f (n )(n ∈N *)来表示．思考2 在数列{a n }中，已知S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)如何求a n ？判断这个数列一定是等差数列吗？答 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋b ＋c ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(an 2＋bn ＋c )－[a (n －1)2＋b (n －1)＋c ]＝2an －a ＋b .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c (n ＝1)2an －a ＋b (n ≥2).只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b 才满足a n ＝2an －a ＋b ，数列{a n }才是等差数列．例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)，可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12，①当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，公差为2的等差数列．反思与感悟 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示． 跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n . 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1. 把n ＝1代入a n ＝2·3n －1得a 1＝2≠3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).探究点二 等差数列前n 项和的最值思考1 将等差数列前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形为S n 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？答 由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0.思考2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？ 答 由二次函数的性质可以得出：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．小结 (1)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．(2)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值； 特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．例2 已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值．解 方法一 由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以S n ＝5n ＋n (n －1)2(－57)＝－514(n －152)2＋1 12556.于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．方法二 a n ＝a 1＋(n －1)d＝5＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－57＝－57n ＋407. a n ＝－57n ＋407≤0，解得n ≥8，即a 8＝0，a 9<0.所以和从第9项开始减小，而第8项为0， 所以前7项或前8项和最大．反思与感悟 在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．跟踪训练2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值． 解 方法一 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2. ∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<…. ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值． 易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42. 方法二 ∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎫n －1322－1694. ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42. 探究点三 前n 项和公式在实际生活中的应用例3 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm ，满盘时直径120 mm ，如图所示．已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米？(精确到1 m)解 卫生纸的厚度为0.1 mm ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．由内向外各圈的半径分别为20.05,20.15，…，59.95.因此各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n ，则59.95＝20.05＋(n －1)×0.1，所以n ＝400.显然，各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列． 根据等差数列的求和公式，得S ＝400×40.1π＋400×(400－1)2×0.2π＝32 000π(mm)．32 000π(mm)≈100(m)．答 满盘时卫生纸的长度约为100 m.反思与感悟 建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解．易错方面：把前n 项和与最后一项混淆，忘记答或写单位．跟踪训练3 教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生．假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？(2)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？(精确到1元)解 (1)设每月存A 元，则有A (1＋2.1‰)＋A (1＋2×2.1‰)＋…＋A (1＋36×2.1‰)＝20 000. 利用等差数列求和公式，得A (36＋36×2.1‰＋36×352×2.1‰)＝20 000，解得A ≈535(元)．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多可存入20 00036≈555(元)．这样，3年后的本息和为555(1＋2.1‰)＋555(1＋2×2.1‰)＋…＋555(1＋36×2.1‰)＝555(36＋36×2.1‰＋36×352×2.1‰)≈20 756(元)．答 欲在3年后一次支取本息2万元，每月大约存入535元.3年期教育储蓄每月至多存入555元，3年后本息合计约20 756元．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因a 1＝1适合a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ＝________. 答案 －1解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ， ∴λ＝－1.3．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值． 答案 5或6解析 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0.∵a 1＞0，∴a 1＞a 2＞a 3＞a 4＞a 5＞a 6＝0，a 7＜0.故当n ＝5或6时，S n 最大．4．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0.解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟． [呈重点、现规律]1．因为a n ＝S n －S n －1只有n ≥2才有意义．所以由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．一、基础过关1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4＝________. 答案 7解析 a 4＝S 4－S 3＝(42－1)－(32－1)＝7.2．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________． 答案 10 000解析 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[(a 1＋b 1)＋(a 100＋b 100)]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000.3．已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为________． 答案 12或13解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2，∴数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大．4．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是________． 答案 －3 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 答案 23或24解析 ∵a 24＝0，∴a 1，a 2，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小．6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________． 答案 4或5解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1，∴a 5＝a 1＋4d ＝0， ∴S 4＝S 5同时最大． ∴n ＝4或5.7．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求S n 的最小值及对应的n 值． 解 (1)∵S n ＝2n 2－30n ， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32， n ＝1时，4n －32＝－28，符合此式． ∴a n ＝4n －32，n ∈N *.(2)方法一 S n ＝2n 2－30n ＝2(n －152)2－2252，∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 方法二 ∵a n ＝4n －32， ∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0， 当n ≥9时，a n >0.∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 二、能力提升8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________. 答案 8解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，得a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案 5解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1， 因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)2d ＝0，故a 1＝－m －12，因为a m ＋a m ＋1＝5，故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5.10．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 013＋a 2 014＞0，a 2 013·a 2 014＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________． 答案 4 026解析 由条件可知数列单调递减， 故知a 2 013＞0，a 2 014＜0，故S 4 026＝4 026(a 1＋a 4 026)2＝2 013(a 2 013＋a 2 014)＞0，S 4 027＝4 027(a 1＋a 4 027)2＝4 027×a 2 014＜0，故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 026. 11．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值．12．2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解 依题意得，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列{a n }，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a 1＝500，d ＝50.那么，到2010年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×(10－1)2×50＝7 250(万元)．答 从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．三、探究与拓展13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由． 解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0a 1＋a 13<0.∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0a 7<0.∴a 6>0， 又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．。