课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习9-2

课时知能训练一、选择题1．(2011·深圳质检)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2图7－2－92．如图7－2－9所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )A.312B.34 C.612 D.643．某几何体的三视图如图7－2－10所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )图7－2－10A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 3 4．(2011·广东高考)如图7－2－11，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()图7－2－11A．43B．4 C．23D．25．一个几何体的三视图如图7－2－12所示，该几何体的表面积为()图7－2－12A．280B．292C．360D．372二、填空题6．一个几何体的三视图如图7－2－13所示，则这个几何体的体积为________．图7－2－137．(2011·天津高考)一个几何体的三视图如图7－2－14所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图7－2－14图7－2－158．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图7－2－15所示)，则球的半径是________cm.三、解答题9．如图7－2－16所示，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求这个球的表面积．图7－2－1610．(2011·陕西高考)如图7－2－17，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.图7－2－17(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D —ABC 的表面积．11．如图7－2－18所示是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．图7－2－18(1)若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ； (2)求几何体BEC —APD 的体积．答案及解析1．【解析】 ∵2R ＝a 2＋a 2＋(2a )2＝6a ， ∴S 球＝4πR 2＝6πa 2. 【答案】 B2．【解析】 在△ABC 中，BC 边长的高为32，即棱锥A —BB 1C 1上的高为32，又S △BB 1C 1＝12，∴VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1＝1332×12＝312.【答案】 A3．【解析】 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2. 【答案】 C4．【解析】 由三视图知，该几何体为四棱锥，如图所示．依题意AB ＝23，菱形BCDE 中BE ＝EC ＝2.∴BO ＝22－12＝3， 则AO ＝AB 2－BO 2＝3，因此V A —BC DE ＝13·AO ·S 四边形BCDE ＝13×3×2×232＝2 3.【答案】 C5．【解析】 该几何体的直观图如图所示，将小长方体的上底面补到大长方体被遮住的部分，则所求的表面积为小长方体的侧面积加上大长方体的表面积，∴S ＝S 侧＋S 表＝6×8×2＋2×8×2＋(2×8＋2×10＋8×10)×2＝360. 【答案】 C6．【解析】 由三视图知，该几何体为底面为直角梯形的四棱柱，其高为1，又底面梯形的面积S ＝(1＋2)×22＝3， ∴V 柱＝S ·h ＝3. 【答案】 37．【解析】 由三视图知，几何体为两个长方体的组合体，又V 1＝1×2×1＝2，V 2＝2×1×1＝2， ∴几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝4. 【答案】 48．【解析】 设球的半径为r cm ，由等体积法得πr 2·6r ＝43πr 3×3＋8πr 2，解得r ＝4.【答案】 49．【解】 设正四棱柱的底面边长为a ， 则V ＝Sh ＝a 2h ＝a 2·4＝16， ∴a ＝2.由题意知：2R ＝|A 1C |， |A 1C |＝26，∴R ＝6， S ＝4πR 2＝24π.10．【证明】 (1)∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB . ∵DB ⊂平面BCD ，DC ⊂平面BCD . 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC . ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA . ∵DB ＝DA ＝DC ＝1， ∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DC A ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin 60°＝32，∴三棱锥D —ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.11．【解】 (1)证明 由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥面ABCD ，PA ∥EB ，PA ＝2EB ＝4，PA ＝AD .∵PA ＝AD ，F 为PD 的中点，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，DA⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，DA∩PA＝A，∴CD⊥平面APD又∵AF⊂平面APD，∴CD⊥AF.又∵PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD且PD∩DC＝D∴AF⊥面PCD.(2)V BEC—APD＝V C—APEB＋V P—ACD＝13×12×(4＋2)×4×4＋13×12×4×4×4＝803.。

课时知能训练一、选择题1．(2012·阳江模拟)已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.12B．－12C．2D．－22．直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为() A．－12 B．－2 C．0 D．103．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．3 D．－34．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为()A．y＝12x－1 B．y＝12x－12C．y＝12＋12D．y＝12x＋15．(2011·北京高考)已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题6．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．7．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是________．8．经过直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线l的方程为________．三、解答题9．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．10．(2012·宁波模拟)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .11．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0，4)的距离之差最大．答案及解析1．【解析】 点A (0,3)，B (－1,1)在直线l 1上，则点A ，B 关于直线y ＝－x的对称点A ′(－3,0)，B ′(－1,1)在直线l 2上，故直线l 2的斜率k ＝1－0－1－(－3)＝12. 【答案】 A2．【解析】 由2m －20＝0得m ＝10，由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上得，10＋4p －2＝0，∴p ＝－2，又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，∴2×1－5×(－2)＋n ＝0，∴n ＝－12.【答案】 A3．【解析】 设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧ a ＝－5，b ＝－3. 故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 【答案】 B4．【解析】 由⎩⎨⎧ y ＝2x ＋1，y ＝x .得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线过点(－1，－1)．又直线y ＝2x ＋1上一点(0,1)关于直线y ＝x 对称的点(1,0)在所求直线上，∴所求直线的方程y －0－1－0＝x －1－1－1y ＝12x －12.【答案】 B5．【解析】 设C (t ，t 2)，又A (0,2)，B (2,0)则直线AB 的方程为y ＝－x ＋2.∴点C 到直线AB 的距离d ＝|t 2＋t －2|2. 又∵|AB |＝22，∴S △ABC ＝12×|AB |·d ＝|t 2＋t －2|. 令|t 2＋t －2|＝2得t 2＋t －2＝±2，∴t 2＋t ＝0或t 2＋t －4＝0，符合题意的t 值有4个，故满足题意的点C 有4个．【答案】 A6．【解析】 所求直线的斜率为12故所求的直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 【答案】 x －2y －1＝07．【解析】 设所求直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－6)， 则有|2－3－6|22＋32＝|2－3＋m |22＋32，即|m －1|＝7，∴m ＝8 故所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.【答案】 2x ＋3y ＋8＝08．【解析】 解方程组⎩⎨⎧ 3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，得交点坐标(－1，－1)． 又直线l 的斜率k ＝3.所以l 的方程为y ＋1＝3(x ＋1)，即3x －y ＋2＝0.【答案】 3x －y ＋2＝09．【解】 (1)证明 l 的方程化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0， 由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＋1＝0x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l的距离最大，又直线PA 的斜率k P A ＝4－33＋215，∴直线l 的斜率k l ＝－5. 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.10．【解】 (1)由⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝2. 由于点P 的坐标是(－2,2)．所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)又直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2.则直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1.11．【解】 如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连结AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即b －4a·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为(a 2，b ＋42)，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4即2x ＋y －9＝0.解⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．。

课时知能训练一、选择题1．(2012·湛江模拟)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)2．(2011·上海高考)设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是平面上给定的5个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0成立的点M 的个数为( ) A ．0 B ．1C ．5D ．103．△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且AN→＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1 4．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )．若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．25．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b二、填空题6．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．7．已知向量OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →的模的最大值是________．8．(2012·梅州调研)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.三、解答题9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标． 10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP→＝OA →＋tAB →(t ∈R )，问： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在第二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．答案及解析1．【解析】 AC →＝2AQ →＝2(PQ →－PA →)＝2(－3,2)＝(－6,4)，BC →＝3PC →＝3(PA →＋AC→)＝3(－2,7)＝(－6,21)． 【答案】 B2．【解析】 设M (x ，y )，A i (x i ，y i )(i ＝1,2,3,4,5)，由MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0，∴(x 1＋x 2＋…＋x 5－5x ，y 1＋y 2＋…＋y 5－5y )＝(0,0)，∴x ＝x 1＋x 2…＋x 55，y ＝y 1＋y 2＋…＋y 55， ∵A i 为定点，∴x ，y 为定值，因此点M 的个数为1.【答案】 B3．【解析】 如图所示，由B 、M 、C 共线，∴AM →＝xAB →＋(1－x )AC →，又N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝x 2AB →＋1－x 2AC →， 由平面向量的基本定理，∴λ＝x 2且μ＝1－x 2，故λ＋μ＝12. 【答案】 A4．【解析】 由题意知a ＋b ＝(1,1)＋(2，x )＝(3，x ＋1)， 且4b －2a ＝4(2，x )－2(1,1)＝(6,4x －2)．∵(a ＋b )∥(4b －2a )，∴3(4x －2)－6(x ＋1)＝0，得x ＝2.【答案】 D5．【解析】 易知|a |＝1，|b |＝ (12)2＋(12)2＝22. ∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12， ∴a ·b ≠22，B 不正确． ∵a －b ＝(1,0)－(12，12)＝(12，－12)， ∴(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝0，C 正确． ∵1×12－0×12≠0，∴a 不平行于b .D 不正确． 【答案】 C6．【解析】 设B (x,0)，则b ＝AB→＝(x －1，－2)，又b ∥a ， ∴3(x －1)－(－2)×(－2)＝0，∴x ＝73. 【答案】 (73，0) 7．【解析】 OA→＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)， ∴|OA→|2＝(2＋2cos α)2＋(2＋2sin α)2 ＝10＋8sin(α＋π4)≤18，故|OA →|≤3 2. 【答案】 3 28．【解析】 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)，又c ＝(－1,2)，且(a ＋b )∥c ，∴2＋m －1＝0，∴m ＝－1.【答案】 －19．【解】 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB→∥AC →， ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC→＝2AB →， ∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎨⎧ a －1＝4b －1＝－4解之得⎩⎨⎧a ＝5b ＝－3. 因此点C 的坐标为(5，－3)．10．【解】 (1)∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，∴OA→＝(1,2)，AB →＝(3,3)， OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )． 若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在第二、四象限角平分线上，则1＋3t ＝－(2＋3t )，t ＝－12. (2)OA→＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )， 若OABP 是平行四边形，则OA→＝PB →， ∴⎩⎨⎧ 3－3t ＝13－3t ＝2，此方程组无解． 所以四边形OABP 不可能为平行四边形．11．【解】 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14. (2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1.于是sin(2θ＋π4)＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝34π.。

课时知能训练一、选择题1．(2011·天津高考)阅读下面的程序框图9－1－11，运行相应的程序，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为( )A ．0.5B ．1C ．2D ．4图9－1－11 图9－1－122．如图9－1－12的程序框图输出的S 是126，则①应为( )A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?3．某流程图如图9－1－13所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x －1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e－x D ．f (x )＝lg sin x图9－1－13 图9－1－144．阅读如图9－1－14的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)5．如图9－1－15(1)是某县参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10(如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )图9－1－15A ．i ＜6?B ．i ＜7?C ．i ＜8?D ．i ＜9?二、填空题6．(2011·江西高考)如图9－1－16所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．图9－1－167．若f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)，定义由如图9－1－17所示框图表述的运算(函数f －1(x )是函数f (x )的反函数)，若输入x ＝－2时，输出y ＝14x ＝18时，输出y ＝________.图9－1－17图9－1－188．如图9－1－18给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有________个．三、解答题9．设计求1＋3＋5＋7＋…＋31的算法，并画出相应的程序框图．10．到银行办理汇款(不超过10万元)，银行收取一定的手续费．汇款额度不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元，一律收取50元．设计一个描述汇款额为x 元，银行收取手续费y 元的算法，并画出相应的程序框图．11．(2012·茂名模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，观察程序框图9－1－19，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021.试求数列{a n }的通项公式；图9－1－19答案及解析1．【解析】 当x ＝－4时，|x |＝4＞3，执行x ＝|－4－3|＝7，当x ＝7>3，执行x ＝|7－3|＝4>3，x 再赋值为x ＝|4－3|＝1.当x ＝1<3，则y ＝21＝2，输出2.【答案】 C2．【解析】 ∵2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，∴应填入n ≤6.【答案】 B3．【解析】 由程序框图可知，输出的函数应是奇函数且有零点的函数，A 中f (x )为奇函数而无零点，B 中f (x )为奇函数无零点，C 中f (x )为奇函数且零点为0，符合题意，D 中f (x )不是奇函数．【答案】 C4．【解析】 若x ∉[－2,2]，则f (x )＝2∉[14，12]，不合题意； 当x ∈[－2,2]时，f (x )＝2x ∈[14，12]，得x ∈[－2，－1]． 【答案】 B5．【解析】 统计身高在160～180 cm 的学生，即A 4＋A 5＋A 6＋A 7.当4≤i ≤7时符合要求．【答案】 C6．【解析】 当n ＝1时，s ＝1；当n ＝2时，s ＝3×2＝6；当n ＝3时，s ＝9×3＝27；当n ＝4时，输出s ＝27.【答案】 277．【解析】 ∵f (x )＝a x ，∴f －1(x )＝log a x .∵x ＝－2≤0，∴a －2＝14，∴a ＝2 ∴f －1(x )＝log 2x∵x ＝18＞0，∴y ＝log 218＝－3. 【答案】 －38．【解析】 由框图可知，当x ≤2时，若x 2＝x ，则x ＝0,1，当2＜x ≤5时，若2x －3＝x ，则x ＝3，当x ＞5时，若1x＝x ，则x ＝±1(舍去)． ∴满足x ＝y 的x 值共有3个．【答案】 39．【解】 算法如下：第一步，令S ＝0，i ＝1；第二步，若i ≤31，则执行第三步；否则，结束算法，输出S ；第三步，S ＝S ＋i ；第四步，i ＝i ＋2，返回第二步．程序框图：10．【解】 由题意可知，y ＝⎩⎨⎧ 1， 0＜x ≤100，1%x ， 100＜x ≤5 000，50， 5 000＜x ≤100 000.算法如下：第一步，输入x . 第二步，若0＜x ≤100，则y ＝1；否则执行第三步．第三步，若100<x ≤5 000，则y ＝1%x ；否则执行第四步．第四步，若5 000＜x ≤100 000，则y ＝50；否则输出“输入有误”． 第五步，输出y .程序框图如图所示：11．【解】 当i ＝1时，a 2＝a 1＋d ，M ＝1a 1a 2S ＝1a 1a 2， 当i ＝2时，a 3＝a 2＋d ，M ＝1a 2a 3S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3. 当i ＝3时，a 4＝a 3＋d ，M ＝1a 3a 4S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4……因此由程序框图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d .当k ＝5时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 41a 4a 5＋1a 5a 6＝(1a 11a 2＋1a 2－1a 31a 3－1a 4＋1a 41a 5＋1a 5－1a 61d＝(1a 11a 6)1d ＝5a 1a 6＝511∴a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11，①当k ＝10时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 10a 11＝(1a 11a 2＋1a 2－1a 3…＋1a 10－1a 11)1d ＝(1a 11a 11)1d ＝10a 1a 11＝1021， ∴a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21，② 由①②解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.。

课时知能训练一、选择题1．(2012·清远质检)已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( )A.π6B.π2C.2π3D.56π 2．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．53．过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝04．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝( ) A.33 B.33或－33C. 3D.3或－ 35．(2012·广州模拟)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的周长，则1a ＋4b 的最小值为( ) A ．8 B ．16 C ．1 D ．20二、填空题6．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.8．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是________．三、解答题9．已知曲线C ：x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.(1)求证：不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；(2)求证：当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条定直线上．10．(2012·揭阳调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA→＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案及解析1．【解析】 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56π. 【答案】 D2．【解析】 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 B3．【解析】 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3，当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 则有|3k －2|k 2＋1＝3，∴k ＝－512，此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 【答案】 B4．【解析】 ∵OM →·CM→＝0， ∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3. 【答案】 D5．【解析】 由圆M 化为(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16，∴圆M 的圆心M (－4，－1)．依题意，直线l 过圆心M (－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，从而(1a ＋4b )＝(1a ＋4b)(4a ＋b ) ＝8＋b a ＋16a b≥8＋216＝16， 当且仅当b a ＝16a b ，即b ＝12，a ＝18时，取等号， ∴1a ＋4b的最小值为16. 【答案】 B6．【解析】 (1)圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，又k AB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 【答案】 x －y ＋5＝07．【解析】 公共弦所在的直线方程为y ＝1a，由已知得，圆心(0,0)到公共弦的距离为1，∴1a＝1，∴a ＝1.【答案】 18．【解析】 由题意知直线PQ 过圆M 的圆心(1,3)，故设PQ 方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，由PQ 与圆O 相切得， |3－k |k 2＋1＝2，即k 2＋6k －7＝0，解得k ＝1或k ＝－7.【答案】 1或－79．【证明】 (1)曲线C 的方程为x 2＋y 2－20＋m (－4x ＋2y ＋20)＝0，故其经过圆x 2＋y 2－20＝0与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点．又因为直线－4x ＋2y ＋20＝0与圆x 2＋y 2－20＝0相切于点(4，－2)，所以不论m 取何实数，曲线C 恒过定点(4，－2)．(2)曲线C 的方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5m 2－20m ＋20＝5(m －2)2. 当m ≠2时，5(m －2)2>0.所以曲线C 表示一个圆，且圆心P (2m ，－m )在定直线x ＋2y ＝0上．10．【解】 (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a1，故b ＝－a ， 则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎨⎧ a ＝－2b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝2b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎨⎧ a ＝－2b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎨⎧ (m －4)2＋n 2＝42m 2＋n 2≠0(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝45n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q (45125符合题意． 11．【解】 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )＞0，解得－34k ＜0，即k 的取值范围为(－34，0)． (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k .。

阶段知能检测(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·安徽高考)集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，S ＝{1,4,5}，T ＝{2，3,4}，则S ∩(∁U T )等于( )A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5}2．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数3．若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题是( )A ．①与②B ．①与③C ．②与④D ．③与④5. (2011·广东高考)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．(2011·陕西高考)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R}，N ＝{x ||x －1i|＜2，i 为虚数单位，x ∈R}，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]7．(2011·湖南高考) “x ＞1”是“|x |＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题．②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A B ”的逆否命题．其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③9．(2012·汕尾质检)设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．(2012·梅州模拟)已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b＝3，命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0恒成立，则下列命题是假命题的是( )A ．綈p ∨綈qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∨qD ．綈p ∧q第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．命题“∃x ∈R ，x ＝sin x ”的否定是______．12．非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．13．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x | x ＋12＜2，x ∈R}，则P －Q ＝________. 14．(2012·揭阳模拟)已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x ＜a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p ：正数的对数都是正数；(2)p ：∀x ∈Z ，x 2的个位数字不等于3.16．(本小题满分13分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的最小值时，求(∁R A )∩B .17．(本小题满分13分)(2012·广州模拟)已知函数f (x )＝4sin 2(π4＋x )－23cos 2x －1，x ∈[π4，π2]． (1)求f (x )的最大值及最小值；(2)若条件p ：f (x )的值域，条件q ：“|f (x )－m |＜2”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分14分)已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．19．(本小题满分14分)命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；命题q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．20．(本小题满分14分)设命题甲：直线x ＝y 与圆(x －a )2＋y 2＝1有公共点，命题乙：函数f (x )＝2－|x ＋1|－a 的图象与x 轴有交点，试判断命题甲与命题乙的条件关系，并说明理由．答案及解析1．【解析】 ∁U T ＝{1,5,6}，S ∩(∁U T )＝{1,5}．【答案】 B2．【解析】 “奇函数”的否定，是“不是奇函数”，因此否命题应为“若函数f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．【答案】 B3．【解析】 a ＝(4,3)，|a |＝42＋32＝5；当|a |＝5时，x ＝±4.【答案】 A4．【解析】 对于②，l 与m 可相交、平行、异面，不正确，对于④，α与β可相交，不正确．【答案】 B5.【解析】 ∵直线y ＝x 与单位圆x 2＋y 2＝1有两个交点，∴A ∩B 的元素有2个．【答案】 C6．【解析】 由y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |，得M ＝[0,1]；因为|x －1i|＜2，所以|x ＋i|＜2，即x 2＋1＜2， 所以－1＜x ＜1，即N ＝(－1,1)，∴M ∩N ＝[0,1)．【答案】 C7．【解析】 |x |＞1⇔x ＞1或x ＜－1，故x ＞1⇒|x |＞1，但|x |＞1D /⇒x ＞1(如x ＝－2)，∴x ＞1是|x |＞1的充分不必要条件．【答案】 A8．【解析】 ①的逆命题为：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；命题③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题．命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．【答案】 D9．【解析】 ∵0＜x ＜π2， ∴0＜sin x ＜1，由x ·sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1， 因此充分性不成立．【答案】 B10．【解析】 当a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b≥4≠3， ∴p 为假命题．对∀x ∈R ，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34≥0恒成立． ∴命题q 是真命题，∴綈p ∧綈q 是假命题．【答案】 B11．【解析】 ∵所给命题是特称命题，∴它的否定应为全称命题．【答案】 ∀x ∈R ，x ≠sin x12．【解析】 对于非零向量a ，b ，若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，∴a ∥b .但a ∥b ，有a ＝λb (λ∈R)，不一定有a ＋b ＝0，∴“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要13．【解析】 因为x ∉Q ，所以x ∈∁R Q ，∵Q ＝{x |－12≤x ＜72}，∴∁R Q ＝{x |x ＜－12或x ≥72}，则P －Q ＝{4}． 【答案】 {4}14．【解析】 由4－x ＞0，知A ＝(－∞，4)．又B ＝{x |x ＜a }，且“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件．∴A B ，∴a ＞4.【答案】 (4，＋∞)15．【解】 (1)綈p ：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．(2)綈p ：∃x ∈Z ，x 2的个位数字等于3，假命题．16．【解】 A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎨⎧ a 2＋1≥4a ≤2， 所以a ≤－3或3≤a ≤2.(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意知，Δ＝a 2－4≤0，则－2≤a ≤2，即a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}，所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}，故(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．17．【解】 (1)∵f (x )＝2[1－cos(π2＋2x )]－23cos 2x －1 ＝2sin 2x －23cos 2x ＋1＝4sin(2x －π3)＋1. 又∵π4≤x ≤π2， ∴π6≤2x －π3≤2π3， 即3≤4sin(2x －π3)＋1≤5， ∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3.(2)∵|f (x )－m |＜2，∴m －2＜f (x )＜m ＋2.又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎨⎧m －2＜3m ＋2＞5，解之得3＜m ＜5. 因此实数m 的取值范围是(3,5)．18．【解】 由题意知a ≠0，若命题p 正确，由于a 2x 2＋ax －2＝(ax ＋2)(ax －1)＝0.∴x ＝1a 或x ＝－2a. 若方程在[－1,1]上有解，满足－1≤1a ≤1或－1≤－2a≤1， 解之得a ≥1或a ≤－1.若q 正确，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0.则有Δ＝0，即a ＝0或2.若p 或q 是假命题．则p 和q 都是假命题，有⎩⎨⎧ －1＜a ＜1，a ≠0且a ≠2.所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．19．【解】 由x 2－4ax ＋3a 2＜0，且a ＜0.得3a ＜x ＜a .∴记p ：对应集合A ＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}．又记B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．因此A B .∴a ≤－4或3a ≥－2(a ＜0)，解之得－23≤a ＜0或a ≤－4. 20．【解】 命题甲：若直线x ＝y 与圆(x －a )2＋y 2＝1有公共点． 则|a －0|12＋12≤1，－2≤a ≤ 2.命题乙：函数f (x )＝2－|x ＋1|－a 的图象与x 轴有交点，等价于a ＝2－|x ＋1|有解． ∵|x ＋1|≥0，－|x ＋1|≤0，∴0＜2－|x ＋1|≤1，因此0＜a ≤1.∴命题乙⇒命题甲，但命题甲D ⇒/命题乙．故命题乙是命题甲的充分不必要条件．。

课时知能训练一、选择题1．(2012·中山模拟)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．02．(2011·重庆高考)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－125．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12二、填空题6．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．7．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π4)＝________. 8．(2012·镇江质检)设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________．三、解答题9．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，试求实数a 的取值范围．10．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限，求切线方程．11．已知函数f (x )＝x 2＋b ln x 和g (x )＝x －9x －3的图象在x ＝4处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)求f (x )的极值．答案及解析1．【解析】 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 是奇函数，又f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.【答案】 B2．【解析】 ∵y ′＝(－x 3＋3x 2)′＝－3x 2＋6x∴k ＝y ′|x ＝1＝－3＋6＝3，因此在点(1,2)处的切线为y ＝3x －1.【答案】 A3．【解析】 ∵f (x )＝x ·ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴ln x 0＝1，x 0＝e.【答案】 B4．【解析】 ∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，所以f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.故y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率为4.【答案】 A5．【解析】 ∵y ′＝x 2－3x (x ＞0)，又k ＝12，∴x 2－3x ＝12，∴x ＝3.【答案】 A6．【解析】 ∵y ′＝(x e x ＋2x ＋1)′＝e x ＋x ·e x ＋2∴y ′|x ＝0＝3.∴切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.【答案】 3x －y ＋1＝07．【解析】 f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ， 令x ＝π2，则f ′(π2＝－sin π2＝－1， ∴f (x )＝－sin x ＋cos x ，∴f (π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 【答案】 08．【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x .令1x ＝12得x ＝2， ∴切点为(2，ln 2)，代入直线方程y ＝12x ＋b ， ∴ln 2＝12×2＋b ， ∴b ＝ln 2－1.【答案】 ln 2－19．【解】 由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x， 又f (x )存在垂直于y 轴的切线，不妨设切点为P (x 0，y 0)，其中x 0＞0.则f ′(x 0)＝2ax 0＋1x 0＝0. ∴a ＝－12x 20，x 0∈(0，＋∞)，因此a ＜0. ∴实数a 的取值范围是(－∞，0)．10．【解】 设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② ①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0. ∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1. ∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12. 故所求切线方程为y ＝12x . 11．【解】 (1)对两个函数分别求导，得f ′(x )＝2x ＋b x ，g ′(x )＝(x －3)－(x －9)(x －3)2＝6(x －3)2. 依题意，有f ′(4)＝g ′(4)，∴8＋b 4＝6，∴b ＝－8. (2)显然f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知b ＝－8，∴f ′(x )＝2x －8x ＝2x 2－8x. 令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．∴当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(0,2)上是单调递减函数，在(2，＋∞)上是单调递增函数． ∴f (x )在x ＝2时取得极小值f (2)＝4－8ln 2.。

课时知能训练一、选择题1．(2012·茂名调研)在空间直角坐标系Oxyz中，点P(－2，0,3)位于() A．xOz平面内B．yOz平面内C．y轴上D．z轴上2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是() A．1 B．2C．3 D.143．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称4．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(3,2,1)，D1(1,2,6)，则这个长方体的体积是()A．639 B．1513C．30 3 D．无法确定5．已知点P(1,2,3)，点Q在z轴上，则使|PQ|最小的点Q的坐标为() A．(0,0,1) B．(0,1,0)C．(0,0,2) D．(0,0,3)二、填空题6．已知A(1,2，－1)，若点B与点A关于xOz平面对称，点C与点A关于z 轴对称，则点B的坐标为________，点C的坐标为________，|BC|＝________.7．在△ABC中，若A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(12，52，3)，则AB边上的中线长为________．8．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为三角形的三个顶点，则△ABC 的外接圆的面积是________．三、解答题图8－5－69．如图8－5－6所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连结AP、BP、CP、DP.M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F 的坐标．图8－5－710．如图8－5－7在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．图8－5－811．如图8－5－8所示，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点A(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标和三棱锥D—ABC的体积．答案及解析1．【解析】∵点P的纵坐标y＝0，且x、z均不为零，故点P位于xOz平面内．【答案】 A2．【解析】点到平面yOz的距离就是点的横坐标的绝对值．【答案】 A3．【解析】A、B两点纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故A、B 两点关于y轴对称．【答案】 B4．【解析】∵|AB|＝(1－1)2＋(5－2)2＋(1－1)2＝3，|BC|＝(3－1)2＋(2－5)2＋(1－1)2＝13，|AD1|＝(1－1)2＋(2－2)2＋(6－1)2＝5，∴|DD1|＝|AD1|2－|BC|2＝52－(13)2＝23，∴V＝|AB|×|BC|×|DD1|＝3×13×23＝639.【答案】 A5．【解析】设Q(0,0，z0)，则|PQ|＝(0－1)2＋(0－2)2＋(z0－3)2＝(z0－3)2＋5，∴当z0＝3时，|PQ|有最小值，此时Q(0,0,3)．【答案】 D6．【解析】由题意可知B(1，－2，－1)，C(－1，－2，－1)∴|BC|＝(1＋1)2＋(－2＋2)2＋(－1＋1)2＝2.【答案】(1，－2，－1)(－1，－2，－1) 27．【解析】由中点坐标公式，A、B的中点坐标为D(－1＋22，2－223＋32)，即D(12，0,3)，∴AB边上的中线长为|CD|＝5 2 .【答案】5 28．【解析】∵|AB|＝(4－1)2＋(2＋2)2＋(3－11)2＝89，|BC|＝(6－4)2＋(－1－2)2＋(4－3)2＝14，|AC|＝(6－1)2＋(－1＋2)2＋(4－11)2＝75，∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC 为直角三角形，其外接圆半径为1289， ∴△ABC 的外接圆面积为S ＝894π. 【答案】 894π 9．【解】 易求出B 点坐标为(1,1,0)．∵A 、C 、D 与B 点分别关于xOz 平面、yOz 平面、坐标原点对称，∴A (1，－1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1,0)．又∵E 、F 分别为PA 、PB 的中点，且P (0,0,2)，∴E (12，－12，1)，F (12，12，1)． 10．【解】 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1中点，∴N (32，3,1)． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝ (32－1)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝212. 11．【解】 ∵∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，∴CD ＝BC cos 30°＝3，作DE ⊥BC ，∴DE ⊥面ABC ，则DE ＝DC 2＝32，CE ＝DC cos 30°＝32，又O 是BC 的中点，∴OE ＝12， ∴D (0，－12，32)． ∵A (32，12，0)，即点A 到BC 的距离为32， ∴S △ABC ＝12·BC ·32＝32， ∴三棱锥D —ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·DE ＝13×32×32＝14.。